清單05等腰三角形等邊三角形的性質(zhì)與判定（22種題型解讀（75題））（原卷版）

清單05等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)與判定（22種題型解讀（75題））【知識(shí)導(dǎo)圖】【知識(shí)清單】【考試題型1】等腰三角形的定義1．（2023上·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校考期中）已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3cm和7cm，則該等腰三角形的周長(zhǎng)為（A．10cm B．13cm C．17cm D．13cm或17cm2．（2023上·重慶江津·八年級(jí)重慶市江津中學(xué)校?？计谥校┬∶靼验L(zhǎng)度為12cm的鐵絲圍成三邊為整數(shù)長(zhǎng)的等腰三角形，則圍成的等腰三角形的腰長(zhǎng)為（

A．3cm B．4cm C．3cm或4cm D3．（2023上·福建福州·八年級(jí)校考期中）等腰三角形的一個(gè)外角是100°，則這個(gè)等腰三角形的底角的大小是（

）A．40° B．50° C．80° D．50°或80°【考試題型2】根據(jù)等邊對(duì)等角求角度4．（2023上·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=130°，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F，連接AD，AF，則A．65° B．80° C．100° D．110°5．（2023上·江蘇常州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)是底角度數(shù)的2倍，則這個(gè)等腰三角形的底角是（

）A．30° B．40° C．45° D．50°6．（2023上·福建福州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且CD=AE，BE與AD交于點(diǎn)F，在FA上截取FG=FE，連接GE，若∠AEG=28°，則∠ABE等于（

）A．28° B．32° C．30° D．34°7．（2023上·廣東湛江·八年級(jí)校考期中）如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AD是BC邊上的中線，且BD=BE，則∠ADE的大小為（）A．10° B．20° C．30° D．40°【考試題型3】根據(jù)等邊對(duì)等角證明8．（2023上·吉林白城·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°．點(diǎn)D、E分別在AB、BC上，且BC=BD，AD=BE，連接DE、CD．(1)求證：DC=DE；(2)求∠CDE的度數(shù)．9．（2023上·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)在△ABC的邊上，滿足BE=CF，BD=CE．(1)求證：DE=EF；(2)已知∠A=70°，求∠DEF的度數(shù)．10．（2023上·重慶渝中·九年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)校考期末）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，AD∥BE，AC=BE，AD=BC，DE(1)尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)A作線段DE的垂線交DE于點(diǎn)F．（基本作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，不下結(jié)論）(2)求證：DF=FG．證明：∵AD∥BE，∴∠在△ACD和△BEC中，AC∴△ACD≌△BEC∴∠ADC=①，∵②=∴∠∴∠∴③∵AF⊥DG∴DF=FG．【考試題型4】根據(jù)三線合一求解11．（2023上·廣西玉林·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，AB=AC=13，S△ABC=65，AD是∠BAC的角平分線，E是AD上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BE+EF的最小值為（A．5 B．10 C．13 D．2612．（2022上·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，AC=AB=BD，∠ABD=90°，BC=8，則△BCD的面積為（

）A．8 B．12 C．14 D．1613．（2023上·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶市第七中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，為了讓電線桿垂直于地面，工程人員的操作方法是：從電線桿DE上一點(diǎn)A往地面拉兩條長(zhǎng)度相等的固定繩AB和AC，點(diǎn)B、E、C在同一直線上時(shí)，電線桿DE就垂直于BC，工程人員這種操作方法的依據(jù)是（

）A．等邊對(duì)等角 B．垂線段最短 C．等腰三角形的三線合一 D．DE是BC的垂直平分線【考試題型5】根據(jù)三線合一證明14．（2023上·廣西南寧·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，下列結(jié)論不正確的是（

）A．AD⊥BC B．AD平分∠BAC C．AC=2AD D．∠B=∠C15．（2023上·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論中：①∠ABC=∠ADC；②AC與BD相互平分；③AC、BD分別平分四邊形ABCD的兩組對(duì)角；④四邊形ABCD的面積S=12AC?BD

