《4.1直線與圓錐曲線的交點》知識清單

《4.1直線與圓錐曲線的交點》知識清單直線與圓錐曲線的交點知識清單一、直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷1、**聯(lián)立方程法**-把直線方程y=kx+b（如果直線斜率存在）或者x=m（直線斜率不存在）代入圓錐曲線方程（比如橢圓方程\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1，雙曲線方程\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1，拋物線方程y^{2}=2px等）。-得到一個關(guān)于x或者y的一元二次方程，形式大概是Ax^{2}+Bx+C=0或者Ay^{2}+By+C=0。-然后根據(jù)判別式\Delta=B^{2}-4AC來判斷位置關(guān)系：-當(dāng)\Delta>0時，直線與圓錐曲線有兩個不同的交點，意味著直線與圓錐曲線相交。-當(dāng)\Delta=0時，直線與圓錐曲線有且僅有一個交點，此時直線與圓錐曲線相切。-當(dāng)\Delta<0時，直線與圓錐曲線沒有交點，也就是直線與圓錐曲線相離。2、**特殊情況的快速判斷（以橢圓為例）**-對于橢圓，如果直線過橢圓的中心（原點），那么直線一定與橢圓相交，因為橢圓是中心對稱圖形。-對于雙曲線，漸近線是很特殊的情況。如果直線與雙曲線的漸近線平行，那么直線與雙曲線只有一個交點，但此時直線與雙曲線是相交關(guān)系（不是相切哦）。-對于拋物線，平行于對稱軸的直線與拋物線只有一個交點，這也是相交關(guān)系。二、求直線與圓錐曲線的交點坐標(biāo)1、**常規(guī)方法**-按照前面判斷位置關(guān)系時聯(lián)立直線和圓錐曲線方程得到一元二次方程。-利用求根公式求出方程的根。比如對于一元二次方程Ax^{2}+Bx+C=0，其根為x=\frac{-B\pm\sqrt{B^{2}-4AC}}{2A}。-將求出的x的值代入直線方程y=kx+b，就可以求出對應(yīng)的y值，這樣就得到了交點坐標(biāo)。2、**利用韋達(dá)定理簡化計算（當(dāng)求交點坐標(biāo)相關(guān)的量時）**-當(dāng)聯(lián)立直線和圓錐曲線方程得到一元二次方程Ax^{2}+Bx+C=0后，韋達(dá)定理告訴我們兩根之和x_{1}+x_{2}=-\frac{B}{A}，兩根之積x_{1}x_{2}=\frac{C}{A}。-在一些題目中，比如求弦長或者與交點坐標(biāo)有關(guān)的式子的值時，利用韋達(dá)定理可以避免求出具體的交點坐標(biāo)，從而簡化計算。三、弦長公式1、**直線斜率存在時**-設(shè)直線y=kx+b與圓錐曲線相交于兩點A(x_{1},y_{1})，B(x_{2},y_{2})。-弦長|AB|=\sqrt{1+k^{2}}\cdot\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}}=\sqrt{1+k^{2}}\cdot\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}，這里面就用到了韋達(dá)定理哦。2、**直線斜率不存在時**-當(dāng)直線方程為x=m時，與圓錐曲線相交的兩點縱坐標(biāo)設(shè)為y_{1}和y_{2}。-弦長就是|y_{1}-y_{2}|。四、習(xí)題1、已知直線y=2x+1與橢圓\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1，判斷它們的位置關(guān)系，并求出交點坐標(biāo)（如果有）。-解：將直線方程y=2x+1代入橢圓方程\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1，得到\frac{x^{2}}{4}+\frac{(2x+1)^{2}}{3}=1，整理得19x^{2}+16x-8=0。這里A=19，B=16，C=-8，判別式\Delta=16^{2}-4\times19\times(-8)=256+608=864>0，所以直線與橢圓相交。-由求根公式x=\frac{-16\pm\sqrt{864}}{2\times19}=\frac{-16\pm12\sqrt{6}}{38}=\frac{-8\pm6\sqrt{6}}{19}。-當(dāng)x=\frac{-8+6\sqrt{6}}{19}時，y=2\times\frac{-8+6\sqrt{6}}{19}+1=\frac{-16+12\sqrt{6}}{19}+1=\frac{3+12\sqrt{6}}{19}；當(dāng)x=\frac{-8-6\sqrt{6}}{19}時，y=2\times\frac{-8-6\sqrt{6}}{19}+1=\frac{-16-12\sqrt{6}}{19}+1=\frac{3-12\sqrt{6}}{19}。所以交點坐標(biāo)為(\frac{-8+6\sqrt{6}}{19},\frac{3+12\sqrt{6}}{19})和(\frac{-8-6\sqrt{6}}{19},\frac{3-12\sqrt{6}}{19})。2、已知直線x=3與拋物線y^{2}=6x，求弦長。-解：把x=3代入y^{2}=6x得y^{2}=18，y=\pm3\sqrt{2}。所以弦長為|3\sqrt{2}-(-3\sqrt{2})|=6\sqrt{2}。答案：1、直線與橢圓相交，交點坐標(biāo)為(\frac{-8