廣東省2025屆高二上數(shù)學期末聯(lián)考試題含解析

廣東省2025屆高二上數(shù)學期末聯(lián)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知圓，直線，則直線l被圓C所截得的弦長的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.52．已知直線與平行，則a的值為（）A.1 B.﹣2C. D.1或﹣23．《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學和數(shù)學著作，書中提到:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列.若冬至、大寒、雨水的日影子長的和是尺，芒種的日影子長為尺，則冬至的日影子長為（）A.尺 B.尺C.尺 D.尺4．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5．等差數(shù)列中，已知，，則的前項和的最小值為（）A. B.C. D.6．已知數(shù)列是等比數(shù)列，，數(shù)列是等差數(shù)列，，則的值是()A. B.C. D.7．已知，是空間中的任意兩個非零向量，則下列各式中一定成立的是（）A. B.C. D.8．已知，數(shù)列，，，與，，，，都是等差數(shù)列，則的值是（）A. B.C. D.9．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不僅是著名的物理學家，也是著名的數(shù)學家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標準方程為（）A. B.C. D.10．某工廠節(jié)能降耗技術改造后，在生產(chǎn)某產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應的生產(chǎn)能耗y（噸）的幾組對應數(shù)據(jù)如下表，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有個數(shù)據(jù)看不清，已知回歸直線方程為=6.3x+6.8，下列說法正確的是（）x23456y1925★4044A.看不清的數(shù)據(jù)★的值為33B.回歸系數(shù)6.3的含義是產(chǎn)量每增加1噸，相應的生產(chǎn)能耗實際增加6.3噸C.據(jù)此模型預測產(chǎn)量為8噸時，相應的生產(chǎn)能耗為50.9噸D.回歸直線=6.3x+6.8恰好經(jīng)過樣本點（4，★）11．若是真命題，是假命題，則A.是真命題 B.是假命題C.是真命題 D.是真命題12．已知圓，圓，M，N分別是圓上的動點，P為x軸上的動點，則以的最小值為（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線與直線平行，則m的值是__________14．已知是雙曲線的左、右焦點，若為雙曲線上一點，且，則__________.15．已知函數(shù)是定義域上的單調遞增函數(shù)，是的導數(shù)且為定義域上的單調遞減函數(shù)，請寫出一個滿足條件的函數(shù)的解析式___________16．在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，，，則的面積為_________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列滿足（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和18．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，滿足，（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設，為數(shù)列的前n項和，①求；②若不等式對任意的正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)的取值范圍19．（12分）已知函數(shù)，若函數(shù)處取得極值（1）求，的值；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值20．（12分）已知圓.（1）若不過原點的直線與圓相切，且直線在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程；（2）求與圓和直線都相切的最小圓的方程.21．（12分）在中，a，b，c分別是內角A，B，C的對邊，滿足.（1）求A；（2）若，求面積的最大值.22．（10分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，為棱上的點，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）設為棱上的點(不與，重合)，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】直線l過定點D(1，1)，當時，弦長最短.【詳解】由，圓心，半徑，，由，故直線l過定點，∵，故D在圓C內部，直線l始終與圓相交，當時，直線l被圓截得的弦長最短，，弦長＝.故選：C.2、A【解析】根據(jù)題意可得，解之即可得解.【詳解】解：因為直線與平行，所以，解得.故選：A.3、D【解析】根據(jù)題意轉化為等差數(shù)列，求首項.【詳解】設冬至的日影長為，雨水的日影長為，根據(jù)等差數(shù)列的性質可知，芒種的日影長為，，解得：，，所以冬至的日影長為尺.故選：D4、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義直接判斷即可.【詳解】若，則，即或，推不出；反過來，若，可推出.故“”是“”的充分不必要條件故選：A.5、B【解析】由等差數(shù)列的性質將轉化為，而，可知數(shù)列是遞增數(shù)，從而可求得結果【詳解】∵等差數(shù)列中，，∴，即．又，∴的前項和的最小值為故選：B6、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列下標和的性質即可求解.【詳解】為等比數(shù)列，，，，；為等差數(shù)列，，，，，∴.