河北省永年縣第二中學(xué)2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題

永年二中2017—2018第二學(xué)期高二理科數(shù)學(xué)期中考試試題一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知z=(m+3)+(m1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限,則實數(shù)m的取值范圍是()A.(,1)B.(,3) C．(1,+∞)D．(∞,)2．由①y＝2x＋5是一次函數(shù)；②y＝2x＋5的圖象是一條直線；③一次函數(shù)的圖象是一條直線．寫一個“三段論”形式的正確推理，則作為大前提、小前提和結(jié)論的分別是()A．②①③B．③②①C．①②③D．③①②3．若x，y∈N*，且，則滿足條件的不同的有序數(shù)對(x，y)的個數(shù)是()A．15B．12C．5D．44．二項式(a＋2b)n展開式中的第二項系數(shù)是8，則它的第三項的二項式系數(shù)為()．A．24B．18C．16D．6ξ－101Pabc5．隨機變量ξ的分布列如圖所示：若a、b、c成等差數(shù)列，則P(|ξ|＝1)＝（）A．B．eq\f(2,3)C．D．6．甲、乙兩人獨立地對同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，則它是被甲擊中的概率為()A．0.45B．0.67．某校1000名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績X服從正態(tài)分布，正態(tài)分布密度曲線如下圖所示，則成績X位于區(qū)間(51,69]的人數(shù)大約是()附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545.A．997 B．954C．682 D．3418．已知某產(chǎn)品連續(xù)4個月的廣告費x1(千元)與銷售額y1(萬元)，經(jīng)過對這些數(shù)據(jù)的處理，得到如下數(shù)據(jù)信息：①eq\i\su(i＝1,4,x)i＝18，eq\i\su(i＝1,4,y)i＝14；②廣告費用x和銷售額y之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系；③回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))＝0.8(用最小二乘法求得)。那么廣告費用為6千元時，可預(yù)測銷售額約為()A．3.5萬元B．4.7萬元C．4.9萬元D．6.5萬元9．已知在10件產(chǎn)品中可能存在次品，從中抽取2件檢查，其次品數(shù)為ξ，已知P(ξ＝1)＝eq\f(16,45)，且該產(chǎn)品的次品率不超過40%，則這10件產(chǎn)品的次品率為()A．10%B．20%C．30%D．40%10．25人排成5×5方陣，從中選出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，則不同的選法有()A．60種B．100種C．300種D．600種11.已知函數(shù)f(x)滿足f(0)＝0，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象與x軸圍成的封閉圖形的面積為()A.eq\f(1,3)B．eq\f(4,3)C．2D.eq\f(8,3)12.已知函數(shù)f(x)＝x3－3x，若在△ABC中，角C是鈍角，則()A．f(sinA)>f(cosB)B．f(sinA)<f(cosB)C．f(sinA)>f(sinB)D．f(sinA)<f(sinB)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．二項式(x＋y)3的展開式中，含x2y3的項的系數(shù)是________(用數(shù)字作答)．14.有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，從中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次數(shù)，則D(X)＝________.15．在平面上，我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個角，那么截下的一個直角三角形，按圖所標(biāo)邊長，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐O-LMN，如果用S1，S2，S3表示三個側(cè)面面積，S4表示截面面積，那么類比得到的結(jié)論是__________．

16、已知點F是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F作垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是__________．三、解答題(共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)在中，三個內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且.（1）求角；（2）若，，求的值.常喝不常喝合計肥胖2不肥胖18合計3018、(本小題滿分12分)為了解少年兒童的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關(guān)，現(xiàn)對30名六年級學(xué)生進行了問卷調(diào)查得到如下列聯(lián)表．平均每天喝500mL以上為常喝，體重超過50kg為肥胖.已知在全部30人中隨機抽取1人，抽到肥胖的學(xué)生的概率為eq\f(4,15).(1)請將上面的列聯(lián)表補充完整．(2)是否有99.5%的把握認為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)？說明你的理由．(3)設(shè)常喝碳酸飲料且肥胖的學(xué)生中有2名女生，現(xiàn)從常喝碳酸飲料且肥胖的學(xué)生中抽取2人參加電視節(jié)目，則正好抽到一男一女的概率是多少？參考數(shù)據(jù)：K2≥k00.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.

