2021屆人教a版（文科數(shù)學(xué)） 推理與證明 單元測(cè)試

2021屆人教A版（文科數(shù)學(xué)）推理與證明單元測(cè)試

（2）

1、“所有金屬都能導(dǎo)電，鐵是金屬，所以鐵能導(dǎo)電”這種推理方法屬于（）

A.演繹推理B.類比推理C.合情推理D.歸納推理

2、與“實(shí)數(shù)a，b,c不全為0”等價(jià)的條件是（）

A.a,b,c均不為oB.a,b,c中至少有一個(gè)為o

C.a,b,c中至多有一個(gè)為oD.a,b,c中至少有一個(gè)不為o

3、在人鉆。內(nèi)有任意三點(diǎn)不共線的2016個(gè)點(diǎn)，加上ARC三個(gè)頂點(diǎn)，共2019

個(gè)點(diǎn)，把這2019個(gè)點(diǎn)連線形成互不重疊的小三角形，則一共可以形成小三角形的

個(gè)數(shù)為（）

A.4033B.4031C.4029D.4027

4、由①安夢(mèng)怡是高二（1）班的學(xué)生，②安夢(mèng)怡是獨(dú)生子女，③高二（1）班的學(xué)

生都是獨(dú)生子女，寫一個(gè)“三段論”形式的推理，則大前提，小前提和結(jié)論分別為

（）

A.②①③B.②③①C.①@③D.③①②

5、由①正方形的對(duì)角線相等,②平行四邊形的對(duì)角線相等,③正方形是平行四邊形,

根據(jù)“三段論”推理出一個(gè)結(jié)論,則這個(gè)結(jié)論是（）

A.正方形的對(duì)角線相等

B.平行四邊形的對(duì)角線相等

C.正方形是平行四邊形

D.以上均不正確

6、有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了四位歌

手，甲說(shuō)：“是乙或丙獲獎(jiǎng).”乙說(shuō)：“甲、丙都未獲獎(jiǎng).”丙說(shuō)：“我獲獎(jiǎng)了.”

丁說(shuō)：”是乙獲獎(jiǎng).”四位歌手的話只有兩位是對(duì)的，則獲獎(jiǎng)的歌手是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

7、

將正偶數(shù)按如圖規(guī)律排列，第21行中，從左向右，第5個(gè)數(shù)是（）

2

468

1012141618

20222426283032

A.806B.808C.810D.812

8、三角形的面積為S=g（a+0+c）/,a,"c為三角形的邊長(zhǎng)，r為三角形內(nèi)切圓

的半徑，利用類比推理，可得出四面體的體積為（）

A.V=—abc

3

B.V=-S/z

3

C.V=1（S]+S2+S3+S”

（5|5S2,S3,S4分別為四面體的四個(gè)面的面積，r為四面體內(nèi)切球的半徑）

D.V=（（"+*+4（?）人,（〃為四面體的高

9、

楊輝三角形”是古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年,

如圖是三角形數(shù)陣，記明為圖中第〃行各個(gè)數(shù)之和，則%+4的值為（）

1

11

121

1331

14641

15101051

A.528B.1020C.1038D.1040

10已知%>0,由不等式

1J1-4xx4xx4-mi,,、人

xH—2?—=2,xd—-=—+—H——3?/—,—=3,…，可以推出結(jié)論：

xVx%222%-V22x2

x+=2〃+1（〃GN*）,貝（二（）

A.2nB.3nC.n2D.nn

11、下面給出了四個(gè)類比推理：

①。，b為實(shí)數(shù)，若+匕2=0,則〃=力=0；類比推出：4*2為復(fù)數(shù)，若z；+z；=0,

則Zj=z2=0.

②若數(shù)列｛。,｝是等差數(shù)列，a=:（q+4+…+，則數(shù)列也卜也是等差數(shù)列；

類比推出：若數(shù)列｛%｝是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，d?=，則數(shù)列｛<｝

也是等比數(shù)列.

③若R,則（必）。=。僅。）；類比推出：若々,51為三個(gè)向量，則

｛a-b^-c=a-｛b.

