備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學壓軸題訓練專題07一元函數(shù)的導數(shù)及其應用(利用導函數(shù)研究不等式恒成立問題)(全題型壓軸題)(學生版+解析)

專題07一元函數(shù)的導數(shù)及其應用（利用導函數(shù)研究不等式恒成立問題）目錄TOC\o"1-1"\h\u一、已知函數(shù)在區(qū)間上單調 1二、變量分離法 2三、最值法 4四、變更主元法 5五、雙變量問題型 6一、已知函數(shù)在區(qū)間上單調1．（23-24高二下·福建寧德·階段練習）函數(shù)(1)當時，求的單調區(qū)間；(2)若在上為單調函數(shù)，求的取值范圍2．（23-24高二下·四川自貢·期末）已知函數(shù)．(1)若的單調遞減區(qū)間為，求實數(shù)的值；(2)若函數(shù)在單調遞減，求實數(shù)的取值范圍．3．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)，，．(1)若函數(shù)在上單調遞減，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)存在單調遞減區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍．4．（23-24高二·全國·單元測試）已知函數(shù)（為自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)）.（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)在上單調遞增，求的取值范圍.二、變量分離法1．（23-24高二下·天津靜?！るA段練習）已知，(1)若對于任意的，都有成立，求的取值范圍；(2)若存在，使得成立，求的取值范圍；(3)若函數(shù)，若存在，使得成立，求的取值范圍.2．（2024·安徽池州·模擬預測）設函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．3．（23-24高二下·四川內江·階段練習）已知函數(shù)．(1)求的最小值；(2)若對所有都有，求實數(shù)的取值范圍；4．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習）已知函數(shù)．(1)若，求的單調區(qū)間；(2)討論函數(shù)的單調性；(3)若函數(shù)在處取得極值，且對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．4．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調性；(2)若函數(shù)的最小值為，不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．四、變更主元法1．（2024高三·全國·專題練習）已知二次函數(shù)（，為實數(shù)）(1)若函數(shù)圖象過點，對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)圖象過點，對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；2．（23-24高一上·遼寧沈陽·期中）已知(1)在上恒成立，求x的范圍．3．（23-24高一上·四川綿陽·階段練習）已知函數(shù).(1)，不等式恒成立，求實數(shù)的范圍；4．（2023高一·上?！ｎ}練習）已知(1)在上恒成立，求的范圍．五、雙變量問題型1．（23-24高三上·云南曲靖·階段練習）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)（），若對任意，均存在，使得，求實數(shù)a的取值范圍．2．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)的最小值；(2)若，且對，都，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．3．（2023高三·全國·專題練習）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調性；(2)設．當時，若對，，使，求實數(shù)的取值范圍．4．（23-24高二下·重慶綦江·期中）已知函數(shù)（），（）．(1)若函數(shù)在處的切線方程為，求實數(shù)與的值；(2)當時，若對任意的，存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．專題07一元函數(shù)的導數(shù)及其應用（利用導函數(shù)研究不等式恒成立問題）目錄TOC\o"1-1"\h\u一、已知函數(shù)在區(qū)間上單調 1二、變量分離法 4三、最值法 9四、變更主元法 13五、雙變量問題型 15一、已知函數(shù)在區(qū)間上單調1．（23-24高二下·福建寧德·階段練習）函數(shù)(1)當時，求的單調區(qū)間；(2)若在上為單調函數(shù)，求的取值范圍【答案】(1)增區(qū)間為和，減區(qū)間為(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，解不等式求出單調區(qū)間即可；（2）將問題轉化為在恒成立，利用二次函數(shù)的圖象與性質即可求解.【詳解】（1）當時，,令，得或，所以的增區(qū)間為，，令，得，所以的減區(qū)間為故當時，的增區(qū)間為和，減區(qū)間為.（2）由題可得，要使在上為單調函數(shù)，則在恒成立，則，即，解得：,所以的取值范圍為2．（23-24高二下·四川自貢·期末）已知函數(shù)．(1)若的單調遞減區(qū)間為，求實數(shù)的值；(2)若函數(shù)在單調遞減，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)的單調遞減區(qū)間為，可得是的兩根，即可求得答案；（2）由函數(shù)在單調遞減，可得在上恒成立，即可推出在上恒成立，從而求得答案.【詳解】（1）由題意得，因為的單調遞減區(qū)間為，即的解集為，故是的兩根，即，當時，，由，解得，等號僅在時取得，即的單調遞減區(qū)間為，符合題意，故.（2）函數(shù)在單調遞減，即在上恒成立，即在上恒成立，此時，即在上恒成立，而，故,經驗證當時,即，等號僅在時取得，此時函數(shù)在單調遞減，符合題意，故.3．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)，，．