滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第15章軸對(duì)稱圖形與等腰三角形15-3等腰三角形第1課時(shí)等腰三角形的性質(zhì)定理及其推論課件

第15章軸對(duì)稱圖形與等腰三角形15.3等腰三角形第1課時(shí)等腰三角形的性質(zhì)定理及其推論知識(shí)點(diǎn)1等腰三角形的性質(zhì)定理1基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.(2024廣東惠州期末)如圖,若AB=AC,BD=CD,∠B=20°,∠

BDC=120°,則∠A等于()A.70°

B.80°

C.90°

D.100°B解析如圖,連接BC,∵BD=CD,∠BDC=120°,∴∠DBC=∠

DCB=30°.∵∠ABD=20°,∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=50°.∵

AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=50°,∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-50°=80°,故選B.2.(2024河北張家口宣化期末)如圖,在△ABC中,AB=AC,以點(diǎn)

C為圓心,CB長(zhǎng)為半徑作圓弧,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,連接BD,

若∠A=32°,則∠CDB的大小為

()A.30°

B.45°

C.50°

D.37°D解析∵AB=AC,∠A=32°,∴∠ACB=∠ABC=

=74°.又∵BC=DC,∴∠CDB=∠CBD=

∠ACB=37°.3.(2024安徽六安金安校級(jí)期末)如圖,△ABC中,AB=AC,AD=

DE,∠BAD=24°,∠EDC=12°,則∠DAE的度數(shù)為

()A.58°

B.60°

C.62°

D.64°B解析∵AB=AC,AD=DE,∴∠B=∠C,∠DAE=∠DEA.∵∠

ADC=∠BAD+∠B,∠DEA=∠C+∠EDC,∴∠ADE=∠ADC-

∠EDC=∠B+24°-12°=∠B+12°,∠DAE=∠DEA=∠B+12°,∴∠DAE=∠DEA=∠ADE,∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°,∴

∠DAE=

×180°=60°.4.(2024湖北咸寧通山期末)如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在

BC上,點(diǎn)E在AC上,且AE=AD,若∠BAD=48°,則∠EDC的度數(shù)

為

()A.24°

B.28°

C.30°

D.38°A解析由題圖易得∠AED=∠EDC+∠C,∠ADC=∠B+∠

BAD,∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴

∠B+∠BAD=∠EDC+∠C+∠EDC,即∠BAD=2∠EDC.∵∠

BAD=48°,∴∠EDC=24°.5.(情境題·數(shù)學(xué)文化)“三等分角”是古希臘三大幾何問題

之一.如圖,這個(gè)“三等分角儀”由兩根有槽的棒OA,OB組

成,兩根棒在O點(diǎn)相連并可繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),C點(diǎn)固定,OC=CD=DE,

點(diǎn)D,E可在槽中滑動(dòng),若∠BDE=72°,則∠AOB=

°.24解析∵OC=CD=DE,∴∠COD=∠CDO,∠DCE=∠DEC.∵

∠DCE=∠COD+∠CDO=2∠COD,∴∠DEC=2∠COD,∴∠

BDE=∠DEC+∠COD=3∠COD,∵∠BDE=72°,∴∠COD=24°,即∠AOB=24°.6.(2024吉林松原乾安期末)如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D為

AC上一點(diǎn),且滿足AD=BD=BC.點(diǎn)F在BC延長(zhǎng)線上,連接FD并

延長(zhǎng),交AB于點(diǎn)E,連接AF,求∠BAC和∠ACB的度數(shù).解析設(shè)∠BAC=x°,∵AD=BD,∴∠ABD=∠BAC=x°,∴∠BDC=2x°.∵BD=BC,∴∠BDC=∠BCD=2x°.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=2x°.∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,∴x+2x+2x=180,解得x=36,則∠BAC=36°,∠ACB=72°.知識(shí)點(diǎn)2等腰三角形的性質(zhì)定理27.(一題多變)如圖,AD是等腰△ABC的頂角的平分線,BC=10,

