《空間中的角》同步學案

高中數(shù)學精編資源2/2《空間中的角》同步學案問題情境導入同學們可能經常談論**同學是天蝎座的,同學是巨蟹座的.可是你知道十二星座的由來嗎？我們知道,地球繞太陽公轉的軌道平面稱為“黃道面”.黃道面與地球赤道面交角(二面角的平面角)為23°26',它與天球相交的大圓稱為“黃道”.黃道南北兩邊各9°寬的環(huán)形區(qū)域稱為黃道帶,黃道帶中有十二個星座,稱為“黃道十二宮”,從春分(節(jié)氣)點起,每30°便是一宮,并冠以星座名,如白羊座、金牛座、雙子座等等,這便是星座的由來.今天我們研究的問題之一就是二面角的相關問題.新課自主學習自學導引1.若向量a,b分別為直線a,b的方向向量,則直線a與b所成的角,且與兩個方向向量所成的角〈a,b〉______或______.也就是說:當0≤〈a,b〉≤時,=______;當時,=______故______.2.設向量l為直線l的一個方向向量,n是平面的一個法向量,則直線l與平面所成的角且=______或=______.故sin=______.3.一般地,已知分別為平面,的法向量,則二面角的平面角與兩法向量所成角〈〉______.答案1.相等互補〈a,b〉π-〈a,b〉|cos〈a,b〉|2.3.相等或互補預習測評1.若直線的方向向量與的方向向量的夾角為150°,則與這兩條異面直線所成的角等于()A.30°B.150°C.30°或150°D.以上均錯2.已知直線l的一個方向向量與平面的法向量的夾角為135°,則直線l與平面的夾角為()A.135°B.45°C.75°D.以上均錯3.如果一個二面角的兩個半平面分別平行于另一個二面角的兩個半平面,則這兩個二面角的平面角關系是()A.相等B.互補C.相等或互補D.不能確定4.已知兩平面的一個法向量分別為m=(0,1,0),n=(0,1,1),則這兩平面所成的二面角的平面角為______.5.在正三棱柱中,各棱長都相等,E為的中點,則平面AEC與平面ABC的夾角為______.答案1.答案:A解析:異面直線所成的角與其方向向量的夾角相等或互補,但注意異面直線的夾角范圍是[0°,90°].2.答案:B解析:因為直線與平面的夾角的范圍是[0°,90°],所以直線l與平面的夾角為135°-90°=45°.3.答案:C解析:二面角的兩個半平面對應平行,當方向相同時,兩個二面角的平面角相等,當方向不同時,兩個二面角的平面角互補.4.答案:45°或135°解析:先求出兩法向量夾角的余弦值,再根據(jù)二面角的平面角的取值范圍,分類討論即可.5.答案:解析:不妨設正三棱柱的棱長為2,以AC中點O為空間坐標系原點,以OA,OB所在直線及AC在平面內過O點的垂線分別為x軸、y軸、z軸建系,則平面ABC的一個法向量=(0,0,1).由=(1,0,0),=(-1,,1),則平面AEC的一個法向量=(0,-1,),所以=由圖可知,兩平面的夾角為銳角,故其夾角為.新知合作探究探究點1兩條直線所成的角知識詳解若向量a,b分別為直線a,b的方向向量,則直線a與b所成的角,且與兩個方向向量所成的角相等或互補.也就是說:當0≤≤時,當時..故注意:分別在已知的兩條直線上(或同方向上)取兩條直線的方向向量a,b,則=.但要注意.兩直線的夾角與并不完全相同,當為鈍角或平角時,應取其補角作為兩直線的夾角.特別提示兩異面直線所成角的求法:(1)平移法:即通過平移其中一條(也可兩條同時平移),使它們轉化為兩條相交直線,然后通過解三角形獲解.(2)向量法:設直線的方向向量分別為a,b,a與b的夾角為,則與所成角滿足典例探究例1已知平行六面體的所有棱長都是1,且,E,F分別為與的中點,求異面直線BE與CF所成角的余弦值.解析把,分別用已知向量表示出來,再用向量的夾角公式求,進而得解.答案如圖所示,設=a,=b,=c.則|a|=|b|=|c|=1,===60°,所以ab=bc=ac=.而,所以所以,所以所以異面直線BE與CF所成角的余弦值為.變式訓練1已知兩條異面直線的方向向量分別為和,若cos=,則與所成角的余弦值為______.答案解析因為異面直線與所成角的范圍是,且cos=,所以與所成角的余弦值為.