廣東省2025屆高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題含解析

廣東省2025屆高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知圓，直線，則直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.52．已知直線與平行，則a的值為（）A.1 B.﹣2C. D.1或﹣23．《周髀算經(jīng)》是中國(guó)最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，書(shū)中提到:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長(zhǎng)依次成等差數(shù)列.若冬至、大寒、雨水的日影子長(zhǎng)的和是尺，芒種的日影子長(zhǎng)為尺，則冬至的日影子長(zhǎng)為（）A.尺 B.尺C.尺 D.尺4．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5．等差數(shù)列中，已知，，則的前項(xiàng)和的最小值為（）A. B.C. D.6．已知數(shù)列是等比數(shù)列，，數(shù)列是等差數(shù)列，，則的值是()A. B.C. D.7．已知，是空間中的任意兩個(gè)非零向量，則下列各式中一定成立的是（）A. B.C. D.8．已知，數(shù)列，，，與，，，，都是等差數(shù)列，則的值是（）A. B.C. D.9．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.10．某工廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后，在生產(chǎn)某產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸）的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有個(gè)數(shù)據(jù)看不清，已知回歸直線方程為=6.3x+6.8，下列說(shuō)法正確的是（）x23456y1925★4044A.看不清的數(shù)據(jù)★的值為33B.回歸系數(shù)6.3的含義是產(chǎn)量每增加1噸，相應(yīng)的生產(chǎn)能耗實(shí)際增加6.3噸C.據(jù)此模型預(yù)測(cè)產(chǎn)量為8噸時(shí)，相應(yīng)的生產(chǎn)能耗為50.9噸D.回歸直線=6.3x+6.8恰好經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)（4，★）11．若是真命題，是假命題，則A.是真命題 B.是假命題C.是真命題 D.是真命題12．已知圓，圓，M，N分別是圓上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則以的最小值為（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線與直線平行，則m的值是__________14．已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若為雙曲線上一點(diǎn)，且，則__________.15．已知函數(shù)是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)且為定義域上的單調(diào)遞減函數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的函數(shù)的解析式___________16．在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，，，則的面積為_(kāi)________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列滿足（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和18．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，①求；②若不等式對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍19．（12分）已知函數(shù)，若函數(shù)處取得極值（1）求，的值；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值20．（12分）已知圓.（1）若不過(guò)原點(diǎn)的直線與圓相切，且直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；（2）求與圓和直線都相切的最小圓的方程.21．（12分）在中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，滿足.（1）求A；（2）若，求面積的最大值.22．（10分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，為棱上的點(diǎn)，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）設(shè)為棱上的點(diǎn)(不與，重合)，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】直線l過(guò)定點(diǎn)D(1，1)，當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最短.【詳解】由，圓心，半徑，，由，故直線l過(guò)定點(diǎn)，∵，故D在圓C內(nèi)部，直線l始終與圓相交，當(dāng)時(shí)，直線l被圓截得的弦長(zhǎng)最短，，弦長(zhǎng)＝.故選：C.2、A【解析】根據(jù)題意可得，解之即可得解.【詳解】解：因?yàn)橹本€與平行，所以，解得.故選：A.3、D【解析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，求首項(xiàng).【詳解】設(shè)冬至的日影長(zhǎng)為，雨水的日影長(zhǎng)為，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，芒種的日影長(zhǎng)為，，解得：，，所以冬至的日影長(zhǎng)為尺.故選：D4、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義直接判斷即可.【詳解】若，則，即或，推不出；反過(guò)來(lái)，若，可推出.故“”是“”的充分不必要條件故選：A.5、B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為，而，可知數(shù)列是遞增數(shù)，從而可求得結(jié)果【詳解】∵等差數(shù)列中，，∴，即．又，∴的前項(xiàng)和的最小值為故選：B6、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)即可求解.【詳解】為等比數(shù)列，，，，；為等差數(shù)列，，，，，∴.故選：B.7、C【解析】利用向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算性質(zhì)逐一分析各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對(duì)A：因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)?，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)?，故選項(xiàng)C正確；對(duì)D：因?yàn)?，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤故選：C.8、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，分別表示出，，整理即可得答案.