(1)若函數(shù)在上單調遞減，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)存在單調遞減區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）由在上單調遞減，得到恒成立，用分離參數(shù)法求出實數(shù)a的取值范圍；（2）由在上存在單調遞減區(qū)間，得到有解，用分離參數(shù)法求出實數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1）因為在上單調遞減，所以當時，恒成立，即恒成立，令，則，而．因為，所以．所以（此時），所以．當時，．因為，所以，即在上為減函數(shù)，又，所以實數(shù)a的取值范圍是．（2）因為，，所以．因為在上存在單調遞減區(qū)間，所以當時，有解，即有解．設，所以只要即可，而，，所以，此時，所以．又，所以或．所以實數(shù)a的取值范圍為．4．（23-24高二·全國·單元測試）已知函數(shù)（為自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)）.（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)在上單調遞增，求的取值范圍.【答案】(1)遞減區(qū)間是和，遞增區(qū)間是；(2).【優(yōu)尖升-分析】(1)當時，求出函數(shù)的導數(shù)，再求出導數(shù)值大于0及小于0的x取值區(qū)間即可得解；(2)求出函數(shù)的導數(shù)，由給定條件轉化成恒成立的不等式即可求解作答.【詳解】(1)當時，，求導得，解得或，解得，所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間是和，單調遞增區(qū)間是；(2)依題意，，因函數(shù)在上單調遞增，則，令，，顯然在上單調遞增，于是得時，，則，所以的取值范圍是.二、變量分離法1．（23-24高二下·天津靜?！るA段練習）已知，(1)若對于任意的，都有成立，求的取值范圍；(2)若存在，使得成立，求的取值范圍；(3)若函數(shù)，若存在，使得成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【優(yōu)尖升-分析】（1）恒成立求參問題，先分參后轉換成求具體函數(shù)的最值問題即可求出結果.（2）有解問題，解法同恒成立求參問題.（3）恒成立和有解問題統(tǒng)一轉化成最值問題解決.【詳解】（1）對于任意的，都有成立，則恒成立，即恒成立，又，所以當時，恒成立，所以在上單調遞減，所以，所以，所以的取值范圍為.（2）存在，使得成立，即，使得成立，所以有解，又，所以當時，恒成立，所以在上單調遞減，所以，所以，所以的取值范圍為.（3）存在，使得成立，即，使得，成立，令，則，所以當時，恒成立，所以在上單調遞減，所以，所以，所以的取值范圍為.【點睛】方法點睛：有解和恒成立求參問題常轉化為最值問題處理：（1）恒成立；有解；（2）恒成立；有解.2．（2024·安徽池州·模擬預測）設函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）直接根據(jù)導數(shù)的幾何意義即得切線方程；（2）先將不等式變形，將條件轉化為對恒成立，再通過導數(shù)研究的單調性即知的取值范圍.【詳解】（1）當時，，可得，所以，，所以曲線在點處的切線方程為，即．（2）由條件知，即，即，即，當時，不等式恒成立；當時，我們有．所以命題等價于對恒成立，令，則：，而當時，，故，當時，，故在區(qū)間上單調遞增；當時，，故在區(qū)間上單調遞減，所以．綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．3．（23-24高二下·四川內江·階段練習）已知函數(shù)．(1)求的最小值；(2)若對所有都有，求實數(shù)的取值范圍；【答案】(1)(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性，求解最小值即可；（2）對于不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問題，分離參數(shù)轉化為利用導數(shù)求函數(shù)的最小問題即可求解.【詳解】（1）的定義域是，，令，解得，令，解得，故在上單調遞減，在上單調遞增，故f(x)min＝＝．（2）∵，當時，恒成立，等價于在時恒成立，等價于在時恒成立，令，，則即可；

∵，∴當時，恒成立，∴在上單調遞增，∴，∴，即實數(shù)的取值范圍為．4．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習）已知函數(shù)．(1)若，求的單調區(qū)間；(2)討論函數(shù)的單調性；(3)若函數(shù)在處取得極值，且對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析；(3).【優(yōu)尖升-分析】（1）先求出函數(shù)的導函數(shù)，進而分析導函數(shù)的正負區(qū)間與單調區(qū)間；（2）先求出函數(shù)的導函數(shù)；再分和兩種情況，再每一種情況中借助導數(shù)即可解答；（3）先根據(jù)函數(shù)在處取得極值得出；再將問題“對，恒成立”轉化為“對，恒成立”；最后構造函數(shù)，并利用導數(shù)求出即可解答.【詳解】（1）當時，，，令可得，故當時，單調遞減；當時，單調遞增；故遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.（2）由可得：函數(shù)定義域為，.當時，，此時函數(shù)在定義域上單調遞減；當時，令，解得；令，解得，此時函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增.綜上可得：當時，函數(shù)在定義域上單調遞減；當時，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增.（3）因為函數(shù)在處取得極值，所以，即，解得.此時，令，解得；令，解得，所以函數(shù)在處取得極值，故.所以.因為對，恒成立，所以對，恒成立.令，則.令，解得；令，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，所以，則，解得：.所以實數(shù)b的取值范圍為三、最值法1．（23-24高二下·廣東茂名·期中）設函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的單調區(qū)間.(2)求函數(shù)的極值.(3)若時，，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)【優(yōu)尖升-分析】（1）由或解出，即可得到函數(shù)的單調區(qū)間；（2）由或判斷的單調性，再由極值的概念即可求出函數(shù)的極值.；（3）由函數(shù)的單調性，等價于，即可解出的取值范圍.