高中數(shù)學選修2-2課時作業(yè)：§1.2 幾個常用函數(shù)的導數(shù)與基本初等函數(shù)的導數(shù)公式

人教版高中數(shù)學選修2-2PAGEPAGE1§1.2導數(shù)的計算第1課時幾個常用函數(shù)的導數(shù)與基本初等函數(shù)的導數(shù)公式一、選擇題1．下列各式中正確的個數(shù)是()①(x7)′＝7x6；②(x－1)′＝x－2；③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))′＝－eq\f(1,2)x－eq\f(3,2)；④(eq\r(5,x2))′＝eq\f(2,5)x－eq\f(3,5)；⑤(cosx)′＝－sinx；⑥(cos2)′＝－sin2.A．3B．4C．5D．6考點常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導數(shù)題點常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導數(shù)[答案]B[解析]∵②(x－1)′＝－x－2；⑥(cos2)′＝0.∴②⑥不正確，故選B.2．已知函數(shù)f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，則a的值等于()A．4 B．－4C．5 D．－5考點常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導數(shù)題點常數(shù)、冪函數(shù)的導數(shù)[答案]A[解析]∵f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，∴a＝4.3．質(zhì)點沿直線運動的路程s與時間t的關(guān)系是s＝eq\r(5,t)，則質(zhì)點在t＝4時的速度為()A.eq\f(1,2\r(5,23)) B.eq\f(1,10\r(5,23))C.eq\f(2,5)eq\r(5,23) D.eq\f(1,10)eq\r(5,23)考點常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導數(shù)題點常數(shù)、冪函數(shù)的導數(shù)[答案]B[解析]∵s′＝eq\f(1,5)t－eq\f(4,5).∴當t＝4時，s′＝eq\f(1,5)·eq\f(1,\r(5,44))＝eq\f(1,10\r(5,23)).4．正弦曲線y＝sinx上切線的斜率等于eq\f(1,2)的點為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(\r(3),2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，－\f(\r(3),2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)，\f(\r(3),2)))(k∈Z)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)，\f(\r(3),2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，－\f(\r(3),2)))(k∈Z)考點導數(shù)公式的綜合應(yīng)用題點導數(shù)公式的綜合應(yīng)用[答案]D[解析]設(shè)斜率等于eq\f(1,2)的切線與曲線的切點為P(x0，y0)，∵＝cosx0＝eq\f(1,2)，∴x0＝2kπ＋eq\f(π,3)或2kπ－eq\f(π,3)，∴y0＝eq\f(\r(3),2)或－eq\f(\r(3),2).5．直線y＝eq\f(1,2)x＋b是曲線y＝lnx(x>0)的一條切線，則實數(shù)b的值為()A．2 B．ln2＋1C．ln2－1 D．ln2考點導數(shù)公式的綜合應(yīng)用題點導數(shù)公式的綜合應(yīng)用[答案]C[解析]∵y＝lnx的導數(shù)y′＝eq\f(1,x)，∴令eq\f(1,x)＝eq\f(1,2)，得x＝2，∴切點坐標為(2，ln2)．代入直線y＝eq\f(1,2)x＋b，得b＝ln2－1.6．下列曲線的所有切線中，存在無數(shù)對互相垂直的切線的曲線是()A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3C．f(x)＝lnx D．f(x)＝sinx考點導數(shù)公式的綜合應(yīng)用題點導數(shù)公式的綜合應(yīng)用[答案]D[解析]若直線垂直且斜率存在，則其斜率之積為－1.因為A項中，(ex)′＝ex>0，B項中，(x3)′＝3x2≥0，C項中，x>0，即(lnx)′＝eq\f(1,x)>0，所以不會使切線斜率之積為－1，故選D.7．設(shè)曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn，則x1·x2·…·xn的值為()A.eq\f(1,n) B.eq\f(1,n＋1)C.eq\f(n,n＋1) D．1考點導數(shù)公式的綜合應(yīng)用題點導數(shù)公式的綜合應(yīng)用[答案]B[解析]對y＝xn＋1(n∈N*)求導得y′＝(n＋1)·xn.