19題圖FESDCBA19、(本小題滿分12分)已知四棱錐的底面是正方形，底面，19題圖FESDCBA（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)時，求二面角的大?。?0．(本小題滿分12分)在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名.觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中隨機選3名歌手.(1)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率；(2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.21、(本題滿分12分)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點F(1,0)，O為坐標(biāo)原點，A，B是拋物線C上異于O的兩點．(1)求拋物線C的方程；(2)若直線OA，OB的斜率之積為－eq\f(1,2)，求證：直線AB過x軸上一定點．22．(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝2lnx－x2＋ax(a∈R)。(1)當(dāng)a＝2時，求f(x)的圖象在x＝1處的切線方程。(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)－ax＋m在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍。

永年二中2017—2018第二學(xué)期高二理科數(shù)學(xué)期中考試試題一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知z=(m+3)+(m1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限,則實數(shù)m的取值范圍是A.(,1) B.(,3) C．(1,+∞) D．(∞,)解析：要使復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限,應(yīng)滿足解得3<m<1,故選A.2．由①y＝2x＋5是一次函數(shù)；②y＝2x＋5的圖象是一條直線；③一次函數(shù)的圖象是一條直線．寫一個“三段論”形式的正確推理，則作為大前提、小前提和結(jié)論的分別是()A．②①③ B．③②①C．①②③ D．③①②【解析】該三段論應(yīng)為：一次函數(shù)的圖象是一條直線(大前提)，y＝2x＋5是一次函數(shù)(小前提)，y＝2x＋5的圖象是一條直線(結(jié)論)．【答案】D3．若x，y∈N*，且1≤x≤3，x＋y<7，則滿足條件的不同的有序數(shù)對(x，y)的個數(shù)是()A．15 B．12C．5 D．4解析：當(dāng)x＝1時，y＝1,2,3,4,5，有5種；當(dāng)x＝2時，y＝1,2,3,4，有4種；當(dāng)x＝3時，y＝1,2,3，有3種．根據(jù)分類加法計算原理，得5＋4＋3＝12.答案：B4．二項式(a＋2b)n展開式中的第二項系數(shù)是8，則它的第三項的二項式系數(shù)為()．A．24B．18C．16D．6解析T2＝Can－1(2b)1＝C·2an－1·b，所以2n＝8，n＝4，所以C＝C＝6.答案D5．若隨機變量X～B(n,0.6)，且E(X)＝3，則P(X＝1)的值是()A．2×0.44 B．2×0.45C．3×0.44 D．3×0.64解析：∵X～B(n,0.6)，∴E(X)＝np＝0.6n＝3，∴n＝5，∴P(X＝1)＝C×0.61×0.44＝3×0.44，選C.6．甲、乙兩人獨立地對同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，則它是被甲擊中的概率為()A．0.45B．0.6解析：選D設(shè)目標(biāo)被擊中為事件B，目標(biāo)被甲擊中為事件A，則由P(B)＝0.6×0.5＋0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.8，得P(A|B)＝＝＝＝0.75.7．某校1000名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績X服從正態(tài)分布，正態(tài)分布密度曲線如下圖所示，則成績X位于區(qū)間(51,69]的人數(shù)大約是()A．997 B．954C．682 D．341解析：由題圖知X～N(μ，σ2)，其中μ＝60，σ＝9，∴P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝P(51<X≤69)＝0.6827.∴人數(shù)大約為0.6827×1000≈682.答案：C8．已知某產(chǎn)品連續(xù)4個月的廣告費x1(千元)與銷售額y1(萬元)，經(jīng)過對這些數(shù)據(jù)的處理，得到如下數(shù)據(jù)信息：①i＝18，i＝14；②廣告費用x和銷售額y之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系；③回歸直線方程為＝x＋中的＝0.8(用最小二乘法求得)。那么廣告費用為6千元時，可預(yù)測銷售額約為()A．3.5萬元 B．4.7萬元C．4.9萬元 D．6.5萬元解析因為i＝18，i＝14，所以＝，＝，因為回歸直線方程為＝x＋中的＝0.8，所以＝0.8×＋，所以＝－，所以＝0.8x－。x＝6時，可預(yù)測銷售額約為4.7萬元，故選B。9．已知在10件產(chǎn)品中可能存在次品，從中抽取2件檢查，其次品數(shù)為ξ，已知P(ξ＝1)＝，且該產(chǎn)品的次品率不超過40%，則這10件產(chǎn)品的次品率為()A．10% B．20%C．30% D．40%[答案]B[解析]設(shè)10件產(chǎn)品中有x件次品，則P(ξ＝1)＝＝＝，∴x＝2或8.∵次品率不超過40%，∴x＝2，∴次品率為＝20%.10．25人排成5×5方陣，從中選出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，則不同的選法有()A．60種 B．100種C．300種 D．600種解析：5×5的方陣中，先從中任意取3行，有C＝10(種)方法，再從中選出3人，其中任意2人既不同行也不同列的情況有CCC＝60(種)，故所選出的3人中任意2人既不同行也不同列的選法共有10×60＝600(種)．答案：D11.已知函數(shù)f(x)滿足f(0)＝0，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象與x軸圍成的封閉圖形的面積為()A.B．C．2D.[答案]B[解析]由f′(x)的圖象知，f′(x)＝2x＋2，設(shè)f(x)＝x2＋2x＋c，由f(0)＝0知，c＝0，∴f(x)＝x2＋2x，由x2＋2x＝0得x＝0或－2.故所求面積S＝－－2(x2＋2x)dx＝＝.12.已知函數(shù)f(x)＝x3－3x，若在△ABC中，角C是鈍角，則()A．f(sinA)>f(cosB)B．f(sinA)<f(cosB)C．f(sinA)>f(sinB)D．