《28.4表示一組數(shù)據(jù)波動(dòng)程度的量》講義

《28.4表示一組數(shù)據(jù)波動(dòng)程度的量》講義初中滬教版（上海）九年級(jí)第二學(xué)期第二十八章統(tǒng)計(jì)初步第二節(jié)基本的統(tǒng)計(jì)量之28.4表示一組數(shù)據(jù)波動(dòng)程度的量講義一、知識(shí)簡(jiǎn)介同學(xué)們，今天咱們來學(xué)習(xí)表示一組數(shù)據(jù)波動(dòng)程度的量。在生活中，我們常常會(huì)遇到各種各樣的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)有時(shí)候不是固定不變的，而是會(huì)有波動(dòng)的。那怎么去衡量這種波動(dòng)程度呢？這就需要用到我們今天要學(xué)的知識(shí)啦。1、方差方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量。對(duì)于一組數(shù)據(jù)\（x_1,x_2,＼cdots,x_n\），它們的平均數(shù)是\（＼overline{x}＼），方差的計(jì)算公式就是\（s^2＝＼frac{1}｛n}（x_1＼overline{x}）＾2+（x_2＼overline{x}）＾2+＼cdots+（x_n＼overline{x}）＾2\）。這個(gè)公式看起來有點(diǎn)復(fù)雜，但是咱們一步一步來理解。首先呢，＼（（x_i＼overline{x}）＼）表示的是每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差，這個(gè)差的平方就是為了避免正負(fù)相互抵消，因?yàn)槲覀冎魂P(guān)心數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的距離，不管是比平均數(shù)大還是小。然后把所有這些差的平方加起來，再除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)\（n\），就得到了方差\（s^2\）。方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大；方差越小，說明這組數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，波動(dòng)越小。2、標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差就是方差的算術(shù)平方根，用\（s\）表示，即\（s=＼sqrt{s^2}＼）。標(biāo)準(zhǔn)差的意義和方差是類似的，也是用來衡量數(shù)據(jù)波動(dòng)程度的，只不過標(biāo)準(zhǔn)差的單位和數(shù)據(jù)的單位是一樣的，有時(shí)候在實(shí)際應(yīng)用中更方便理解。二、精講精練例1：有一組數(shù)據(jù)\（3,4,5,6,7\），咱們來求這組數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。1、首先求平均數(shù)\（＼overline{x}＼）＼（＼overline{x}＝（3＋4＋5＋6＋7)＼div5\）＼（＝（7＋11＋7)＼div5\）＼（＝（18＋7)＼div5\）＼（＝25\div5\）＼（＝5\）2、然后求方差\（s^2\）＼（s^2=＼frac{1}｛5}（35)＾2+（45)＾2+（55)＾2+（65)＾2+（75)＾2\）＼（＝＼frac{1}｛5}（－2)＾2+（－1)＾2+0^2+1^2+2^2\）＼（＝＼frac{1}｛5}（4＋1＋0＋1＋4)＼）＼（＝＼frac{1}｛5}＼times10\）＼（＝2\）3、最后求標(biāo)準(zhǔn)差\（s\）＼（s＝＼sqrt{2}＼）同學(xué)們，現(xiàn)在咱們來互動(dòng)一下。誰能告訴我，從這個(gè)方差和標(biāo)準(zhǔn)差能看出這組數(shù)據(jù)有什么特點(diǎn)嗎？（讓學(xué)生回答，然后總結(jié)）對(duì)啦，因?yàn)榉讲頫（2\）不是很大，標(biāo)準(zhǔn)差\（＼sqrt{2}＼）也不是很大，所以這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)不是很大，相對(duì)比較穩(wěn)定。仿真練習(xí)：11、求數(shù)據(jù)\（2,4,6,8,10\）的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。