A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①④16．（2023上·浙江·八年級(jí)周測(cè)）如圖，已知鈍角三角形ABC，按以下步驟尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡．步驟1：以C為圓心，CB為半徑畫(huà)弧①；步驟2：以A為圓心，AB為半徑畫(huà)?、冢换、儆邳c(diǎn)D；步驟3：連結(jié)BD，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．下列敘述正確的是（

）

A．BC平分∠ABD B．AB=BD C．AE=BD D．BE=DE【考試題型6】找出圖中等腰三角形個(gè)數(shù)17．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，共有等腰三角形（

）A．2 B．3 C．5 D．418．（2023上·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E在BC上，AD⊥AB，AE⊥AC，且BE=ED=DC，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)為（

）

A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【考試題型7】根據(jù)等角對(duì)等邊證明邊相等19．（2023上·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，D是AB邊上一點(diǎn)，∠BCD=30°，BD=4cm，則△ACD的周長(zhǎng)為（

A．6cm B．8cm C．12cm20．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)吉林大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知長(zhǎng)方形紙片ABCD，將長(zhǎng)方形紙片按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，折痕為EF．則△BEF是（

）．A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．無(wú)法確定21．（2023上·浙江金華·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點(diǎn)F、G，若FG=1，ED=3.5，則DB+EC的值為（A．3.5 B．3 C．2.5 D．2【考試題型8】根等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)22．（2023上·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，∠B=∠ADB，若AB=4，則DC的長(zhǎng)是（

）A．2 B．3 C．4 D．不能確定23．（2023上·山東濱州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，BC=13cm，∠B=∠BAC=15°，AD⊥BC于點(diǎn)D

A．5.5cm B．5cm C．6cm24．（2023上·天津西青·八年級(jí)校考期中）如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作DE∥BC，與AB，AC分別相交于點(diǎn)D，E，若BD+EC=5，則DE等于（

）A．7 B．6 C．5 D．425．（2023上·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD為∠BAC的平分線，BM⊥AD，垂足為M，且AB=6，BM=2，則AC=（

）．

A．10 B．7 C．8 D．9【考試題型9】在網(wǎng)格中找與已知兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)26．（2023上·江蘇徐州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，已知A，B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得ΔABC為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)CA．6 B．7 C．8 D．927．（2020上·北京豐臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，A，B兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，點(diǎn)C也是圖中小方格的頂點(diǎn)，并且△ABC是等腰三角形，那么點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【考試題型10】在坐標(biāo)系中找與已知兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)28．（2022上·江蘇南京·八年級(jí)南師附中新城初中?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，在直線BC或AC上取一點(diǎn)P，使得△ABP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有（

）A．3 B．4 C．5 D．629．（2021上·河南開(kāi)封·八年級(jí)開(kāi)封市第二十七中學(xué)校聯(lián)考期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A2,0，B0,2，若點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，且△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（A．5 B．6 C．7 D．8【考試題型11】等腰三角形性質(zhì)與判定綜合30．（2023下·廣東揭陽(yáng)·八年級(jí)階段練習(xí)）在△ABC中，∠B=22.5°，邊AB的垂直平分線DP交AB于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)D，且AE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，DF與AE交于點(diǎn)G．求證：EG=EC．31．（2023上·江蘇南京·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，CE⊥BA的延長(zhǎng)線于E，BF⊥CA的延長(zhǎng)線于F，M為BC的中點(diǎn)，分別連接ME、MF、EF．(1)若EF=3，BC=8，求△EFM的周長(zhǎng)；(2)若∠ABC=28°，∠ACB=48°，求∠EMF的度數(shù)．32．（2023上·江蘇連云港·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABDE中，△ABC、△DCE是等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，∠BCD為銳角；(1)在圖1中，△ACE與△BCD(2)如圖2，若AC=4，CD=5．則四邊形ABDC面積最大值為_(kāi)_____．(3)如圖3，已知BD=6，△ACE的面積為10，G在BD邊上，GC的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)AE中點(diǎn)F，求CG的長(zhǎng)．【考試題型12】利用等邊三角形的性質(zhì)求值33．（2023上·福建莆田·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC是等邊三角形，BC⊥CD，且AC=CD，則∠BAD的度數(shù)為（）A．50° B．45° C．40° D．35°34．（2023下·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知：∠MON=30°，點(diǎn)A1、A2、A3…在射線ON上，點(diǎn)B1、B2、B3…在射線OM上，△A1B1

