專題04雙曲線的概念與幾何性質(zhì)（考點(diǎn)清單知識(shí)導(dǎo)圖+3考點(diǎn)清單+10題型解讀）（學(xué)生版） 2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考點(diǎn)大串講（蘇教版2019選擇性必修第一冊(cè)）

專題04雙曲線的概念與幾何性質(zhì)【清單01】雙曲線的概念與標(biāo)準(zhǔn)方程一.雙曲線的定義1.定義：在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于0且）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線.2.焦距：這兩個(gè)定點(diǎn)、叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線的焦距.注意：1.若去掉定義中的“絕對(duì)值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；若（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；3.若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線（包括端點(diǎn)）；4.若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在；5.若常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線。二.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1、當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；2、當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中【清單02】雙曲線的漸近線、離心率及幾何性質(zhì)匯總一.等軸雙曲線定義：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫等軸雙曲線，它的漸近線是y＝±x，離心率為e＝eq\r(2).二.雙曲線與漸近線的關(guān)系3、若漸近線方程為，則雙曲線方程可設(shè)為，三.離心率1.定義：e＝c2.范圍：(1，＋∞)3.拓展：=1\*GB3①e2=c2a2=a2+b2a2=1+四.雙曲線的幾何性質(zhì)匯總標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)性質(zhì)圖形焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝2c性質(zhì)范圍x≤－a或x≥a，y∈eq\a\vs4\al(R)y≤－a或y≥a，x∈eq\a\vs4\al(R)對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸實(shí)軸：線段A1A2，長(zhǎng)：eq\a\vs4\al(2a)；虛軸：線段B1B2，長(zhǎng)：eq\a\vs4\al(2b)；半實(shí)軸長(zhǎng)：eq\a\vs4\al(a)，半虛軸長(zhǎng)：eq\a\vs4\al(b)離心率e＝eq\a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x【清單03】直線與雙曲線的位置關(guān)系一．直線與雙曲線的位置關(guān)系把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，通過(guò)消元后化為ax2+bx+c=0(1)?>0時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)(2)?=0時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)切點(diǎn)(3)?<0時(shí)，直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)當(dāng)a=0時(shí)，直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)【特別注意】(1)直線與雙曲線的關(guān)系中:一解不一定相切，相交不一定兩解，兩解不一定同支(2)解決直線與雙曲線的公共點(diǎn)問(wèn)題，不僅要考慮判別式，更要注意二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，直線與漸近線平行的特殊情況.(3)雙曲線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)的題目，應(yīng)分兩種情況討論:直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行:(4)注意對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行討論二．弦長(zhǎng)公式①弦長(zhǎng)公式:直線y=kx+b與雙曲線相交所得的弦長(zhǎng)d=1+k②處理直線與圓錐曲線相交弦有關(guān)問(wèn)題時(shí),聯(lián)立曲線方程和直線方程,根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式并結(jié)合韋達(dá)定理、點(diǎn)差法進(jìn)行求解③雙曲線的通徑:過(guò)焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫作雙曲線的通徑,無(wú)論焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，雙曲線的通徑總等于2【考點(diǎn)題型一】雙曲線的概念與標(biāo)準(zhǔn)方程方法總結(jié)：文字語(yǔ)言平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，F(xiàn)的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于符號(hào)語(yǔ)言||PF焦點(diǎn)定點(diǎn)F焦距兩焦點(diǎn)間的距離【例1】（23-24高二上·江蘇連云港·期中）方程x2A．x2+yC．y2+x【變式1-1】（22-23高二上·江蘇鹽城·期中）已知P是圓F1:x+32+y2=16上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)FA．x25?C．x24?【變式1-2】（23-24高二上·江蘇常州·期中）若方程mxA．m<0 B．C．0<m<1 D．m【變式1-3】（23-24高二上·江蘇無(wú)錫·期中）已知雙曲線的方程為x2k+2【變式1-4】（21-22高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）動(dòng)圓M與圓C1：x+42+yA．