f(sinA)<f(sinB)解析：選A∵f(x)＝x3－3x，∴f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,1)上是減函數(shù)，又A、B都是銳角，且A＋B<，∴0<A<－B<，∴sinA<sin＝cosB，故f(sinA)>f(cosB)，故選A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．設(shè)(x－2)6＝a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0，則|a0|＋|a1|＋…＋|a6|＝________．答案3614.有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，從中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次數(shù)，則D(X)＝________.解析：∵X～B，∴D(X)＝3××＝.答案：15．在平面上，我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個角，那么截下的一個直角三角形，按圖所標(biāo)邊長，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐OLMN，如果用S1，S2，S3表示三個側(cè)面面積，S4表示截面面積，那么類比得到的結(jié)論是__________．解析：將側(cè)面面積類比為直角三角形的直角邊，截面面積類比為直角三角形的斜邊，可得S＋S＋S＝S.答案：S＋S＋S＝S16、已知點F是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F作垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是__________．[解析]若△ABE是銳角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，則＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，則e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，則1＜e三、解答題(共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．在中，三個內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且.（1）求角；（2）若，，求的值.17、解一：（1）∵，∴,∴整理得，即,解得∴.（2）由（1）及余弦定理得①，又，∴②，由①②得③.∵∴代入③得.解二：∵，∴，整理得，∴，∴.（2）由（1）及余弦定理得①，又，∴②，由①②得③.∵，∴代入③得.18、為了解少年兒童的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關(guān)，現(xiàn)對30名六年級學(xué)生進行了問卷調(diào)查得到如下列聯(lián)表．平均每天喝500mL以上為常喝，體重超過50kg為肥胖.常喝不常喝合計肥胖2不肥胖18合計30已知在全部30人中隨機抽取1人，抽到肥胖的學(xué)生的概率為.(1)請將上面的列聯(lián)表補充完整．(2)是否有99.5%的把握認為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)？說明你的理由．(3)設(shè)常喝碳酸飲料且肥胖的學(xué)生中有2名女生，現(xiàn)從常喝碳酸飲料且肥胖的學(xué)生中抽取2人參加電視節(jié)目，則正好抽到一男一女的概率是多少？參考數(shù)據(jù)：K2≥k00.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.[解](1)設(shè)常喝碳酸飲料肥胖的學(xué)生有x人，＝，解得x＝6.常喝不常喝合計肥胖628不肥胖41822合計102030(2)由已知數(shù)據(jù)可求得K2＝≈8.523>7.879.因此有99.5%的把握認為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)．(3)設(shè)常喝碳酸飲料的肥胖男生為A，B，C，D，女生為E，F(xiàn)，任取兩人的取法有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15種．其中一男一女的取法有AE，AF，BE，BF，CE，CF，DE，DF，共8種．故抽出一男一女的概率是P＝.19、已知四棱錐的底面是正方形，底面，是上的任意一點。（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)時，求二面角的大小．20.解：(1)底面,所以底面是正方形,所以所以平面又平面，所以平面平面（2）證明：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點為坐標(biāo)原點，所在的直線分別為軸.設(shè).由題意得，,，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，，設(shè)平面的法向量為，則令，則設(shè)二面角的平面角為，則.顯然二面角的平面角為鈍角，所以，即二面角的大小為.20．(本小題滿分12分)在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名.觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中隨機選3名歌手.(1)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率；(2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析：(1)設(shè)事件A表示：觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手.觀眾甲選中3號歌手的概率為，觀眾乙未選中3號歌手的概率為1－.所以P(A)＝×＝.因此，觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率為.(2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，則X可取0,1,2,3.觀眾甲選中3號歌手的概率為，觀眾乙選中3號歌手的概率為.當(dāng)觀眾甲、乙、丙均未選中3號歌手時，這時X＝0，P(X＝0)＝×2＝.當(dāng)觀眾甲、乙、丙中只有1人選中3號歌手時，這時X＝1，P(X＝1)＝×2＋××＋××＝＝.當(dāng)觀眾甲、乙、丙中只有2人選中3號歌手時，這時X＝2，P(X＝2)＝××＋××＋××＝＝.當(dāng)觀眾甲、乙、丙均選中3號歌手時，這時X＝3，P(X＝3)＝×2＝.X的分布列如下表：X0123P所以數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.21、已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點F(1,0)