專(zhuān)題07等比數(shù)列的概念與前n項(xiàng)和（考點(diǎn)清單知識(shí)導(dǎo)圖+2考點(diǎn)清單+10題型解讀）（教師版） 2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考點(diǎn)大串講（蘇教版2019選擇性必修第一冊(cè)）

專(zhuān)題07等比數(shù)列的概念與前n項(xiàng)和【清單01】等比數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式一．等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．二．等比中項(xiàng)如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，這三個(gè)數(shù)滿足關(guān)系式G＝±eq\r(ab).三．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q(q≠0)，則通項(xiàng)公式為：an＝a1qn－1.四．等比數(shù)列的性質(zhì)1.若數(shù)列{an}，{bn}是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則{an·bn}也是等比數(shù)列．特別地，若{an}是等比數(shù)列，c是不等于0的常數(shù)，則{c·an}也是等比數(shù)列．2.在等比數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq.3.數(shù)列{an}是有窮數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的積相等，且等于首末兩項(xiàng)的積．4.在等比數(shù)列{an}中，每隔k項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來(lái)的順序排列，所得新數(shù)列仍為等比數(shù)列，公比為qk＋1.5.當(dāng)m，n，p(m，n，p∈N*)成等差數(shù)列時(shí)，am，an，ap成等比數(shù)列．【清單02】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和一．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)、公比與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)、公比與末項(xiàng)求和公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)q≠1，,na1q＝1))Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a1－anq,1－q)q≠1，,na1q＝1))二．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)1．?dāng)?shù)列{an}為公比不為－1的等比數(shù)列(或公比為－1，且n不是偶數(shù))，Sn為其前n項(xiàng)和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍構(gòu)成等比數(shù)列．2．若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．3．若{an}是公比為q的等比數(shù)列，S偶，S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和，則：①在其前2n項(xiàng)中，eq\f(S偶,S奇)＝q；②在其前2n＋1項(xiàng)中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1)．【考點(diǎn)題型一】等比數(shù)列基本量的計(jì)算方法總結(jié)：等比數(shù)列前n項(xiàng)和運(yùn)算的技巧(1)在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，共涉及五個(gè)量：a1，an，n，q，Sn，其中首項(xiàng)a1和公比q為基本量，且“知三求二”，常常列方程組來(lái)解答．(2)對(duì)于基本量的計(jì)算，列方程組求解是基本方法，通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元，有時(shí)會(huì)用到整體代換，如qn，eq\f(a1,1－q)都可看作一個(gè)整體．(3)在解決與前n項(xiàng)和有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，首先要對(duì)公比q＝1或q≠1進(jìn)行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類(lèi)討論．【例1】（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）已知等比數(shù)列{an}滿足an+1A．12 B．1 C．4 D．【答案】C【分析】由an+1=4an【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}滿足an+1所以an+1a解得：a3故選：C.【變式1-1】（22-23高二上·江蘇淮安·期中）設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S3A．4 B．?2 C．2 D．?4【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)及前n項(xiàng)和的意義，列式計(jì)算作答.【詳解】等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，由S3而a1+a2+所以q=2故選：C【變式1-2】（22-23高二上·江蘇連云港·期中）記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和．