【詳解】（1）當=1時，，則，令，解得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.（2），當時，在上單調遞增，無極值，當時，由，得，由0得則在上單調遞減，在上單調遞增，則當時，取得極小值，無極大值，所以當時，函數(shù)無極值，當時，函數(shù)有極小值，無極大值；（3）由（2）知當時，在上單調遞增，符合題意，當時，在上單調遞增，符合題意，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，等價于，得.綜上的取值范圍是.2．（2024·江蘇南通·二模）已知函數(shù)，，.(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)若且恒成立，求的最小值.【答案】(1)答案見解析(2).【優(yōu)尖升-分析】（1）求導后，利用導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，對與分類討論即可得；（2）結合函數(shù)的單調性求出函數(shù)的最值，即可得解.【詳解】（1）（），當時，由于，所以恒成立，從而在上遞增；當時，，；，，從而在上遞增，在遞減；綜上，當時，的單調遞增區(qū)間為，沒有單調遞減區(qū)間；當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.（2）令，要使恒成立，只要使恒成立，也只要使.，由于，，所以恒成立，當時，，當時，，所以，解得：，所以的最小值為.3．（23-24高二下·北京豐臺·階段練習）已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的零點個數(shù)；(2)當時，若對任意都有，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)1(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)單調性，求出函數(shù)極值，結合零點存在定理，即可得答案；（2）求出函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)單調性，分類討論a的取值范圍，結合解不等式，即可求得答案【詳解】（1）當時，，，當或時，，在上均單調遞增，當時，，在上單調遞減，而，又，即，故在有一個零點，即在有一個零點，而在上最小值為，此時無零點，故函數(shù)的零點個數(shù)為1；（2）當時，，當或時，，在上均單調遞增，當時，，在上單調遞減，當時，在上單調遞增，則此時，由題意得解得，與矛盾，不合題意；當時，，此時在上單調遞增，在上單調遞減，則此時，由題意得，解得，故，綜合可得實數(shù)的取值范圍為.4．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調性；(2)若函數(shù)的最小值為，不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）求導，即可對進行分類討論求解導函數(shù)的正負求解，（2）將原不等式進行轉化，分離參數(shù)，從而可構造函數(shù)，將問題轉化為函數(shù)的最值問題進行求解.【詳解】（1）由題知的定義域為，．①當時，，則，故單調遞增．②當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增．綜上，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增．（2）由（1）知，，且，即．令，則，令，解得，故在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以．由題可得在上恒成立．令，則，令，則，可得在上單調遞減，又，故存在，使得，即，因此在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減．易知，由于，故，因此，故，即的取值范圍為．四、變更主元法1．（2024高三·全國·專題練習）已知二次函數(shù)（，為實數(shù)）(1)若函數(shù)圖象過點，對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)圖象過點，對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；【答案】(1)(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）由已知可得，由，恒成立列出不等式求解即得.（2）由對恒成立，結合一次函數(shù)的性質求出答案即可.【詳解】（1）依題意，，即，由，恒成立，得，即，整理得，解得.所以實數(shù)的取值范圍是.（2）由（1）知，，由，得，即，依題意，對恒成立，令，則對，恒成立，于是，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．2．（23-24高一上·遼寧沈陽·期中）已知(1)在上恒成立，求x的范圍．【答案】(1)或；【優(yōu)尖升-分析】（1）根據(jù)在上恒成立，令，由則求解；【詳解】（1）解：在上恒成立，令，則，即，即，因為，所以不等式的解為或，所以x的范圍是或；3．（23-24高一上·四川綿陽·階段練習）已知函數(shù).(1)，不等式恒成立，求實數(shù)的范圍；【答案】(1)【優(yōu)尖升-分析】（1）變換為關于的一次函數(shù)，結合一次函數(shù)在恒成立，求解即可.【詳解】（1）因為，不等式恒成立所以，則有：，得4．（2023高一·上?！ｎ}練習）已知(1)在上恒成立，求的范圍．【答案】(1)或．【優(yōu)尖升-分析】（1）利用更換主元法及一元一次不等式恒成立的解決辦法即可求解；【詳解】（1）在上恒成立，令,所以，即，解得或．故的范圍為或．五、雙變量問題型1．（23-24高三上·云南曲靖·階段練習）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)（），若對任意，均存在，使得，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）先求出導函數(shù)，由得到切線斜率，再根據(jù)切點坐標即可得到切線方程；（2）轉化問題為，結合二次函數(shù)性質可求得的最大值，構造，由的導函數(shù)判斷的單調性，利用端點值和極值判斷的正負，進而判斷的單調性，求得，即可求解.【詳解】（1）由題意，則，即切線的斜率，且，即切點坐標為，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）由題意可知：，因為的圖象開口向上，對稱軸為直線，則在上單調遞減，可得，由（1）可設，則，所以，當時，；當時，，則在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增.且，可知在區(qū)間上只有一個零點，設為，當時，；當時，，所以在區(qū)間上單調遞減