吉林省多校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考（10月）數(shù)學(xué)試題

2024—2025學(xué)年度上學(xué)期第一次月考高二數(shù)學(xué)試題本試卷分客觀題和主觀題兩部分，共19題，共150分，共3頁.考試時(shí)間為20分鐘.考試結(jié)束后，只交答題卡.第I卷客觀題一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分?在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線方程求得直線的斜率，由此求得直線傾斜角.【詳解】依題意可知直線的斜率為，故傾斜角為120°.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線斜率與傾斜角，屬于基礎(chǔ)題.2.若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由二元二次方程表示圓的充要條件可知：，解得，故選A．考點(diǎn)：圓的一般方程．3.已知直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)中點(diǎn)為C，由條件得出與的關(guān)系結(jié)合點(diǎn)到直線的距離解不等式即可.【詳解】設(shè)中點(diǎn)為C，則，∵，∴，∴，∵，即，又∵直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，∴，故，則，.故選：C．4.“”是“直線和直線平行且不重合”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】C【解析】【分析】利用充分必要條件的判斷，結(jié)合直線的位置關(guān)系即可求解．【詳解】當(dāng)時(shí)，兩直線分別為：，，∴兩直線斜率相等且，∴兩條直線平行且不重合；充分性成立，若兩直線平行且不重合，則，∴，必要性成立，綜上所述，是兩直線平行且不重合的充要條件，故選：C．5.已知圓關(guān)于直線對稱，則的最小值是（）A2 B.3 C.6 D.4【答案】D【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為直線過圓心即，再利用基本不等式可得答案.【詳解】因?yàn)閳A關(guān)于直線對稱，所以直線過圓心，即，則因?yàn)?，且，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立，則的最小值是4.故選：D.6.已知，直線：與：的交點(diǎn)在圓：上，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系和所過的定點(diǎn)，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】，所以直線恒過點(diǎn)，，所以直線恒過點(diǎn)，由兩條直線的方程可以判斷直線與直線互相垂直，因此點(diǎn)在以為直徑的圓上，線段中點(diǎn)為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，由已知條件可知點(diǎn)在圓：上，所以圓與圓相交或相切，，因此有，解得：，所以則的最大值是，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：通過直線方程判斷交點(diǎn)的位置，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.7.已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．若，，則橢圓的離心率為（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】由得，則求出PF1，結(jié)合橢圓定義求出，再由可得答案.【詳解】由，得，則，則，則，即，解得，則，因?yàn)?，所以，即，整理得，則，解得或，故或．故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是判斷出，利用勾股定理求出答案.8.在平面直線坐標(biāo)系中,定義為兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)P及上任意一點(diǎn)Q,稱的最小值為點(diǎn)P到直線的“切比雪夫距離”記作給出下列四個(gè)命題:（）①對任意三點(diǎn)A、B、C，都有②已知點(diǎn)P(3,1)和直線則③到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”等于的點(diǎn)的軌跡是正方形；④定點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)滿足則點(diǎn)P的軌跡與直線(為常數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)．其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】①討論，，三點(diǎn)共線，以及不共線的情況，結(jié)合圖象和新定義，即可判斷；②設(shè)點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，可得，，討論，的大小，可得距離，再由函數(shù)的性質(zhì)，可得最小值；③運(yùn)用新定義，求得點(diǎn)的軌跡方程，即可判斷；④討論在坐標(biāo)軸上和各個(gè)象限的情況，求得軌跡方程，即可判斷．【詳解】解：①對任意三點(diǎn)、、，若它們共線，設(shè)，、，，，，如右圖，結(jié)合三角形相似可得，，為，，，或，，，則，，，；若，或，對調(diào)，可得，，，；若，，不共線，且三角形中為銳角或鈍角，由矩形或矩形，，，，；則對任意的三點(diǎn)，，，都有，，，；故①正確；設(shè)點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，可得，，由，解得，即有，當(dāng)時(shí)，取得最小值；由，解得或，即有，的范圍是，，，．無最值，綜上可得，，兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為．故②正確；③由題意，到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”等于的點(diǎn)設(shè)為，則，若，則；若，則，故所求軌跡是正方形，則③正確；④定點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿足，，，可得不軸上，在線段間成立，可得，解得，由對稱性可得也成立，即有兩點(diǎn)滿足條件；若在第一象限內(nèi)，滿足，，，即為，為射線，由對稱性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線，則點(diǎn)的軌跡與直線為常數(shù)）有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)．