若S2A．24 B．48 C．39 D．36【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知S2，S4?【詳解】∵Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，∴S2，S∴S2=3，S4?S故選：C【變式1-3】（22-23高二下·江蘇南京·期中）在等比數(shù)列{an}中，已知a1a3【答案】?128或128【分析】根據(jù)等比數(shù)列的公式直接計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，在等比數(shù)列{an}中，aa1a1q2=4a1q則a8=a故答案為：?128或128【變式1-4】（22-23高二上·江蘇南通·期中）等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a2+【答案】?1【分析】根據(jù)題意可得出關(guān)于q的等式，解之即可.【詳解】因?yàn)閍2+S3=故答案為：?1.【考點(diǎn)題型二】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式方法總結(jié)：定義法:先根據(jù)條件判斷該數(shù)列是不是等比數(shù)列，若是等比數(shù)列則又等比數(shù)列定義直接求它的通項(xiàng)公式?！纠?】（22-23高二上·江蘇南通·期中）等比數(shù)列an滿足a1+a3=10，a2+a4=5A．2n?3 B．2n?2 C．【答案】A【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)與累加法求解，【詳解】根據(jù)題意得，a1+a1qn≥2時(shí)，b故b=1故選：A【變式2-1】（22-23高二上·江蘇南通·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)之和為Sn，滿足Sn=2Sn?1n【答案】2【分析】先得到Sn是等比數(shù)列，求出Sn=2n【詳解】∵Sn=2S∴Sn∴Sn∴n≥2時(shí)，a故答案為：2n【變式2-2】（20-21高二上·江蘇·期中）設(shè)an是正項(xiàng)等比數(shù)列，且3a3+2a4=【答案】an=【解析】設(shè)出等比數(shù)列的公比，列方程求解即可【詳解】由an是正項(xiàng)等比數(shù)列，3a3+2a3a2q+2a∵an>0，∴q故答案為：an=【變式2-3】（21-22高二上·江蘇徐州·期中）(1)已知數(shù)列an滿足a1=1,(2)已知數(shù)列an中，a1=2,a2=3，其前n項(xiàng)和Sn【答案】(1)a(2)a【分析】(1)將給定的遞推公式變形構(gòu)造等比數(shù)列求解即可.(2)利用“當(dāng)n≥2時(shí)，Sn?【詳解】（1）數(shù)列an中，因an+1=2a于是得數(shù)列an+1是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則an所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式是a（2）因數(shù)列an前n項(xiàng)和Sn滿足Sn而當(dāng)n≥2時(shí)，Sn?Sn?1=于是得數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則a所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式是a【變式2-4】（23-24高二下·江蘇南京·期中）設(shè)an是公差不為0的等差數(shù)列，a1=2，a7為(1)求an(2)設(shè)bn=2n，求數(shù)列【答案】(1)an(2)Sn【分析】（1）運(yùn)用等比中項(xiàng)，和已知條件構(gòu)造方程，解出d=3（2）求出an【詳解】（1）設(shè)an的公差為dd=0，因?yàn)閍1=2，a所以2+6d2=2+2d2+16d（2）anSn2S①-②得，?=4+3(=4+3=(4?3n所以Sn【考點(diǎn)題型三】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和方法總結(jié)：注意:(1)公式的推導(dǎo)方法是錯(cuò)位相減法，即先求前n項(xiàng)和，然后把等式的兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，最后等式的左邊減左邊，右邊第一個(gè)等式的一項(xiàng)輪空，第二項(xiàng)減去第二個(gè)等式的第一項(xiàng)，第一個(gè)等式的第三項(xiàng)減去第二個(gè)等式的第二項(xiàng)，依次減下去，第一個(gè)等式中的最后一項(xiàng)減去第二個(gè)等式的倒數(shù)第二項(xiàng)，第二個(gè)等式的最后一項(xiàng)變成原來(lái)的相反數(shù)(2)在求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，一要討論公比q是否能為1【例3】（23-24高二下·江蘇南京·期中）已知數(shù)列an是公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列bn是等差數(shù)列，a1=b(1)求數(shù)列an，b(2)設(shè)cn=an+bn【答案】(1)an=(2)2【分析】（1）設(shè)數(shù)列bn的公差為d，根據(jù)所給條件及等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式得到關(guān)于a1、b1（2）由（1）可得cn【詳解】（1）設(shè)數(shù)列bn的公差為d依題意可得a1=b所以an=2（2）由（1）可得cn所以S==2【變式3-1】（23-24高二下·江蘇南京·期中）數(shù)列an滿足a1=1，a(1)an(2)bn=(a2n+2)log【答案】(1)a(2)T【分析】（1）利用配湊法證得數(shù)列an+2是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