蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題攻略專題08解題技巧專題：利用等腰三角形的‘三線合一’作輔助線壓軸題三種模型全攻略(原卷版+解析)

專題08解題技巧專題：利用等腰三角形的'三線合一'作輔助線壓軸題三種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時(shí)，連中線】 1【類型二等腰三角形中底邊無中點(diǎn)時(shí)，作高線】 11【類型三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】 17【典型例題】【類型一等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時(shí)，連中線】例題：已知，在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，作，使得射線與射線分別交射線，于點(diǎn)，．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，線段與線段的數(shù)量關(guān)系是___________；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，用等式表示線段，和之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．【變式訓(xùn)練】1．在中，，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)．(1)如圖，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，，求證：，并說明理由；(2)在（1）的條件下，，求的值．2．如圖1，在中，，，點(diǎn)P是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在邊上，連接，若．(1)求證：；(2)若點(diǎn)D，E分別在邊的延長線上，如圖2，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立？并加以證明；(3)在（1）或（2）的條件下，是否能成為等腰三角形？若能，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)（不用說理）；若不能，請(qǐng)說明理由．3．在中，，點(diǎn)是所在直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作、，垂足分別為、(1)如圖1，若點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，求證：(2)如圖2，為腰上的高，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，試探究、、之間的關(guān)系，并說明理由．(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的延長線上時(shí)，若，，求的長度．4．在中，，，點(diǎn)O為的中點(diǎn)．(1)若，兩邊分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊和上時(shí)，求證：；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在和的延長線上時(shí)，連接，若，則．(2)如圖3，若，兩邊分別交邊于E，交的延長線于F，連接，若，試求的長．【類型二等腰三角形中底邊無中點(diǎn)時(shí)，作高線】例題：如圖，已知點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE．(1)求證：BD＝CE；(2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．如圖，與△BCA均為等腰三角形，，且，為延長線上一點(diǎn)，．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：；(3)若，，，求的面積（用含，，的式子表示）．2．已知在中，，且=．作，使得．(1)如圖1，若與互余，則=__________(用含的代數(shù)式表示)；(2)如圖2，若與互補(bǔ)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求證：；(3)若由與的面積相等，則與滿足什么關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論數(shù)．【類型三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】例題：如圖，在中，平分，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于，交于，交的延長線于．求證：(1)；(2)．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·河北石家莊·八年級(jí)校考期中）(1)【問題情境】利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分．點(diǎn)A為上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作，垂足為C，延長交于點(diǎn)B，可根據(jù)證明，則，（即點(diǎn)C為的中點(diǎn)）．(2)【類比解答】如圖2，在中，平分，于E，若，，通過上述構(gòu)造全等的辦法，可求得．(3)【拓展延伸】如圖3，中，，，平分，，垂足E在的延長線上，試探究和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(4)【實(shí)際應(yīng)用】如圖4是一塊肥沃的三角形土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進(jìn)行水稻試驗(yàn)，故進(jìn)行如下操作：①用量角器取的角平分線；②過點(diǎn)A作于D．已知，，面積為20，則劃出的的面積是多少？請(qǐng)直接寫出答案．2．【問題情境】利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分，點(diǎn)A為上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作，垂足為，延長交于點(diǎn)B，易證≌，則．其分析過程如下：在和中，平分≌（___________）在括號(hào)內(nèi)填寫全等判定方法字母簡稱（___________）在括號(hào)內(nèi)填寫理由依據(jù)【問題探究】如圖2，中，平分，垂足在的延長線上．證明：；【拓展延伸】如圖3，在中，在線段上，向左側(cè)作于交于，試探究和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