A．6 B．12 C．32 D．6435．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)E是AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是△ABC的中線AD上的動(dòng)點(diǎn)，且AD=8，則EP+CP的最小值是（

）A．10 B．9 C．8 D．736．（2023上·湖北武漢·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，△ABC是等邊三角形，E、F分別在AC、BC上，且AE=CF，則下列結(jié)論：①AF=BE，②∠BDF=60°，③BD=CE，其中正確的個(gè)數(shù)是（

）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4【考試題型13】手拉手模型37．（2023上·湖南岳陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC、△CDE均為等邊三角形，連接BD、AE交于點(diǎn)O，BC與AE交于點(diǎn)P．求證：∠BOP=∠ACP．

38．（2023上·廣東東莞·八年級(jí)石龍三中校考期中）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，（點(diǎn)C不與A、B重合），分別以AC、BC為邊在AB同側(cè)作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE、(1)猜想并證明：線段AB與BD的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)__________．證明：(2)求證：∠APD=60°；(3)求∠APC的度數(shù)．39．（2023上·廣東東莞·八年級(jí)可園中學(xué)校考期中）如圖，已知點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，△ABC和△CDE都是等邊三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，

(1)求證：BE=AD；(2)求證：CF=CH；(3)判斷FH與BD的位置關(guān)系，并證明．40．（2023上·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)新鄉(xiāng)市第十中學(xué)?？计谥校┬∶魍瑢W(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)律：兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)則形成一組全等的三角形，小明把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．

(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若△ACB和△DCE均是頂角為40°的等腰三角形，AB、DE別是底邊，則AD___________BE（填“=(2)拓展探究：如圖2，若△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，連接BE，（1(3)解決問(wèn)題：如圖3，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、【考試題型14】等邊三角形的證明41．（2023上·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，CD是AB邊的中線，∠BDC=60°，將△BCD沿CD折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E的位置．判斷△AED的形狀并加以證明．42．（2023上·廣東惠州·八年級(jí)校考期中）如圖，△ABC中，D為AC邊上一點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于F，且EF⊥AB，CD=CF．

(1)求證：△ABC是等腰三角形；(2)當(dāng)∠F等于多少度時(shí)，△ABC是等邊三角形？請(qǐng)證明你的結(jié)論．43．（2023上·福建福州·八年級(jí)福州日升中學(xué)校考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,D是AB上的一點(diǎn)，BD=BC，過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線交AC于點(diǎn)E,CD交BE于點(diǎn)F

(1)求證：BE垂直平分CD；(2)若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，求證：△CBD是等邊三角形．44．（2020上·浙江臺(tái)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【閱讀材料】小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)律：兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)則形成一組全等的三角形，小明把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，小明發(fā)現(xiàn)若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，則△ABD≌△ACE．【材料理解】（1）在圖1中證明小明的發(fā)現(xiàn)．【深入探究】（2）如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點(diǎn)O，連接AO，下列結(jié)論：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正確的有．（將所有正確的序號(hào)填在橫線上）．【延伸應(yīng)用】（3）如圖3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，試探究∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．【考試題型15】等邊三角形與折疊問(wèn)題45．（2023上·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知等邊三角形ABC，點(diǎn)D為線段BC上一點(diǎn)，△ADC沿AD折疊得△ADE，連接BE，若∠ADB=70°，則∠DBE的度數(shù)是（

