2025屆廣西桂林市十八中數(shù)學(xué)高三上期末調(diào)研模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆廣西桂林市十八中數(shù)學(xué)高三上期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),則在上不單調(diào)的一個充分不必要條件可以是()A. B. C.或 D.2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的結(jié)果為()A. B. C. D.3.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn),則的值是A.1或 B.或 C.1或 D.或4.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則下列說法正確的是()A.的虛部為 B.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限C.的共軛復(fù)數(shù) D.5.已知集合,則()A. B. C. D.6.已知,,分別是三個內(nèi)角,,的對邊,,則()A. B. C. D.7.在中,在邊上滿足,為的中點(diǎn),則().A. B. C. D.8.若將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖象,則下列說法正確的是()A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)的周期是C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 D.函數(shù)在上最大值是19.已知函數(shù),,若方程恰有三個不相等的實(shí)根,則的取值范圍為()A. B.C. D.10.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.11.已知,如圖是求的近似值的一個程序框圖,則圖中空白框中應(yīng)填入A. B.C. D.12.函數(shù)在上為增函數(shù),則的值可以是()A.0 B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知F為雙曲線的右焦點(diǎn),過F作C的漸近線的垂線FD,D為垂足,且(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則C的離心率為________.14.已知二面角α﹣l﹣β為60°,在其內(nèi)部取點(diǎn)A,在半平面α,β內(nèi)分別取點(diǎn)B,C.若點(diǎn)A到棱l的距離為1,則△ABC的周長的最小值為_____.15.已知點(diǎn)P是直線y=x+1上的動點(diǎn),點(diǎn)Q是拋物線y=x2上的動點(diǎn).設(shè)點(diǎn)M為線段PQ的中點(diǎn),O為原點(diǎn),則16.定義在R上的函數(shù)滿足:①對任意的,都有;②當(dāng)時,,則函數(shù)的解析式可以是______________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,已知三棱柱中,與是全等的等邊三角形.(1)求證:;(2)若,求二面角的余弦值.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)、軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)若點(diǎn)在直線上,求直線的極坐標(biāo)方程;(2)已知,若點(diǎn)在直線上,點(diǎn)在曲線上,且的最小值為,求的值.19.(12分)某地在每周六的晚上8點(diǎn)到10點(diǎn)半舉行燈光展,燈光展涉及到10000盞燈,每盞燈在某一時刻亮燈的概率均為,并且是否亮燈彼此相互獨(dú)立.現(xiàn)統(tǒng)計了其中100盞燈在一場燈光展中亮燈的時長(單位:),得到下面的頻數(shù)表:亮燈時長/頻數(shù)1020402010以樣本中100盞燈的平均亮燈時長作為一盞燈的亮燈時長.(1)試估計的值;(2)設(shè)表示這10000盞燈在某一時刻亮燈的數(shù)目.①求的數(shù)學(xué)期望和方差;②若隨機(jī)變量滿足,則認(rèn)為.假設(shè)當(dāng)時,燈光展處于最佳燈光亮度.試由此估計,在一場燈光展中,處于最佳燈光亮度的時長(結(jié)果保留為整數(shù)).附:①某盞燈在某一時刻亮燈的概率等于亮燈時長與燈光展總時長的商;②若,則,,.20.(12分)秉持“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念,為推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展,有必要調(diào)查研究新能源汽車市場的生產(chǎn)與銷售.下圖是我國某地區(qū)年至年新能源汽車的銷量(單位:萬臺)按季度(一年四個季度)統(tǒng)計制成的頻率分布直方圖.(1)求直方圖中的值,并估計銷量的中位數(shù);(2)請根據(jù)頻率分布直方圖估計新能源汽車平均每個季度的銷售量(同一組數(shù)據(jù)用該組中間值代表),并以此預(yù)計年的銷售量.21.(12分)已知函數(shù),.(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為,求,;(2)當(dāng)時,,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)如圖,在四棱錐中,底面是矩形,四條側(cè)棱長均相等.(1)求證:平面;(2)求證:平面平面.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

先求函數(shù)在上不單調(diào)的充要條件,即在上有解,即可得出結(jié)論.【詳解】,若在上不單調(diào),令,則函數(shù)對稱軸方程為在區(qū)間上有零點(diǎn)(可以用二分法求得).當(dāng)時,顯然不成立;當(dāng)時,只需或,解得或.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性及充分不必要條件,要注意二次函數(shù)零點(diǎn)的求法,屬于中檔題.2、D【解析】

由程序框圖確定程序功能后可得出結(jié)論.【詳解】執(zhí)行該程序可得.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖.解題可模擬程序運(yùn)行,觀察變量值的變化,然后可得結(jié)論,也可以由程序框圖確定程序功能,然后求解.3、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義求得后可得結(jié)論.【詳解】由題意得點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離.①當(dāng)時,,∴,∴.②當(dāng)時,,∴,∴.綜上可得的值是或.故選B.【點(diǎn)睛】利用三角函數(shù)的定義求一個角的三角函數(shù)值時需確定三個量:角的終邊上任意一個異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y,該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r,然后再根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.4、D【解析】

