浙江省嘉興市高三下學期二模數(shù)學試題

2024年高三教學測試數(shù)學試題卷（2024.4）本試題卷共6頁，滿分150分，考試時間120分鐘.考生注意：1.答題前，請務(wù)必將自已的姓名?準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的位置.2.答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙上的相應(yīng)位置規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無效.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合的補集和交集運算可得.【詳解】，所以，故選：D.2.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的值可以是（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性可得，，求解得答案.【詳解】由為奇函數(shù)，可得，，當時，.故選：C.3.設(shè)，則是為純虛數(shù)的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)共軛復數(shù)的特征，復數(shù)的概念，以及充分條件與必要條件的判斷方法，即可得出結(jié)果.【詳解】對于復數(shù)，若，則不一定純虛數(shù)，可以為；反之，若為純虛數(shù)，則，所以是為純虛數(shù)的必要非充分條件.故選：B.4.若正數(shù)滿足，則的最小值是（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可得，利用基本不等式求解.【詳解】由可得，，當且僅當，即時，等號成立.所以的最小值為.故選：A.5.如圖，這是一個水上漂浮式警示浮標，它的主體由上面一個圓錐和下面一個半球體組成.已知該浮標上面圓錐的側(cè)面積是下面半球面面積的2倍，則圓錐的體積與半球體的體積的比值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)半球半徑為，圓錐高為，再根據(jù)圓錐側(cè)面積與體積公式，結(jié)合球的表面積與體積公式求解即可.【詳解】設(shè)半球半徑為，圓錐高為，由題意，解得.故圓錐的體積與半球體的體積的比值為.故選：D6.已知圓，若圓上存在點使得，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由得到點的軌跡是以為直徑的圓，依題意，問題轉(zhuǎn)化為兩個圓有公共點的問題，解不等式組即得.【詳解】如圖，由可知點的軌跡是以為直徑的圓，設(shè)為圓，因，故圓.依題意知圓與圓必至少有一個公共點.因，則，由，解得：.故選：B.7.6位學生在游樂場游玩三個項目，每個人都只游玩一個項目，每個項目都有人游玩，若項目必須有偶數(shù)人游玩，則不同的游玩方式有（）A.180種 B.210種 C.240種 D.360種【答案】C【解析】【分析】分A有2人和4人，結(jié)合排列組合求解即可.【詳解】若A有2人游玩，則有種；若A有4人游玩，則有種；所以共有240種，故選：C.8.已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為，從而得到，進而得到，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而可得出答案.【詳解】由變形得，從而有，，所以，因為，所以，則，則，故當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，，又，而，所以，所以.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用，由到得，是解決本題的關(guān)鍵.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知一組數(shù)據(jù)，其中位數(shù)為，平均數(shù)為，極差為，方差為.現(xiàn)從中刪去某一個數(shù)，得到一組新數(shù)據(jù)，其中位數(shù)為，平均數(shù)為，極差為，方差為，則下列說法中正確的是（）A.若刪去3，則B.若刪去9，則C.無論刪去哪個數(shù)，均有D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義可判斷A選項，根據(jù)平均數(shù)的定義判斷B選項，分類討論去掉的數(shù)據(jù)結(jié)合極差的定義判斷C選項，先判斷去掉的數(shù)據(jù)是什么，然后根據(jù)方差的定義判斷D.【詳解】A選項，若去掉3，根據(jù)中位數(shù)的定義，，滿足，A選項正確；B選項，若刪去9，根據(jù)平均數(shù)的定義，，，，B選項錯誤；C選項，根據(jù)極差的定義，若去掉的數(shù)是中的一個，顯然去掉前后極差都是，滿足，若去掉，，若去掉，，綜上，，C選項正確；D選項，原數(shù)據(jù)平均數(shù)，去掉一個數(shù)后平均數(shù)保持不變，即，則剩下的四個數(shù)之和為，顯然去掉的數(shù)只能是，由方差的定義，，，滿足，D選項正確.故選：ACD10.已知角的頂點與原點重合，它的始邊與軸的非負半軸重合，終邊過點，定義：.