故選：B.7、C【解析】利用向量數(shù)量積的定義及運算性質逐一分析各選項即可得答案.【詳解】解：對A：因為，所以，故選項A錯誤；對B：因為，故選項B錯誤；對C：因為，故選項C正確；對D：因為，故選項D錯誤故選：C.8、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，分別表示出，，整理即可得答案.【詳解】數(shù)列，，，和，，，，各自都成等差數(shù)列，，，，故選:A9、C【解析】由題意，設出橢圓的標準方程為，然后根據(jù)橢圓的離心率以及橢圓面積列出關于的方程組，求解方程組即可得答案【詳解】由題意，設橢圓的方程為，由橢圓的離心率為，面積為，∴，解得，∴橢圓的方程為，故選：C.10、D【解析】根據(jù)回歸直線方程的性質和應用，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：因為，將代入，故，∴，故A錯誤；對，回歸系數(shù)6.3的含義是產(chǎn)量每增加1噸，相應的生產(chǎn)能耗大約增加6.3噸，故錯誤；對，當時，，故錯誤；對，因為，故必經(jīng)過，故正確.故選：.11、D【解析】因為是真命題，是假命題，所以是假命題，選項A錯誤，是真命題，選項B錯誤，是假命題，選項C錯誤，是真命題，選項D正確，故選D.考點：真值表的應用.12、A【解析】求出圓關于軸的對稱圓的圓心坐標，以及半徑，然后求解圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，即可求出的最小值.【詳解】圓關于軸對稱圓的圓心坐標，半徑為1，圓的圓心坐標為，半徑為3，易知，當三點共線時，取得最小值，的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，即：.故選：A.注意:9至12題為多選題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用直線的平行條件即得.詳解】∵直線與直線平行，∴，∴.故答案為：.14、17【解析】根據(jù)雙曲線的定義求解【詳解】由雙曲線方程知，，，又．，所以（1舍去）故答案為：1715、（答案不唯一）【解析】由題意可得0，結合在定義域上為減函數(shù)可取.【詳解】因為在定義域為單調增函數(shù)所以在定義域上0，又因為在定義域上為減函數(shù)，且大于等于0.所以可取()，()，滿足條件所以可為().故答案為：（答案不唯一）.16、【解析】根據(jù)求出，由向量數(shù)量積得到，使用余弦定理得到方程組，求出，利用面積公式求出結果.【詳解】因為，所以，即，而因為是銳角三角形，所以，所以，所以，因為，所以，即，因為，所以，整理得：①，其中，即，因為，所以，即，解得：②，把②代入①得：，解得：，則的面積為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為d，由題意得列出方程組，可求得的值，代入公式，即可得答案.（2）由（1）可得，利用等比數(shù)列的定義，可證數(shù)列為等比數(shù)列，結合前n項和公式，即可得答案.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為d，由題意得，解得，所以通項公式【小問2詳解】由（1）可得，，又，所以數(shù)列是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以18、（1）證明見解析，（2）①；②【解析】（1）由得到，即可得到，從而得證，即可求出的通項公式，從而得到的通項公式；（2）①由（1）可得，再利用錯位相減法求和即可；②利用作差法證明的單調性，即可得到，即可得到，再解一元二次不等式即可；【小問1詳解】證明：由，，當時，可得，解得，當時，，又，兩式相減得，所以，所以，即，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列；所以，所以【小問2詳解】解：①由（1）可得，所以，所以，所以，所以整理得②由①知，所以，即單調遞增，所以，因為不等式對任意的正整數(shù)n恒成立，所以，即，解得或，即19、（1）；（2）最大值為，最小值為【解析】（1）求出導函數(shù)，由即可解得；（2）求出函數(shù)的單調區(qū)間，進而可以求出函數(shù)的最值.【詳解】解：（1）由題意，可得，得.（2），令，得或（舍去）當變化時，與變化如下遞增遞減所以函數(shù)在上的最大值為，最小值為.20、（1）或；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意設出直線的方程，然后根據(jù)直線與圓相切，即可求出答案；（2）首先根據(jù)題意判斷出最小圓的圓心在直線上，且最小圓的半徑為，然后設出最小圓的圓心為，則圓心到直線的距離為，從而可求出答案.【小問1詳解】因為直線不過原點，設直線的方程為，圓的標準方程為，若直線與圓相切，則，即，解得或者3，所以直線的方程為或者；【小問2詳解】因為，所以直線與圓相離，所以所求最小圓的圓心一定在圓的圓心到直線的垂線段上，即最小圓的圓心在直線上，且最小圓的半徑為，設最小圓的圓心為，則圓心到直線的距離為，所以，即，解得(舍)或，所以最小的圓的方程為.21、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理得，再由范圍可得答案；（2）由余弦定理和基本不等式可得，再由面積公式可得答案.【小問1詳解】∵，由正弦定理得，又，所以，又，則；【小問2詳解】由余弦定理得，即，所以，當且僅當，取“=”，所以面積的最大值為22、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】（1）由已知證得，，，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，根據(jù)向量垂直的坐標表示和線面垂直的判定定理可得證；（2）根據(jù)二面角的空間向量求解方法可得答案；（3）設，表示點Q，再利用線面角的空間向量求解方法，建立方程解得，可得答案.【詳解】（1）因為平面，平面，平面，所以，，又因為，則以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，由已知可得，，，，，，所以，，，因為，，所以，，又，平面，平面，所以平面.（2）由（1）可知平面，可作為平面的法向量，設平面的法向量因為，.所以，即，不妨設，得.，又由圖示知二面角