4.5.1 函數(shù)的零點與方程的解（課件）

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)第四章4.5.1函數(shù)的零點與方程的解4.5函數(shù)的應(yīng)用(二)課程標(biāo)準(zhǔn)核心素養(yǎng)1．結(jié)合學(xué)過的函數(shù)圖象，了解函數(shù)零點與方程解的關(guān)系．2．結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點，了解函數(shù)零點存在定理.通過對函數(shù)的零點與方程的解的學(xué)習(xí)，提升“數(shù)學(xué)抽象”、“邏輯推理”、“數(shù)學(xué)運算”的核心素養(yǎng).欄目索引課前自主預(yù)習(xí)課堂互動探究隨堂本課小結(jié)課前自主預(yù)習(xí)1．對于函數(shù)y＝f(x)，把使__________________的實數(shù)________叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．2．函數(shù)的零點與方程的根的聯(lián)系：方程f(x)＝0有實數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有__________?函數(shù)y＝f(x)的圖象與__________有公共交點．f(x)＝0

知識點1函數(shù)的零點x

零點x軸[微思考]函數(shù)的零點是函數(shù)與x軸的交點嗎？提示：不是．函數(shù)的零點不是個點，而是一個數(shù)，該數(shù)是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)．2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，則函數(shù)有________個零點．解析由Δ＝b2－4ac>0得二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c有兩個零點．答案兩如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有______________，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得___________.這個c也就是方程f(x)＝0的解．[微思考]該定理具備哪些條件？提示：定理要求具備兩條：①函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；②f(a)·f(b)<0.知識點2函數(shù)零點存在性定理f(a)·f(b)＜0

f(c)＝0

[微體驗]1．思考辨析(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的曲線y＝f(x)，若f(a)·f(b)＜0，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)僅有一個零點．(

)(2)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的曲線y＝f(x)，若f(a)·f(b)＞0，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)沒有一個零點．(

)答案(1)×

(2)×2．函數(shù)f(x)＝3x－4的零點所在區(qū)間為(

)A．(0,1)

B．(－1,0)

C．(2,3)

D．(1,2)答案D

解析由f(1)＝3－4＝－1<0，f(2)＝9－4＝5>0得f(x)的零點所在區(qū)間為(1,2)．課堂互動探究探究一求函數(shù)的零點[方法總結(jié)]函數(shù)零點的求法(1)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實數(shù)根；(2)幾何法：與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點．探究二判斷函數(shù)零點所在區(qū)間問題(2)若x0是方程ex＋x＝2的解，則x0屬于區(qū)間(

)A．(－2，－1)

B．(－1,0)C．(0,1)

D．(1,2)答案C

解析構(gòu)造函數(shù)f(x)＝ex＋x－2，由f(0)＝－1，f(1)＝e－1>0，顯然函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù)，有且只有一個零點，則函數(shù)f(x)的零點在區(qū)間(0,1)上，所以方程ex＋x＝2的解在區(qū)間(0,1)上．[方法總結(jié)]1．確定函數(shù)零點所在區(qū)間的方法確定函數(shù)的零點、方程的根所在的區(qū)間時，通常利用零點存在性定理，轉(zhuǎn)化為判斷區(qū)間兩端點對應(yīng)的函數(shù)值的符號是否相反．2．判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的三個步驟(1)代：將區(qū)間端點代入函數(shù)求出函數(shù)的值．(2)判：把所得函數(shù)值相乘，并進(jìn)行符號判斷．(3)結(jié)：若符號為正且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則在該區(qū)間內(nèi)無零點，若符號為負(fù)且函數(shù)連續(xù)，則在該區(qū)間內(nèi)至少有一個零點．

判斷函數(shù)f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零點個數(shù)．解

方法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋lg3－2>0，∴f(x)在(0,2)上必定存在零點．又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上為增函數(shù)，故f(x)有且只有一個零點．探究三函數(shù)零點的個數(shù)方法二：在同一坐標(biāo)系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草圖，如圖所示．由圖象知g(x)＝lg(x＋1)的圖象和h(x)＝2－2x的圖象有且只有一個交點，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一個零點．[變式探究]將本例中函數(shù)解析式改為f(x)＝x－3＋ln

x

呢？[方法總結(jié)]判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法方法一：直接求出函數(shù)的零點進(jìn)行判斷；方法二：結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行判斷；方法三：借助函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且在區(qū)間(a，b)上單調(diào)，滿足f(a)·f(b)<0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上有且僅有一個零點，如圖所示．1．方程f(x)＝g(x)的根是函數(shù)f(x)與g(x)的圖象交點的橫坐標(biāo)，也是函數(shù)y＝f(x)－g(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)．2．在函數(shù)零點存在性定理中，要注意三點(1)函數(shù)是連續(xù)的；(2)定理不可逆；(