內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市第八中學(xué)2023-2024學(xué)年八上期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

八年級(jí)數(shù)學(xué)增值性評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)采集注意事項(xiàng)：1．考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)涂寫在試卷和答題卡的規(guī)定位置．2．考生要將答案寫在答題紙上，在試卷上答題一律無效．考試結(jié)束后，本試題和答題卡一并交回．3．本試卷滿分100分，考試時(shí)間為100分鐘．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的）1.圖書館的標(biāo)志濃縮了圖書館的文化，下列圖書館標(biāo)志中圖案是軸對稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了軸對稱圖形的概念，熟悉軸對稱圖形的概念是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對稱圖形的概念，對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，只有選項(xiàng)符合題意．【詳解】解：選項(xiàng)不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；選項(xiàng)是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；選項(xiàng)不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；選項(xiàng)不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：．2.在聯(lián)歡晚會(huì)上，有A、B、C三名同學(xué)站在一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)位置上，他們在玩搶凳子游戲，要求在他們中間放一個(gè)木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢迷诘模?/p>

）A.三邊中線的交點(diǎn) B.三條角平分線的交點(diǎn)C.三邊上高的交點(diǎn) D.三邊中垂線的交點(diǎn)【答案】D【解析】【分析】為使游戲公平，要使凳子到三個(gè)人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等可知，要放在三邊中垂線的交點(diǎn)上．【詳解】解：利用線段垂直平分線的性質(zhì)得：要放在三邊中垂線的交點(diǎn)上．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用；利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題是一種能力，要注意培養(yǎng)．想到要使凳子到三個(gè)人的距離相等是正確解答本題的關(guān)鍵．3.如圖，若，，則直接判定理由是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握幾種全等三角形全等的判定方法是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)已知條件，，，再加上公共邊，就可以判斷三角形全等，由此得到答案．【詳解】解：在和中，，，故選：．4.如圖，在中，，平分，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在中，利用三角形內(nèi)角和定理可求得，再推出，在中，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：在中，，，∴，∵平分，∴，在中，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟知三角形內(nèi)角和定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．5.如圖，將正五邊形與正方形按如圖所示擺放，公共頂點(diǎn)為O．若點(diǎn)A，B，C，D在同一條直線上，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正五邊形的內(nèi)角和求出，根據(jù)正方形的一個(gè)內(nèi)角為求出,根據(jù)三角形外角求出．【詳解】解：正五邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：，∴，正方形的一個(gè)內(nèi)角為，∵點(diǎn)A，B，C，D在同一條直線上，∴,∴，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形的內(nèi)角，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．6.已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)進(jìn)行求解．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練掌握關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．7.如圖，用直尺和圓規(guī)作的平分線的示意圖如圖所示，則下列選項(xiàng)中，能說明圖中所作出的射線是的平分線的依據(jù)是（）A. B.C. D.角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等【答案】A【解析】【分析】本題考查了基本作圖，三角形全等的判定方法，熟練掌握三角形全等的判定方法是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的作法可知，，，，符合三角形全等的判定方法中的，可證，由此得到，即射線是的平分線，選出正確答案．【詳解】如圖，連接，，由作法知：，，在和中，，，，即射線是的平分線，故選：．8.如圖，在中，，，是邊上的中線，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】延長到E，使，連接，證明得到，利用三角形的三邊關(guān)系得到即可求解．【詳解】解：延長到，使，連接，∵是邊上的中線，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴即，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，靈活添加輔助線（倍長中線法）構(gòu)造全等三角形是解答的關(guān)鍵．9.如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于F，過F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列結(jié)論正確的有（）①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝DB+CE；③△ADE的周長等于AB+AC；④BF＝CF．A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)，借助于等量代換可求出∠DBF＝∠DFB，即△BDF是等腰三角形，同理△CEF都是等腰三角形；進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：①∵BF是∠ABC的角平分線，∴∠ABF＝∠CBF，又∵DE∥BC，∴∠CBF＝∠DFB，∴∠ABF＝∠DFB，∴DB＝DF，即△BDF是等腰三角形，同理∠ECF＝∠EFC，∴EF＝EC，∴△BDF，△CEF都是等腰三角形，①正確；∵∠B、∠C的角平分線交于點(diǎn)F，∴∠DBF＝∠CBF（設(shè)為α），∠ECF＝∠BCF（設(shè)為β）；∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF＝α，∠EFC＝∠BCF＝β；∴∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，∴DB＝DF，EF＝EC；∴DE＝DB+CE，△ADE的周長AD+DE+AE＝AB+AC，②③正確；∵AB和AC不一定相等，∴BF和CF不一定相等．故④錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用問題；靈活運(yùn)用等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10.如圖所示，在中，，平分，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)是（）A.120° B.125° C.130° D.135°【答案】B【解析】【分析】上截取，連接，證明，得出，說明，找出當(dāng)A、P、E在同一直線上，且時(shí)，最小，即最小，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)P，根據(jù)三角形內(nèi)角和，求出結(jié)果即可．【詳解】解：在上截取，連接，如圖所示：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)A、P、E在同一直線上，且時(shí)，最小，即最小，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)P，如圖所示：∵，，∴，∴，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線段最短，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出使最小時(shí)點(diǎn)P的位置．二、填空題（本大題共6小題，每題3分，共18分，本題要求把正確結(jié)果填在答題紙規(guī)定的橫線上，不需要解答過程）11.空調(diào)安裝在墻上時(shí)，一般都會(huì)采用如圖所示的方法固定，這種方法應(yīng)用的幾何原理是__________．【答案】三角形的穩(wěn)定性【解析】【分析】釘在墻上的方法是構(gòu)造三角形支架，因而應(yīng)用了三角形的穩(wěn)定性．【詳解】解：這種方法應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是：三角形的穩(wěn)定性，

