廣東省部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期10月份聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

2025屆高三年級(jí)10月份聯(lián)考數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，19題。全卷滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．已知，則（）A． B． C． D．3．已知，則（）A． B． C． D．4．已知，則（）A． B． C． D．5．在中，為邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，為線段（含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，若，則（）A． B． C． D．6．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A．243 B．244 C．81 D．827．在四面體中，，且四面體的各個(gè)頂點(diǎn)均在球的表面上，則球的體積為（）A． B． C． D．8．設(shè)曲線，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線分別交直線和于點(diǎn)，若，則的斜率可以為（）A． B． C．2 D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知曲線，則（）A．的焦點(diǎn)在軸上 B．的短半軸長為2C．的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為 D．的離心率為10．已知正數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．11．已知定義在上且不恒為0的函數(shù)對(duì)任意，有，且的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，則（）A．的圖象存在對(duì)稱軸 B．的圖象有且僅有一個(gè)對(duì)稱中心C．是單調(diào)函數(shù) D．為一次函數(shù)且表達(dá)式不唯一三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．樣本數(shù)據(jù)的極差和第75百分位數(shù)分別為______．13．已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，則最小正周期的最小值為______．14．已知數(shù)列中，，則______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟。15．（本小題滿分13分）仙人掌別名老鴉舌，神仙掌，這一獨(dú)特的仙人掌科草本植物，以其頑強(qiáng)的生命力和獨(dú)特的形態(tài)在自然界中獨(dú)樹一幟，以其形似并攏手指的手掌，且?guī)в写痰奶卣鞫妹扇苏撇粌H具有極高的觀賞價(jià)值，還具有一定的藥用價(jià)值，被譽(yù)為“夜間氧吧”，其根莖深入土壤或者干燥的黃土中使其能夠吸收足夠多的水分進(jìn)行儲(chǔ)藏來提高生存能力，我國某農(nóng)業(yè)大學(xué)植物研究所相關(guān)人員為了解仙人掌的植株高度y（單位：cm），與其根莖長度x（單位：cm）之間是否存在線性相關(guān)的關(guān)系，通過采樣和數(shù)據(jù)記錄得到如下數(shù)據(jù)：樣本編號(hào)1234根莖長度10121416植株高度6286112132參考數(shù)據(jù)：．（1）由上表數(shù)據(jù)計(jì)算相關(guān)系數(shù)，并說明是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系（若，則可用線性回歸模型擬合，計(jì)算結(jié)果精確到0.001）；（2）求關(guān)于的線性回歸方程。附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式，相關(guān)系數(shù)的公式分別為．16．（本小題滿分15分）已知中，角的對(duì)邊分別為，且．（1）求；（2）若，求面積的最大值．17．（本小題滿分15分）如圖，五面體中，底面四邊形為邊長為4的正方形，．（1）證明：；（2）已知為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面上的投影恰為線段的中點(diǎn)，直線與平面所成角的正切值為，求直線與平面所成角的正弦值．18．（本小題滿分17分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．19．（本小題滿分17分）現(xiàn)定義：若對(duì)于集合滿足：對(duì)任意，都有，則稱是可分比集合．（1）證明：是可分比集合；（2）設(shè)集合均為可分比集合，且，求正整數(shù)的最大值；（3）探究是否存在正整數(shù)，對(duì)于任意正整數(shù)，均存在可分比集合，使得．若存在，求的最小值；若不存在，說明理由．

