浙江省臺(tái)州市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月期末考試數(shù)學(xué)試題

臺(tái)州市2023學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)期末質(zhì)量評(píng)估試卷數(shù)學(xué)2024.6命題：葉挺（三門縣教師發(fā)展中心）王莎莎（臺(tái)州一中）審題：范偉峰（天臺(tái)中學(xué)）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則的實(shí)部為（）A.2 B.1 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)實(shí)部的定義可求解.【詳解】復(fù)數(shù)的實(shí)部為.故選：B.2.已知，若，則（）A.6 B.4 C.2 D.6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，解得故選：A.3.用斜二測(cè)畫法畫水平放置的邊長(zhǎng)為1的正方形，所得直觀圖的周長(zhǎng)為（）A.4 B.3 C. D.2【答案】B【解析】【分析】畫出直觀圖，結(jié)合斜二測(cè)畫法線段關(guān)系得到直觀圖中相關(guān)的線段長(zhǎng)度，即可得解.【詳解】如圖平面正方形邊長(zhǎng)為，則直觀圖如下所示：則，，，所以直觀圖的周長(zhǎng)為.故選：B4.在下列四組數(shù)中，方差最大的一組是（）①；②；③；④.A.① B.② C.③ D.④【答案】D【解析】【分析】只需按照樣本數(shù)據(jù)的方差公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】易知四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)均為4；對(duì)選項(xiàng)A，方差；對(duì)選項(xiàng)B，方差;對(duì)選項(xiàng)C，方差;對(duì)選項(xiàng)D，方差.故選：D.5.一條河的兩岸平行，河寬，一艘船從河岸邊的某處出發(fā)到河對(duì)岸.設(shè)船在靜水中行駛的速度的大小為，水流速度的大小為.當(dāng)船以最短距離到對(duì)岸時(shí)，船行駛所用的時(shí)間（保留兩位小數(shù)）為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】要使航程最短，需使船的速度與水流速度的合成速度必須垂直于對(duì)岸，利用勾股定理求出合速度，從而可求出航行時(shí)間.【詳解】設(shè)一艘船從岸邊A處出發(fā)到河的正對(duì)岸，設(shè)船的速度，水流速度，要使航程最短，需使船的速度與水流速度的合成速度必須垂直于對(duì)岸，如圖指：，所以.故選：A.6.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子1次，記“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”，“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)”，則（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意利用列表法結(jié)合古典概型求，結(jié)合概率的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由題意可知：基本事件的總數(shù)為，對(duì)于事件A，列表如下：

1234561√╳√╳√╳2╳√╳√╳√3√╳√╳√╳4╳√╳√╳√5√╳√╳√╳6╳√╳√╳√可知，則；對(duì)于事件B，列表如下：

1234561╳√╳√╳√2√√√√√√3╳√╳√╳√4√√√√√√5╳√╳√╳√6√√√√√√可知，則；對(duì)于事件，列表如下：

1234561╳╳╳╳╳╳2╳√╳√╳√3╳╳╳╳╳╳4╳√╳√╳√5╳╳╳╳╳╳6╳√╳√╳√可知，則；對(duì)于選項(xiàng)A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：，故D錯(cuò)誤；故選：C.7.如圖所示，在同一個(gè)鉛垂面，在山腳測(cè)得山頂仰角為，斜坡長(zhǎng)為，在處測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?，則山的高度為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】在中，由正弦定理得，，得，在直角三角形中，，即可求解.【詳解】解：如圖所示：因?yàn)?，，所以，則，在中，由正弦定理得，，則，得，在直角三角形中，，得.故選：D8.設(shè)是樣本空間中三個(gè)概率大于0的隨機(jī)事件，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A.互斥事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件B.事件相互獨(dú)立與互斥不能同時(shí)成立C.若成立，則事件與相互獨(dú)立D.若成立，則事件一定兩兩獨(dú)立【答案】D【解析】【分析】利用互斥事件與對(duì)立事件的概念可判斷A；利用互斥事件的概念及獨(dú)立事件的概念可判斷BCD.