吉林省吉林市2025屆高三上學期10月第一次模擬考試 數(shù)學 含答案

高三數(shù)學試題第PAGE\*Arabic13頁（共NUMPAGES\*Arabic13頁）★保密·啟用前★吉林市普通中學2024-2025學年度高中畢業(yè)年級第一次模擬測試★保密·啟用前★數(shù)學試題說明：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，貼好條形碼。2.答選擇題時，選出每小題答案后，用2b鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。答非選擇題時，用0.5毫米的黑色簽字筆將答案寫在答題卡上。字體工整，筆跡清楚。3.請按題號順序在答題卡相應區(qū)域作答，超出區(qū)域所寫答案無效；在試卷上、草紙上答題無效。4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求．1.已知復數(shù)，則A. B.C. D.2.“”是“角為第二象限角”的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知，，則A. B. C. D.4.已知向量，，則 A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則5.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，，則 A. B. C. D.6.已知等差數(shù)列的公差為，則A. B. C. D.7.設樣本數(shù)據(jù),,…,的平均數(shù)為，標準差為，若樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)比標準差少，則的最大值為A. B. C. D.8.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若函數(shù)的圖象關于軸對稱，則的最小值為 A. B. C. D.多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列不等式成立的是 A.若，則 B.若，則 C.若，則 D.若，則10.如圖，在中，點為的中點，點為上靠近點的三等分點，，，°，點為與的交點，則A. B.是在上的投影向量C.D.11.已知函數(shù)，則A.是周期函數(shù) B.C.在上恰有個極值點 D.關于的方程有兩個實數(shù)解填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．其中14題的第一空填對得2分，第二個空填對得3分．12.中國成功搭建了國際首個通信與智能融合的外場試驗網(wǎng)，并形成貫通理論、技術、標準和應用的全產(chǎn)業(yè)鏈創(chuàng)新環(huán)境．某科研院在研發(fā)項目時遇到了一項技術難題，由甲、乙兩個團隊分別獨立攻關．已知甲、乙團隊攻克該項技術難題的概率分別為和，則該科研院攻克這項技術難題的概率為.13.已知集合，，將中所有元素按從小到大的順序排列構成數(shù)列，則數(shù)列的前項和為．14.已知函數(shù)，的零點分別為，，且，，則；若恒成立，則整數(shù)的最大值為．（參考數(shù)據(jù)：.）四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）在新時代改革開放的浪潮中，吉林省踐行習近平總書記“綠水青山就是金山銀山，冰天雪地也是金山銀山”的發(fā)展理念，繪就了“一山一水一通道”的四季旅游璀璨畫卷，形成了“一山兩湖三江四季”的旅游矩陣．吉林某校為促進學生對家鄉(xiāng)山水人文的了解，組織學生參加知識競賽，比賽分為初賽和決賽，根據(jù)初賽成績，僅有％的學生能進入決賽．現(xiàn)從參加初賽的學生中隨機抽取名，記錄并將成績分成以下組：，，，，，，得到如下圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）求頻率分布直方圖中的值，并由此估計進入決賽學生的初賽成績最低分；（Ⅱ）從樣本成績在內(nèi)的學生中，用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取人，再從這人中任意抽取人訪談，求至多有一人成績在內(nèi)的概率．16.（本小題滿分15分）已知冪函數(shù)（）的圖象過點.（Ⅰ）求關于的不等式的解集；（Ⅱ）若存在使得，，成等比數(shù)列，求正實數(shù)的取值范圍.17.（本小題滿分15分）已知等差數(shù)列的前項和為，滿足，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項和；（Ⅲ）求數(shù)列的前項和．18.（本小題滿分17分）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，.