2025屆高三年級(jí)10月份聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案及解析一、選擇題1．D【解析】由題意可知，故．故選D．2．A【解析】因?yàn)?，故，故．故選A．3．D【解析】由，故．故選D．4．C【解析】因?yàn)?，所以，所以，故，解得．故選C．5．B【解析】當(dāng)不重合時(shí)，，即，當(dāng)重合時(shí)，，故，只有B始終成立．故選B．6．B【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)可得，設(shè)的公比為，則，故．故選B．7．C【解析】如圖，取的中點(diǎn)為，則，連接，則，因?yàn)?，所以，所以，又，且平面平面，所以平面，又為直角三角形的外心，所以球心在上，設(shè)球的半徑為，則在中，，即，解得，所以球的體積為．故選C．8．D【解析】因?yàn)榍€，所以是雙曲線的右支，其焦點(diǎn)為，漸近線為．由題意，設(shè)，且（故A選項(xiàng)可排除），聯(lián)立得，所以的斜率為，．因?yàn)?，所以，解得．故選D．二、選擇題9．BCD【解析】設(shè)橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距為，由題意可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故A錯(cuò)誤；且，故其右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故B，C正確；橢圓的離心率，故D正確．故選BCD．10．AC【解析】由題意可得，令函數(shù)，易知在上單調(diào)遞增，由可得，即可得；因此，故，故A正確；取，則，則，故B、D錯(cuò)誤；因?yàn)?，由指?shù)函數(shù)單調(diào)性可知，故C正確。故選AC．11．AC【解析】若時(shí)，，則令時(shí)，有，同理，令有，兩式相減可得，故，這與假設(shè)矛盾，故若時(shí)，必有，即是單調(diào)函數(shù)，C正確；用替換，則等價(jià)于，互換后上式等價(jià)于，則，令，分別有和，兩式相減則可得，即，設(shè)，，則，代入原條件解得，故，解得，即存在唯一表達(dá)式，D錯(cuò)誤；由表達(dá)式可知存在無數(shù)條對(duì)稱軸，且有無數(shù)個(gè)對(duì)稱中心，A正確，B錯(cuò)誤．故選AC．三、填空題12．18，83.5（填對(duì)一個(gè)給3分，兩個(gè)均正確給5分，順序填錯(cuò)不得分）【解析】將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：72，74，77，79，80，82，85，90，共8個(gè)，極差為，因?yàn)椋赃@組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為．故答案為．13．【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，因?yàn)樵趨^(qū)間上只有1個(gè)零點(diǎn)，故，解得，故最小正周期的最小值為，故答案為．14．1024【解析】由題意得．故，且經(jīng)檢驗(yàn)滿足該通項(xiàng)公式，故．故答案為1024。四、解答題15．解：（1）易得，，故．則，故可用線性回歸模型模擬．（2），，故線性回歸方程為．16．解：（1）由正弦定理及倍角公式得，得，即，故．（2）由余弦定理可得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的面積．故面積的最大值為．17．證明：（1）因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，又平面平面，所以平面，又平面平面平面，所以．?）記的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)為，連接，則有平面，又平面，所以，故兩兩相互垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)橹本€與平面所成的角為，，所以，得，由題意得，，，所以．設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即令，則，故．設(shè)直線與平面所成的角為，則．18．解：（1）時(shí)，此時(shí)，，令，解得，（1分）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故有唯一極小值點(diǎn)即為最小值點(diǎn)．則．（2）解法一：令，則，①當(dāng)時(shí)，，則，②當(dāng)時(shí)，，③當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即為的一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，共有2個(gè)零點(diǎn)．解法二：令，則或，即或，因?yàn)闀r(shí)，，故，故有兩個(gè)零點(diǎn)。（3）時(shí)，等號(hào)兩邊成立，滿足題意，令①當(dāng)時(shí)，，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，，則必然存在使得，即在上單調(diào)遞減，而，則在上為負(fù)，不符合題意；④當(dāng)時(shí)，，不符合題意；⑤當(dāng)時(shí)，首先應(yīng)當(dāng)滿足，即，令，則在該定義域內(nèi)恒成立，即單調(diào)遞增，又注意到，至此，我們得到了滿足題意的一個(gè)必要條件．下面我們證明其充分性：記，即對(duì)于一個(gè)給定的單調(diào)遞增，從而證明的情形即可，此時(shí)，令，，解得，得到在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，又可知為的極小值點(diǎn)，又可知對(duì)任意恒成立，充分性證畢，綜上所述，的取值范圍是．19．解：（1）當(dāng)分子比分母小時(shí)，比值小于1，顯然不在區(qū)間內(nèi)，當(dāng)分子比分母大時(shí)，由于，，故是可