2025屆湖北省黃岡市浠水縣洗馬高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2025屆湖北省黃岡市浠水縣洗馬高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶，如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成.現(xiàn)用4種不同的顏色（4種顏色全部使用）給這5個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，則不同的涂色方案有（）A.24種 B.48種C.72種 D.96種2．對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)圖象都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.設(shè)函數(shù)，則（）A. B.C. D.3．已知集合，集合或，是實(shí)數(shù)集，則（）A. B.C. D.4．已知數(shù)列滿足：，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若恒成立，則的取值范圍是（）A. B.C. D.5．如圖，兩個(gè)半徑為R的相交大圓，分別內(nèi)含一個(gè)半徑為r的同心小圓，且同心小圓均與另一個(gè)大圓外切.已知時(shí)，在兩相交大圓的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自兩大圓公共部分的概率為（）A. B.C. D.6．命題“，”的否定是A， B.，C.， D.，7．已知不等式只有一個(gè)整數(shù)解，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.8．參加抗疫的300名醫(yī)務(wù)人員，編號(hào)為1，2，…，300.為了解這300名醫(yī)務(wù)人員的年齡情況，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取15名醫(yī)務(wù)人員的年齡進(jìn)行調(diào)查.若抽到的第一個(gè)編號(hào)為6，則抽到的第二個(gè)編號(hào)為（）A.21 B.26C.31 D.369．已知雙曲線C：-＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1，若過(guò)原點(diǎn)傾斜角為的直線與雙曲線C左右兩支交于M、N兩點(diǎn)，且MF1NF1，則雙曲線C的離心率是（）A.2 B.C. D.10．已知直線與橢圓：（）相交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在直線：上，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.11．已知等比數(shù)列中，，則由此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)所組成的新數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)，若存在使得，則稱是的一個(gè)“巧值點(diǎn)”.下列選項(xiàng)中沒有“巧值點(diǎn)”的函數(shù)是()A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則___14．日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過(guò)凈化的.隨著水的純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷増加.已知將噸水凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用（單位：元）為.則凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率的___________倍，這說(shuō)明，水的純凈度越高，凈化費(fèi)用增加的速度越___________（填“快”或“慢”）.15．如圖，在等腰直角△ABC中，，點(diǎn)P是邊AB上異于A、B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC、CA反射后又回到原點(diǎn)P.若光線QR經(jīng)過(guò)△ABC的內(nèi)心，則___________.16．已知A(1,3)，B(5，－2)，點(diǎn)P在x軸上，則使|AP|－|BP|取最大值的點(diǎn)P的坐標(biāo)是________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）若數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若在上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19．（12分）求下列不等式的解集：（1）；（2）20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到軸的距離大，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，分別過(guò)曲線上的兩點(diǎn)，做曲線的兩條切線，且交于點(diǎn)，與直線交于兩點(diǎn)（1）求曲線的方程；（2）求面積的最小值.21．（12分）已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓與直線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，線段AB的中點(diǎn)為M.若直線OM的斜率為-1，求線段AB的長(zhǎng)；（3）如圖，設(shè)橢圓上一點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為1（R在第一象限），過(guò)R作兩條不重合直線分別與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)、若直線PR與QR的傾斜角互補(bǔ)，求直線PQ的斜率的所有可能值組成的集合.22．（10分）已知拋物線C的方程是.（1）求C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)且傾斜角為，與拋物線C的交點(diǎn)為A，B，求的長(zhǎng)度.