而求得（2）利用錯(cuò)位相減法求得數(shù)列bn的前n項(xiàng)和T【詳解】（1）數(shù)列an滿足a整理得an+1+2=3即an所以數(shù)列an故an整理得an（2）由于an=3所以Tn9T①-②得：?8T所以Tn【變式3-2】（22-23高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知數(shù)列an滿足：a1=1，n(1)求證：bn(2)求數(shù)列an(3)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和S【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)a(3)S【分析】（1）將nan+1=3(n（2）由（1）得到an（3）結(jié)合（2）中通項(xiàng)利用錯(cuò)位相減法求得Sn【詳解】（1）由a1=1，na因?yàn)閎n=ann所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為1，公比為3（2）由（1）可得：bn=3n?1（3）由（2）可知：an則Sn可得3S上面兩式相減可得：?2Sn=所以Sn【變式3-3】（23-24高二上·江蘇南通·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求an(2)求Sn【答案】(1)a(2)S【分析】（1）根據(jù)an+1=Sn+1?Sn（2）利用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】（1）由2n得2n則當(dāng)n≥2時(shí)，a所以an當(dāng)n=1所以an（2）由（1）知Sn∴1①-②得，12∴S【變式3-4】（23-24高二下·江蘇南通·期中）已知遞增的等比數(shù)列an滿足a3=4(1)求an(2)設(shè)bn=2an【答案】(1)a(2)4【分析】（1）由a3=4，且a2，a（2）由（1）可得bn=2nn【詳解】（1）因?yàn)閍2，a3，又a1q2=4，所以q=2，（2）由（1）可知an=2所以b===2×【考點(diǎn)題型四】等比數(shù)列的證明方法總結(jié)：判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列的常用方法1.定義法：若數(shù)列{an}滿足eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q為常數(shù)且不為零)或eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，且n∈N*，q為常數(shù)且不為零)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．2.通項(xiàng)公式法：若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．3.等比中項(xiàng)法：若aeq\o\al(2,n＋1)＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，則數(shù)列{an}為等比數(shù)列．4.構(gòu)造法：在條件中出現(xiàn)an＋1＝kan＋b關(guān)系時(shí)，往往構(gòu)造數(shù)列，方法是把a(bǔ)n＋1＋x＝k(an＋x)與an＋1＝kan＋b對(duì)照，求出x即可．【例4】（多選）（23-24高二下·江蘇南京·期中）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，A．S2=4 C．?dāng)?shù)列an是等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列S【答案】ABD【分析】根據(jù)an,Sn的關(guān)系，即可作差求解【詳解】因?yàn)閍n+1=3Sn故n≥2時(shí)，兩式相減得，an+1因?yàn)閍2故數(shù)列{an}則S2a6因?yàn)閍n+1=3即數(shù)列{S故選：ABD．【變式4-1】（多選）（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知數(shù)列an滿足aA．當(dāng)k=0且a1≠0B．當(dāng)k=1時(shí)，aC．當(dāng)k=2時(shí)，aD．當(dāng)k=3，且a1=5時(shí)，【答案】ACD【分析】利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義判斷ABC，利用裂項(xiàng)求和來(lái)計(jì)算D.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)k=0且a1≠0時(shí)，a對(duì)于B：當(dāng)a1+1=0，即a1對(duì)于C：當(dāng)k=2時(shí)，an+1=2an+2n對(duì)于D：當(dāng)k=3，an+1則數(shù)列an?3n是首項(xiàng)為所以1log1log2a故選：ACD.【變式4-2】（多選）（22-23高二上·江蘇宿遷·期中）若數(shù)列anA．a(chǎn)n2 B．a(chǎn)n?an【答案】AB【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的定義檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.【詳解】若數(shù)列an是等比數(shù)列，則aA：anB：an當(dāng)an故選：AB.【變式4-3】（多選）（20-21高二上·江蘇南通·期中）設(shè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為SA．若an=aB．若Sn=aC．若{an}D．若Sn=1?(?1)【答案】BD【分析】舉出反例，如an根據(jù)an與Sn的關(guān)系，求得數(shù)列舉出反例，如{an}為1,?1,1,?1,1,?1,?