西安市慶安初級(jí)中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

西安市慶安初級(jí)中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作傾斜角為的直線l與拋物線交于兩點(diǎn)，則POQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積S等于（）A. B.C. D.2．從編號(hào)分別為,,,,的五個(gè)大小完全相同的小球中,隨機(jī)取出三個(gè)小球,則恰有兩個(gè)小球編號(hào)相鄰的概率為()A. B.C. D.3．已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，并且與定圓外切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡是（）A.拋物線 B.橢圓C.雙曲線 D.雙曲線的一支4．橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，是上一點(diǎn)，軸，，則橢圓的離心率等于（）A. B.C. D.5．以下說(shuō)法：①將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變；②設(shè)有一個(gè)回歸方程，變量增加1個(gè)單位時(shí)，平均增加5個(gè)單位③線性回歸方程必過(guò)④設(shè)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)為，那么越接近于0，之間的線性相關(guān)程度越高；⑤在一個(gè)列聯(lián)表中，由計(jì)算得的值，那么的值越大，判斷兩個(gè)變量間有關(guān)聯(lián)的把握就越大。其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1C.2 D.36．如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，且，點(diǎn)E為中點(diǎn)，若直線與所成的角為，則三棱錐的體積等于（）A. B.C.2 D.7．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為30%，甲不輸?shù)母怕蕿?0%，則甲、乙下成平局的概率（）A.50% B.30%C.10% D.60%8．已知，，則下列結(jié)論一定成立的是（）A. B.C. D.9．若直線與互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.-3 B.C. D.310．曲線在點(diǎn)處的切線過(guò)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（）A. B.0C.1 D.211．如圖，D是正方體的一個(gè)“直角尖”O(jiān)-ABC（OA，OB，OC兩兩垂直且相等）棱OB的中點(diǎn)，P是BC中點(diǎn)，Q是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連PQ，則當(dāng)AC與PQ所成角為最小時(shí)，（）A. B.C. D.212．已知拋物線，則其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C.1 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線與的左、右支分別交于點(diǎn)、（、均在軸上方）.若直線、的斜率均為，且四邊形的面積為，則__________.14．圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為_(kāi)_____15．已知向量，，，則___________.16．設(shè)函數(shù)滿足，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.（1）若，，，求邊長(zhǎng)c；（2），，，求角C.18．（12分）已知，其中.（1）若,求在處的切線方程；（2）若是函數(shù)的極小值點(diǎn)，求函數(shù)在區(qū)間上的最值；（3）討論函數(shù)的單調(diào)性.19．（12分）為了解某城中村居民收入情況，小明利用周末時(shí)間對(duì)該地在崗居民月收入進(jìn)行了抽樣調(diào)查，并將調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)直方圖估算：（1）在該地隨機(jī)調(diào)查一位在崗居民，該居民收入在區(qū)間內(nèi)的概率；（2）該地區(qū)在崗居民月收入的平均數(shù)和中位數(shù)；20．（12分）已知圓與x軸交于A，B兩點(diǎn)，P是該圓上任意一點(diǎn)，AP，PB的延長(zhǎng)線分別交直線于M，N兩點(diǎn).（1）若弦AP長(zhǎng)為2，求直線PB的方程；（2）以線段MN為直徑作圓C，當(dāng)圓C面積最小時(shí)，求此時(shí)圓C的方程.21．（12分）如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路，湖上有橋（是圓的直徑）.規(guī)劃在公路上選兩個(gè)點(diǎn)、，并修建兩段直線型道路、.規(guī)劃要求，線段、上的所有點(diǎn)到點(diǎn)的距離均不小于圓的半徑.已知點(diǎn)到直線的距離分別為和（為垂足），測(cè)得，，（單位：百米）.（1）若道路與橋垂直，求道路的長(zhǎng)；（2）在規(guī)劃要求下，點(diǎn)能否選在處？并說(shuō)明理由.22．（10分）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由拋物線的方程可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，由題意設(shè)直線的方程，與拋物線的方程，聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，進(jìn)而求出，的縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，代入三角形的面積公式求出面積【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，，由題意可得直線的方程為，設(shè)，，，，聯(lián)立，整理可得：，則，，所以，所以，故選：A2、C【解析】利用古典概型計(jì)算公式計(jì)算即可【詳解】從編號(hào)分別為,,,,的五個(gè)大小完全相同的小球中,隨機(jī)取出三個(gè)小球共有種不同的取法,恰好有兩個(gè)小球編號(hào)相鄰的有:,共有6種所以概率為故選:C3、D【解析】結(jié)合雙曲線定義的有關(guān)知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解】圓圓心為，半徑為，依題意可知，結(jié)合雙曲線的定義可知，的軌跡為雙曲線的一支.故選：D4、A【解析】在中結(jié)合已知條件，用焦距2c表示、，再利用橢圓定義計(jì)算作答.【詳解】令橢圓的半焦距為c，因是上一點(diǎn)，軸，，在中，，，由橢圓定義知，則，所以橢圓的離心率等于.故選：A5、C【詳解】方差反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變，故①正確；一個(gè)回歸方程，變量增加1個(gè)單位時(shí)，平均減少5個(gè)單位，故②不正確；線性回歸方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)，故③正確；根據(jù)線性回歸分析中相關(guān)系數(shù)的定義：在線性回歸分析中，相關(guān)系數(shù)為r，越接近于1，相關(guān)程度越大，故④不正確；對(duì)于觀察值來(lái)說(shuō)，越大，“x與y有關(guān)系”的可信程度越大，故⑤正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查用樣本估計(jì)總體、線性回歸方程、獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想.6、D【解析】由題意可證平面，取BD的中點(diǎn)F，連接EF，則為直線與所成的角，利用余弦定理求出，根據(jù)三棱錐體積公式即可求得體積【詳解】如圖，∵，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，，∵，，兩兩垂直，，∴平面，取BD的中點(diǎn)F，連接EF，∴為直線與所成的角，且，由題意可知，，設(shè)，連接AF，則，在中，由余弦定理，得，即，解得，即∴三棱錐的體積故選：7、A【解析】根據(jù)甲獲勝和甲、乙兩人下成平局是互斥事件即可求解.【詳解】甲不輸有兩種情況：甲獲勝或甲、乙兩人下成平局，甲獲勝和甲、乙兩人下成平局是互斥事件，所以甲、乙兩人下成平局的概率為.