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析區(qū)域①、②、⑤和區(qū)域③、④的涂色方法，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：當(dāng)區(qū)域①、②、⑤這三個(gè)區(qū)域兩兩相鄰，有種涂色的方法；當(dāng)區(qū)域③、④，必須有1個(gè)區(qū)域選第4種顏色，有2種選法，選好后，剩下的區(qū)域有1種選法，則區(qū)域③、④有2種涂色方法，故共有種涂色的方法.故選：B2、B【解析】根據(jù)“拐點(diǎn)”的概念可判斷函數(shù)的對(duì)稱中心，進(jìn)而求解.【詳解】，，，令，解得：，而，故函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，，故選：B.3、A【解析】先化簡(jiǎn)集合，再由集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算求解即可【詳解】，或，故故選：A4、D【解析】由于，所以利用裂項(xiàng)相消求和法可求得，然后由可得恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可【詳解】，故，故恒成立等價(jià)于，即恒成立，化簡(jiǎn)得到，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以故選：D5、C【解析】設(shè)D為線段AB的中點(diǎn)，求得,在中，可得.進(jìn)而求得兩大圓公共部分的面積為：,利用幾何概型計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)D為線段AB的中點(diǎn)，,在中，.兩大圓公共部分的面積為：,則該點(diǎn)取自兩大圓公共部分的概率為.故選：C.6、C【解析】特稱命題的否定是全稱命題，并將結(jié)論加以否定，所以命題的否定為：，考點(diǎn)：全稱命題與特稱命題7、B【解析】依據(jù)導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合去求解即可解決.【詳解】不等式只有一個(gè)整數(shù)解，可化為只有一個(gè)整數(shù)解令，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，取最大值，當(dāng)時(shí)，恒成立，的草圖如下：，，則若只有一個(gè)整數(shù)解，則，即故不等式只有一個(gè)整數(shù)解，則m的取值范圍是故選：B8、B【解析】將300個(gè)數(shù)編號(hào)：001，002，003，，3000，再平均分為15個(gè)小組，然后按系統(tǒng)抽樣方法得解.【詳解】將300個(gè)數(shù)編號(hào)：001，002，003，，3000，再平均分為15個(gè)小組，則第一編號(hào)為006，第二個(gè)編號(hào)為.故選：B.9、C【解析】根據(jù)雙曲線和直線的對(duì)稱性，結(jié)合矩形的性質(zhì)、雙曲線的定義、離心率公式、余弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F2，過(guò)原點(diǎn)傾斜角為的直線為，設(shè)M、N分別在第三、第一象限，由雙曲線和直線的對(duì)稱性可知：M、N兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而MF1NF1，因此四邊形是矩形，而，所以是等邊三角形，故，因此，因?yàn)?，所以，在等腰三角形中，由余弦定理可知：，由矩形的性質(zhì)可知：，由雙曲線的定義可知：，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用矩形的性質(zhì)、雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵.10、A【解析】將直線代入橢圓方程整理得關(guān)于的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，求出中點(diǎn)坐標(biāo)，再由條件得到，再由，，的關(guān)系和離心率公式，即可求出離心率.【詳解】解：將直線代入橢圓方程得，，即，設(shè)，，，，則，即中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是，由于線段的中點(diǎn)在直線上，則，又，則，，即橢圓的離心率為.故選：A11、B【解析】確實(shí)新數(shù)列是等比數(shù)列及公比、首項(xiàng)后，由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算，【詳解】由題意，新數(shù)列為，所以，，前項(xiàng)和為故選：B.12、C【解析】利用新定義：存在使得，則稱是的一個(gè)“巧點(diǎn)”，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)進(jìn)行一一的判斷即可【詳解】對(duì)于A，，則，令，解得或，即有解，故選項(xiàng)A的函數(shù)有“巧值點(diǎn)”，不符合題意；對(duì)于B，，則，令，令，則g(x)在x＞0時(shí)為增函數(shù)，∵(1)，(e)，由零點(diǎn)的存在性定理可得，在上存在唯一零點(diǎn)，即方程有解，故選項(xiàng)B的函數(shù)有“巧值點(diǎn)”，不符合題意；對(duì)于C，，則，令，故方程無(wú)解，故選項(xiàng)C的函數(shù)沒有“巧值點(diǎn)”，符合題意；對(duì)于D，，則，令，則.∴方程有解，故選項(xiàng)D的函數(shù)有“巧值點(diǎn)”，不符合題意故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##0.5【解析】導(dǎo)數(shù)的定義公式的變形應(yīng)用，要求分子分母的變化量相同.【詳解】故答案為：.14、①.②.快【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念可知凈化所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率即為函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，即先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后將和代入進(jìn)行計(jì)算，再求，即可得到結(jié)果，進(jìn)而能夠判斷水的純凈度越高，凈化費(fèi)用增加的速度的快慢【詳解】由題意，可知凈化所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率為，所以，，所以，所以凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率的倍；因?yàn)椋芍募儍舳仍礁?