河南省許平汝名校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第二次月考（10月）數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024-2025年度河南省高二年級第二次月考數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版選擇性必修第一冊第一章至第三章第1節(jié).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.圓與的位置關(guān)系為（）A.相交 B.相離 C.外切 D.內(nèi)切2.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.3.已知直線與垂直，則（）A.0 B.1 C.2 D.4.設(shè)雙曲線，的離心率分別為，.若，則（）A. B.2 C.4 D.85.已知橢圓C上任意一點(diǎn)都滿足關(guān)系式，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.6.已知F為雙曲線的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作C的一條漸近線的垂線，垂足為E，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為1，則C的焦距的最小值為（）A.1 B.2 C.4 D.7.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)F的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則C的方程為（）A. B. C. D.8.設(shè)有一組圓，若圓上恰有兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，則k的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，已知直三棱柱，，，F(xiàn)是棱的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.10.已知直線和曲線相交于A，B兩點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.曲線C的長度為 B.C. D.若，則11.已知F是拋物線的焦點(diǎn)，l是C的準(zhǔn)線，N是C上一點(diǎn)且位于第一象限，直線FN與圓相切于點(diǎn)E，過點(diǎn)N作l的垂線，垂足為P，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則或B.若，則的面積為或C.的周長的最小值為4D.若為等邊三角形，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.直線的傾斜角的取值范圍是________.13.若點(diǎn)M在z軸上，且到點(diǎn)與點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為________.14.若過圓外一點(diǎn)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，且，則________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）已知點(diǎn)，，，且四邊形ABCD是平行四邊形.（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求平行四邊形ABCD的面積.16.（15分）已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，，與在第一象限的交點(diǎn)為P，且，，.（1）求與的方程；（2）記的上頂點(diǎn)為A，的左頂點(diǎn)為B，直線AB與的另一個(gè)交點(diǎn)為D，求.17.（15分）已知圓與圓相交于P，Q兩點(diǎn)，直線PQ的方程為.（1）若圓的圓心在圓外，求圓的半徑的取值范圍；（2）若，B是圓上的動(dòng)點(diǎn)，且的面積的最大值為5，求圓的方程.18.（17分）已知是雙曲線的一條漸近線，點(diǎn)在C上.（1）求C的方程.（2）已知直線l的斜率存在且不經(jīng)過原點(diǎn)，l與C交于A，B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)在直線上.（i）證明：l的斜率為定值.（ii）若，的面積為，求l的方程.19.（17分）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓.后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標(biāo)系中，，，動(dòng)點(diǎn)Q滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的軌跡方程；（2）若直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求；（3）若曲線C與x軸的交點(diǎn)為E，F(xiàn)，直線與曲線C交于G，H兩點(diǎn)，直線EG與直線FH交于點(diǎn)D，證明：點(diǎn)D在定直線上.

2024-2025年度河南省高二年級第二次月考數(shù)學(xué)參考答案1.D圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑.這兩圓圓心之間的距離為1，且，所以圓與圓內(nèi)切.2.D拋物線的準(zhǔn)線方程為.3.C因?yàn)?，所?4.B，，因?yàn)椋?，解?5.C由題設(shè)可知，橢圓C的焦點(diǎn)為，橢圓C上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.6.C因?yàn)?，，，所?C的焦距為4，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.7.A設(shè)，，則，.由得，所以.因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以，，所以C的方程為.8.B圓，其圓心為，半徑為k.因?yàn)閳A上恰有兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，所以圓與圓有兩個(gè)交點(diǎn).因?yàn)閳A心距為，所以，解得.9.AD由題意可得，，，，，A，D正確，B，C錯(cuò)誤.10.CD由，得.因?yàn)?，所以曲線C表示以為圓心，半徑的半圓，則其周長為，A錯(cuò)誤.當(dāng)直線l與曲線C相切時(shí)，圓心C到直線l的距離，解得（舍去）.當(dāng)直線l過點(diǎn)時(shí)，直線l和曲線C有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，解得.當(dāng)直線l和曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，B錯(cuò)誤.，，則，C正確.線段AB的中垂線的方程為，點(diǎn)D在直線上，D正確.11.ABD記l與x軸的交點(diǎn)為M，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，，則，，.易知，，則，，，.若，則或，或，或，A，B正確.的周長為.令，因?yàn)?，所以，，C錯(cuò)誤.若為等邊三角形，則，因?yàn)椋?，D正確.12.因?yàn)橹本€l的斜率，所以，則.13.設(shè)，則，解得，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為.14.2或4如圖，記圓C的圓心為C，AB與PC交于點(diǎn)D.由題意可得，，，，.，所以，即，解得或16，即或4，經(jīng)檢驗(yàn)，都滿足題意.15.解：（1）由題意得直線AB的方程為，直線BC的方程為.因?yàn)橹本€CD與直線AB平行，且過點(diǎn)，所以直線CD的方程為，因?yàn)橹本€AD與直線BC平行，且過點(diǎn)，所以直線AD的方程為聯(lián)立解得即點(diǎn)D的坐標(biāo)為.（2）因?yàn)椋渣c(diǎn)到直線AB的距離.故平行四邊形ABCD的面積.16.解：（1）因?yàn)?，，，所以，記，，則.由橢圓的定義可得，，，.由雙曲線的定義可得，，，.所以的方程為，的方程為.（2）由題意得，，則直線AB的方程為.設(shè)，聯(lián)立得，所以..17.解：（1）由，得，所以圓的半徑，圓心為，且圓心在直線PQ上.因?yàn)閳A的圓心在圓外，所以，圓的半徑為.故圓的半徑的取值范圍為.（2）設(shè)圓的圓心為，由題意可得，所以，即①.設(shè)圓的半徑為，當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值，最大值為，解得，所以②.由①②得或所以圓的方程為或.18.（1）解：因?yàn)槭请p曲線的一條漸近線，所以.因?yàn)辄c(diǎn)在C上，所以，解得，，即C的方程為.（2）（i）證明：設(shè)，由得，由題意得，.設(shè)，，AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則所以，.因?yàn)锳B的中點(diǎn)在直線上，所以，即，因?yàn)椋?（ii）解：，點(diǎn)M到l的距離