）

A．10° B．20° C．30° D．40°46．（2022上·浙江金華·八年級(jí)義烏市繡湖中學(xué)教育集團(tuán)?？计谥校┤鐖D，在等邊△ABC中，已知AE=1，CD=2，將△BDE沿DE折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)F對(duì)應(yīng)，且DF⊥AC，則等邊△ABC的邊長(zhǎng)為（

）

A．3+3 B．4 C．4+3 D47．（2023上·吉林·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2cm，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，且點(diǎn)A'在△ABC外部則陰影部分圖形的周長(zhǎng)為48．（2023上·湖北武漢·八年級(jí)武漢第三寄宿中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC是等邊三角形，將△ABC按如圖的方式進(jìn)行折疊，使點(diǎn)B與AC邊上的點(diǎn)F重合，折痕分別與AB，BC交于點(diǎn)①∠FDE+∠FED=120°；②∠ADF+∠CEF=2∠A；③AD=2EC；④若AF=1，F(xiàn)C=3，O是折痕DE上一動(dòng)點(diǎn)，則OF+OC的最小值是其中正確的結(jié)論是（填寫(xiě)序號(hào)）

【考試題型16】與等腰三角形、等邊三角形有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題49．（2023上·浙江金華·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC是等邊三角形，D是線段BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，AC的延長(zhǎng)線上，且DE=DF=AD，點(diǎn)D從B運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程中，△BED周長(zhǎng)的變化規(guī)律是（）

A．先變小后變大 B．先變大后變小 C．一直變小 D．不變50．（2022上·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)是0，4，以為邊在右側(cè)作等邊三角形OAA1，過(guò)點(diǎn)A1作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)O1，以O(shè)1A1為邊在右側(cè)作等邊三角形O1A1A2，再過(guò)點(diǎn)A2作xA．122021 B．122022 C．51．（2022下·遼寧遼陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖（1），△AB1C1是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形；如圖（2），取AB1的中點(diǎn)C2，畫(huà)等邊三角形AB2C2，連接B1B2；如圖（3），取52．（2022·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，直線l1與直線l2所成的角∠B1OA1=30°，過(guò)點(diǎn)A1作A1B1⊥l1交直線l2于點(diǎn)B1，OB1=2，以A1B1為邊在△OA1B1外側(cè)作等邊三角形A【考試題型17】與等腰三角形、等邊三角形有關(guān)的新定義問(wèn)題53．（2023上·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：如果1條線段將一個(gè)三角形分割成2個(gè)等腰三角形，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“雙等腰線”．如果2條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，我們把這2條線段叫做這個(gè)三角形的“三等腰線”．如圖（1），BE是△ABD的“雙等腰線”，AD、BE是△ABC的“三等腰線”．

(1)請(qǐng)?jiān)趫D（2）中，作出△ABC的“雙等腰線”，并標(biāo)注相等角的度數(shù)

①∠B=70°，∠A=35°

②∠B=81°，∠A=27°．(2)直角三角形的______就是它的“雙等腰線”(3)如果一個(gè)頂角是銳角的等腰三角形有“雙等腰線”，那么它的底角度數(shù)是______．(4)已知△ABC中，∠C=33°，AD和DE分別是△ABC的“三等腰線”，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AB邊上，且AD=DC，BE=DE，請(qǐng)根據(jù)題意寫(xiě)出∠B度數(shù)的所有可能的值______．54．（2023上·江蘇徐州·八年級(jí)?？计谥校┌岩粡堩斀菫?6°的等腰三角形紙片剪兩刀，分成3張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形，圖①是其中的一種方法．定義：如果兩條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，那么我們把這兩條線段叫做這個(gè)三角形的三分線．