，凈化費(fèi)用增加的速度越快.故答案為：，快.15、【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求得△的內(nèi)心坐標(biāo)，根據(jù)△內(nèi)心以及關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)三點(diǎn)共線，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，則問(wèn)題得解.【詳解】根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，如下所示：則，不妨設(shè)，則直線的方程為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，且，整理得，解得，即點(diǎn)，又；設(shè)△的內(nèi)切圓圓心為，則由等面積法可得，解得；故其內(nèi)心坐標(biāo)為，由及△的內(nèi)心三點(diǎn)共線，即，整理得，解得（舍）或，故.故答案為：.16、【解析】首先求得點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，然后數(shù)形結(jié)合結(jié)合直線方程求解點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.【詳解】點(diǎn)A(1,3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′(1，－3)，如圖所示，連接A′B并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)P，即為所求直線A′B的方程是y＋3＝(x－1)，即.令y＝0，得x＝13則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的應(yīng)用，最值問(wèn)題的求解，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的定義可求解；（2）根據(jù)（1）化簡(jiǎn)，利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，，得，則所以數(shù)列是首項(xiàng)為﹣1，公比為3的等比數(shù)列所以【小問(wèn)2詳解】由（1）得：所以，所以18、（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值，無(wú)極大值（2）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后由極值的定義求解即可；（2）分和兩種情況分析求解，當(dāng)時(shí)，不等式變形為在，上有解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解的最小值，即可得到答案【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有極小值，無(wú)極大值.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樵谏嫌薪猓栽谏嫌薪?，?dāng)時(shí)，不等式成立，此時(shí)，當(dāng)時(shí)在上有解，令，則由（1）知時(shí)，即，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以，綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題或有解問(wèn)題的策略為：通常構(gòu)造新函數(shù)或參變量分離，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值從而求得參數(shù)的取值范圍19、（1）（2）【解析】（1）利用一元二次不等式的解法求解；（2）利用分式不等式的解法求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，所以，解得，所以不等式的解集是；【小?wèn)2詳解】因?yàn)椋?，所以，即，解得，所以不等式的解集?20、（1）（2）【解析】（1）由題意可得化簡(jiǎn)可得答案；（2）求出、方程并得到、點(diǎn)坐標(biāo)，再聯(lián)立，方程求出交點(diǎn)和、點(diǎn)到的距離，可得，設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理得到，設(shè)，記，利用導(dǎo)數(shù)可得答案..【小問(wèn)1詳解】由題意可知：，即：化簡(jiǎn)得：；【小問(wèn)2詳解】由題意可知：，，，過(guò)點(diǎn)的切線斜率為，方程為：①，令，，則，同理：方程為：②，，聯(lián)立①②得：，的交點(diǎn)，，點(diǎn)到的距離，所以③，設(shè)：，則，整理得，所以，由韋達(dá)定理得：，，代入③式得：，設(shè)，記，則，令得（舍負(fù)），時(shí)，單調(diào)遞減：時(shí)，單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)的最小值為.21、（1）；（2）；（3）.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a即可計(jì)算得解.(2)將代入橢圓的方程，再結(jié)合給定條件求出k值即可計(jì)算出AB的長(zhǎng).(3)設(shè)出直線PR的方程，再與橢圓的方程聯(lián)立求出點(diǎn)P坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)Q坐標(biāo)，計(jì)算PQ的斜率即可作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，橢圓的半焦距c=1，而，解得，則，所以橢圓的方程是：.【小問(wèn)2詳解】由消去y并整理得：，解得，，于是得線段AB的中點(diǎn)，直線OM斜率為，解得，因此，，所以線段AB的長(zhǎng)為.【小問(wèn)3詳解】由(1)知，點(diǎn)，依題意，設(shè)直線PR的斜率為，直線PR方程為：，由消去y并整理得，，設(shè)點(diǎn)，則有，顯然直線QR的斜率為-t，設(shè)點(diǎn)，同理有，于是得直線PQ的斜率，所以直線PQ的斜率的所有可能值組成的集合.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種方法：①定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定，的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程②