利用的周期性先將復(fù)數(shù)化簡為即可得到答案.【詳解】因?yàn)?,,,所以的周期?,故,故的虛部為2,A錯誤;在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為,在第二象限,B錯誤;的共軛復(fù)數(shù)為,C錯誤;,D正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,涉及到復(fù)數(shù)的虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模等知識,是一道基礎(chǔ)題.5、C【解析】

解不等式得出集合A,根據(jù)交集的定義寫出A∩B.【詳解】集合A={x|x2﹣2x﹣30}={x|﹣1x3},,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了解不等式與交集的運(yùn)算問題,是基礎(chǔ)題.6、C【解析】

原式由正弦定理化簡得,由于,可求的值.【詳解】解:由及正弦定理得.因?yàn)?,所以代入上式化簡?由于,所以.又,故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理解三角形,三角函數(shù)恒等變換等基礎(chǔ)知識;考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,屬于中檔題.7、B【解析】

由,可得,,再將代入即可.【詳解】因?yàn)?,所以,?故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)以及平面向量基本定理的應(yīng)用,是一道基礎(chǔ)題.8、A【解析】

根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點(diǎn)可得到解析式;利用整體對應(yīng)的方式可判斷出在上單調(diào)遞增,正確;關(guān)于點(diǎn)對稱,錯誤;根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知錯誤;根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)值域的求解可判斷出最大值無法取得,錯誤.【詳解】將橫坐標(biāo)縮短到原來的得:當(dāng)時,在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增,正確;的最小正周期為:不是的周期,錯誤;當(dāng)時,,關(guān)于點(diǎn)對稱,錯誤;當(dāng)時,此時沒有最大值,錯誤.本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì),涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調(diào)性和對稱性、正弦型函數(shù)在一段區(qū)間內(nèi)的值域的求解;關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用整體對應(yīng)的方式,通過正弦函數(shù)的圖象來判斷出所求函數(shù)的性質(zhì).9、B【解析】

由題意可將方程轉(zhuǎn)化為,令,,進(jìn)而將方程轉(zhuǎn)化為,即或,再利用的單調(diào)性與最值即可得到結(jié)論.【詳解】由題意知方程在上恰有三個不相等的實(shí)根,即,①.因?yàn)?,①式兩邊同除以,?所以方程有三個不等的正實(shí)根.記,,則上述方程轉(zhuǎn)化為.即,所以或.因?yàn)椋?dāng)時,,所以在,上單調(diào)遞增,且時,.當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,且時,.所以當(dāng)時,取最大值,當(dāng),有一根.所以恰有兩個不相等的實(shí)根,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.10、D【解析】

根據(jù)三視圖判斷出幾何體是由一個三棱錐和一個三棱柱構(gòu)成,利用錐體和柱體的體積公式計算出體積并相加求得幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知該幾何體的直觀圖是由一個三棱錐和三棱柱構(gòu)成,該多面體體積為.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三視圖還原為原圖,考查柱體和錐體的體積公式,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

由于中正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)交替出現(xiàn),根據(jù)可排除選項(xiàng)A、B;執(zhí)行第一次循環(huán):,①若圖中空白框中填入,則,②若圖中空白框中填入,則,此時不成立,;執(zhí)行第二次循環(huán):由①②均可得,③若圖中空白框中填入,則,④若圖中空白框中填入,則,此時不成立,;執(zhí)行第三次循環(huán):由③可得,符合題意,由④可得,不符合題意,所以圖中空白框中應(yīng)填入,故選C.12、D【解析】

依次將選項(xiàng)中的代入,結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象即可得到答案.【詳解】當(dāng)時,在上不單調(diào),故A不正確;當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,故B不正確;當(dāng)時,在上不單調(diào),故C不正確;當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,故D正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性,涉及到誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,是一道容易題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】

求出焦點(diǎn)到漸近線的距離就可得到的等式,從而可求得離心率.【詳解】由題意,一條漸近線方程為,即,∴,由得,∴,,∴.故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關(guān)鍵是求出焦點(diǎn)到漸近線的距離,從而得出一個關(guān)于的等式.14、【解析】

