第2章第1節(jié)拉普拉斯變換

一.拉氏變換1.定義：設(shè)函數(shù)f(t)滿足：

1f(t)實(shí)函數(shù)； 2當(dāng)t<0時(shí)，f(t)=0；

3當(dāng)t0時(shí)，f(t)的積分在s的某一域內(nèi)收斂則函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換存在，并定義為：式中：s=σ+jω（σ，ω均為實(shí)數(shù)）；F(s)稱為函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換或象函數(shù);f(t)稱為F(s)的原函數(shù)；L為拉氏變換的符號(hào)。2-1 拉普拉斯變換高等函數(shù)

初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)三角函數(shù)單位脈沖函數(shù)單位階躍函數(shù)單位速度函數(shù)單位加速度函數(shù)冪函數(shù)2.常用函數(shù)的拉氏變換指數(shù)函數(shù)的拉氏變換（歐拉公式）三角函數(shù)的拉氏變換冪函數(shù)的拉氏變換階躍函數(shù)的拉氏變換斜坡函數(shù)單位速度函數(shù)的拉氏變換洛必達(dá)法則單位脈沖函數(shù)拉氏變換拋物線函數(shù)單位加速度函數(shù)拉氏變換幾個(gè)重要的拉氏變換f(t)F(s)f(t)F(s)δ(t)1sinwt1(t)1/scoswtt1/(s+a)3.拉氏變換的基本性質(zhì)

(1)線性性質(zhì)原函數(shù)之和的拉氏變換等于各原函數(shù)的拉氏變換之和。

(2)微分性質(zhì)若，則有

f(0)為原函數(shù)f(t)在t=0時(shí)的初始值。

證：根據(jù)拉氏變換的定義有

原函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換依次類推，可以得到原函數(shù)n階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換原函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)

像函數(shù)中s的高次代數(shù)式(3)積分性質(zhì)若則式中為積分當(dāng)t=0時(shí)的值。證：設(shè)則有由上述微分定理，有即：同理，對(duì)f(t)的二重積分的拉氏變換為若原函數(shù)f(t)及其各重積分的初始值都等于0則有即原函數(shù)f(t)的n重積分的拉氏變換等于其象函數(shù)除以。（4）.終值定理原函數(shù)的終值等于其象函數(shù)乘以s的初值。證：由微分定理，有等式兩邊對(duì)s趨向于0取極限注：若時(shí)f(t)極限不存在，則不能用終值定理。如對(duì)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)就不能應(yīng)用終值定理。(5)初值定理：證明方法同上。只是要將取極限。(6)位移定理：a.實(shí)域中的位移定理，若原函數(shù)在時(shí)間上延遲，則其象函數(shù)應(yīng)乘以b.復(fù)域中的位移定理，象函數(shù)的自變量延遲a，原函數(shù)應(yīng)乘以即：(7)時(shí)間比例尺定理原函數(shù)在時(shí)間上收縮（或展寬）若干倍，則象函數(shù)及其自變量都增加（或減?。┩瑯颖稊?shù)。即：證：(8)卷積定理兩個(gè)原函數(shù)的卷積的拉氏變換等于兩個(gè)象函數(shù)的乘積。即

證明：

課程回顧(1)2拉氏變換的定義

（2）單位階躍3常見函數(shù)L變換（5）指數(shù)函數(shù)（1）單位脈沖（3）單位斜坡（4）單位加速度（6）正弦函數(shù)（7）余弦函數(shù)課程回顧(2)（2）微分定理4L變換重要定理（5）復(fù)位移定理（1）線性性質(zhì)（3）積分定理（4）實(shí)位移定理（6）初值定理（7）終值定理二.拉氏反變換

1.定義：從象函數(shù)F(s)求原函數(shù)f(t)的運(yùn)算稱為拉氏反變換。記為。由F(s)可按下式求出式中C是實(shí)常數(shù)，而且大于F(s)所有極點(diǎn)的實(shí)部。接按上式求原函數(shù)太復(fù)雜，一般都用查拉氏變換表的方法求拉氏反變換，但F(s)必須是一種能直接查到的原函數(shù)的形式。

若F(s)不能在表中直接找到原函數(shù)，則需要將F(s)展開成若干部分分式之和，而這些部分分式的拉氏變換在表中可以查到。例1：例2：求的逆變換。解：例3.2.拉式反變換——部分分式展開式的求法（1）情況一:F(s)有不同極點(diǎn),這時(shí),F(s)總能展開成如下簡(jiǎn)單的部分分式之和式中是D(s)=0的根，稱為F(s)的極點(diǎn)。（2）情況2:F(s)有共軛極點(diǎn)例5：求解微分方程（3）情況3:F(s)有重極點(diǎn),假若F(s)有L重極點(diǎn),而其余極點(diǎn)均不相同。那么如果不記公式,可用以下方法求解也可得解。將微分方程通過(guò)拉氏變換變?yōu)閟的代數(shù)方程；解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量s的拉氏變換表達(dá)式；應(yīng)用拉氏反變換，得到微分方程的時(shí)域解。三.拉氏變換求解線性微分方程作業(yè)1.1-22-62-82.求下列各拉氏變換式的原函數(shù)。3.求解下列微分方程。

復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（12）5拉氏反變換（1）反演公式（2）查表法（分解部分分式法）試湊法系數(shù)比較法留數(shù)法例1已知，求解.

復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（13）用L變換方法解線性常微分方程0初條件n>m:特征根（極點(diǎn)）:相對(duì)于的模態(tài)

復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（14）用留數(shù)法分解部分分式一般有其中：設(shè)I.當(dāng)無(wú)重根時(shí)

復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（15）例2已知，求解.例3已知，求解.

復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（16）例4已知，求解一.解二：

復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（17）II.當(dāng)有重根時(shí)(設(shè)為m重根，其余為單根)

復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有