探究點2直線與平面所成的角知識詳解1.設向量l為直線l的一個方向向量,n是平面的一個法向量,則直線l與平面所成的角∈[0,],且=-(如圖(1))或=-(如圖(2)),故sin=|cos|.2.利用法向量求直線與平面所成角的基本步驟:(1)建立空間直角坐標系;(2)求直線的一個方向向量;(3)求平面的一個法向量n;(4)計算:設線面角為,則sin=.特別提示1.直線與平面所成的角,應分三種情況:(1)直線與平面斜交時,直線和平面所成的角是指這條直線和它在平面上的投影所成的銳角;(2)直線和平面垂直時,直線和平面所成的角大小為;(3)直線和平面平行或在平面內時,直線和平面所成的角大小為0.顯然,直線和平面所成的角的范圍為[0,].2.要注意區(qū)分下列角的范圍:(1)斜線和平面所成角的范圍是(0,);(2)直線和平面所成角的范圍是[0,];(3)兩條異面直線所成角的范圍是;(4)兩個向量夾角的范圍是[0,].典型探究例2在正方體中,直線B,與平面BD所成的角的正弦值是()A.B.C.D.解析以D為原點,DA,DC,所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如圖.不妨設正方體的棱長為1,則D(0,0,0),(1,0,1),B(1,1,0),(0,1,1).所以=(1,0,1),=(1,1,0),=(-1,0,1).設n=(x,y,z)是平面BD的一個法向量,則即所以x=-y=-z.令x=1,得n=(1,-1,-1).設直線與平面所成的角為,則答案C變式訓練2如圖所示,在棱長為1的正方體中,E為的中點,則直線與平面BDE所成的角為()A.B.C.D.答案B解析以D為原點,,,,的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系(圖略),則D(0,0,0),,B(1,1,0),E(0,1,),所以易得平面BDE的一個法向量n=(1,-1,2),而=(0,-1,1),所以cos=.所以所以直線B與平面BDE所成角為.探究點3兩個平面所成的角知識詳解1.如圖所示,分別在二面角的面,內,作向量,則向量的夾角〈〉等于該二面角的平面角.2.一般地,已知別是平面,的一個法向量,則二面角的平面角與兩法向量所成的角〈〉相等(如圖(1))或互補(如圖(2)).典型探究例3設a=(0,1,1),b=(1,0,1)分別是平面,的一個法向量,則銳二面角的平面角為()A.45°B.90°C.60°D.120°解析設銳二面角的平面角為,則cos=,故=60°.答案C變式訓練3在如圖所示的正方體中,E,F分別是和的中點,則平面ECF與平面ABCD的夾角的余弦值為()A.B.C.D.答案:B解析以A為坐標原點,,,的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系.不妨設正方體棱長為1,則B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0),A(0,0,0),E(1,0,2)F(0,1,),=(1,0,0),=(0,1,0),,設平面ECF和平面ABCD的一個法向量分別為,易得=(1,1,2),=(0,0,1),由圖可知平面ECF與平面ABCD的夾角為銳角,則cos=易錯易混解讀例1在長方體中,AB=a,BC=b,,求異面直線和所成角的余弦值.錯解以點D為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則B(b,a,0),(0,0,c),(b,a,c),C(0,a,0),則=(-b,-a,c),=(-b,0,-c).從而所以異面直線和所成角的余弦值為=.錯因分析錯解中出錯原因有兩個:(1)忽略異面直線所成角的范圍是,其余弦值應為非負數(shù);(2)誤把兩向量和的夾角看作異面直線和所成的角.正解以點D為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則B(b,a,0),(0,0,c),(b,a,c),C(0,a,0),則=(-b,-a,c),=(-b,0,-c).