專題08解題技巧專題：利用等腰三角形的'三線合一'作輔助線壓軸題三種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時(shí)，連中線】 1【類型二等腰三角形中底邊無中點(diǎn)時(shí)，作高線】 11【類型三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】 17【典型例題】【類型一等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時(shí)，連中線】例題：已知，在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，作，使得射線與射線分別交射線，于點(diǎn)，．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，線段與線段的數(shù)量關(guān)系是___________；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，用等式表示線段，和之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．【答案】(1)；(2)，理由見解析．【分析】（1）連接，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，根據(jù)可推導(dǎo)，進(jìn)而證明，即可得到線段與線段的數(shù)量關(guān)系；（2）連接，利用（1）中的證明思路，再次證明，證得，即可利用等量代換得到．【詳解】（1）解：連接，∵，，點(diǎn)是的中點(diǎn)∴，且，平分，∴，，又∵∴∴∴（ASA）∴．（2），理由如下：連接，由（1）可知：，，∴在和中，∴（ASA）∴∵∴．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．在中，，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)．(1)如圖，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，，求證：，并說明理由；(2)在（1）的條件下，，求的值．【答案】(1)證明見解析；(2)a．【分析】（1）連接，證明即可得到；（2）由（1）可得：，進(jìn)一步得到：．【詳解】（1）證明：連接，∵，，∴，∵點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，∴，，，∵，∴，∵，∴，在和中，∴，∴．（2）解：由（1）可知：，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定及性質(zhì)．2．如圖1，在中，，，點(diǎn)P是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在邊上，連接，若．(1)求證：；(2)若點(diǎn)D，E分別在邊的延長線上，如圖2，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立？并加以證明；(3)在（1）或（2）的條件下，是否能成為等腰三角形？若能，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)（不用說理）；若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)見解析(2)成立，見解析(3)能成為等腰三角形，此時(shí)的度數(shù)為或或或【分析】（1）連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，從而得到，再由，可得，可證得，即可求證；（2）連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，從而得到，再由∵，可得，可證得，即可；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分四種情況討論，即可求解．【詳解】（1）明∶連接，∵，∴，∵P為斜邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：仍成立，理由如下：連接，∵，∴，∵P為斜邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；（3）解：能成為等腰三角形，①當(dāng)，點(diǎn)E在的延長線上時(shí)，則，又∵，∴；②當(dāng)，點(diǎn)E在上時(shí)，則；③當(dāng)時(shí)，則，∴；④當(dāng)，點(diǎn)E和C重合，∴；綜上所述，能成為等腰三角形，的度數(shù)為或或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．3．在中，，點(diǎn)是所在直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作、，垂足分別為、(1)如圖1，若點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，求證：(2)如圖2，為腰上的高，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，試探究、、之間的關(guān)系，并說明理由．(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的延長線上時(shí)，若，，求的長度．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)，即可得證；（2）根據(jù)，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)得出，進(jìn)而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，、∴即，∴，（2）解：，理由如下，如圖所示，連接，∵，、，為腰上的高，∴∴∴，（3）解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，、，，∴∴∴若，則．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形高的計(jì)算，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等面積法是解題的關(guān)鍵．4．在中，，，點(diǎn)O為的中點(diǎn)．(1)若，兩邊分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊和上時(shí)，求證：；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在和的延長線上時(shí)，連接，若，則．(2)如圖3，若，兩邊分別交邊于E，交的延長線于F，連接，若，試求的長．【答案】(1)①見解析；②18(2)2【分析】（1）①由“”可證，可得；②由“”可證，可得，即可求解；（2）由“”可證，可得，，由“”可證，可得，即可求解．【詳解】（1）①證明：如圖1，連接，∵，，∴.∵點(diǎn)O為的中點(diǎn)，∴，∴和是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴；②解：如圖2，連接，同理可證：，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：18；（2）解：如圖3，連接，過點(diǎn)O作，交的延長線于點(diǎn)H，∵，，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【類型二等腰三角形中底邊無中點(diǎn)時(shí)，作高線】例題：如圖，已知點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE．(1)求證：BD＝CE；(2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)90°．【分析】（1）作AF⊥BC于點(diǎn)F，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到BF=CF，DF=EF，相減后即可得到正確的結(jié)論．（2）根據(jù)等邊三角形的判定得到△ADE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AD＝AE．∴BF＝CF，DF＝EF，∴BD＝CE．（2）解：∵AD＝DE＝AE，∴△ADE是等邊三角形，∴∠DAE＝∠ADE＝60°．∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA．∴∠DAB∠ADE＝30°．∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖，與△BCA均為等腰三角形，，且，為延長線上一點(diǎn)，．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：；(3)若，，，求的面積（用含，，的式子表示）．【答案】(1)20°(2)見解析(3)【分析】（1）先，是等腰三角形性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理求出，即可由求解；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，得出，，進(jìn)而求得，，即可得出，從而得出結(jié)論；（3）由（2）可知，，從而有，再根據(jù)，則有，即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，又∵，∴．（2）證明：過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，又∵，∴，，∵，∴，∴在和中，，∴，∴，，∵，設(shè)、交于點(diǎn)，則又，∴，∴，，∴，∴，∴，∴．（3）解：由（2）可知，，∴，∵，∴．．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，三角形外角性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積，屬三角形綜合題目，難度適中．2．已知在中，，且=．作，使得．(1)如圖1，若與互余，則=__________(用含的代數(shù)式表示)；(2)如圖2，若與互補(bǔ)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求證：；(3)若由與的面積相等，則與滿足什么關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論數(shù)．【答案】(1)；(2)見解析；(3)與相等或互補(bǔ)【分析】（1）根據(jù)等腰三角形兩底角相等得，根據(jù)與互余得，由即可求出的度數(shù)；（2）作根據(jù)AAS證明≌,則，由等腰三角形三線合一可得，因此，問題得證；（3）由與的面積相等得高相等.情況①：作于,于,根據(jù)可得≌，則可得=；情況②:是鈍角三角形，作于，作垂直于的延長線于，根據(jù)可得≌，則可得，由于與互補(bǔ)，因此與互補(bǔ)．【詳解】（1）解：中，，且=,