④若圓的半徑為。，則圓的面積為工/；類比推出：若橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為明短半軸

長(zhǎng)為從則橢圓的面積為左。江上述四個(gè)推理中，結(jié)論正確的是（）

A.①②B.②③C.①④D.②④

12、將正奇數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，則第21行從左向右的第5個(gè)數(shù)為（）

357

911131517

19212325272931

A.731B.809C.852D.891

13、

已知A、B兩所大學(xué)的專業(yè)設(shè)置都相同(專業(yè)數(shù)均不小于2),數(shù)據(jù)顯示，A大學(xué)的各

專業(yè)的男女生比例均高于B大學(xué)的相應(yīng)專業(yè)的男女生比例(男女比例是指男生人數(shù)

與女生人數(shù)比).據(jù)此，

甲同學(xué)說(shuō)：“A大學(xué)的男女比例一定高于B大學(xué)的男女生比例”；

乙同學(xué)說(shuō)：“A大學(xué)的男女比例不一定高于B大學(xué)的男女生比例”；

丙同學(xué)說(shuō)：“兩所大學(xué)的全體學(xué)生的男女比例一定高于B大學(xué)的男女生比例”.

其中，說(shuō)法正確的同學(xué)是.

14、對(duì)于大于或等于2的自然數(shù)m的n次塞進(jìn)行如圖方式的“分裂”.仿此，52

的“分裂”中最大的數(shù)是,若m3的“分裂”中最小的數(shù)是211,則m的值為

15、設(shè)玉，々，…，/為1，2,…，10的一個(gè)排列，則滿足對(duì)任意正整數(shù)機(jī)，〃，且

1<m<n<10,都有xin+m<xtl+n成立的不同排列的個(gè)數(shù)為

16、觀察下列等式：C；+C；=23—2,C；+C^+C^27+23,

以+/+Ct+循=2"-2\C+g+J+C：；+C；；=215+2\

由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論：

對(duì)于〃eN*,Cl?+1+C：?+1+C：?+l+…+C：：：；=.

2

y=f(x)=-+x

17、求函數(shù)x在下列各點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).

(1)y=Xo；(2)x=l⑶x=-2.

18、(1)在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且5訪8+0=屈。$8證明：

c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c).

(2)已知結(jié)論：在直角三角形中，若兩直角邊長(zhǎng)分別為心兒斜邊長(zhǎng)為c,則斜邊上

ab

h=——

的高C.若把

該結(jié)論推廣到空間：在側(cè)棱互相垂直的四面體A-BCD中，若三個(gè)側(cè)面的面積分別為

S1，S2，S3,底面面積為S,則該四面體的高H與之間的關(guān)系是什么？(用$1戶2萬(wàn)3表

示H)

19、用反證法證明：如果那么-+2x—IwO.

2

20、設(shè)n6N+且sinx+cosx=-1,求sidx+cosnx的值.(先觀察n=l,2,3,4

時(shí)的值，歸納猜測(cè)sinh+cosh的值.)

xyxy

21、是否存在常數(shù)C,使得不等式另麗+肝藥＜用②+公石對(duì)任意正數(shù)x,

y恒成立？試證明你的結(jié)論.

22、已知AABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,其面積為S,則AABC的內(nèi)切圓。。的半徑

2S

'a+b+c.這是一道平面幾何題，其證明方法采用“等面積法”.由平面類比到空

間，設(shè)空間四面體ABCD的各表面面積分別為$1，$243品，其體積為V,四面體ABCD的

內(nèi)切球半徑為r,試猜測(cè)對(duì)空間四面體ABCD存在什么類似結(jié)論？并加以證明.

參考答案

1、答案A

大前提所有金屬都能導(dǎo)電，小前提鐵是金屬，結(jié)論鐵能導(dǎo)電，這是演繹推理的三段論，

故選A.

考查目的：演繹推理.

2、答案D

“不全為0”指的是“部分為0或者全不為0”,/.實(shí)數(shù)a、b、c不全為0的條件是

a、b、c至少有一個(gè)不為0,故選D

3、答案A

先得到所有三角形的內(nèi)角和，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180’,可得三角形的個(gè)數(shù)，得到

答案.

詳解

由題意，三角形的內(nèi)角和為18。'，

又以內(nèi)部每個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的角的和為一個(gè)周角是360，

則2016個(gè)點(diǎn)的角的總和5=2016x360',加上三角形原來(lái)的內(nèi)角和180。，

所以所有三角形的內(nèi)角和'=180+2016x360=180（1+2016x2）,

所以三角形的個(gè)數(shù)為1+2016x2=4033,

故選A.