【詳解】數(shù)列，，，和，，，，各自都成等差數(shù)列，，，，故選:A9、C【解析】由題意，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，然后根據(jù)橢圓的離心率以及橢圓面積列出關(guān)于的方程組，求解方程組即可得答案【詳解】由題意，設(shè)橢圓的方程為，由橢圓的離心率為，面積為，∴，解得，∴橢圓的方程為，故選：C.10、D【解析】根據(jù)回歸直線方程的性質(zhì)和應(yīng)用，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)A：因?yàn)?，將代入，故，∴，故A錯(cuò)誤；對(duì)，回歸系數(shù)6.3的含義是產(chǎn)量每增加1噸，相應(yīng)的生產(chǎn)能耗大約增加6.3噸，故錯(cuò)誤；對(duì)，當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；對(duì)，因?yàn)?，故必?jīng)過(guò)，故正確.故選：.11、D【解析】因?yàn)槭钦婷}，是假命題，所以是假命題，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，是真命題，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，是假命題，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，是真命題，選項(xiàng)D正確，故選D.考點(diǎn)：真值表的應(yīng)用.12、A【解析】求出圓關(guān)于軸的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)，以及半徑，然后求解圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即可求出的最小值.【詳解】圓關(guān)于軸對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)，半徑為1，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3，易知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即：.故選：A.注意:9至12題為多選題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用直線的平行條件即得.詳解】∵直線與直線平行，∴，∴.故答案為：.14、17【解析】根據(jù)雙曲線的定義求解【詳解】由雙曲線方程知，，，又．，所以（1舍去）故答案為：1715、（答案不唯一）【解析】由題意可得0，結(jié)合在定義域上為減函數(shù)可取.【詳解】因?yàn)樵诙x域?yàn)閱握{(diào)增函數(shù)所以在定義域上0，又因?yàn)樵诙x域上為減函數(shù)，且大于等于0.所以可取()，()，滿足條件所以可為().故答案為：（答案不唯一）.16、【解析】根據(jù)求出，由向量數(shù)量積得到，使用余弦定理得到方程組，求出，利用面積公式求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，即，而因?yàn)槭卿J角三角形，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?，整理得：①，其中，即，因?yàn)?，所以，即，解得：②，把②代入①得：，解得：，則的面積為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意得列出方程組，可求得的值，代入公式，即可得答案.（2）由（1）可得，利用等比數(shù)列的定義，可證數(shù)列為等比數(shù)列，結(jié)合前n項(xiàng)和公式，即可得答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意得，解得，所以通項(xiàng)公式【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，，又，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以18、（1）證明見(jiàn)解析，（2）①；②【解析】（1）由得到，即可得到，從而得證，即可求出的通項(xiàng)公式，從而得到的通項(xiàng)公式；（2）①由（1）可得，再利用錯(cuò)位相減法求和即可；②利用作差法證明的單調(diào)性，即可得到，即可得到，再解一元二次不等式即可；【小問(wèn)1詳解】證明：由，，當(dāng)時(shí)，可得，解得，當(dāng)時(shí)，，又，兩式相減得，所以，所以，即，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；所以，所以【小問(wèn)2詳解】解：①由（1）可得，所以，所以，所以，所以整理得②由①知，所以，即單調(diào)遞增，所以，因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意的正整數(shù)n恒成立，所以，即，解得或，即19、（1）；（2）最大值為，最小值為【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由即可解得；（2）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可以求出函數(shù)的最值.【詳解】解：（1）由題意，可得，得.（2），令，得或（舍去）當(dāng)變化時(shí)，與變化如下遞增遞減所以函數(shù)在上的最大值為，最小值為.20、（1）或；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意設(shè)出直線的方程，然后根據(jù)直線與圓相切，即可求出答案；（2）首先根據(jù)題意判斷出最小圓的圓心在直線上，且最小圓的半徑為，然后設(shè)出最小圓的圓心為，則圓心到直線的距離為，從而可求出答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)橹本€不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，若直線與圓相切，則，即，解得或者3，所以直線的方程為或者；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以直線與圓相離，所以所求最小圓的圓心一定在圓的圓心到直線的垂線段上，即最小圓的圓心在直線上，且最小圓的半徑為，設(shè)最小圓的圓心為，則圓心到直線的距離為，所以，即，解得(舍)或，所以最小的圓的方程為.21、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理得，再由范圍可得答案；（2）由余弦定理和基本不等式可得，再由面積公式可得答案.【小問(wèn)1詳解】∵，由正弦定理得，又，所以，又，則；【小問(wèn)2詳解】由余弦定理得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，取“=”，所以面積的最大值為22、（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.【解析】（1）由已知證得，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示和線面垂直的判定定理可得證；（2）根據(jù)二面角的空間向量求解方法可得答案；（3）設(shè)，表示點(diǎn)Q，再利用線面角的空間向量求解方法，建立方程解得，可得答案.【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫矫?，平面，所以，，又因?yàn)?，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知可得，，，，，，所以，，，因?yàn)?，，所以，，又，平面，平面，所以平?（2）由（1）可知平面，可作為平面的法向量，設(shè)平面的法向量因?yàn)椋?所以，即，不妨設(shè)，得.，又由圖示知二面角