（Ⅰ）若，，求的面積；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）當取最小值時，求.19.（本小題滿分17分）已知函數(shù)，，.（Ⅰ）當時，若在點處的切線方程為，求實數(shù)的值；（Ⅱ）(ⅰ)證明：曲線是中心對稱圖形；(ⅱ)若當且僅當，求的取值范圍.命題命命`命命命命題、校對：高三數(shù)學核心組吉林地區(qū)普通高中2024—2025學年度高三年級第一次模擬考試數(shù)學學科參考答案單選題：本大題共8題，每小題5分，共40分.12345678CBBDADCB多選題：本大題共3題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．91011ADBCBCD10.D教學提示（法一）平面向量基本定理+三點共線設，因為，，三點共線，所以，即，所以.（法二）平面向量基本定理+三點共線設,，，，由對應項系數(shù)相等求出，．（法三）坐標法（法四）過點作平行于，交于點，易得，，故．（法五）由梅涅勞斯定理得，故．11.教學提示B.因為，所以，則，所以.C.，令，當時，，故在上單調遞減，又，，易得C選項正確．D．關于的方程的實數(shù)解的個數(shù)可轉化為圖象與圖象的公共點的個數(shù)，繪制與的大致圖象如右圖：參考，，，故當時，與的圖象恰有兩個公共點，當時，與的圖象無公共點.綜上，關于的方程有兩個實數(shù)解.填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．其中14題的第一空填對得2分，第二個空填對得3分．12.13.14.(分)，（分）14.教學提示因為點（）與點（）關于直線對稱，所以，，則（1）；（2），利用零點存在性定理并結合參考數(shù)據(jù)可得，故，又，，故整數(shù)的最大值為.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15．【解析】（Ⅰ）因為，所以．2分（注:本次不扣分，教學中注意強調格式的規(guī)范性.）根據(jù)初賽成績，僅有％的學生能進入決賽，則估計進入決賽學生的初賽成績最低分為初賽成績的第百分位數(shù).因為，，所以第百分位數(shù)在區(qū)間內(nèi).（法一）設第百分位數(shù)為，則，所以．所以估計進入決賽學生的初賽成績最低分為分．6分（法二）因為，所以估計進入決賽學生的初賽成績最低分為分.6分（Ⅱ）由題知，成績在區(qū)間，，內(nèi)學生人數(shù)的頻率比為，則在區(qū)間內(nèi)抽取人，記為；在區(qū)間內(nèi)抽取人，記為；在區(qū)間內(nèi)抽取人，記為.從這人中抽取人訪談，試驗的樣本空間，其中共有個樣本點.10分設事件“至多有一人成績在內(nèi)”，（法一）事件,則，所以．所以至多有一人成績在內(nèi)的概率為．13分 13分（法二）事件，則，從而．所以.所以至多有一人成績在內(nèi)的概率為．13分 13分（注：利用組合數(shù)求試驗樣本空間中的樣本點個數(shù)，不列舉也給分.）16．【解析】（Ⅰ）由得，故. 2分由題，故，故，即原不等式解集為． 6分（注：忽略定義域扣1分.）（Ⅱ）由題，即，即關于的方程在上有實數(shù)解． 9分令，則當時，與圖象有公共點，則，令，得；令，得；令，得；故在上單調遞增，在上單調遞減． 12分當時，取得極大值，又，當時，，所以正實數(shù)的取值范圍是． 15分（注:1.學生需要掌握基本初等函數(shù)解析式；2.第二問的范圍有誤，扣2分；3.解答過程第二問需描述函數(shù)圖象的變化趨勢，未說明但答對，本次不扣分.具體答題過程可參考人教版選擇性必修二P95-例7.）【解析】（Ⅰ）設等差數(shù)列的公差為，則，解得， 2分所以數(shù)列的通項公式為. 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 6分則，所以 8分. 10分（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得， 12分所以. 15分（注：或表述為等形式均可.）【解析】（Ⅰ）在△中，由，得，所以，因為，所以為銳角，從而，同理可得. 3分又，，由正弦定理，得，所以. 5分（注）也可由正弦定理，得，所以. 5分（Ⅱ）（法一）因為，所以，即，由正弦定理、余弦定理，得， 8分即,整理得. 10分（法二）過點作，垂足為.因為，所以，即；又因為，所以，. 8分因為，所以，即，即. 10分（Ⅲ）因為，所以，從而， 14分因為，同號，則，，即，所以，當且僅當時，等號成立，即當取最小值時，. 17分19.【解析】（Ⅰ）當時，，.，，由題，故. 4分（Ⅱ）(ⅰ)證明：因為定義域關于原點對稱，且 ，所以是中心對稱圖形，對稱中心為點.8分（注：利用等類似結論求解也給分.）(ⅱ)若當且僅當，則，若，因為，所以，使得，矛盾，從而，故.