則CD的長(zhǎng)為()A.6B.5C.4D.3B解析∵△ABC是等腰三角形,AD是△ABC的頂角的平分

線,∴AD是△ABC的中線,∴BD=CD.∵BC=10,∴CD=

BC=5.[變式1]如圖,在△ABC中,AC=BC,CD為AB邊上的高,∠ACB=

92°,則∠ACD的度數(shù)為()A.45°B.46°C.50°D.60°B解析∵AC=BC,CD⊥AB,∴∠ACD=

∠ACB=

×92°=46°.[變式2]如圖,AD是△ABC的中線,CE是△ABC的角平分線.若

AB=AC,∠BAD=28°,則∠ACE=

.31°解析∵AD是△ABC的中線,AB=AC,∴AD是△ABC的角平

分線,∠B=∠ACB,∴∠BAD=∠CAD,∵∠BAD=28°,∴∠CAB=2∠BAD=56°,∴∠ACB=∠B=

=62°.∵CE是△ABC的角平分線,∴∠ACE=

∠ACB=31°.8.如圖,已知△ABC中,AB=AC,D為AB上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DF⊥

AB,交AC于點(diǎn)E,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證:∠F=

∠A.證明如圖,過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G,

則∠AGB=90°,∴∠B+∠BAG=90°.∵DF⊥AB,∴∠BDF=90°,∴∠B+∠F=90°,∴∠F=∠BAG.∵AB=AC,AG⊥BC,∴AG平

分∠BAC,∴∠BAG=

∠BAC,∴∠F=

∠BAC.知識(shí)點(diǎn)3等腰三角形性質(zhì)定理1的推論9.(2024安徽亳州利辛期末)如圖,在等邊三角形ABC中,AD⊥

BC,E為AD上一點(diǎn),∠CED=55°,則∠ABE等于

()A.10°

B.20°

C.25°

D.30°C解析∵三角形ABC是等邊三角形,AD⊥BC,∴∠ADC=90°,

BD=CD,即AD垂直平分BC.∵點(diǎn)E在AD上,∴BE=CE,∴∠E-

BC=∠ECB.∵∠CED=55°,∴∠EBC=∠ECB=90°-55°=35°.∵△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=60°,∴∠ABE=∠ABC-∠E-

BC=25°.10.(2024北京大興期末)如圖,△ABC是等邊三角形,AB=2,AD

平分∠BAC交BC于點(diǎn)D,則線段BD的長(zhǎng)為

.1解析∵△ABC是等邊三角形,AD平分∠BAC,∴BD=CD,BC

=AB=2,∴BD=

BC=1.11.(教材變式·P140T10)如圖,在等邊三角形ABC中,D、E分

別是BC、AC上的點(diǎn),且AE=CD.(1)求證:AD=BE;(2)求∠BFD的度數(shù).解析(1)證明:∵△ABC是等邊三角形,∴∠BAE=∠C=60°,

AB=CA.在△ABE和△CAD中,

∴△ABE≌△CAD(SAS),∴AD=BE.(2)∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD.又∵∠BFD=∠BAD

+∠ABE,∴∠BFD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°.能力提升全練12.(易錯(cuò)題)(2024安徽合肥長(zhǎng)豐期末,8,★☆☆)已知等腰△

ABC的一個(gè)外角的度數(shù)為100°,則∠A的度數(shù)不可能是()A.20°

B.50°

C.60°

D.80°C解析當(dāng)100°的角是頂角的補(bǔ)角時(shí),頂角的度數(shù)為180°-100°=80°,底角的度數(shù)為100°÷2=50°;當(dāng)100°的角是底角的補(bǔ)角時(shí),兩個(gè)底角的度數(shù)都為180°-100°=80°,頂角的度數(shù)為180°-2×80°=20°.故∠A的度數(shù)不可能是60°.故選C.易錯(cuò)警示

本題是陷阱題,沒有說(shuō)明這個(gè)外角是頂角的補(bǔ)角還是底

角的補(bǔ)角,所以應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行分析.13.(2024安徽蚌埠禹會(huì)期中,6,★★☆)如圖,△ABC是等邊三

角形,CB=CD,∠ABD=12°,則∠BAD的度數(shù)為

()A.10°

B.15°

C.18°

D.20°C解析∵△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°,∵∠ABD=12°,∴∠DBC=60°+12°=72°.∵CB=CD,∴∠BCD=180°-72°-72°=36°,∴∠DCA=60°-36°=24°.∵CD=CB=CA,∴∠DAC=