作A關(guān)于平面α和β的對稱點(diǎn)M,N,交α和β與D,E,連接MN,AM,AN,DE,根據(jù)對稱性三角形ADC的周長為AB+AC+BC=MB+BC+CN,當(dāng)四點(diǎn)共線時長度最短,結(jié)合對稱性和余弦定理求解.【詳解】作A關(guān)于平面α和β的對稱點(diǎn)M,N,交α和β與D,E,連接MN,AM,AN,DE,根據(jù)對稱性三角形ABC的周長為AB+AC+BC=MB+BC+CN,當(dāng)M,B,C,N共線時,周長最小為MN設(shè)平面ADE交l于,O,連接OD,OE,顯然OD⊥l,OE⊥l,∠DOE=60°,∠MOA+∠AON=240°,OA=1,∠MON=120°,且OM=ON=OA=1,根據(jù)余弦定理,故MN2=1+1﹣2×1×1×cos120°=3,故MN.故答案為:.【點(diǎn)睛】此題考查求空間三角形邊長的最值,關(guān)鍵在于根據(jù)幾何性質(zhì)找出對稱關(guān)系,結(jié)合解三角形知識求解.15、3【解析】

過點(diǎn)Q作直線平行于y=x+1,則M在兩條平行線的中間直線上,當(dāng)直線相切時距離最小,計算得到答案.【詳解】如圖所示:過點(diǎn)Q作直線平行于y=x+1,則M在兩條平行線的中間直線上,y=x2,則y'=2x=1,x=1點(diǎn)M為線段PQ的中點(diǎn),故M在直線y=x+38時距離最小,故故答案為:32【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中距離的最值問題,轉(zhuǎn)化為切線問題是解題的關(guān)鍵.16、(或,答案不唯一)【解析】

由可得是奇函數(shù),再由時,可得到滿足條件的奇函數(shù)非常多,屬于開放性試題.【詳解】在中,令,得;令,則,故是奇函數(shù),由時,,知或等,答案不唯一.故答案為:(或,答案不唯一).【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì),涉及到由表達(dá)式確定函數(shù)奇偶性,是一道開放性的題,難度不大.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)取BC的中點(diǎn)O,則,由是等邊三角形,得,從而得到平面,由此能證明(2)以,,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求得二面角的余弦值,得到結(jié)果.【詳解】(1)取BC的中點(diǎn)O,連接,,由于與是等邊三角形,所以有,,且,所以平面,平面,所以.(2)設(shè),是全等的等邊三角形,所以,又,由余弦定理可得,在中,有,所以以,,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則,,,設(shè)平面的一個法向量為,則,令,則,又平面的一個法向量為,所以二面角的余弦值為,即二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題,涉及到的知識點(diǎn)有利用線面垂直證明線性垂直,利用向量法求二面角的余弦值,屬于中檔題目.18、(1)(2)【解析】

(1)利用消參法以及點(diǎn)求解出的普通方程,根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化求解出直線的極坐標(biāo)方程;(2)將的坐標(biāo)設(shè)為,利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合三角函數(shù)的有界性,求解出取最小值時對應(yīng)的值.【詳解】(1)消去參數(shù)得普通方程為,將代入,可得,即所以的極坐標(biāo)方程為(2)的直角坐標(biāo)方程為直線的直角坐標(biāo)方程設(shè)的直角坐標(biāo)為∵在直線上,∴的最小值為到直線的距離的最小值∵,∴當(dāng),時取得最小值即,∴【點(diǎn)睛】本題考查直線的參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程的互化以及根據(jù)曲線上一點(diǎn)到直線距離的最值求參數(shù),難度一般.(1)直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化公式:;(2)求解曲線上一點(diǎn)到直線的距離的最值,可優(yōu)先考慮將點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為參數(shù)方程的形式,然后再去求解.19、(1)(2)①,,②72【解析】

(1)將每組數(shù)據(jù)的組中值乘以對應(yīng)的頻率,然后再將結(jié)果相加即可得到亮燈時長的平均數(shù),將此平均數(shù)除以(個小時),即可得到的估計值;(2)①利用二項(xiàng)分布的均值與方差的計算公式進(jìn)行求解;②先根據(jù)條件計算出的取值范圍,然后根據(jù)并結(jié)合正態(tài)分布概率的對稱性,求解出在滿足取值范圍下對應(yīng)的概率.【詳解】(1)平均時間為(分鐘)∴(2)①∵,∴,②∵,,∴∵,,∴∴即最佳時間長度為72分鐘.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)頻數(shù)分布表求解平均數(shù)、幾何概型(長度模型)、二項(xiàng)分布的均值與方差、正態(tài)分布的概率計算,屬于綜合性問題,難度一般.(1)如果,則;(2)計算正態(tài)分布中的概率,一定要活用正態(tài)分布圖象的對稱性對應(yīng)概率的對稱性.20、(1),中位數(shù)為;(2)新能源汽車平均每個季度的銷售量為萬臺,以此預(yù)計年的銷售量約為萬臺.【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為可計算出的值,利用中位數(shù)左邊的矩形面積之和為可求得銷量的中位數(shù)的值;(2)利用每個矩形底邊的中點(diǎn)值乘以相應(yīng)矩形的面積,相加可得出銷量的平均數(shù),由此可預(yù)計

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