(1)請(qǐng)你在圖②、圖③中用兩種不同的方法畫(huà)出頂角為45°的等腰三角形的三分線，并標(biāo)注每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)；(2)在△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分線，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在邊AC上，且AD＝BD，55．（2023上·福建福州·八年級(jí)?？计谥校┒x：若P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．(1)如圖1，若點(diǎn)O是等邊△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且OA+OB+OC=18，則這個(gè)等邊三角形的高的長(zhǎng)度為_(kāi)_____；(2)如圖2，已知△ABC，分別以AB、AC為邊向外作等邊△ABD與等邊△ACE，線段CD、BE交于點(diǎn)P，連接AP，求證：點(diǎn)(3)應(yīng)用探究：已知有A、B、C三個(gè)村莊的位置如圖3所示，能否在合適的位置建一個(gè)污水處理站Q，使得該處理站分別連接這三個(gè)村莊的水管長(zhǎng)度之和最小？如果能，請(qǐng)你說(shuō)明該如何確定污水處理站Q的位置，并證明該位置滿足設(shè)計(jì)要求．56．（2023上·河南駐馬店·八年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：如果三角形有兩個(gè)內(nèi)角的差為60°，那么這樣的三角形叫做“準(zhǔn)等邊三頂角”．【理解概念】（1）頂角為120°的等腰三角形“準(zhǔn)等邊三角形”．（填“是”或“不是”），并說(shuō)明理由．【鞏固新知】（2）已知△ABC是“準(zhǔn)等邊三角形”，其中∠A=36°，∠C>90°．求∠B的度數(shù)．【考試題型18】與等腰三角形、等邊三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題57．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校考期中）如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC中，G為BC的中點(diǎn)，D為AG的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，P是線段EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP，GP，則△BPG的周長(zhǎng)的最小值是（A．1 B．2 C．3 D．458．（2023上·吉林·八年級(jí)校考期中）在△ABC中，AB=17，BC=15，點(diǎn)D為邊CB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P以2個(gè)單位的速度從點(diǎn)B出發(fā)在射線BA上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在邊AC上，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．t>0(1)用含t的代數(shù)式表示線段AP的長(zhǎng)．(2)當(dāng)AC=BC，點(diǎn)P在線段BA上．若△BPD和△AQP全等，求t的值；(3)當(dāng)∠CAB=56°，△AQP為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠APQ的度數(shù)．59．（2023上·河南周口·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)P在∠MON內(nèi)．(1)如下圖．點(diǎn)P關(guān)于射線OM、ON的對(duì)稱點(diǎn)分別是G、H

①若∠MON=30°，則△OGH是什么特殊三角形?為什么?②若∠MON=90°，試判斷GH與OP的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如下圖，若∠MON=30°，A、B分別是射線OM、ON上的點(diǎn)，AB⊥ON于點(diǎn)B，點(diǎn)P、Q分別為OA、AB上的兩個(gè)定點(diǎn)，且QB=1.5，OP=AQ=2，在OB上有一動(dòng)點(diǎn)

【考試題型19】與等腰三角形、等邊三角形有關(guān)的最值問(wèn)題60．（2023上·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）完成下列各題：(1)問(wèn)題情境

如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE，求證：△ABD≌△ACE．(2)遷移應(yīng)用

如圖2，△ABC和△ADE都是等邊三角形，A，B，E三點(diǎn)在同一條直線上，M是AD的中點(diǎn)，N是AC的中點(diǎn)，P在BE上，△MNP是等邊三角形，求證：P是BE的中點(diǎn)．(3)拓展創(chuàng)新