例2：兩組數(shù)據(jù)\（A:1,2,3,4,5\）和\（B:3,3,3,3,3\），比較它們的方差大小。1、先求數(shù)據(jù)\（A\）的平均數(shù)\（＼overline{x_A}＼）＼（＼overline{x_A}＝（1＋2＋3＋4＋5)＼div5\）＼（＝（3＋7＋5)＼div5\）＼（＝（10＋5)＼div5\）＼（＝15\div5\）＼（＝3\）2、求數(shù)據(jù)\（A\）的方差\（s_A^2\）＼（s_A^2=＼frac{1}｛5}（13)＾2+（23)＾2+（33)＾2+（43)＾2+（53)＾2\）＼（＝＼frac{1}｛5}（－2)＾2+（－1)＾2+0^2+1^2+2^2\）＼（＝＼frac{1}｛5}（4＋1＋0＋1＋4)＼）＼（＝＼frac{1}｛5}＼times10\）＼（＝2\）3、數(shù)據(jù)\（B\）的平均數(shù)\（＼overline{x_B}＝3\）4、求數(shù)據(jù)\（B\）的方差\（s_B^2\）＼（s_B^2=＼frac{1}｛5}（33)＾2+（33)＾2+（33)＾2+（33)＾2+（33)＾2\）＼（＝＼frac{1}｛5}（0＋0＋0＋0＋0)＼）＼（＝0\）所以\（s_A^2>s_B^2\），這說明數(shù)據(jù)\（A\）的波動(dòng)比數(shù)據(jù)\（B\）的波動(dòng)大，數(shù)據(jù)\（B\）是一組常數(shù)，沒有波動(dòng)，所以方差為\（0\）。同學(xué)們，那你們想想，如果一組數(shù)據(jù)的方差為\（0\），這組數(shù)據(jù)有什么特點(diǎn)呢？（引導(dǎo)學(xué)生回答）對(duì)，這組數(shù)據(jù)都是一樣的。仿真練習(xí)：21、比較數(shù)據(jù)\（C:2,2,3,3,4,4\）和\（D:1,1,5,5,5,5\）的方差大小。三、課后作業(yè)1、求數(shù)據(jù)\（1,3,5,7,9\）的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。2、有兩組數(shù)據(jù)\（E:4,4,4,4,4\）和\（F:1,3,5,7,9\），比較它們的方差大小，并說明哪組數(shù)據(jù)波動(dòng)更大。參考答案仿真練習(xí)：11、平均數(shù)\（＼overline{x}＝（2＋4＋6＋8＋10)＼div5＝6\）方差\（s^2=＼frac{1}｛5}（26)＾2+（46)＾2+（66)＾2+（86)＾2+（106)＾2\）＼（＝＼frac{1}｛5}（－4)＾2+（－2)＾2+0^2+2^2+4^2\）＼（＝＼frac{1}｛5}（16＋4＋0＋4＋16)＼）＼（＝＼frac{1}｛5}＼times40＝8\）標(biāo)準(zhǔn)差\（s=＼sqrt{8}＝2\sqrt{2}＼）21、先求數(shù)據(jù)\（C\）的平均數(shù)\（＼overline{x_C}＝（2＋2＋3＋3＋4＋4)＼div6＝3\）方差\（s_C^2=＼frac{1}｛6}（23)＾2+（23)＾2+（33)＾2+（33)＾2+（43)＾2+（43)＾2\）＼（＝＼frac{1}｛6}（－1)＾2+（－1)＾2+0^2+0^2+1^2+1^2\）＼（＝＼frac{1}｛6}（1＋1＋0＋0＋1＋1)＼）＼（＝＼frac{1}｛6}＼times4=＼frac{2}｛3}＼）再求數(shù)據(jù)\（D\）的平均數(shù)\（＼overline{x_D}＝（1＋1＋5＋5＋5＋5)＼div6＝4\）方差\（s_D^2=＼frac{1}｛6}（14)＾2+（14)＾2+（54)＾2+（54)＾2+（54)＾2+（54)＾2\）＼（＝＼frac{1}｛6}（－3)＾2+（－3)＾2+1^2+1^2+1^2+1^2\）＼（＝＼frac{1}｛6}（9＋9＋1＋1＋1＋1)＼）＼（＝＼frac{1}｛6}＼times22=＼frac{11}｛3}＼）因?yàn)閈（＼frac{2}｛3}＜＼frac{11}｛3}＼），所以\（s_C^2<s_D^2\），數(shù)據(jù)\（D\）的波動(dòng)更大。課后作業(yè)：1、平均數(shù)\（＼overline{x}＝（1＋3＋5＋7＋9)＼div5＝5\）方差\（s^2=＼frac{1}｛5}（15)＾2+（35)＾2+（55)＾2+（75)＾2+（95)＾2\）＼（＝＼frac{1}｛5}（－4)＾2+（－2)＾2+0^2+2^2+4^2\）＼（＝＼frac{1}｛5}（16＋4＋0＋4＋16)＼）＼（＝＼fr