河南省許平汝名校2024-2025學年高二上學期第二次月考（10月）數學試題（含解析）

2024-2025年度河南省高二年級第二次月考數學注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：北師大版選擇性必修第一冊第一章至第三章第1節(jié).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.圓與的位置關系為（）A.相交 B.相離 C.外切 D.內切2.拋物線的準線方程為（）A. B. C. D.3.已知直線與垂直，則（）A.0 B.1 C.2 D.4.設雙曲線，的離心率分別為，.若，則（）A. B.2 C.4 D.85.已知橢圓C上任意一點都滿足關系式，則橢圓C的標準方程為（）A. B. C. D.6.已知F為雙曲線的右焦點，過點F作C的一條漸近線的垂線，垂足為E，O為坐標原點，若的面積為1，則C的焦距的最小值為（）A.1 B.2 C.4 D.7.已知橢圓的右焦點為，過點F的直線交橢圓C于A，B兩點，若AB的中點坐標為，則C的方程為（）A. B. C. D.8.設有一組圓，若圓上恰有兩點到原點的距離為1，則k的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖，在空間直角坐標系中，已知直三棱柱，，，F是棱的中點，則（）A. B. C. D.10.已知直線和曲線相交于A，B兩點，下列結論正確的是（）A.曲線C的長度為 B.C. D.若，則11.已知F是拋物線的焦點，l是C的準線，N是C上一點且位于第一象限，直線FN與圓相切于點E，過點N作l的垂線，垂足為P，則下列結論正確的是（）A.若，則或B.若，則的面積為或C.的周長的最小值為4D.若為等邊三角形，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.直線的傾斜角的取值范圍是________.13.若點M在z軸上，且到點與點的距離相等，則點M的坐標為________.14.若過圓外一點作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，且，則________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）已知點，，，且四邊形ABCD是平行四邊形.（1）求點D的坐標；（2）求平行四邊形ABCD的面積.16.（15分）已知橢圓與雙曲線有公共焦點，，與在第一象限的交點為P，且，，.（1）求與的方程；（2）記的上頂點為A，的左頂點為B，直線AB與的另一個交點為D，求.17.（15分）已知圓與圓相交于P，Q兩點，直線PQ的方程為.（1）若圓的圓心在圓外，求圓的半徑的取值范圍；（2）若，B是圓上的動點，且的面積的最大值為5，求圓的方程.18.（17分）已知是雙曲線的一條漸近線，點在C上.（1）求C的方程.（2）已知直線l的斜率存在且不經過原點，l與C交于A，B兩點，AB的中點在直線上.（i）證明：l的斜率為定值.（ii）若，的面積為，求l的方程.19.（17分）古希臘數學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數且的點的軌跡是圓.后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標系中，，，動點Q滿足，設動點Q的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的軌跡方程；（2）若直線與曲線C交于A，B兩點，求；（3）若曲線C與x軸的交點為E，F，直線與曲線C交于G，H兩點，直線EG與直線FH交于點D，證明：點D在定直線上.

2024-2025年度河南省高二年級第二次月考數學參考答案1.D圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑.這兩圓圓心之間的距離為1，且，所以圓與圓內切.2.D拋物線的準線方程為.3.C因為，所以.4.B，，因為，所以，解得.5.C由題設可知，橢圓C的焦點為，橢圓C上任意一點到兩個焦點的距離之和為，故橢圓C的標準方程為.6.C因為，，，所以.C的焦距為4，當且僅當時，等號成立.7.A設，，則，.由得，所以.因為，所以.又因為，所以，，所以C的方程為.8.B圓，其圓心為，半徑為k.因為圓上恰有兩點到原點的距離為1，所以圓與圓有兩個交點.因為圓心距為，所以，解得.9.AD由題意可得，，，，，A，D正確，B，C錯誤.10.CD由，得.因為，所以曲線C表示以為圓心，半徑的半圓，則其周長為，A錯誤.當直線l與曲線C相切時，圓心C到直線l的距離，解得（舍去）.當直線l過點時，直線l和曲線C有2個交點，此時，解得.當直線l和曲線C有兩個交點時，，B錯誤.，，則，C正確.線段AB的中垂線的方程為，點D在直線上，D正確.11.ABD記l與x軸的交點為M，坐標原點為O，，則，，.易知，，則，，，.若，則或，或，或，A，B正確.的周長為.令，因為，所以，，C錯誤.若為等邊三角形，則，因為，所以，D正確.12.因為直線l的斜率，所以，則.13.設，則，解得，所以點M的坐標為.14.2或4如圖，記圓C的圓心為C，AB與PC交于點D.由題意可得，，，，.，所以，即，解得或16，即或4，經檢驗，都滿足題意.15.解：（1）由題意得直線AB的方程為，直線BC的方程為.因為直線CD與直線AB平行，且過點，所以直線CD的方程為，因為直線AD與直線BC平行，且過點，所以直線AD的方程為聯立解得即點D的坐標為.（2）因為，所以點到直線AB的距離.故平行四邊形ABCD的面積.16.解：（1）因為，，，所以，記，，則.由橢圓的定義可得，，，.由雙曲線的定義可得，，，.所以的方程為，的方程為.（2）由題意得，，則直線AB的方程為.設，聯立得，所以..17.解：（1）由，得，所以圓的半徑，圓心為，且圓心在直線PQ上.因為圓的圓心在圓外，所以，圓的半徑為.故圓的半徑的取值范圍為.（2）設圓的圓心為，由題意可得，所以，即①.設圓的半徑為，當時，的面積取得最大值，最大值為，解得，所以②.由①②得或所以圓的方程為或.18.（1）解：因為是雙曲線的一條漸近線，所以.因為點在C上，所以，解得，，即C的方程為.（2）（i）證明：設，由得，由題意得，.設，，AB中點的坐標為，則所以，.因為AB的中點在直線上，所以，即，因為，所以.（ii）解：，點M到l的距離