故選：A.8、B【解析】根據(jù)不等式的同向可加性求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所?故選：B.9、C【解析】根據(jù)給定條件利用兩條直線互相垂直的關(guān)系列式計(jì)算作答.【詳解】因直線與互相垂直，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的值為.故選：C10、A【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線方程為，進(jìn)而得.【詳解】解：因?yàn)?，，，所以，切線方程為，因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以，解得故選：A11、C【解析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，求得AC與PQ夾角的余弦值關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系，求得角度最小時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可代值計(jì)算求解結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：設(shè)，則，不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，則，又，設(shè)直線所成角為，則，則，令，令，則，令，則，此時(shí).故當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)最小，點(diǎn)，則，故，則故選：C.12、B【解析】化簡(jiǎn)拋物線的方程為，求得，即為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.【詳解】由題意，拋物線，即，解得，即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，分析可知四邊形為平行四邊形，可得出，設(shè)，可得出直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出的取值范圍，利用三角形的面積公式可求得的值，即可求得的值.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，如下圖所示：在雙曲線中，，，則，即點(diǎn)、，因?yàn)樵c(diǎn)為、的中點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，所以，且，因?yàn)?，故、、三點(diǎn)共線，所以，，故，由題意可知，，設(shè)，則直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，所以，，可得，由韋達(dá)定理可得，，可得，，整理可得，即，解得或（舍），所以，，解得.故答案為：.14、【解析】求出圓心關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，從而求出對(duì)稱圓的方程.【詳解】圓心為，半徑為1，設(shè)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得：，故對(duì)稱點(diǎn)為，故圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為.故答案為：15、2【解析】由空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.【詳解】因?yàn)?，，，所以?故答案為：2.16、5【解析】考點(diǎn)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)與求值三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)余弦定理可求得答案；（2）根據(jù)正弦定理和三角形的內(nèi)角和可求得答案.【小問(wèn)1詳解】解：由余弦定理得：，所以.【小問(wèn)2詳解】解：由正弦定理得：得，所以或120°，又因?yàn)?，所以，所以或即?18、（1）；（2）最大值為5，最小值為；（3）答案見(jiàn)解析.【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，然后求出切線方程；（2）根據(jù)求出a，進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后求出函數(shù)的最值；（3）先求出導(dǎo)函數(shù)，然后討論a的取值范圍，進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，切點(diǎn)坐標(biāo)為，，切線的斜率為，切線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，，即，，令，得或，令，得，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為5，最小值為.【小問(wèn)3詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，令得?①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，令，得或，令，得，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，的單調(diào)遞減區(qū)間為；③當(dāng)時(shí)，，令，得或，令，得，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，的單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上：時(shí)，，函數(shù)R上單調(diào)遞增；時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.19、（1）（2）平均數(shù)為；中位數(shù)為.【解析】（1）直接根據(jù)概率和為1計(jì)算得到答案.（2）根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義直接計(jì)算得到答案.【小問(wèn)1詳解】該居民收入在區(qū)間內(nèi)的概率為：【小問(wèn)2詳解】居民月收入的平均數(shù)為：.第一組概率為，第二組概率為，第三組概率為，設(shè)居民月收入的中位數(shù)為，則，解得.20、（1）或；（2）.【解析】（1）根據(jù)圓的直徑的性質(zhì)，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】在方程中，令，解得，或，因?yàn)锳P，PB的延長(zhǎng)線分別交直線于M，N兩點(diǎn)，所以，圓心在x軸上，所以，因?yàn)?，，所以有，?dāng)P在x軸上方時(shí)，直線PB的斜率為：，所以直線PB的方程為：，當(dāng)P在x軸下方時(shí)，直線PB的斜率為：，所以直線PB的方程為：，因此直線PB的方程為或；【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，，所以設(shè)直線的斜率為，因此直線的斜率為，于是直線的方程為：，令，，即直線的方程為：，令，，即，因?yàn)橥?hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，于是有以線段MN為直徑作圓C，當(dāng)圓C面積最小時(shí)，此時(shí)最小，當(dāng)時(shí)，和，中點(diǎn)坐標(biāo)為：，半徑為，所以圓的方程為：，同理當(dāng)時(shí)，和，中點(diǎn)坐標(biāo)為：，半徑為，所以圓的方程為：，綜上所述：圓C的方程為.21、（1）15（百米）（2）點(diǎn)選在處不滿足規(guī)劃要求，理由見(jiàn)解析【解析】（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，得圓及直線的方程，進(jìn)而得解.（2）不妨點(diǎn)選在處，求方程并求其與圓的交點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)不符合條件，得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】如圖，過(guò)作，垂足為.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)闉閳A的直徑，，所以圓的方程為.因?yàn)?，，所以，故直線的方程為，則點(diǎn)，的縱坐標(biāo)分別為3，從而，，直線的斜率為.因?yàn)?，所以直線的斜率為，直線的方程為.令，得，，所以.因此道路的長(zhǎng)為15（百米）.【小問(wèn)2詳解