x215+C．x2?y【考點(diǎn)題型二】雙曲線的離心率方法總結(jié)：求雙曲線的離心率時(shí)，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式,利用c2=a2+【例2】（23-24高二上·江蘇連云港·期中）已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，漸近線方程為y=±2A．3 B．5C．3或62 D．5或【變式2-1】（23-24高二上·江蘇常州·期中）設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠FA．25 B．C．22 D．【變式2-2】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右頂點(diǎn)分別為AA．2 B．2C．3 D．5【變式2-3】（23-24高二上·江蘇南通·期中）在△ABC中，AC⊥BC，sinA=35，以A，C為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的橢圓離心率記為e1，以B，C【變式2-4】（23-24高二上·江蘇徐州·期中）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C1:x2a12+y2bA．52,6C．324,【考點(diǎn)題型三】雙曲線的漸近線方法總結(jié)：在雙曲線的幾何性質(zhì)中重點(diǎn)是漸近線方程和離心率，在雙曲線x2a2?y【例3】（23-24高二上·江蘇徐州·期中）已知以雙曲線C:x2a2?yA．x28?C．x22?【變式3-1】（22-23高二上·江蘇鹽城·期中）已知雙曲線C:x24?A．相同的焦點(diǎn) B．相同的實(shí)軸長(zhǎng)C．相同的離心率 D．相同的漸近線【變式3-2】(多選)（23-24高二上·江蘇泰州·期中）已知曲線C：mxA．若n>B．若m=nC．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為D．若n=0，m【變式3-3】（多選）（22-23高二上·江蘇淮安·期中）下列雙曲線中以y=±2A．x24?C．y2?4x【變式3-4】（多選）（21-22高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知雙曲線C：x2A．雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－13，0)，(13，0)B．雙曲線C與x2C．雙曲線C的焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為3D．直線y=【考點(diǎn)題型四】焦點(diǎn)三角形方法總結(jié)：求雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積的方法：①根據(jù)雙曲線的定義求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之間滿足的關(guān)系式；③利用公式＝eq\f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面積．利用公式＝eq\f(1,2)×|F1F2|×|yP|(yP為P點(diǎn)的縱坐標(biāo))求得面積④結(jié)論：S【例4】（21-22高二·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)雙曲線x29?y216=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1【變式4-1】（21-22高二上·江蘇鹽城·期中）已知焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2的雙曲線C的離心率為5，點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，且滿足2PF1=3PF【變式4-2】（21-22高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知F1,F2是雙曲線x2a2?y2b2【變式4-3】（22-23高二上·江蘇鹽城·期中）經(jīng)過(guò)雙曲線x2?y(1)線段AB的長(zhǎng)；(2)設(shè)點(diǎn)F2為右焦點(diǎn)，求△【變式4-4】（多選）（22-23高二上·江蘇泰州·期中）已知橢圓C1:x2a12+y2b12=1a1>b1>0與雙曲線A．PF1?PFC．若∠F1PF2【考點(diǎn)題型五】直線與雙曲線的位置關(guān)系方法總結(jié)：直線與雙曲線的具有三種位置關(guān)系:相交:直線與雙曲線交于兩點(diǎn)或平行于漸近線交雙曲線于一點(diǎn);相切:不平行于漸近線且交于一點(diǎn);(3)相離;【例5】（22-23高二上·黑龍江哈爾濱·期中）雙曲線x29?A．0 B．1C．0或1 D．0或1或2【變式5-1】（22-23高二上·江蘇鹽城·期中）若直線l:x+my?A．4條 B．3條C．2條 D．1條【變式5-2】（22-23高二上·江蘇徐州·期中）已知雙曲線x24?y2b2=1(b>0)的離心率為【變式5-3】（23-24高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知直線l:y=(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)若△OAB的面積為625（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求此時(shí)直線l【變式5-4】（22-23高二上·江蘇泰州·期中）已知雙曲線C過(guò)點(diǎn)P62,1(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知A(3,4),過(guò)點(diǎn)13,0的直線l與雙曲線C交于不同兩點(diǎn)M、N,設(shè)直線AM、AN的斜率分別為k1、【考點(diǎn)題型六】中點(diǎn)弦問(wèn)題方法總結(jié)：雙曲線中點(diǎn)弦的斜率公式：設(shè)為雙曲線弦（不平行軸）的中點(diǎn)，則有證明：設(shè)，，則有，兩式相減得：整理得：，即，因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，所以：，所以【例6】（23-24高二上·河北·期中）已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)2,0，且與雙曲線x2(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知A，B是雙曲線C上的兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M3,3，求直線AB【變式6-1】（23-24高二上·四川宜賓·期中）已知雙曲線C和橢圓x24+(1)求雙曲線C的方程．