名師點(diǎn)評(píng)

本題主要考查了合情推理的應(yīng)用，其中解答根據(jù)各三角形內(nèi)角總和得到三角形的個(gè)數(shù)是

解答本題的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.

4、答案D

根據(jù)三段論推理的形式“大前提，小前提，結(jié)論”，根據(jù)大前提、小前提和結(jié)論的關(guān)系，

即可求解.

詳解

由題意，利用三段論的形式可得演繹推理的過(guò)程是：

大前提：③高二（1）班的學(xué)生都是獨(dú)生子女；

小前提：①安夢(mèng)怡是高二（1）班的學(xué)生；

結(jié)論：②安夢(mèng)怡是獨(dú)生子女，故選D.

名師點(diǎn)評(píng)

本題主要考查了演繹推理中的三段論推理，其中解答中正確理解三段論推理的形式是解

答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.

5、答案A

三段論是由兩個(gè)含有一個(gè)共同項(xiàng)的性質(zhì)判斷作前提得出一個(gè)新的性質(zhì)判斷為結(jié)論的演

繹推理.在三段論中，含有大項(xiàng)的前提叫大前提，如本例中的“平行四邊形的對(duì)角線相

等”；含有小項(xiàng)的前提叫小前提，如本例中的“正方形是平行四邊形”.另外一個(gè)是結(jié)

論.

詳解

演繹推理三段論可得

“三段論”推理出一個(gè)結(jié)論，則這個(gè)結(jié)論是：”正方形的對(duì)角線相等“，

故選：A.

名師點(diǎn)評(píng)

三段論推理是演繹推理中的一種簡(jiǎn)單判斷推理.它包含兩個(gè)性質(zhì)判斷構(gòu)成的前提，和一

個(gè)性質(zhì)判斷構(gòu)成的結(jié)論.一個(gè)正確的三段論有僅有三個(gè)詞項(xiàng)，其中聯(lián)系大小前提的詞項(xiàng)

叫中項(xiàng)；出現(xiàn)在大前提中，又在結(jié)論中做謂項(xiàng)的詞項(xiàng)叫大項(xiàng)；出現(xiàn)在小前提中，又在結(jié)

論中做主項(xiàng)的詞項(xiàng)叫小項(xiàng).

6、答案C

若甲是獲獎(jiǎng)的歌手，則四句全是假話，不合題意；若乙是獲獎(jiǎng)的歌手，則甲、乙、丁都

說(shuō)真話，丙說(shuō)假話，與題意不符；若丁是獲獎(jiǎng)的歌手，則甲、丁、丙都說(shuō)假話，乙說(shuō)真

話，與題意不符；當(dāng)丙是獲獎(jiǎng)的歌手，甲、丙說(shuō)了真話，乙、丁說(shuō)了假話，與題意相符.

故選C.

名師點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的是簡(jiǎn)單的合情推理題，解決本題的關(guān)鍵是假設(shè)甲、乙、丙、

丁分別是獲獎(jiǎng)歌手時(shí)的，甲乙丙丁說(shuō)法的正確性即可.

7、答案C

試題分析：根據(jù)正偶數(shù)的排列規(guī)律，第一行有1個(gè)偶數(shù)，第二行有3個(gè)偶數(shù)，…第n行

有2n-1個(gè)偶數(shù)，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求出前20行的正偶數(shù)個(gè)數(shù)，求出第

21行從左向右的第5個(gè)數(shù)是第幾個(gè)正偶數(shù)，根據(jù)第n個(gè)偶數(shù)a.=2n求出即可.

解：根據(jù)分析，第20行正偶數(shù)的個(gè)數(shù)是：2X20-1=39（個(gè)），

所以前20行的正偶數(shù)的總個(gè)數(shù)是：1+3+5+…+39=2°（1+39）=的。（個(gè)），

2

因此第21行從左向右的第5個(gè)數(shù)是第405個(gè)正偶數(shù)，

所以這個(gè)數(shù)是:2X405=810.

故選：C.

考查目的：歸納推理.