×(180°-24°)=78°,∴∠BAD=78°-60°=18°.14.(2024安徽淮南謝家集期中,9,★★☆)如圖,在△ABC中,D

為△ABC內(nèi)一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D的直線EF分別交AB,BC于點(diǎn)E,F,若點(diǎn)

E在AD的垂直平分線上,點(diǎn)F在CD的垂直平分線上,∠ADC=120°,則∠B的度數(shù)為()A.55°

B.60°

C.65°

D.70°B解析∵∠ADC=120°,∴∠DAC+∠ACD=60°,∠ADE+∠

CDF=60°.∵E在AD的垂直平分線上,F在CD的垂直平分線

上,∴AE=DE,DF=CF,∴∠EAD=∠ADE,∠CDF=∠DCF,∴

∠EAD+∠DCF=∠ADE+∠CDF=60°,∴∠BAC+∠BCA=60°

+60°=120°,∴∠B=180°-120°=60°.故選B.15.(2022遼寧鞍山中考,5,★★☆)如圖,在△ABC中,AB=AC,

∠BAC=24°,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D,使CD=AC,連接AD,則∠D的度數(shù)

為()A.39°

B.40°

C.49°

D.51°A解析∵AB=AC,∠BAC=24°,∴∠B=∠ACB=78°.∵CD=AC,∴∠D=∠CAD,∵∠ACB=∠D+∠CAD,∴∠D=

∠ACB=39°.16.(2024安徽亳州期末,12,★★☆)如圖,在△ABC中,AB=AC,

∠A=50°,點(diǎn)D是△ABC內(nèi)的一點(diǎn),連接BD,CD.若∠1=∠2,則

∠D的度數(shù)為

.115°解析∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠1=∠2,∴∠ABD=∠

BCD,∴∠2+∠BCD=∠1+∠ABD.∵∠2+∠BCD+∠1+∠ABD=180°-∠A=180°-50°=130°,∴∠2+∠BCD=

×130°=65°,∴∠D=180°-65°=115°.17.(易錯(cuò)題)(2024安徽合肥廬江期末,13,★★☆)若等腰三角

形一腰上的高與另一腰的夾角為40°,則這個(gè)等腰三角形的

底角度數(shù)是

.65°或25°解析在等腰△ABC中,AB=AC,BD為腰AC上的高,∠ABD=40°.當(dāng)BD在△ABC內(nèi)部時(shí),如圖1,∵BD⊥AC,∴∠ADB=90°,∴

∠BAD=90°-40°=50°.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=

×(180°-50°)=65°.當(dāng)BD在△ABC外部時(shí),如圖2,∵BD⊥AC,∴∠ADB=90°,∴∠BAD=90°-40°=50°.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,又∵

∠BAD=∠ABC+∠ACB,∴∠ACB=

∠BAD=25°.綜上所述,這個(gè)等腰三角形底角的度數(shù)為65°或25°.易錯(cuò)分析

本題易由于只畫出一個(gè)符合題意的三角形,遺漏另一個(gè)

符合題意的圖形導(dǎo)致漏解.18.(2024安徽合肥包河期末,12,★★☆)定義:等腰三角形的

頂角與其一個(gè)底角的度數(shù)的比值k,稱為這個(gè)等腰三角形的

“特征值”.在等腰△ABC中,若∠A=50°,則它的“特征值”

k等于

.

或解析當(dāng)∠A為頂角時(shí),∠B=∠C=

(180°-∠A)=65°,∴k=

=

;當(dāng)∠A為底角時(shí),頂角=180°-2∠A=80°,∴k=

=

.思路點(diǎn)撥

分∠A為頂角與∠A為底角兩種情況考慮,當(dāng)∠A為頂角

時(shí),利用三角形內(nèi)角和定理可求出底角的度數(shù),結(jié)合“特征

值”的定義即可求出k的值;當(dāng)∠A為底角時(shí),利用三角形內(nèi)角

和定理可求出頂角的度數(shù),結(jié)合“特征值”的定義即可求出

k的值.19.(2021