魯教版八年級數(shù)學(xué)上冊專項(xiàng)素養(yǎng)綜合練(二)利用因式分解解決八種常見問題課件

專項(xiàng)素養(yǎng)綜合練(二)利用因式分解解決八種常見問題1.利用因式分解進(jìn)行簡便計(jì)算:(1)29×20.21+72×20.21-20.21;(2)1012+198×101+992;(3)

×

×

×…×

;(4)

+

+…+

.類型一用于簡便計(jì)算解析

(1)29×20.21+72×20.21-20.21=(29+72-1)×20.21=100×20.21=2021.(2)1012+198×101+992=1012+2×99×101+992=(101+99)2=2002=40000.(3)

×

×

×…×

=

×

×

×

×

×

×…×

×

=

×

×

×

×

×

×…×

×

=

.(4)

+

+…+

=

+

+…+

=-1-1-1-…-1=-999.類型二用于化簡求值2.(1)利用因式分解計(jì)算m

+m

+m

,其中R1=20,R2=16,R3=12,m=3.14;(2)先因式分解,再求值:(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(7a-8b),其中

a=2,b=1;(3)先因式分解,再求值:1-2x+2y+(x-y)2,其中x=2025,y=2024.解析

(1)原式=m(

+

+

),當(dāng)R1=20,R2=16,R3=12,m=3.14時,原式=3.14×(202+162+122)=3.14×800=2512.(2)原式=(7a-8b)(3a-4b+11a-12b)=(7a-8b)·(14a-16b)=2(7a-8b)2,當(dāng)a=2,b=1時,原式=2×(7×2-8×1)2=2×(14-8)2=2×36=72.(3)原式=(x-y)2-2x+2y+1=(x-y)2-2(x-y)+1=(x-y-1)2,當(dāng)x=2025,y=2024時,原式=(2025-2024-1)2=02=0.類型三用于判斷整除3.(2022江蘇揚(yáng)州廣陵期中)903-90能被

整除.

(

)A.86

B.89

C.92

D.93B解析∵903-90=90×(902-1)=90×(90+1)×(90-1)=90×91×89,∴903-90能被89整除.故選B.4.(2022山東棗莊滕州月考)閱讀下面的材料:若m2-2mn+2n2-8n+16=0,求m,n的值.解:∵m2-2mn+2n2-8n+16=0,∴(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0.∴(m-n)2+(n-4)2=0.∴(m-n)2=0,(n-4)2=0.∴n=4,m=4.根據(jù)你的觀察,探究下列問題:(1)已知等腰三角形ABC的兩邊長a,b都是正整數(shù),且滿足a2+b2-10a-12b+61=0,求△ABC的周長;(2)已知a-b=6,ab+c2-16c+73=0,求a+b+c的值.類型四用于求邊長解析

(1)∵a2+b2-10a-12b+61=0,∴(a2-10a+25)+(b2-12b+36)=0,即(a-5)2+(b-6)2=0,∴a-5=0,b-6=0,解得a=5,b=6.當(dāng)5為腰長時,5,5,6能夠組成三角形,周長為5+5+6=16;當(dāng)5為底邊長時,5,6,6能夠組成三角形,周長為5+6+6=17.故△ABC的周長為16或17.(2)∵a-b=6,∴a=b+6,將a=b+6代入ab+c2-16c+73=0,得b(b+6)+c2-16c+73=0,整理得(b2+6b+9)+(c2-16c+64)=(b+3)2+(c-8)2=0,∴b+3=0,c-8=0,解得b=-3,c=8,∴a=3,則a+b+c=3-3+8=8.5.(2023遼寧丹東東港期末)已知a,b,c是△ABC的三邊長,且滿

足(a+b+c)2=3a2+3b2+3c2,則△ABC的形狀為

(

)A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形類型五用于判斷三角形的形狀C解析∵(a+b+c)2=3a2+3b2+3c2,∴2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc.∴2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0.∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0.∴a-b=0,b-c=0,a-c=0.∴a=b=c.∴△ABC為等邊三角形.故選C.6.(2024山東東營墾利期中)若a,b,c為△ABC的三邊長,且滿足

b(a-b)-c(b-a)=0,試判斷△ABC的形狀,并說明理由.解析△ABC是等腰三角形,理由如下:∵b(a-b)-c(b-a)=0,∴b(a-b)+c(a-b)=0,∴(a-b)(b+c)=0,∵a,b,c是△ABC的三邊長,∴b+c>0,∴a-b=0,∴a=b,∴△ABC是等腰三角形.7.已知P=2x2+4y+13,Q=x2-y2+6x-1,請比較P,Q的大小.類型六用于比較大小解析

P-Q=2x2+4y+13-(x2-y2+6x-1)=x2-6x+9+y2+4y+4+1=(x-3)2+(y+2)2+1>0,∴P>Q.8.書中這樣寫道:“我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做

完全平方式”,如果一個多項(xiàng)式不是完全平方式,那么我們常

進(jìn)行如下變形:先添加一個適當(dāng)?shù)捻?xiàng),使式子中出現(xiàn)完全平方

式,再減去這個項(xiàng),使整個式子的值不變,這種方法叫做配方

法,能解決判斷代數(shù)式的正負(fù)或求代數(shù)式的最大值、最小值

等問題.例如:分解因式:x2+2x-3.解:原式=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1).例如:求代數(shù)式2x2+4x-1的最小值.類型七用于判斷正負(fù)解:原式=2(x2+2x+1-1)-1=2(x+1)2-3,可知當(dāng)x=-1時,2x2+4x-1有

最小值,最小值是-3.根據(jù)上述信息,解答下列問題:(1)分解因式:a2-2a-3=

.(2)試說明:x,y取任意實(shí)數(shù)時,多項(xiàng)式x2+y2-4x+2y+6的值總為正

數(shù).(3)當(dāng)m,n為何值時,多項(xiàng)式m2-2mn+2n2-4n+1有最小值?請求出

這個最小值.(a-3)(a+1)解析

(1)a2-2a-3=a2-2a+1-4=(a-1)2-4=(a-1-2)(a-1+2)=(a-3)(a+1).故答案為(a-3)(a+1).(2)x2+y2-4x+2y+6=x2-4x+4+y2+2y+1+1=(x-2)2+(y+1)2+1,∵(x-2)2≥0,(y+1)2≥0,∴(x-2)2+(y+1)2+1≥1,∴x,y取任意實(shí)數(shù)時,多項(xiàng)式x2+y2-4x+2y+6的值總為正數(shù).(3)m2-2mn+2n2-4n+1=m2-2mn+n2+n2-4n+4-3=(m-n)2+(n-2)2-3,當(dāng)n-2=0,m-n=0時,多項(xiàng)式有最小值,此時m=2,n=2,多項(xiàng)式的最小值為-3.9.(2024江蘇南通如皋期末)認(rèn)真觀察下面這些算式:①32-12=8=8×1,②52-32=16=8×2,③72-52=24=8×3,④92-72=32=8×4,……完成下列問題:(1)照上面的規(guī)律,算式⑤為

;類型八用于探究規(guī)律8×5(2)上述算式的規(guī)律可以用文字概括為“兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除”,若設(shè)算式中的前一個奇數(shù)為2n+1(n≥1,且

n為正整數(shù)),請用含n的式子表示這個規(guī)律,并證明;(3)請直接判斷“兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差能被8整除”是否

正確.解析

(1)觀察規(guī)律,可得⑤112-92=40=8×5,故答案為112-92=40=8×5.(2)這個規(guī)律為(2n+1)2-(2n-1)2=8n,證明:(2n+1)2-(2n-1)2=