8、答案C

設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為0,則球心0到四個(gè)面的距離都是r,根據(jù)三角形的面積的

求解方法：分割法，將。與四頂點(diǎn)連起來(lái)，可得四面體的體積等于以。為頂點(diǎn)，分別以

四個(gè)面為底面的4個(gè)三棱錐體積的和，+S2+S3+S4y.

9、答案D

第一行數(shù)字之和為l=2i

第二行數(shù)字之和為2=2?T

第三行數(shù)字之和為4=23T

第四行數(shù)字之和為8=2"i

第〃行數(shù)字之和為2"T

=24+210=16+1024=1040

故選D

10、答案D

11,答案D

22

①在復(fù)數(shù)集C中，若Zi,z2GC,ZI+Z2=0,則可能ZI=1且Zz=i.故錯(cuò)誤；

②在類比等差數(shù)列的性質(zhì)推理等比數(shù)列的性質(zhì)時(shí)，我們一般的思路有：由加法類比推理

為乘法，由減法類比推理為除法，由算術(shù)平均數(shù)類比推理為幾何平均數(shù)等，故我們可以

類比推出：若數(shù)列｛cj是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，&=也￡…q,，則數(shù)列｛d｝也是等

比數(shù)列.正確；

③由若a,b,cGR則（ab）c=a（be）；類比推出：若G,瓦無(wú)為三個(gè)向量則

[ab^-c-a｛bc^.,不正確，因?yàn)椋o(wú)5）?「與C共線，無(wú)（6可與互共線，當(dāng)a、c

方向不同時(shí)，向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)合律不成立；

④若圓的半徑為a,則圓的面積為na2；類比推出：若橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a,短半軸長(zhǎng)

為b,則橢圓的面積為頁(yè)ab.根據(jù)圓是橢圓的特殊情形驗(yàn)證可知正確.

故選：D.

名師點(diǎn)評(píng)：逐個(gè)驗(yàn)證：①數(shù)集有些性質(zhì)以傳遞的，但有些性質(zhì)不能傳遞，因此，要判斷

類比的結(jié)果是否正確，關(guān)鍵是要在新的數(shù)集里進(jìn)行論證，當(dāng)然要想證明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤

的，也可直接舉一個(gè)反例；②在類比等差數(shù)列的性質(zhì)推理等比數(shù)列的性質(zhì)時(shí)，我們一般

的思路有：由加法類比推理為乘法，由減法類比推理為除法，由算術(shù)平均數(shù)類比推理為

幾何平均數(shù)等；

③向量要考慮方向；區(qū)分向量的數(shù)乘和點(diǎn)積.④根據(jù)圓是橢圓的特殊情形驗(yàn)證可知正確.

12、答案B

由題意得，前20行共有正奇數(shù)1+3+5++39=202=400個(gè)，

則第21行從左向右的第5個(gè)數(shù)是第405個(gè)正奇數(shù)，

所以這個(gè)數(shù)是2X405?1=809.

故選：B

13、答案乙

根據(jù)A大學(xué)的各專業(yè)的男女比例均高于B大學(xué)的各專業(yè)的男女比例，可知甲、丙不一定正

確，所以A大學(xué)的男女比例有可能等于B大學(xué)的男女比例，

即A大學(xué)的男女生比例不一定高于B大學(xué)的男女生比例，故說(shuō)法正確的同學(xué)是乙.

名師點(diǎn)評(píng)：本題考查了合情推理，對(duì)于合情推理主要包括歸納推理和類比推理.數(shù)學(xué)研

究中，在得到一個(gè)新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之

前，合情推理常常能為證明提供思路與方向.合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得

到的結(jié)論不一定正確.而演繹推理得到的結(jié)論一定正確（前提和推理形式都正確的前提

下）.

14、答案915

根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，不難發(fā)現(xiàn)：在r?中所分解的最大的數(shù)是2n-l；在/中，所分解的最

小數(shù)是n^n+l.再根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求結(jié)果.

詳解

解：根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，不難發(fā)現(xiàn)：在n?中所分解的最大的數(shù)是2n-l；在r?中，所分解

的最小數(shù)是n2-n+l.

根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可求52分裂中，最大數(shù)是5X2T=9；

若m：'的“分裂”中最小數(shù)是211,則nJn+l=2H

n=15或T4(負(fù)數(shù)舍去).