從而有=對上式進行如下討論:(1)當c<b時,cos>0,這時是銳角,則即為異面直線和所成的角;(2)當c>b時,cos＞0,這時是鈍角,則的補角π-即為異面直線和所成的角;(3)當c=b時,cos=0,這時=90°,則即為異面直線和所成的角.綜上,異面直線和所成角的余弦值為糾錯心得異面直線所成角的范圍是,余弦值為非負數(shù),而向量夾角的范圍是[0,π],所以若求出的向量夾角為銳角(或余弦值為正),則向量夾角就是異面直線所成的角;若求出的向量夾角為直角(或余弦值為零),則異面直線所成的角為;若求出的向量夾角為鈍角(或余弦值為負),則其補角即異面直線所成的角,余弦值取絕對值即可.例2如圖所示,正三棱柱的底面邊長為a,側棱長為.求與側面所成的角.錯解建立如圖所示的空間直角坐標系,根據(jù)題意得:A(0,0,0),B(a,0,0),(0,0,),,則.因為平面的一個法向量為n=(0,1,0),且所以=120°.所以與側面所成的角為60°或120°.錯因分析直線與平面所成的角∈[0°,90°],錯解中用向量法求出線面角的三角函數(shù)值后沒有考慮該范圍對取值進行取舍,得出兩個值,造成了多解.同時,錯中求出的是平面法向量與直線方向向量所成的角,而不是直線與平面所成的角.正解如圖所示,建立空間直角坐標系.依題意,得A(0,0,0),B(a,0,0),(0,0,),.則=.因為平面的一個法向量為n=(0,1,0),且所以°.從而與側面所成的角為90°-60°=30°.糾錯心得準確理解直線與平面所成的角日與直線的方向向量和平面的法向量的夾角間的區(qū)別和聯(lián)系是解題的關鍵.同時應注意夾角的范圍,才能減少解題過程中的失誤,從而保證解題的正確性.例3如圖所示,在正方體中,求二面角的平面角.錯解連接DA1,DC1,以D為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系.設正方體的棱長為1,則=(1,0,1)是平面的一個法向量,是平面的一個法向量.所以,所以=60°,所以二面角的平面角為60°.錯因分析混淆了兩平面法向量的夾角與二面角的平面角的關系.在求出=60°后,忽視了對所給圖形的觀察及對二面角的平面角的判斷,從而使所求二面角的平面角的錯誤.正解連接,以D為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設正方體的棱長為1,則=(1,0,1)是平面的一個法向量,是平面的一個法向量.所以,所以=60°.又由上圖可知二面角的平面角為鈍角,所以二面角的平面角為120°.糾錯心得用向量法求二面角的平面角時,要注意與二面角的平面角的關系.在求出后,一定要觀察分析圖形,看所求二面角的平面角是與相等的,還是互補的.如本例中所求二面角的平面角為鈍角,而向量法所求得的夾角為銳角,故結論應為120°.課堂快速檢測1.若異面直線的一個方向向量分別是a=(0,-2,1),b=(2,0,4),則異面直線與的夾角的余弦值等于()A.B.C.D.2.已知m,n分別是直線l和平面的一個方向向量、法向量,若cos=,則直線l與平面所成的角為()A.30°B.60°C.120°D.150°3.正四棱錐的側棱長與底面邊長都是1,則側棱與底面所成角為______.4.設平面ABC的一個法向量為m=(1,1,0),平面ABD的一個法向量為n=(1,0,-1),則二面角C-AB-D的平面角為______.5.在正方體,中,E為的中點,則平面與平面ABCD所成的銳二面角的平面角的余弦值為______.答案1.答案:B解析:a·b=-4,|a|=,|b|=,cos=|cos2.答案:A解析:由cos=,得=120°,所以直線l與平面所成的角為|90°-120°|=30°.3.答案:45°解析:如圖,在正四棱錐P-ABCD中,點P在平面ABCD的投影為正方形ABCD的中心O.方法一:在中,,所以,所以側棱與底面所成的角為45°.方法二:如圖,以O為坐標原點,OA,OB,OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.則,,則,n=(0,0,1)是平面ABCD的一個法向量.設側棱與底