故答案為：三角形的穩(wěn)定性．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，正確掌握三角形的這一性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12.已知等腰三角形的兩條邊長分別是8和3，則此等腰三角形的周長是_________．【答案】【解析】【分析】將8和3分別作為腰分類討論即可．【詳解】解：當(dāng)8為腰時(shí)，三邊為：8，8，3，則周長為，當(dāng)3為腰時(shí)，三邊為：8，3，3，根據(jù)三角形三邊關(guān)系：，故不能構(gòu)成三角形．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義，相關(guān)知識(shí)點(diǎn)有：三角形三邊關(guān)系，準(zhǔn)確分類討論是解題關(guān)鍵．13.如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，．若，則的長是__________．【答案】4【解析】【分析】由可得，由是的垂直平分線可得，從而可得．【詳解】解：∵，∴，∵是的垂直平分線，∴，∴．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等角對等邊等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．14.如圖，中，，P是上任意一點(diǎn)，過P作于D，于E，若，則_________【答案】6【解析】【分析】連接，由，代入數(shù)值，解答即可．【詳解】解：連接，由圖可得，，∵于D，于E，，∴，∴．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形，解答時(shí)注意，將一個(gè)三角形的面積轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角形的面積和；體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．15.如圖，已知的周長是22，、分別平分和，于D，且，的面積是__．【答案】33【解析】【分析】如圖，連接，由、分別平分和，可得點(diǎn)O到、、的距離都相等，再利用可得答案．【詳解】解：如圖，連接，∵、分別平分和，∴點(diǎn)O到、、的距離都相等，∵的周長是22，于D，且，∴．故答案為：33．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，割補(bǔ)法求解三角形的面積，熟記角平分線的性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．16.課間，頑皮的小剛拿著老師的等腰直角三角板放在黑板上畫好了的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)（如圖），已知直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，另一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)于軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)余角的性質(zhì)，得到，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，得到，，由此得到答案．【詳解】如圖，作軸，軸，，，，又，，在和中，，，，，，，點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)坐標(biāo)為：．故答案為：．三、解答題（本大題共7小題，共52分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.如圖，點(diǎn)、、、在同一條直線上，已知，，，求證：．【答案】證明見解析．【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)已知條件，證明，由此得到．【詳解】證明：，，，，在和中，，，．18.如圖，AD是的中線，，垂足為E，，交AD的延長線于點(diǎn)F，G是DA延長線上一點(diǎn)，連接BG．（1）求證：；（2）若，求證：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用證明，即可得出；（2）利用證明，得出，從而解決問題．【小問1詳解】證明：∵AD是的中線，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴；小問2詳解】證明：在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，能夠熟練運(yùn)用和證明全等三角形是解題的關(guān)鍵．19.如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1．請分別在下列圖中畫一個(gè)位置不同、頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的三角形，使其與三角形成軸對稱圖形，并用虛線標(biāo)出你設(shè)計(jì)圖形的所有對稱軸．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形的特點(diǎn)設(shè)計(jì)圖形即可．【詳解】所求圖形，如圖所示．【點(diǎn)睛】本題考查了作軸對稱圖形，根據(jù)軸對稱圖形的定義作圖是解題的關(guān)鍵．20.如圖，在中，．（1）請用尺規(guī)完成基本作圖：作的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圖形中，求證：．證明：∵垂直平分，∴①，∴②．∵，∴，③∴④，∴⑤，∴，∴．【答案】（1）見解析；（2）①；②；③；④；⑤；【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的作圖方法作圖即可；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，已知，得到，，得到，進(jìn)而得到，結(jié)合，得到，即可得到結(jié)論．【小問1詳解】如圖所示：即為線段的垂直平分線，【小問2詳解】∵垂直平分，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴．故答案為：①；②；③；④；⑤；【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)以及作圖方法是解答本題的關(guān)鍵．21.已知，四邊形中，，繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于E，F(xiàn)．當(dāng)繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，如圖（1），易證：．當(dāng)繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，在圖（2）和圖（3）中這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．【答案】圖（2）成立，有，證明見解析；圖（3）不成立，有，理由見解析【解析】【分析】證明圖（2）．延長至點(diǎn)K，使，連接，證明，然后證明，根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系可得之間的關(guān)系，然后進(jìn)行判斷即可；證明圖（3），延長至G，使，同理可證，，，據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系可得之間的關(guān)系，然后進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：圖（2）成立，圖（3）不成立，的關(guān)系是．證明如下：證明圖（2）．理由如下：延長至點(diǎn)K，使，連接，在和中，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，∴，∴．如圖（3），延長至G，使，同理可證，，∴，∵，∴，在和中，∵，∴，∴，∴，∴，∴的關(guān)系是．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)．正確作出輔助線，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．22.如圖1，已知在等腰直角中，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿著射線方向運(yùn)動(dòng)，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，若運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．（1）當(dāng)時(shí)，求的長；（2）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，試探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖2，連接，上是否存在點(diǎn)使得與全等，若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2），理由見解析（3）存在，【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，再由全等三角形的判定和性質(zhì)確定，