故答案為：9；15.

名師點(diǎn)評(píng)

本題考查歸納推理，考查綜合分析與判斷能力，屬中檔題.

15、答案512

由題意可得X+1+2W芻+3<…K/+94%+10,即相鄰的兩個(gè)數(shù)％—x,用<1,

考慮歸納法，對(duì)于兩個(gè)數(shù)，有兩種排列1,2和2,1,現(xiàn)在插入3,每種情況中，只有兩

種符合的。對(duì)符合的1,2,3三個(gè)數(shù)的排列有四種，現(xiàn)插入4,發(fā)現(xiàn)每種排列符合的都

是兩種，因?yàn)椴迦氲暮笠粋€(gè)數(shù)n只能插在nT的兩邊。所以每插入一個(gè)新數(shù)數(shù)，就增加

兩種情況。綜上，總共是29=512。

名師點(diǎn)評(píng)

本題通過(guò)歸納，可知每加一個(gè)數(shù)時(shí)，排列數(shù)翻倍。這是處理數(shù)值較多時(shí)的一個(gè)常用方法

屬于降維的思想。

16、答案2務(wù)1+(_1)"22"T

\1

-------1-1

2.

17、答案⑴X。(2)-1(3)2

試題分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可求出.

詳解

2，、2

f(x)=-+x-+1

解：：X,X.

,2

f(x0)=--+l

(1)當(dāng)x=x0時(shí)，xo.

,2

f(1)=----+1=-1

(2)當(dāng)21時(shí)，I2.

,21

f(-2)=-----------F1=-

(3)當(dāng)x=-2時(shí)，(-2產(chǎn)2

名師點(diǎn)評(píng)

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.

18、答案(1)證明見.

^^3

H==-----------

⑵s.

n

試題分析：分析：⑴由sin(A+C)=^cosB,得tanB=B貝|-3,利用分析法要證

22「2.

c+a-b1

222——

c(b+c)+a(a+b)=(a+bNb+c),只需證明即證c+a-b=ac,只需證2ac2,即證

111sle

cosB=--SH=-S]CH=——

2,從而可得結(jié)論；(2)由331,得S,于是

\111

H星2(-ab)(-bc)(-ac)

222

Ss,從而可得結(jié)論.

n

詳解：(1)證明：由sin(A+C)=JicosB,得tanB=6則-3

要證c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),

222

只需證c+bc+a+ab=ab+ac+b+bc,

?22,2

即證c+a-b=ac

22.2

c+a-bd11

cosB=-

只需證2ac2,即證2,

n1

B=-cosB=-

面3,2顯然成立，故c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)

(2)解：記該四面體A-BCD的三條側(cè)棱長(zhǎng)分別為a,b,c,

111

S-=-ab,S^=-bc,Sa=-ac

不妨設(shè)12*2232

11

_SH=_S〔c

由33

S'

H=——

得s,

匕2b2c2111

H色2(-ab)(-bc)(-ac)

4222

于是sSS

J2slss

H==------------

即s.

名師點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分析法證明以及類比推理的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題.分析法證明等

式的主要事項(xiàng)：用分析法證明等式時(shí)，不要把“逆求”錯(cuò)誤的作為“逆推”，分析法的

過(guò)程僅需尋求充分條件即可，而不是充要條件，也就是說(shuō)，分析法的思維是逆向思維，

因此在證題時(shí)，應(yīng)正確使用“要證”、“只需證”這樣的連接關(guān)鍵詞.

19、答案假設(shè)—=噎，則f+2x-lw0容易看出一1一行<_L,

,2

119

下面證明—1+正:要證：一1+女〈工，只需證：、用v3,只需證：2<-

2224

上式顯然成立,故有—1+走.綜上，x=—l土痣<4.

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而這與已知條件x>-相矛盾，因此假設(shè)不成立,也即原命題成立.

2

20、答案當(dāng)n=l時(shí)，sinx+cosx=-1；

當(dāng)n=2時(shí)，有sin2x+cos2x=1；

當(dāng)n=3時(shí)，有sin3x+cos3x=(sinx+cosx)(sin2x+cos2x—sinxcosx),

而sinx+cosx=-1,/.1+2sinxcosx=l,