故④正確；綜上可得，真命題的個(gè)數(shù)為4個(gè)，故選:.【點(diǎn)睛】本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合思想方法，以及運(yùn)算能力和推理能力，屬于難題．二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.以下四個(gè)命題表述正確的是（）A.過兩點(diǎn)的直線方程為B.已知直線l過點(diǎn)，且在x，y軸上截距相等，則直線l的方程為C.“直線與直線垂直”是“”的必要不充分條件D.直線的距離為【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程的適用范圍，直線方程的求解，以及直線與直線位置關(guān)系的判斷以及兩平行線的距離公式，結(jié)合充分性和必要性的判斷，對選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可判斷.【詳解】A：若兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)或者橫坐標(biāo)相等，則不能用該方程表示直線，故錯(cuò)誤；B：直線l過點(diǎn)，且在x，y軸上截距相等，除直線外，還可以是直線y=2x，故錯(cuò)誤；C：直線與直線垂直的充要條件是，解得或；故，“直線與直線垂直”是“”的必要不充分條件，故正確；D：因?yàn)橹本€，平行，則兩平行直線的距離，故正確.綜上所述，正確的選項(xiàng)是CD.故選：CD.10.已知，是圓O：上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若點(diǎn)到直線的距離為，則C.若，則的最小值為D.若，則的最大值為【答案】AD【解析】【分析】由題意，可判斷得為正三角形，即可得，判斷A；根據(jù)幾何法求解弦長即可判斷B，將的值轉(zhuǎn)化為單位圓上的到直線的距離之和，取中點(diǎn)，從而轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離的倍求解，數(shù)形結(jié)合可判斷得在以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，從而求解出點(diǎn)到直線的距離的最值，即可得到直線的距離之和的最值，從而得的最值.【詳解】因?yàn)?，是圓O：上兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，為正三角形，所以，A正確；點(diǎn)到直線的距離為時(shí)，，B錯(cuò)誤；的值可轉(zhuǎn)化為單位圓上的到直線的距離之和，又，所以為等腰三角形，設(shè)是的中點(diǎn)，則，且，則在以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，兩點(diǎn)到直線的距離之和為點(diǎn)到直線的距離的倍，點(diǎn)到直線的距離為，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為，最小值為，則兩點(diǎn)到直線的距離之和最大值為，最小值為.所以的最大值為，最小值為，C錯(cuò)誤，D正確；故選：AD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于圓上任意一點(diǎn)到直線距離的最值計(jì)算，需要先計(jì)算圓心到直線的距離，從而可求解距離的最大值為，最小值為.11.已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)（不在軸上），外接圓的圓心為，半徑為，內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，直線交軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.最大時(shí)， B.的最小值為C. D.的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)焦點(diǎn)三角形的面積，可知其最大值，再根據(jù)內(nèi)切圓半徑公式可判斷A選項(xiàng)，根據(jù)外心的概念及向量的線性運(yùn)算可判斷B選項(xiàng)，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，即可判斷C選項(xiàng)，再根據(jù)外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的求法可判斷D選項(xiàng).【詳解】由，得，，，A選項(xiàng)：設(shè)，則，，，所以當(dāng)點(diǎn)在短軸端點(diǎn)時(shí)，面積最大值為，此時(shí)由內(nèi)切圓性質(zhì)可知，則，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)，，則，B選項(xiàng)：如圖所示，設(shè)中點(diǎn)為，則，所以，又，同理，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：設(shè)與交于點(diǎn)，由角分線定理可知，即，即，所以，所以，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：設(shè)，由正弦定理得，即，由余弦定理得，則，且，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，，所以，則，D選項(xiàng)正確；故選：BCD.【點(diǎn)睛】橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱為橢圓的焦點(diǎn)三角形，與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的關(guān)系．第II卷主觀題三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.與圓同圓心，且過點(diǎn)的圓的方程是________.【答案】【解析】【分析】設(shè)所求圓的方程為，代入點(diǎn)求出即可得所求圓的方程.【詳解】依題意，設(shè)所求圓的方程為，由于所求圓過點(diǎn)，所以，解得.所以所求圓的方程為．故答案為:.13.圓與圓的公共弦所在直線被圓：所截得的弦長為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓與圓相交得公共弦所在直線方程，再根據(jù)直線與圓相交弦長公式可得結(jié)論.