(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M1,2【變式6-2】（21-22高二上·江蘇南通·期中）在①離心率為3，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,4；②半長(zhǎng)軸的平方與半焦距之比等于常數(shù)4，且焦距為2.這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，若問(wèn)題中的直線l存在，求出l的方程；若問(wèn)題中的直線l不存在，說(shuō)明理由.問(wèn)題：已知曲線C：mx2+ny2=1m,n≠0的焦點(diǎn)在x軸上，______，是否存在過(guò)點(diǎn)P?1,1的直線注：若選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【變式6-3】(多選)（22-23高二下·云南保山·期中）公元前300年前后，歐幾里得撰寫(xiě)的《幾何原本》是最早有關(guān)黃金分割的論著，書(shū)中描述：把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長(zhǎng)的比值等于較小部分與較大的比值，則這個(gè)比值即為“黃金分割比”，這個(gè)數(shù)值的作用不僅僅體現(xiàn)在諸如繪畫(huà)、雕塑、音樂(lè)、建筑等藝術(shù)領(lǐng)域，而且在管理、工程設(shè)計(jì)等方面也有著不可忽視的作用．利用“黃金分割比”研究雙曲線，可得滿足：ca+c=ac的雙曲線叫做“黃金雙曲線”．黃金雙曲線E：x2A．e=5?1C．OA×OF=【變式6-4】（23-24高二上·江蘇連云港·期中）已知雙曲線E：x2a2?y2b(1)求E的方程；(2)設(shè)點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，求直線OP的方程.【考點(diǎn)題型七】直線與雙曲線弦長(zhǎng)問(wèn)題方法總結(jié)：設(shè)直線交雙曲線于點(diǎn)兩點(diǎn)，則==同理可得這里的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：【例7】（23-24高二上·江蘇泰州·期中）已知雙曲線C：x24?A．0條 B．2條C．3條 D．4條【變式7-1】（22-23高二上·江蘇宿遷·期中）雙曲線的焦點(diǎn)F1,F2的坐標(biāo)分別為?5,0和(1)雙曲線的方程及其漸近線方程；(2)已知直線l與該雙曲線交于交于A,B兩點(diǎn)，且A,【變式7-2】（22-23高二上·江蘇鹽城·期中）經(jīng)過(guò)雙曲線x2?y(1)線段AB的長(zhǎng)；(2)設(shè)點(diǎn)F2為右焦點(diǎn)，求△【變式7-3】（22-23高二上·江蘇宿遷·期中）雙曲線C：x26?y2(1)求|AB(2)求△AOB【變式7-4】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知點(diǎn)P是雙曲線E：x216?y29=1的右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1、A．2 B．4C．163 D．【考點(diǎn)題型八】雙曲線中的和差最值問(wèn)題方法總結(jié)：最值問(wèn)題：利用三角形：和最小問(wèn)題，兩邊之和≥第三邊，三點(diǎn)共線，動(dòng)點(diǎn)必須在中間。差的絕對(duì)值最大問(wèn)題，兩邊之差的絕對(duì)值≤第三邊，三點(diǎn)共線，動(dòng)點(diǎn)必須在兩邊?！纠?】（21-22高二上·四川成都·期中）若點(diǎn)P在曲線C1:x216?y29=1上，點(diǎn)A．9 B．10C．11 D．12【變式8-1】（22-23高二上·江蘇徐州·期中）已知等軸雙曲線的焦距為8，左、右焦點(diǎn)F1,F2在x軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5,3A．22+2 C．22+4 【變式8-2】（22-23高二上·吉林·期中）已知雙曲線C:y24?x25=1的下焦點(diǎn)為FA．?2 B．2C．1 D．?1【變式8-3】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知點(diǎn)M2，1，點(diǎn)P是雙曲線C:x29?y216【變式8-4】（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）已知P是雙曲線x29?y27=1上的點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A【考點(diǎn)題型九】雙曲線軌跡方程方法總結(jié)：求軌跡方程的常見(jiàn)方法有:①直接法，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x,y，根據(jù)題意列出關(guān)于x,y的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把x,y分別用第三個(gè)變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將x0=gx【例9】（23-24高二上·廣東深圳·期中）已知圓C1:(x+3)2+y2(1)求曲線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)C2且斜率為4的直線l與曲線C交于A,B【變式9-1】（23-24高二上·陜西寶雞·期中）已知點(diǎn)F1?3,0，F(xiàn)23,0，若動(dòng)點(diǎn)Mx,y【變式9-2】（23-24高二上·江蘇南京·期中）雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).已知雙曲線C:x24?y2=1的左焦點(diǎn)為F，過(guò)雙曲線C右支上任意一點(diǎn)作其切線l，過(guò)點(diǎn)F作直線【變式9-3】（23-24高二上·江蘇泰州·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)F(2,0)的距離是到直線x=3(1)求點(diǎn)M的軌跡方程；(2)設(shè)P(1,0)，直線x=tt≠3與M的軌跡方程相交于A,B【變式9-4】（21-22高二上·江蘇連云港·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)Р與定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到定直線l：x=32(1)求曲線E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A(3，0)兩條互相垂直的直線分別與曲線E交于點(diǎn)M，N(異于點(diǎn)A)，求證：直線MN過(guò)定點(diǎn).【考點(diǎn)題型十】雙曲線的切線方