根據(jù)an與Sn的關(guān)系，求得數(shù)列【詳解】對(duì)于A，若an=a對(duì)于B，由Sn當(dāng)n=1時(shí)，a當(dāng)n≥2時(shí)，a當(dāng)n=1時(shí)，a所以an則an所以{a對(duì)于C，若{an}為等比數(shù)列，如{anSn所以Sn對(duì)于D，若Sn當(dāng)n=1時(shí)，a當(dāng)n≥2時(shí)，a當(dāng)n=1時(shí)，a所以an則an所以數(shù)列{a故選：BD.【變式4-4】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn(1)求證：數(shù)列an?1是等比數(shù)列，并求數(shù)列(2)設(shè)cn=1an?1，數(shù)列cn【答案】(1)證明見(jiàn)解析，a(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)Sn,an的關(guān)系即可作差得（2）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】（1）∵Sn=2an+兩式相減得：Sn?Sn?1∴an?1=2(a令n=1得：S1=a1∴an∴an?1=2（2）由（1）得：cn=1an∴Tn=【考點(diǎn)題型五】等比數(shù)列的性質(zhì)方法總結(jié)：1.若數(shù)列{an}為公比不為－1的等比數(shù)列(或公比為－1，且n不是偶數(shù))，Sn為其前n項(xiàng)和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍構(gòu)成等比數(shù)列．注意：如Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…成等比數(shù)列的前提是Sn，S2n－Sn，S3n－S2n均不為0.2.等比數(shù)列{an}中，若項(xiàng)數(shù)為2n，則S奇S偶＝1q；若項(xiàng)數(shù)為2n＋1，則eq\f(S奇－a1,S偶)＝q【例5】（20-21高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若S3A．50 B．60 C．70 D．80【答案】B【解析】由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)即可求得S12【詳解】解：∵數(shù)列an∴S3，S6?S即4，8，S9?S易知公比q=2∴S9?S12故選：B.【變式5-1】（多選）（23-24高二上·安徽馬鞍山·期中）設(shè)Sn,Tn分別是等差數(shù)列anA．若a15+a16>0，aB．若Tn=5nC．S5D．T5【答案】BCD【分析】A由已知可得?292d<a1<?15d，且【詳解】令an的公差為d，則a所以a15+a16=2使Sn=n而29<?2a1d<30所以使Sn>0的最大正整數(shù)令bn的公比為q且q≠0，則所以q=5b1根據(jù)等差、等比數(shù)列片段和的性質(zhì)知：S5,S故選：BCD【變式5-2】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）兩個(gè)等比數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，已知Sn【答案】14/【分析】設(shè)數(shù)列an，bn的公比分別為q1,q2，在已知式中令n=1得a1=4【詳解】設(shè)數(shù)列an，bn的公比分別為則n=1時(shí)，S1T當(dāng)n=2時(shí)，S2T當(dāng)n=3時(shí)，S3T聯(lián)立2q2?3q1當(dāng)q1=1q當(dāng)q1=7q所以a5故答案為：14【變式5-3】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知Sn是正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S4=10，則【答案】?【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：S4，S8?【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：S4，S8?則S4由于S4=102S當(dāng)且僅當(dāng)S8=故答案為：?5【變式5-4】（23-24高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知數(shù)列an共有10項(xiàng)，該數(shù)列的前5項(xiàng)成等比數(shù)列，后6項(xiàng)成等差數(shù)列，且a2=4，a6=34，a10=42，則a【答案】30252【分析】利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公差公比，進(jìn)而根據(jù)公式計(jì)算可得答案.【詳解】由已知a1,aa5,a∴d=a∴q∴a數(shù)列an所有項(xiàng)的和故答案為：30；252.【考點(diǎn)題型六】等比數(shù)列的單調(diào)性方法總結(jié)：等比數(shù)列的單調(diào)性基本方法：1a1>0時(shí)，=1\*GB3①公比q>1，單調(diào)遞增;=2\*GB3②q=1無(wú)單調(diào)性;=3\*GB3③0<q<1，單調(diào)遞減;=4\*GB3④q<0，無(wú)單調(diào)性.2a1<0時(shí)，=1\*GB3①公比q>1，單調(diào)遞減;=2\*GB3②q=1無(wú)單調(diào)性;=3\*GB3③0<q<1，單調(diào)遞增;=4\*GB3④q<0，無(wú)單調(diào)性.【例6】（多選）（20-21高二上·江蘇無(wú)錫·期中）關(guān)于遞增等比數(shù)列anA．當(dāng)a1>0q>1 B．a(chǎn)1>0【答案】BCD【解析】利用等比數(shù)列單調(diào)性的定義，通過(guò)對(duì)首項(xiàng)a1，公比q【詳解】A，當(dāng)a1>0qB，當(dāng)a1>0，q<0C，當(dāng)a1<0，q>1D，若a1>0，an故選：BCD．