對于函數(shù)，則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱B.函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增C.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到一個偶函數(shù)的圖象D.方程在區(qū)間上有兩個不同的實數(shù)解【答案】AB【解析】【分析】由三角函數(shù)定義可得，根據(jù)題意，可得，利用正切函數(shù)的性質(zhì)依次判斷求解各個選項.【詳解】根據(jù)題意，，，對于A，由正切函數(shù)的性質(zhì)得，，解得，所以函數(shù)的對稱中心為，，故A正確；對于B，，，由正切函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，將的圖象向左平移個單位可得，為奇函數(shù)，故C錯誤；對于D，，，令，由正切函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，且，在上單調(diào)遞增，且，所以方程在區(qū)間上無實數(shù)解，故D錯誤.故選：AB.11.拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.如圖，已知拋物線的準線為為坐標原點，在軸上方有兩束平行于軸的入射光線和，分別經(jīng)上的點和點反射后，再經(jīng)上相應(yīng)的點和點反射，最后沿直線和射出，且與之間的距離等于與之間的距離.則下列說法中正確的是（）A.若直線與準線相交于點，則三點共線B.若直線與準線相交于點，則平分C.D.若直線的方程為，則【答案】ACD【解析】【分析】對A，設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立，可得，驗證得解；對B，假設(shè)，又由拋物線定義得，可得，即，這與和相交于A點矛盾，可判斷；對C，結(jié)合A選項有，，根據(jù)，運算可得解；對D，可求得點的坐標，進而求出，利用向量夾角公式運算得解.【詳解】對于選項A，因為直線經(jīng)過焦點，設(shè)，，直線，與拋物線聯(lián)立得，，由題意得，，所以，即三點共線，故A正確；對于選項B，假設(shè)，又，所以，所以，這與和相交于A點矛盾，故B錯誤；對于選項C，與距離等于與距離，又結(jié)合A選項，則，所以，故C正確；對于選項D，由題意可得，，，，，故D正確.故選：ACD.【點睛】思路點睛：A選項，判斷三點共線，即轉(zhuǎn)化為驗證，設(shè)出直線的方程與拋物線聯(lián)立，求出點坐標，表示出的斜率判斷；B選項，利用反證法，假設(shè)，結(jié)合拋物線定義可得與條件矛盾；C選項，根據(jù)題意可得，結(jié)合A選項的結(jié)論可判斷；D選項，求出點的坐標，進而求出，利用向量夾角公式運算.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量是非零向量，且與的夾角相等，則的坐標可以為__________.（只需寫出一個符合要求的答案）【答案】均可【解析】【分析】設(shè)，，利用向量夾角公式，數(shù)量積的坐標運算可求得，得解.【詳解】設(shè)，，由題意可得，，，即，，解得.，.故答案為：，均可.13.設(shè)數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列的前項和為，若，，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，先求出等比數(shù)列的通項公式和前n項和，進而求得，再利用項與和的關(guān)系求得通項.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，則，解得，又，所以，，代入，解得，當時，，當，時，，滿足上式，所以，.故答案為：.14.在四面體中，，且與所成的角為.若四面體的體積為，則它的外接球半徑的最小值為__________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)題意，將四面體補形為直三棱柱，設(shè)，由求得，在中，勾股定理得，由余弦定理可得，結(jié)合基本不等式求解.【詳解】依題意，可將四面體補形為如圖所示的直三棱柱，因為與所成的角為，所以或，設(shè)，外接球半徑記為，外接球的球心如圖點.易知平面，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，，得，在中，，在中，由余弦定理得，所以當時，外接球的半徑會更小.所以，所以，所以.故答案為：3.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是將求四面體補形為直三棱柱，轉(zhuǎn)化為求直三棱柱外接球半徑的最小值.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角所對的邊分別是，已知.（1）求的值；（2）若為銳角三角形，，求的值.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用二倍角余弦公式化簡求解；（2）解法一，由，利用正弦定理邊化角得，結(jié)合和，化簡運算并結(jié)合平方關(guān)系求得答案；解法二，根據(jù)條件利用余弦定理可得，再利用正弦定理邊化角并結(jié)合條件求得答案.