【詳解】圓與圓的兩方程作差得，即公共弦所在直線方程為，又圓的圓心為，半徑，所以圓心到直線的距離，則圓被直線所截得的弦長為.故答案為：.14.如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)作橢圓的切線，切點(diǎn)為T，若M為x軸上的點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為______.【答案】（，0）或（，0）【解析】【分析】通過聯(lián)立橢圓和切線方程，可解出坐標(biāo)，進(jìn)而利用，建立等式條件，解出點(diǎn)M的坐標(biāo)【詳解】設(shè)的方程等于,不妨設(shè)在軸上方，即.則聯(lián)立與橢圓的方程，得,整理得，令，解得,此時(shí)方程為,解得因此可知,由橢圓方程可知，所以,又因，所以，，（如圖）過T做x軸的垂線，記垂足為N，則可知,因此,設(shè),則,,在中，由正弦定理，,即，解得或故答案為：（，0）或（，0）四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（1）已知直線經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直，求直線的方程.（2）已知直線與軸，軸分別交于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，求直線的方程.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由垂直關(guān)系可得直線的斜率，進(jìn)而由點(diǎn)斜式得到方程；（2）設(shè)出，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到直線方程.【詳解】（1）直線的斜率，則，故直線的方程為；（2）設(shè)，的中點(diǎn)為，知，則直線的方程為．16.為了開發(fā)古城旅游觀光，鎮(zhèn)政府決定在護(hù)城河上建一座圓形拱橋，河面跨度為32米，拱橋頂點(diǎn)C離河面8米，（1）如果以跨度所在直線為軸，以中垂線為軸建立如圖的直角坐標(biāo)系，試求出該圓形拱橋所在圓的方程；（2）現(xiàn)有游船船寬8米，船頂離水面7米，為保證安全，要求行船頂部與拱橋頂部的豎直方向高度差至少要米．問這條船能否順利通過這座拱橋，并說出理由．【答案】（1）（2）船可以通過，理由見解析【解析】【分析】（1）利用圓過點(diǎn)、可解出圓的方程；（2）只需判斷點(diǎn)P（4，7.5）與圓的位置關(guān)系即可.【小問1詳解】B（16，0），C（0，8），設(shè)圓心（0，b），圓的方程為：由圓過點(diǎn)、可得，解得，∴拱橋所在的圓方程是：小問2詳解】可設(shè)船右上角豎直方向0.5米處點(diǎn)為P（4，7.5），代入圓方程左端得396.25＜400，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，故船可以通過17.已知橢圓的焦點(diǎn)為和，且橢圓經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則在軸上是否存在定點(diǎn)，使得的值為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和該定值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在，，定值為【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)設(shè)橢圓的方程為，代入點(diǎn)，即可得的值，從而求得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)定點(diǎn)，聯(lián)立直線與橢圓求得交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求，消參即可確定定值，再檢驗(yàn)直線的斜率為0時(shí)是否符合即可得結(jié)論.【小問1詳解】已知橢圓的焦點(diǎn)為和，設(shè)橢圓的方程為，將點(diǎn)代入橢圓方程，得，解得（舍去），，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)定點(diǎn).聯(lián)立方程組，消掉可得，恒成立.設(shè)，可得，所以.要使上式為定值，則，解得，此時(shí).當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，，此時(shí)，也符合.所以存在點(diǎn)，使得為定值.18.已知平面直角坐標(biāo)系上一動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到點(diǎn)的距離的倍.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，點(diǎn)，求的最大值和最小值；（3）過點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，則是否存在直線，使取得最大值，若存在，求出此時(shí)的方程，若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）；（3）存在，或【解析】【分析】（1）根據(jù)條件列方程求解即可；（2）根據(jù)對稱性求出Q點(diǎn)的軌跡方程，再利用三角換元即可求解；（3）聯(lián)立直線與圓的方程求得的范圍，再利用點(diǎn)到直線的距離公式與圓的弦長公式求得取得最大值時(shí)的值，從而得解.【小問1詳解】由已知，化簡得，即，所以點(diǎn)P的軌跡方程為；【小問2詳解】依題意，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)，所以，即點(diǎn)Q的軌跡方程為，不妨設(shè)，，其中，則當(dāng)時(shí)，取得最大值；當(dāng)時(shí)，取得最小值；【小問3詳解】由題意知的斜率一定存在，不妨假設(shè)存直線的斜率為k，且，則，聯(lián)立方程：，所以，又因?yàn)橹本€不經(jīng)過點(diǎn)，則，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值2，此時(shí)，所以直線的方程為或.19.已知橢圓：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在軸上方），的周長為8．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，將平面沿軸折疊，使軸正半軸和軸所確定的半平面（平面）與軸負(fù)半軸和軸所確定的半平面（平面）互相垂直．①若