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的單調(diào)性的判斷，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，屬基礎(chǔ)題．【變式6-1】（20-21高二上·江蘇連云港·期中）設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，q>1，令bn=an+1(A．?32 B．?43 C．【答案】A【分析】由題意轉(zhuǎn)化條件得數(shù)列an的連續(xù)四項(xiàng)在集合?54,?24,18,36,81【詳解】∵bn=an+1(∴an=bn?1(因?yàn)閍n是等比數(shù)列，等比數(shù)列中一定有正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)相鄰，則q按絕對(duì)值的順序排列上述數(shù)值得18,?24,36,?54,81，相鄰兩項(xiàng)相除?2418則可得?24,36,?54,81是數(shù)列an∴q=?32故選:A.【變式6-2】(多選)（20-21高二上·江蘇蘇州·期中）已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為q，且a1>1,a8A．q>1 B．a(chǎn)8>1 C．T【答案】BC【分析】由正項(xiàng)等比數(shù)列知q>0，又a1>1且(a8?1)(1?a【詳解】由題意知：(a8?1)(1?∵等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為q∴{an}∴綜上知：a8>1>a9，即∵T16=a∴T16>1，而故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由等比正項(xiàng)數(shù)列性質(zhì)，結(jié)合已知推出a8>1>a9，1>q【變式6-3】(多選)（23-24高二上·江蘇南通·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為SA．若數(shù)列an為等差數(shù)列，則2B．若數(shù)列an為等差數(shù)列，Sn>0C．若數(shù)列an為等比數(shù)列，則SD．若數(shù)列an為等差數(shù)列，a1>0，S【答案】ACD【分析】用定義法判斷數(shù)列為等比數(shù)列，利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的性質(zhì)解題.【詳解】選項(xiàng)A：若an為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則2則2a選項(xiàng)B：若數(shù)列an為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，首項(xiàng)為a1，則當(dāng)d=0時(shí)，Sn>0恒成立，數(shù)列a選項(xiàng)C：若數(shù)列an為等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為a1≠0q=1時(shí)，an為常數(shù)列，a1q≠1時(shí)，S2023?所以若數(shù)列an為等比數(shù)列，則S選項(xiàng)D：若數(shù)列an為等差數(shù)列，a1>0，S又等差數(shù)列性質(zhì)有5a9=0，a9=0所以Sn故選：ACD【變式6-4】（20-21高二上·江蘇蘇州·期中）在①1，an，Sn成等差數(shù)列；②遞增等比數(shù)列an中的項(xiàng)a2，已知數(shù)列an和等差數(shù)列bn滿足__________，且b1=a4，b2=a2?a3，是否存在k【答案】任選①②，結(jié)論都是：不存在k3<k<20,k∈【解析】選①，由an=Sn?Sn?1(n≥2)得出數(shù)列{an}是系數(shù)，求得其通項(xiàng)公式后，可得選②，由方程的根，及數(shù)列的性質(zhì)得出a2,a4，從而可得an，求出b1,b2，得公差d【詳解】若選①，∵1，an，Sn成等差數(shù)列，∴即Sn=2an?1n≥2時(shí)，an=Sn?S∴b1=a4=8，bTnT1=8，T2=6，T3=?6，∴不存在k3<k<20,k∈若選②，∵遞增等比數(shù)列an中的項(xiàng)a2，a4∴a2=1,a4=9，則qb1=a4=9Tn=n易知T1=9，n≥2時(shí)，T∴不存在k3<k<20,k∈【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查注等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，解題關(guān)鍵是由基本量法法求得an和Tn，然后分析Tn【考點(diǎn)題型七】等比數(shù)列實(shí)際應(yīng)用【例7】（23-24高二上·江蘇南通·期中）折紙與剪紙是一種用紙張折成或剪成各種不同形狀的藝術(shù)活動(dòng)，是我們中華民族的傳統(tǒng)文化，歷史悠久，內(nèi)涵博大精深，世代傳承．現(xiàn)將一張腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形紙，每次對(duì)折后仍成等腰直角三角形，對(duì)折5次，然后用剪刀剪下其內(nèi)切圓，則可得到若干個(gè)相同的圓片紙，這些圓片紙的半徑為（