．（2）如圖，過點(diǎn)作于E點(diǎn)，中，，，，中，，，,=，

．在和中，,,，∴≌，

∴，

∴．（3）①如圖，作于，于，∵與的面積相等，∴，又∵,∴≌(HL)∴即=

②如圖，作于，作垂直于的延長線于．則．∵，，∴，∵與的面積相等，∴．∴≌．∴．，∴，綜上，與相等或互補(bǔ)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，同底等高的兩個(gè)三角形面積相等，綜合能力較強(qiáng)，有一定難度.熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【類型三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】例題：如圖，在中，平分，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于，交于，交的延長線于．求證：(1)；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)證明，即可得出；（2）過點(diǎn)C作交于點(diǎn)M，由可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，可得，進(jìn)而得出，再根據(jù)據(jù)證明，得出，等量代換即可得到．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）證明：過點(diǎn)C作交于點(diǎn)M，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵E是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊，平行線的性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理、性質(zhì)定理及作出合適的輔助線是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·河北石家莊·八年級(jí)?？计谥校?1)【問題情境】利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分．點(diǎn)A為上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作，垂足為C，延長交于點(diǎn)B，可根據(jù)證明，則，（即點(diǎn)C為的中點(diǎn)）．(2)【類比解答】如圖2，在中，平分，于E，若，，通過上述構(gòu)造全等的辦法，可求得．(3)【拓展延伸】如圖3，中，，，平分，，垂足E在的延長線上，試探究和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(4)【實(shí)際應(yīng)用】如圖4是一塊肥沃的三角形土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進(jìn)行水稻試驗(yàn)，故進(jìn)行如下操作：①用量角器取的角平分線；②過點(diǎn)A作于D．已知，，面積為20，則劃出的的面積是多少？請(qǐng)直接寫出答案．【答案】(1)(2)(3)，證明見解析(4)的面積是【分析】（1）證（），得，即可；（2）延長交于點(diǎn)F，由問題情境可知，，再由等腰三角形的性質(zhì)得，然后由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）拓展延伸延長、交于點(diǎn)F，證（），得，再由問題情境可知，，即可得出結(jié)論；（4）實(shí)際應(yīng)用延長交于E，由問題情境可知，，，則，再由三角形面積關(guān)系得，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴（），∴，，故答案為：；（2）解：如圖2，延長交于點(diǎn)F，由可知，，∴，∵，∴，故答案為：；（3）解：，證明如下：如圖3，延長、交于點(diǎn)F，則，∵，∴，∵，∴，又∵，∴（），∴，由問題情境可知，，∴；（4）解：如圖4，延長交于E，由問題情境可知，，，∴，∵，∴，∴，答：的面積是．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的