《2.2用函數(shù)模型解決實際問題》導學案

《2.2用函數(shù)模型解決實際問題》導學案標題：高中北師大版必修1第四章函數(shù)應用§2實際問題的函數(shù)建模2.2用函數(shù)模型解決實際問題導學案班級：________________姓名：________________【學習目標】1、能識別實際問題中的函數(shù)關系，理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關系和規(guī)律的重要數(shù)學語言和工具。2、學會根據(jù)實際問題建立函數(shù)模型，提高運用函數(shù)知識解決實際問題的能力。【重點和難點】重點：根據(jù)實際問題建立合適的函數(shù)模型。難點：如何從實際問題中抽象出函數(shù)關系，準確地確定函數(shù)的定義域?！緞?chuàng)設情境】同學們，咱們先來看個好玩的事兒。假如你去買水果，蘋果是按斤賣的，每斤價格是固定的，那你買蘋果花的錢和你買的斤數(shù)之間有啥關系呢？這就是一種簡單的函數(shù)關系。那在生活中還有好多這樣的事兒呢。比如說出租車計費，有個起步價，然后超出一定里程后又按每公里多少錢來算，這里面也有函數(shù)關系?，F(xiàn)在我們就來深入研究一下生活中的這些函數(shù)關系在實際問題中的建模吧。【合作探究】活動一：閱讀與思考大家先閱讀課本上的一些實際問題案例，比如說人口增長問題、物體冷卻問題等。在閱讀的時候，要思考這些問題里有哪些變量，這些變量之間可能存在什么樣的函數(shù)關系呢？比如說人口增長問題里，時間和人口數(shù)量是變量，那人口數(shù)量是不是隨著時間的變化按照某種規(guī)律在增長呢？這個規(guī)律可能是一個函數(shù)哦。讀完之后呢，和你周圍的小伙伴討論一下。提示：注意看問題里有沒有一些固定不變的量（常量），還有變量是怎么隨著其他因素變化的?；顒佣航⒑瘮?shù)模型咱們就拿課本上的一個例子來說，有一個工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的成本是固定的，還有一些固定的設備維護費用等等。如果生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量是x，總成本是y，那怎么建立y和x之間的函數(shù)關系呢？大家一起討論一下，試著寫出這個函數(shù)關系式。歸納：建立函數(shù)模型的時候，首先要確定問題中的變量和常量，然后根據(jù)變量之間的關系，選擇合適的函數(shù)類型（比如一次函數(shù)、二次函數(shù)等），最后確定函數(shù)的表達式?！镜湫屠}】例1：某公司生產(chǎn)一種電子產(chǎn)品，已知每月的固定成本為20萬元，每生產(chǎn)一個產(chǎn)品的變動成本為100元，產(chǎn)品售價為200元。設每月生產(chǎn)x個產(chǎn)品，利潤為y元。（1）寫出利潤y與產(chǎn)量x之間的函數(shù)關系式。（2）當月產(chǎn)量為多少時，公司不盈不虧（利潤為0）？解：（1）總成本為固定成本加上變動成本，即200000+100x元，銷售收入為200x元。利潤等于銷售收入減去總成本，所以函數(shù)關系式為：y=200x-(200000+100x)=100x-200000（2）當利潤為0時，即100x-200000=0移項可得100x=200000解得x=2000所以當月產(chǎn)量為2000個時，公司不盈不虧。例2：有一個物體在常溫下的溫度是20°C，把它放在一個溫度為100°C的環(huán)境中，物體的溫度會升高。經(jīng)過實驗發(fā)現(xiàn)，物體的溫度y（°C）與時間t（分鐘）之間近似滿足一次函數(shù)關系，經(jīng)過10分鐘后，物體溫度為30°C。（1）求物體溫度y與時間t之間的函數(shù)關系式。（2）經(jīng)過多少分鐘后，物體溫度能達到50°C？解：（1）設函數(shù)關系式為y=kt+b，因為物體初始溫度為20°C，所以當t=0時，y=20，即b=20。又因為經(jīng)過10分鐘后，物體溫度為30°C，所以把t=10，y=30代入函數(shù)關系式得：30=10k+20移項可得10k=10解得k=1所以函數(shù)關系式為y=t+20。（2）當y=50時，即50=t+20移項可得t=30所以經(jīng)過30分鐘后，物體溫度能達到50°C。練習：課本相關習題?！井斕梅答仭?、某商店出售一種商品，每件成本為30元，根據(jù)市場調查，當售價為每件50元時，每月能售出200件。若售價每提高1元，每月銷售量就減少10件。設每件商品的售價為x元（x≥50），每月的銷售量為y件。（1）寫出y與x之間的函數(shù)關系式：____________。（2）每月的利潤為w元，寫出w與x之間的函數(shù)關系式：____________。2、某放射性物質不斷衰變?yōu)槠渌镔|，每經(jīng)過一年剩留的這種物質是原來的84%。設這種物質最初的質量為1千克。（1）寫出經(jīng)過x年后，這種物質的剩留量y與x之間的函數(shù)關系式：____________。（2）經(jīng)過多少年，這種物質的剩留量是原來的一半（結果保留整數(shù)）：____________。答案：1、（1）y=200-10(x-50)=-10x+700（2）w=(x-30)(-10x+700)=-10x2+1000x-210002、（1）y=1×0.84^x（2）由0.5=0.84^x，兩邊取對數(shù)可得x=log?.??0.5≈4（這里取近似值，具體計算根據(jù)對數(shù)表或者計算器）【課堂小結】今天我們學習了用函數(shù)模型解決實際問題。首先要善于從實際問題中找出變量和常量，然后根據(jù)變量之間的關系選擇合適的函數(shù)類型建立函數(shù)模型。在這個過程中，要注意函數(shù)的定義域，也就是變量的取值范圍，這要根據(jù)實際問題的意義來確定。【課后作業(yè)】1、某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為200萬元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加1萬元。又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù)，并且K(Q)=4Q-\frac{1}{200}Q2。那么總利潤L(Q)的最大值是多少萬元？2、拓展提升：（1）在例1中，如果考慮市場需求，產(chǎn)品的產(chǎn)量x不能超過3000個，那么公司的最大利潤是多少？（2）有一種傳染病，傳播速度很快。假設最初有1個人患病，每輪傳染中平均一個人傳染給x個人。經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患病，求x的值。答案：1、總利潤L(Q)=K(Q)-(200+Q)=4Q-\frac{1}{200}Q2-200-Q=-\frac{1}{200}Q2+3Q-200。對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（這里a=-\frac{1}{200}，b=3，c=-200），當Q=-\frac{2a}=-\frac{3}{2×(-\frac{1}{200})}=300時，利潤最大，最大值為L(300)=-\frac{1}{200}×3002+3×300-200=250萬元。2、（1）利潤函數(shù)為y=100x-200000（x≤3000），當x=3000時，最大利潤為y=