【小問1詳解】由題可得，即，解得或.【小問2詳解】解法一：因為，由正弦定理得，即，即，因為，所以；所以，又，且為銳角三角形，解得.解法二：由余弦定理得，因為，所以，即，所以，所以，又，所以，所以.16.在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形，平面，.（1）證明：平面平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）法一，先證明，再證明平面，利用面面垂直的判定定理得證；法二，建立空間直角坐標系，利用向量法求出平面和平面的法向量證明；（2）法一，過作分別平行于，連結(jié)，作交于點，連結(jié)，證明，說明為平面與平面的夾角，求解得答案；法二，建系求出平面和平面的法向量，利用向量法求解.【小問1詳解】解法一：，在中，，即，，，，又，底面，底面，，平面且相交于，平面，又平面，平面平面.解法二：.如圖建立空間直角坐標系，，，則，，設(shè)是平面的法向量，則，可取，設(shè)是平面的法向量，則，可取，所以，所以平面平面.【小問2詳解】解法一：在直角梯形中，因為，解得，過作分別平行于，連結(jié)，作交于點，連結(jié)，，且都在面內(nèi)，平面，平面，又平面，，又，平面且交于，平面，又平面，，為平面與平面的夾角或其補角，在中，，,，由等面積法解得，又，.所以平面與平面夾角的余弦值為.（2）解法二：在直角梯形中，解得，如圖建立空間直角坐標系，，，平面的法向量為，又，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，解得，，設(shè)平面與平面夾角，所以，即平面與平面夾角的余弦值為.17.春季流感對廣大民眾的健康生活帶來一定的影響，為了有效預防流感，很多民眾注射了流感疫苗.某市防疫部門從轄區(qū)居民中隨機抽取了1000人進行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另外沒注射疫苗的200人中有80人感染流感.醫(yī)學研究表明，流感的檢測結(jié)果是有錯檢的可能，已知患有流感的人其檢測結(jié)果有呈陽性（感染），而沒有患流感的人其檢測結(jié)果有呈陰性（未感染）.（1）估計該市流感感染率是多少？（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，判斷是否有的把握認為注射流感疫苗與預防流感有關(guān)；（3）已知某人的流感檢測結(jié)果呈陽性，求此人真的患有流感的概率.（精確到0.001）附：，0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.635787910.828【答案】（1）0.3；（2）有的把握認為注射流感疫苗與流感發(fā)病人數(shù)有關(guān)（3）.【解析】【分析】（1）由感染人數(shù)除以總數(shù)可得；（2）代入公式計算可得；（3）由條件概率公式和全概率公式計算可得.【小問1詳解】估計流感的感染率.【小問2詳解】列聯(lián)表：疫苗情況流感情況合計患有流感不患有流感打疫苗220580800不打疫苗80120200合計3007001000根據(jù)列聯(lián)表，計算.因為，所以有的把握認為注射流感疫苗與流感發(fā)病人數(shù)有關(guān).【小問3詳解】設(shè)事件為“一次檢測結(jié)果呈陽性”，事件為“被檢測者確實患有流感”，由題意得，，由全概率公式得，，所以此人真的患有流感的概率是.18.已知雙曲線的虛軸長為4，漸近線方程為.（1）求雙曲線的標準方程；（2）過右焦點的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于點，點是線段的中點，過點且與垂直的直線交直線于點，點滿足，求四邊形面積的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由雙曲線的性質(zhì)求出即可；（2）設(shè)直線，直曲聯(lián)立，把坐標結(jié)合韋達定理用表示出來，利用由三點共線和解得，然后由弦長公式和點到直線的距離表示出四邊形的面積，令，構(gòu)造函數(shù)，求導后分析單調(diào)性，得到最值.【小問1詳解】由題意可知，又浙近線方程為，所以，易知雙曲線標準方程為.【小問2詳解】設(shè)，聯(lián)立方程得，且，由三點共線得①，由得，即②，由①②解得.由可知，四邊形是平行四邊形，所以，，，所以，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，所以，當且僅當，即時取等號.【點睛】方法點睛：求雙曲線等圓錐曲線內(nèi)四邊形面積時常用韋達定理結(jié)合弦長公式表示，求面積的最值時常構(gòu)造函數(shù)求導分析.19.已知集合，定義：當時，把集合中所有的數(shù)從小到大排列成數(shù)列，數(shù)列的前項和為.例如：時，，.（1）寫出，并求；（2）判斷88是否為數(shù)列中的項.若是，求出是第幾項；若不是，請說明理由；（3）若2024是數(shù)列中的某一項，求及的值.【答案】（1），；（2）88是數(shù)列的第30項；（3），，【解析】【分析】當時，此時，由集合新定義中的規(guī)則代入計算即可；根據(jù)集合新定義，由，再列舉出比它小的項即可；方法一：由可得，再列舉出比它小的項分別有以下7種情況，再求和；方法二：由可得，求得集合中的元素個數(shù)和最大的一個，可