如圖3，P是線段BE的中點(diǎn)，BE=7，在BE的下方作等邊△PFH（P，F(xiàn)，H三點(diǎn)按逆時(shí)針順序排列，△PFH的大小和位置可以變化），連接EF，BH．當(dāng)EF+BH的值最小時(shí)，直接寫(xiě)出等邊△PFH邊長(zhǎng)的最小值．61．（2023上·湖北鄂州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB為等邊三角形，A0,2，點(diǎn)B位于第一象限，點(diǎn)P為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，以PB為邊作等邊△PBC（點(diǎn)P，B，C(1)求證OB∥(2)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,6時(shí)，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)因?yàn)辄c(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，所以點(diǎn)C也跟著運(yùn)動(dòng)，BC的長(zhǎng)在不斷的變化，當(dāng)BC的長(zhǎng)最小時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______．62．（2022上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，∠ABN=60°，點(diǎn)C為射線BN上一定點(diǎn)，E為線段AB延長(zhǎng)線上一定點(diǎn)，且BE=AB=12，點(diǎn)A關(guān)于射線BN對(duì)稱點(diǎn)為D，連接BD，(1)證明：∠BAC=∠BDC；(2)若P為直線BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PDE周長(zhǎng)最小時(shí)，P所在的位置，并求出△PDE周長(zhǎng)的最小值．63．（2023下·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)當(dāng)∠BAD=36°時(shí)，求∠ACB的度數(shù)；(2)若AB=5，BC=6，AD=4．①求△ABC中AC邊上的高；②當(dāng)PB+PE的值最小時(shí)，最小值是______．【考試題型20】探究等腰三角形、等邊三角形中線段存在的關(guān)系64．（2023上·山西朔州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）綜合與探究如圖，在△ABC中，以AB，BC為邊分別作等邊△ABD和等邊△BCE，連接AE和DC．(1)如圖1，寫(xiě)出AE和DC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．(2)如圖2，若DC與AE相交于點(diǎn)M，求證：∠CME=60°．(3)如圖3，取AE，DC的中點(diǎn)Q，P，連接BP，PQ，BQ，得到△BPQ，試猜想△BPQ的形狀，并證明你的猜想．65．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知△ABC，∠ACB=90°，D是AB上一點(diǎn)，AD=BD=CD，過(guò)B作BE⊥CD，交CD于點(diǎn)(1)求證：∠A=(2)如果AC=2BC，猜想BE與66．（2023上·山東德州·八年級(jí)?？计谥校┰凇鰽BC中，∠ACB=2∠B．(1)如圖①，當(dāng)∠C=90°，AD為∠BAC的角平分線時(shí)，在AB上截取AE=AC，連接DE，則線段AB，AC，CD之間的數(shù)量關(guān)系是______；(2)如圖②，當(dāng)∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時(shí)，線段AB，AC，CD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想并證明：(3)如圖③，當(dāng)∠ACB≠90°，AD為△ABC的外角平分線時(shí)，線段AB，AC，CD之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想并證明．67．（2023上·山東濰坊·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）（1）如圖1，已知：在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，過(guò)點(diǎn)D作EF∥BC，分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，則EF與BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，若將（1）中“△ABC中，AB=AC”改為“若△ABC為不等邊三角形，”其余條件不變，則EF與BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系是什么？證明你的結(jié)論；（3）已知：如圖3，D在△ABC外，AB>AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，則EF與BE、CF之間又有何數(shù)量關(guān)系呢？直接寫(xiě)出結(jié)論不證明．【考試題型21】等腰三角形、等邊三角形在坐標(biāo)系中的應(yīng)用68．（2023上·山東德州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，平面直角坐標(biāo)系中，A0,a,Bb,0且a(1)∠OAB的度數(shù)為_(kāi)_____；(2)已知M點(diǎn)是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BM為腰向下作等腰直角△BMN,∠MBN=90°,P為MN的中點(diǎn)，Q為OB的中點(diǎn)，當(dāng)線段PQ最短時(shí)，求OM的值；(3)如圖，C為AB的中點(diǎn)，D為CO延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為邊作等邊△ADE，連BE交CD于F，當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段EF,BF,DF之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論．69．（2023上·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）【積累經(jīng)驗(yàn)】（1）萌萌學(xué)完全等三角形的知識(shí)后，遇到了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于點(diǎn)B，點(diǎn)E在線段AB上，連接DE，CE，∠DEC=90°，且DE=CE．求證：AD=BE，AE=BC．萌萌發(fā)現(xiàn)只需證明△≌△【類比應(yīng)用】（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為0，3，點(diǎn)C的坐標(biāo)為【拓展提升】（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為-6，0，點(diǎn)B為y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，分別以O(shè)B，AB為邊在第一，第二象限中分別作等腰直角△OBF，等腰直角△ABE，∠ABE=∠OBF=90°，連接E