令x＝1，得在點(1,1)處的切線的斜率k＝n＋1，∴在點(1,1)處的切線方程為y－1＝(n＋1)(xn－1)．令y＝0，得xn＝eq\f(n,n＋1)，∴x1·x2·…·xn＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×…×eq\f(n－1,n)×eq\f(n,n＋1)＝eq\f(1,n＋1)，故選B.二、填空題8．若曲線y＝在點(a，)處的切線與兩個坐標軸圍成的三角形的面積為18，則a＝.考點幾個常用函數(shù)的導數(shù)題點幾個常用函數(shù)導數(shù)的應(yīng)用[答案]64[解析]∵y＝，∴y′＝－eq\f(1,2)，∴曲線在點(a，)處的切線斜率k＝－eq\f(1,2)，∴切線方程為y－＝－eq\f(1,2)(x－a)．令x＝0，得y＝eq\f(3,2)；令y＝0，得x＝3a，∴該切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為S＝eq\f(1,2)·3a·eq\f(3,2)＝eq\f(9,4)＝18，∴a＝64.9．設(shè)曲線y＝ex在點(0,1)處的切線與曲線y＝eq\f(1,x)(x>0)在點P處的切線垂直，則點P的坐標為．考點導數(shù)公式的綜合應(yīng)用題點導數(shù)公式的綜合應(yīng)用[答案](1,1)[解析]y＝ex的導數(shù)為y′＝ex，曲線y＝ex在點(0,1)處的切線的斜率為k1＝e0＝1.設(shè)P(m，n)，y＝eq\f(1,x)(x>0)的導數(shù)為y′＝－eq\f(1,x2)(x>0)，曲線y＝eq\f(1,x)(x>0)在點P處的切線的斜率為k2＝－eq\f(1,m2)(m>0)．因為兩切線垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，則點P的坐標為(1,1)．10．若曲線y＝eq\r(x)在點P(a，eq\r(a))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2，則實數(shù)a的值是．考點導數(shù)公式的綜合應(yīng)用題點導數(shù)公式的綜合應(yīng)用[答案]4[解析]∵y′＝eq\f(1,2\r(x))，∴切線方程為y－eq\r(a)＝eq\f(1,2\r(a))(x－a)，令x＝0，得y＝eq\f(\r(a),2)，令y＝0，得x＝－a，由題意知eq\f(1,2)·eq\f(\r(a),2)·a＝2，∴a＝4.11．設(shè)f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，則f2017(x)＝.考點正弦、余弦函數(shù)的導數(shù)題點正弦、余弦函數(shù)的運算法則[答案]cosx[解析]由已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，…依次類推可得，f2017(x)＝f1(x)＝cosx.12．設(shè)正弦曲線y＝sinx上一點P，以點P為切點的切線為直線l，則直線l的傾斜角α的取值范圍是．考點導數(shù)公式的綜合應(yīng)用題點導數(shù)公式的綜合應(yīng)用[答案]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))[解析]∵(sinx)′＝cosx，∴kl＝cosx，∴－1≤kl≤1，∴α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).三、解答題13．點P是曲線y＝ex上任意一點，求點P到直線y＝x的最小距離．考點導數(shù)公式的綜合應(yīng)用題點導數(shù)公式的綜合應(yīng)用解如圖，當曲線y＝ex在點P(x0，y0)處的切線與直線y＝x平行時，點P到直線y＝x的距離最近．則曲線y＝ex在點P(x0，y0)處的切線斜率為1，又y′＝(ex)′＝ex，所以＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用點到直線的距離公式得最小距離為eq\f(\r(2),2).四、探究與拓展14．函數(shù)y＝x2(x>0)的圖象在點(ak，aeq\o\al(2,k))處的切線與x軸的交點的橫坐標為ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，則a1＋a3＋a5的值是．考點導數(shù)公式的綜合應(yīng)用題點導數(shù)公式的綜合應(yīng)用[答案]21[解析]∵y′＝2x，∴y＝x2(x>0)的圖象在點(ak，aeq\o\al(2,k))處的切線方程為y－aeq\o\al(2,k)＝2ak(x－ak)．又該切線與x軸的交點坐標為(ak＋1,0)，∴ak＋1＝eq\f(1,2)ak，即數(shù)列{ak}是首項為a1＝16，公比為q＝eq\f(1,2)的等比數(shù)列，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.15．考點導數(shù)公式的綜合應(yīng)用題點導數(shù)公式的綜合應(yīng)用證明設(shè)P(x0，y0)為雙曲線xy＝a2上任一點．∵y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,x)))′＝－eq