《二項式系數(shù)的性質》參考課件

北師大版同步教材參考課件二項式系數(shù)的性質課標闡釋思維脈絡1.掌握二項式系數(shù)的有關性質,并應用性質解決簡單問題.2.記住楊輝三角,會應用楊輝三角求二項式次數(shù)不大時各項的二項式系數(shù).學習目標同學們根據(jù)二項式定理寫出(a+b)n(n=0,1,2,3,4,5,6)的二項式系數(shù).可以寫成如下形式:這個表早在我國宋代數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里就出現(xiàn)了,所不同的僅在于這里的表是用阿拉伯數(shù)學表示,在那本書里是用漢字表示的,稱為“楊輝三角”.在歐洲,這個表被認為是法國數(shù)學家帕斯卡發(fā)現(xiàn)的,楊輝三角的發(fā)現(xiàn)比歐洲早500年左右,由此可見我國古代在數(shù)學方面的成就.你能根據(jù)上述規(guī)律寫出下一行的數(shù)值嗎?復習引入楊輝三角與二項式系數(shù)的性質因為(a+b)0=1,所以可以把n=0對應的二項式系數(shù)看成1.把n=0,1,2,3,4,5,6對應的二項式系數(shù)逐個寫出,并排成如下數(shù)表形式:探究新知上面的二項式系數(shù)表稱為“楊輝三角”或“賈憲三角”,在歐洲稱為“帕斯卡三角”.楊輝三角至少具有下面的性質:(1)每一行都是對稱的,且兩端的數(shù)都是1.探究新知探究新知微思考1楊輝三角的第n行數(shù)字規(guī)律與二項展開式有何聯(lián)系?提示:楊輝三角的第n行數(shù)字規(guī)律是二項式(a+b)n-1展開式的二項式系數(shù).微思考2如何求二項展開式中各項系數(shù)和或部分系數(shù)和?提示:通常利用賦值法.微練習在(a+b)n的展開式中,第2項與第6項的二項式系數(shù)相等,則n=(

)A.6

B.7

C.8

D.9答案:A探究新知“楊輝三角”的應用例1如圖所示,楊輝三角中的第5行除去兩端數(shù)字1以外,均能被5整除,則具有類似性質的行是(

)A.第6行

B.第7行C.第8行

D.第9行解析:由題意,第6行為1

6

15

20

15

6

1,第7行為1

7

21

35

35

21

7

1,故第7行除去兩端數(shù)字1以外,均能被7整除.答案:B典例講解反思感悟

解決與楊輝三角有關的問題的一般思路(1)觀察:對題目進行多角度觀察,找出每一行的數(shù)與數(shù)之間,行與行之間的數(shù)的規(guī)律.(2)表達:將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用數(shù)學式子表達.(3)結論:由數(shù)學表達式得出結論.歸納總結1如圖,在由二項式系數(shù)所構成的楊輝三角中,第

行中從左到右第14與第15個數(shù)的比為2∶3.

變式訓練答案:34變式訓練求展開式的系數(shù)和例2設(1-2x)2020=a0+a1x+a2x2+…+a2020·x2020(x∈R).(1)求a0+a1+a2+…+a2020的值;(2)求a1+a3+a5+…+a2019的值;(3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2020|的值.分析先觀察所求式子與展開式各項的特點,利用賦值法求解.典例講解解:(1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a2

020=(-1)2

020=1.①(2)令x=-1,得a0-a1+a2-…-a2

019+a2

020=32

020.②①-②得2(a1+a3+…+a2

019)=1-32

020,∴a2k-1<0(k∈N+),a2k>0(k∈N).∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2

019|+|a2

020|=a0-a1+a2-a3+…-a2

019+a2

020=32

020.典例講解1.解決二項式系數(shù)和問題的思維流程.2.對形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N+)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和,常用賦值法,只需令x=1;對(ax+by)n(a,b∈R,n∈N+)的式子求其展開式各項系數(shù)之和,只需令x=y=1.歸納總結3.一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1),歸納總結2已知(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,求:(1)a0+a1+a2+a3+a4;(2)(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2.解:(1)由(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,令x=1得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4,所以a0+a1+a2+a3+a4=1.(2)在(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中,令x=1得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4,①令x=-1得(-2-3)4=a0-a1+a2-a3+a4.②所以(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0-a1+a2-a3+a4)(a0+a1+a2+a3+a4)=(-2-3)4(2-3)4=(2+3)4(2-3)4=625.變式訓練求展開式中系數(shù)或二項式系數(shù)的最大項(1)求二項式系數(shù)最大的項;(2)系數(shù)的絕對值最大的項是第幾項?典例講解典例講解反思感悟

二項式系數(shù)的最大項的求法求二項式系數(shù)的最大項,根據(jù)二項式系數(shù)的性質對(a+b)n中的n進行討論.(1)當n為奇數(shù)時,中間兩項的二項式系數(shù)最大.(2)當n為偶數(shù)時,中間一項的二項式系數(shù)最大.歸納總結在本例條件下求系數(shù)最大的項與系數(shù)最小的項.解:由本例(2)知,展開式中的第6項和第7項系數(shù)的絕對值最大,第6項的系數(shù)為負,第7項的系數(shù)為正.變式訓練利用二項式定理解整除問題及求余數(shù)問題例4(1)用二項式定理證明1110-1能被100整除;(2)求9192被100除所得的余數(shù).分析利用二項式定理證明整除問題的關鍵是判斷所證式子與除數(shù)之間的聯(lián)系,要掌握好對式子的拆分,如本例的第(1)小題,可以利用1110=(10+1)10的展開式進行證明,第(2)小題則可利用9192=(100-9)92的展開式,或利用(90+1)92的展開式進行求解.典例講解典例講解反思感悟

利用二項式定理可以解決求余數(shù)和整除的問題,通常需將底數(shù)化成兩數(shù)的和或差的形式,且這種轉化形式與除數(shù)有密切的關系.典例講解(1)試求202060除以7所得的余數(shù);(2)求證:32n+2-8n-9(n∈N+)能被64整除.變式訓練變式訓練利用二項式定理證明不等式先根據(jù)正整數(shù)n的最小值確定展開的最少項,然后視具體情況取定其中多少項,再結合不等式的性質和證明不等式的方法進行證明.典例

證明:3n>(n+2)·2n-1(n∈N+,且n>2).分析該題不等式不是一般的一元一次不等式或一元二次不等式,也不是可轉化為一元一次不等式、一元二次不等式的指數(shù)不等式、對數(shù)不等式,不可能用常見不等式的證明方法處理,考慮到不等式兩邊均含有冪值,且底不同,可用二項式定理將兩邊化為同底的冪的形式進行證明.素養(yǎng)提煉證明:因為n∈N+,且n>2,所以3n=(2+1)n展開后至少有四項.所以3n>(n+2)·2n-1.方法點睛

將不等式左邊3n變形為(2+1)n,將(2+1)n的二項展開式與不等式的右邊對比,發(fā)現(xiàn)二項展開式與不等式的右邊的聯(lián)系.此外,決定二項式的展開式中項的取舍是證明的關鍵.素養(yǎng)提煉答案:B當堂練習答案:C當堂練習3.在由二項式系數(shù)所構成的楊輝三角形中,第

行中從左至右第12個數(shù)與第13個數(shù)的比為1∶2.

答案:3