）A．2?18 B．2?28 C．【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合等面積法即可求解.【詳解】由題意可知，對(duì)折后的等腰直角三角形的腰長(zhǎng)成等比數(shù)列，且首項(xiàng)為22，公比為22，故對(duì)折5次后，得到腰長(zhǎng)為22設(shè)該等腰直角三角形的內(nèi)切圓半徑為r，則由等面積法可得12×2故選：A.【變式7-1】（多選）（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，作它的內(nèi)接正方形EFGH，且使得∠BEF=15°，再作正方形EFGH的內(nèi)接正方形MNPQ，使得∠FMN=15°依次進(jìn)行下去，就形成了如圖所示的圖案.設(shè)第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為an（其中第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為a1=AB，第2個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為a2=EF，??），第n個(gè)直角三角形（陰影部分）的面積為A．a(chǎn)2=6C．?dāng)?shù)列Sn是公比為63的等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列an2的前n【答案】ABD【分析】利用正方形的特征結(jié)合15°【詳解】對(duì)A：由題意可知AE=EFAB而sin15°=sin60°cos45°?cos60°sin45°=6?2所以EF=對(duì)B：由上可知AE=所以S1對(duì)C：易知△MNF而相似比MNEF即an是首項(xiàng)為3，公比為6Sn是首項(xiàng)為34，公比為對(duì)D：由上可得an=3?6則Tn顯然y=23n單調(diào)遞減，即23故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵是得出等比數(shù)列an【變式7-2】（23-24高二下·江蘇南京·期中）如圖，正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再連接正方形……如此繼續(xù)下去得到一個(gè)樹(shù)狀圖形，稱(chēng)為“勾股樹(shù)”.若某勾股樹(shù)含有511個(gè)正方形，且其最大的正方形的邊長(zhǎng)為1，則其最小正方形的邊長(zhǎng)為.【答案】116/【分析】由題意可得方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成以1為首項(xiàng)，22【詳解】由題意，得正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成以1為首項(xiàng)，22現(xiàn)已知共含有511個(gè)正方形，則有1+2+2解得n=9，所以最小正方形的邊長(zhǎng)為1×故答案為：116【變式7-3】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）如圖，將數(shù)列an中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多兩項(xiàng)的規(guī)則排成數(shù)表，已知表中的第一列a1、a2、a5、?構(gòu)成一個(gè)公比為2的等比數(shù)列，從第2行起，每一行都是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列，若a3=6，【答案】4【分析】分析可知，a69位于第9行第5項(xiàng)，根據(jù)題意得出a2=2a1，a65=【詳解】第1行最后一項(xiàng)為a1，第2行最后一項(xiàng)為a22，第3行最后一項(xiàng)為a以此類(lèi)推可知，第nn∈N因?yàn)?4=82<69<92，所以，a由題意可知，a2=2aa65=a由①②可得a1=1，故答案為：4.【變式7-4】（23-24高二上·江蘇泰州·期中）侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)是一種非常有規(guī)律的蜘蛛網(wǎng)，如圖是由無(wú)數(shù)個(gè)正方形環(huán)繞而成的，且每一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都恰好在它的外邊最近一個(gè)正方形四條邊的三等分點(diǎn)上，設(shè)外圍第一個(gè)正方形A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為3，往里第二個(gè)正方形為A2B2C【答案】500243【分析】根據(jù)已知，利用勾股定理、正方形的周長(zhǎng)公式、面積公式以及等比數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為an，則a因?yàn)槊恳粋€(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都恰好在它的外邊最近一個(gè)正方形四條邊的三等分點(diǎn)上，所以A2B1所以外圍第2個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為a2同理，外圍第n+1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為a即數(shù)列an是首項(xiàng)為3，公比為5所以an所以a7所以第7個(gè)正方形的周長(zhǎng)是4×125所以第n個(gè)正方形的面積為an所以前n個(gè)正方形的面積之和S=9由8141?5兩邊取常用對(duì)數(shù)得，nlg59因?yàn)閚∈故答案為：500243【考點(diǎn)題型八】等比數(shù)列恒成立【例8】（23-24高二上·江蘇蘇州·期中）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2an?2n+1，數(shù)列bn滿足b【答案】34【分析】先通過(guò)遞推公式求出an的通項(xiàng)公式，代入求出b【詳解】因?yàn)镾n=2a所以an=2a兩邊同除2n可得a又因?yàn)閚=1時(shí)a1=2所以an2n即an所以bn代入不等式可得1+1即m≤令cn=1+所以c==1+因?yàn)?n所以2n所以cn+1?cn所以m≤34，即m故答案為：3【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：數(shù)列的恒成立問(wèn)題往往需要研究數(shù)列的單調(diào)性，一般通過(guò)作差法來(lái)判斷單調(diào)性.