【詳解】對(duì)于A，互斥事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋羰录嗷オ?dú)立，則，故事件不互斥，若事件互斥，則，故事件不獨(dú)立，所以事件相互獨(dú)立與互斥不能同時(shí)成立，故B正確；對(duì)于C，若成立，則事件與相互獨(dú)立，故C正確；對(duì)于D，若成立，不一定能得出，，，則事件不一定兩兩獨(dú)立，故D錯(cuò)誤.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在復(fù)平面內(nèi)，滿足下列條件的復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)在同一個(gè)圓上的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由復(fù)數(shù)幾何意義，計(jì)算它們的模，得這4個(gè)點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上.，根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)提供的條件進(jìn)行判斷.【詳解】因?yàn)?，所以，因此這4個(gè)點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上.所以；對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，故C正確；對(duì)于D，解得，所以，故D錯(cuò)誤；故選：BC.10.為了實(shí)現(xiàn)綠色發(fā)展，避免浪費(fèi)能源，某市政府計(jì)劃對(duì)居民用電采用階梯收費(fèi)方法.為此，相關(guān)部門在該市隨機(jī)調(diào)查了戶居民六月份的用電量（單位：），以了解這個(gè)城市家庭用電量的情況.通過(guò)收集?整理數(shù)據(jù)，得到如下頻率分布直方圖.則下列選項(xiàng)正確的是（）A.直方圖中B.在被調(diào)查的用戶中，用電量不超過(guò)的戶數(shù)為C.這戶居民六月份用電量的平均數(shù)小于中位數(shù)D.估計(jì)該市居民六月份用電量的第百分位數(shù)約為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，由頻率分布直方圖矩形面積之和為即可解得；對(duì)于B，計(jì)算前三組的頻率即可；對(duì)于C，計(jì)算平均數(shù)和中位數(shù)作比較即可；對(duì)于D，設(shè)第百分位數(shù)為，則在第三組，由計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A，由頻率分布直方圖矩形面積之和為得，解得，故A正確；對(duì)于B，用電量不超過(guò)的頻率為，所以戶數(shù)為，故B正確；對(duì)于C，平均數(shù)為設(shè)中位數(shù)為，則在第三組，即，解得，故平均數(shù)大于中位數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)第百分位數(shù)為，則在第三組，，解得，故D正確.故選：ABD.11.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列選項(xiàng)正確的是（）A.若直線與直線所成角為，則的最大值為B.若直線與平面所成角為，則的最大值為C.若點(diǎn)到平面的距離為，則的最小值為D.若過(guò)三點(diǎn)的平面截正方體所得截面面積為，則的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，根據(jù)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況，求得即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B，根據(jù)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況找到使角最大的位置即可求解；對(duì)于選項(xiàng)C，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)到面和點(diǎn)到線的距離轉(zhuǎn)化求解即可；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)截面為經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，的中點(diǎn)時(shí)，面積最小.【詳解】對(duì)A，當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到與M點(diǎn)重合時(shí)，求得，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，因?yàn)?，所以?dāng)線段最小時(shí)，最大，分析知，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到滿足時(shí)，最小，此時(shí)根據(jù)勾股定理，也最小.又因?yàn)槠矫妫?，又，，所以平面，所?在中，由勾股定理得，由得，在中，由勾股定理得.在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，所以中，，故B正確；對(duì)C，過(guò)作，再作，又，易證平面，所以點(diǎn)到平面等于點(diǎn)到平面，所以，將平面和平面展開放在同一平面內(nèi)（如圖所示），取的中點(diǎn)，則有，所以，所以為等腰直角三角形，所以，又因?yàn)闉榈妊苯侨切?，所以，所以，所以，設(shè)，，則，，在中，，所以，所以，，所以，下面求其最小值，令，則，由輔助角公式可得，，其中取，所以，所以存在角使得，即存在，化簡(jiǎn)得，，又由方程解得，所以或，又因?yàn)?，所以，所以的最小值為，故C正確；對(duì)D，分析知，經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的平面截正方體得到的截面經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，的中點(diǎn)時(shí)，截面面積最小，此時(shí)截面為四邊形，由于，，，都全等，所以，所以四邊形為菱形，易求，，所以，故D正確.，故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）本題關(guān)鍵是把動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，找到符合條件的特殊位置，從而判斷角度變化情況；（2）動(dòng)點(diǎn)到面和動(dòng)點(diǎn)到線的距離通過(guò)平面幾何知識(shí)（將軍飲馬）轉(zhuǎn)化求解，也可以采用代數(shù)方法求解，但是求三角函數(shù)的值域是一個(gè)難點(diǎn)，要注意轉(zhuǎn)化求解；（3）要分析出截面為經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，的中點(diǎn)時(shí)，面積最小.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某學(xué)校有高二學(xué)生600人，其中男生360人，女生240人.有人為了獲得該校全體高二學(xué)生的身高信息，采用分層抽樣的方法抽取了容量為100的總樣本（觀測(cè)數(shù)據(jù)單位：），若已知男生樣本的平均數(shù)為172，女生樣本的平均數(shù)為162，則總樣本的平均數(shù)是__________.【答案】168【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣求各層人數(shù)，結(jié)合平均數(shù)公式分析求解.【詳解】由題意可知：男、女生所占的頻率分別為、，則抽取的男、女生人數(shù)分別為、，所以總樣本的平均數(shù).故答案為：168.13.已知正四棱臺(tái)，下底面邊長(zhǎng)為，側(cè)面與下底面所成二面角的大小為，則該正四棱臺(tái)的體積可能為__________（寫出一個(gè)即可）【答案】（介于區(qū)間內(nèi)都可以，答案不唯一）.【解析】【分析】根據(jù)二面角的平面角的大小計(jì)算出高，然后利用柱體、錐體和臺(tái)體之間的關(guān)系求解.【詳解】如下圖，延長(zhǎng)棱臺(tái)母線交于點(diǎn)，過(guò)作平面ABCD于G，連接S，G與AB中點(diǎn)F，則.又，所以，.又棱臺(tái)的高度不確定，所以.故答案為：（介于區(qū)間內(nèi)都可以，答案不唯一）.14.已知線段為的兩條內(nèi)角平分線，若，且，則的值為__________.【答案】##【解析】【分析】可以先利用數(shù)量積定義得到角A，然后利用數(shù)量積定義和正弦定理轉(zhuǎn)化條件，再綜合利用三角變換知識(shí)得到結(jié)果.【詳解】由，所以.因?yàn)?，所以，即，則.在中應(yīng)用正弦定理，，所以，又，所以，即，展開，整理可得，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題為三角變換與解三角形綜合問(wèn)題，其中向量可以看成給出條件的載體.首先我們需要把向量數(shù)量積關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系，然后利用三角變換，在方程思想的指導(dǎo)下解決問(wèn)題.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.在四棱錐中，底面，為中點(diǎn)，為棱上任意一點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，證明四邊形是平行四邊形，得，由線面平行的判定定理求解；（2）通過(guò)證明平面，求解即可.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連接.則是的中位線，得，且.因?yàn)?，且，所以，且，因此，四邊形是平行四邊形，?又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?【小問(wèn)2詳解】連接，不妨設(shè)，由，在直角梯形中，求得，因?yàn)?，所以，因?yàn)榈酌?，平面，所以，又，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所?16.在中，，設(shè).