【變式8-1】（20-21高二上·江蘇南通·期中）等比數(shù)列an的前n項(xiàng)積為T(mén)n，且滿足a1>1，a102A．102 B．203C．204 D．205【答案】C【解析】由題意可得a102a103【詳解】由a102a103?1>0，即a102所以等比數(shù)列an由a102?1a可得：a102所以T204T205故使得Tn故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵T204=a1?a2?…a【變式8-2】（23-24高二上·江蘇蘇州·期中）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公差d≠0，且S3+S5(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn①求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和T②若不等式λTn?Sn【答案】【小題1】an=2n+1；【小題2】①【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，結(jié)合等比中項(xiàng)進(jìn)行求解；（2）①先計(jì)算bn的通項(xiàng)公式，再用錯(cuò)位相減法求解T

②代入Tn,Sn，得到λ≤2?n【詳解】（1）依題意得3a1+∴an=（2）①bnanTn3T所以?2Tn=3+2?3+2?32∴T②由（1）易求得Sn=n(n即轉(zhuǎn)化為λ≤2?n令fn=2?又fn當(dāng)1≤n≤2時(shí)，fn+1?所以f(1)>f(2)>f(3)所以實(shí)數(shù)λ的最大值為?1【變式8-3】（22-23高二上·江蘇鹽城·期中）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S10=155，a3=8，設(shè)數(shù)列(1)求數(shù)列an和b(2)設(shè)cn=anbn，數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為T(mén)【答案】(1)an=3(2)2023【分析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式列列方程組求解an，由bn與Pn（2）轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題求解，【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為dS10=10a1+45由Pn=當(dāng)n≥2時(shí)，又b1=2適合上式，所以（2）不等式12Tn則m<顯然cn=am<正整數(shù)m的最大值為2023．【變式8-4】（23-24高二上·江蘇蘇州·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為An，且An=na1+an2，數(shù)列bn是公比為q的等比數(shù)列，它的前(1)若a1=1，a3(2)求證：數(shù)列an(3)若q=2，是否存在正整數(shù)m，k，使得Ak=65Bm【答案】(1)a(2)證明見(jiàn)解析(3)存在，m=7，k【分析】（1）根據(jù)An=n（2）根據(jù)an（3）根據(jù)等差、等比數(shù)列的求和公式和Ak=65Bm得到260?k=3902m【詳解】（1）當(dāng)n=3時(shí)，A因?yàn)閍1=1，a3（2）由An=n兩式相減，得an+1=所以na兩式相減，得2an+1（3）依題意：ak=bm=即a1+a因?yàn)?8=256，且m≥3又因?yàn)?90=6×65，且2m?1+1為奇數(shù)，所以2m?1所以m=7，k【考點(diǎn)題型九】等比數(shù)列分奇偶【例9】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知數(shù)列an滿足an=n+2,A．2 B．3 C．4 D．8【答案】A【分析】按奇偶性分類(lèi)討論即可求解.【詳解】m為奇數(shù)時(shí)，依題意有m+1又由m≥2可知2m為偶數(shù)時(shí)，依題意有2m故選：A【變式9-1】（22-23高二上·江蘇南通·期中）已知數(shù)列an滿足an+2=a(1)求通項(xiàng)an(2)求數(shù)列a2n?1?a【答案】(1)a(2)T【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推公式的分段形式，分別求n為奇數(shù)和偶數(shù)的通項(xiàng)公式;（2）由（1）可知cn【詳解】（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，由an+2?a2k?1=a當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由an+2=2a2k=a2∴an（2）記cnT=2相減得：?=∴T【變式9-2】（22-23高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）在數(shù)列an中，a1=2,(1)求證：數(shù)列bn(2)設(shè)cn=bn,n為偶數(shù)【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)Sn【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)等比數(shù)列、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式分組進(jìn)行求和即可.【詳解】（1）由已知得an+1?(即bn又∵a1?1=1≠0,∴（2）由（1）知，b∴∴

=

=1【變式9-3】（21-22高二上·山東青島·期中）已知數(shù)列an為等差數(shù)列，a1=1，a2n=a(1)求數(shù)列an和b(2)若cn=an,【答案】(1)an=(2)2【分析】（1）設(shè)數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn的公比為q，根據(jù)