（1）用表示；（2）若，則當(dāng)時(shí)，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合圖形，利用向量加，減，數(shù)乘的運(yùn)算法則，即可求解；（2）利用已知可得，進(jìn)而可得，求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，，因?yàn)?，所以?【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以，因?yàn)椋裕?17.某商店在“五一”期間舉辦促銷活動(dòng)，設(shè)立了抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié)，在一個(gè)不透明的抽獎(jiǎng)箱里放置6個(gè)大小質(zhì)地完全相同的三種顏色的球，其中1個(gè)白球，2個(gè)紅球，3個(gè)黑球.凡在本店累計(jì)消費(fèi)滿百元的顧客，可以持購(gòu)物憑證參與一次抽獎(jiǎng)活動(dòng).抽獎(jiǎng)采用不放回方式從中依次隨機(jī)地取出2個(gè)球，若取到兩球同色，則稱為中獎(jiǎng)，可以領(lǐng)取一張優(yōu)惠券；若取到兩球異色，則稱為不中獎(jiǎng).一次抽獎(jiǎng)結(jié)束后，取出的球放回抽獎(jiǎng)箱，供下一位顧客抽獎(jiǎng).（1）若一位顧客參與一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，求這位顧客中獎(jiǎng)的概率；（2）現(xiàn)有甲?乙兩位顧客各參與一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，求兩人中至少有一人中獎(jiǎng)的概率.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）列舉法應(yīng)用古典概型公式計(jì)算即可；（2）應(yīng)用對(duì)立事件結(jié)合概率乘積公式計(jì)算即得.【小問(wèn)1詳解】將白球編號(hào)為1，紅球編號(hào)為2，3，黑球編號(hào)為.記“取到兩球同色”，，，，因此，【小問(wèn)2詳解】記“甲顧客中獎(jiǎng)”，“乙顧客中獎(jiǎng)”，相互獨(dú)立，則.18.在中，角所對(duì)的邊分別為，滿足.（1）求的值；（2）當(dāng)與邊上的中線長(zhǎng)均為2時(shí)，求的周長(zhǎng)；（3）當(dāng)內(nèi)切圓半徑為1時(shí)，求面積的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及兩角和得正弦公式化簡(jiǎn)即可得解；（2）利用余弦定理及向量化求出，即可得解；（3）先利用等面積法求出與的關(guān)系，再結(jié)合余弦定理可求出與的關(guān)系，再結(jié)合基本不等式及三角形的面積公式即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，又由，?因?yàn)?，所以；【小?wèn)2詳解】由余弦定理得，即，①設(shè)的中點(diǎn)為，則，則，則，②由①②得，聯(lián)立，解得，所以，即的周長(zhǎng)為；【小問(wèn)3詳解】由（1）得，由內(nèi)切圓半徑為1，得，即，由余弦定理得，所以，得，因?yàn)?，所以，解得或，又因?yàn)榈拿娣e大于其內(nèi)切圓面積，即，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的面積取到最小值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解三角形的基本策略：（1）利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”；（2）利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”.求三角形有關(guān)代數(shù)式的取值范圍也是一種常見(jiàn)的類型，主要方法有兩類：（1）找到邊與邊之間的關(guān)系，利用基本不等式來(lái)求解；（2）利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解.19.據(jù)報(bào)道，2024年4月15日，正值全民國(guó)家安全教育日，田灣核電8號(hào)機(jī)組穹頂球冠吊裝成功（如圖（1）），標(biāo)志著國(guó)內(nèi)最重核電機(jī)組薄殼鋼襯里穹頂?shù)跹b工作安全完成，有力推動(dòng)了我國(guó)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)和能源結(jié)構(gòu)的調(diào)整，助力“雙碳”目標(biāo)順利實(shí)現(xiàn).報(bào)道中提到的球冠是一個(gè)空間幾何概念，它是指球面被一個(gè)平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直徑被截得的部分是球冠的高.球冠面積等于截得它的球面上大圓（過(guò)球心的截面圓）周長(zhǎng)與球冠的高的乘積.和球冠相對(duì)應(yīng)的幾何體叫球缺，它是指球體被一個(gè)平面所截得的一部分，截面是球缺的底.當(dāng)球缺的高小于球半徑時(shí)，我們把球缺與以球缺的底為底?以球心為頂點(diǎn)的圓錐所構(gòu)成的體，稱作“球錐