提分練習(xí)：巧用勾股定理判定直角的六種方法

5/5《提分練習(xí)1巧用勾股定理判定直角的六種方法》典例剖析例某校把一塊三角形的廢地開辟為植物園，如圖，測(cè)得AC=80m，BC=60m，AB=100m.（1）若入口E在邊AB上，且與A，B的距離相等.求從入口E到出口C的最短路線的長(zhǎng)；（提示：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）（2）若線段CD是一條水渠，且點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)D距點(diǎn)A多遠(yuǎn)時(shí)，水渠最短？解題秘方：解實(shí)際生活中的問題，需先將實(shí)際問題通過建立數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.本題中：已知△ABC中，AC=80m，BC=60m，AB=100m.（1）若AE=EB，求CE的長(zhǎng)；（2）若CD⊥AB，求AD的長(zhǎng).解：（1）因?yàn)锳C=80m，BC=60m，AB=100m，所以AC2+BC2=802+602=6400+3600=1002=AB2.所以△ABC為直角三角形，且AB為斜邊.又因?yàn)锳E=EB，所以CE=AB=×100=50（m）.即從入口E到出口C的最短路線的長(zhǎng)為50m.（2）當(dāng)CD⊥AB時(shí)，CD最短.因?yàn)椤螦CB=90°，CD⊥AB，所以S△ABC=AB?CD=AC?BC.所以CD=48m.在Rt△ACD中，因?yàn)锳C2=AD2+CD2，所以802=AD2+482.所以AD=64m，即點(diǎn)D距點(diǎn)A64m時(shí)，水渠最短.分類訓(xùn)練方法1利用三邊的數(shù)量關(guān)系說明直角1.如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且CE=BC.你能說明∠AFE是直角嗎？方法2利用轉(zhuǎn)化為三角形法構(gòu)造直角三角形2.如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=13，AD=12.求S四邊形ABCD.方法3利用倍長(zhǎng)中線法構(gòu)造直角三角形3.如圖，在△ABC中，D為邊BC的中點(diǎn)，AB=5，AD=6，AC=13.試說明：AB⊥AD.方法4利用化分散為集中法構(gòu)造直角三角形4.如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連接AE，BE，CE，將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE'的位置.若AE=1，BE=2，CE=3，求∠BE'C的度數(shù).方法5利用“三線合一”法構(gòu)造直角三角形5.如圖，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，M，N分別為AC，BC上的點(diǎn)，且DM⊥DN.試說明：AB2=2（CM+CN）2.方法6利用軸對(duì)稱的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形6.如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，將△ABC折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊AC上，與點(diǎn)B'重合，AM為折痕，則MB'的長(zhǎng)為多少？

參考答案1.解：如圖，連接AE，設(shè)CE=a，則BC=4a，BE=3a.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，且F為DC的中點(diǎn)，所以AB=AD=CD=BC=4a，DF=CF=2a.由勾股定理得AF2=AD2+DF2=（4a）2+（2a）2=20a2，EF2=CE2+CF2=a2+（2a）2=5a2，AE2=AB2+BE2=（4a）2+（3a）2=25a2.因?yàn)锳F2+EF2=20a2+5a2=25a2，所以AF2+EF2=AE2.由直角三角形的判定方法得∠AFE=90°,即∠AFE是直角.2.解：連接AC.在Rt△ACB中，AB2+BC2=AC2，所以AC=5.所以AC2+AD2=52+122=132=CD2.所以△ACD為直角三角形，且∠CAD=90°.所以S四邊形ABCD=×3×4+×5×12=36.3.解：如圖，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使ED=AD，連接BE.因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以CD=BD.又因?yàn)锳D=ED，∠ADC=∠EDB，所以△ADC≌△EDB（SAS）.所以EB=AC=13.在△ABE中，AE=2AD=12，AB=5，所以AE2+AB2=122+52=169.又因?yàn)镋B2=132=169，所以AE2+AB2=EB2.所以△ABE是直角三角形，且∠BAE=90°，即AB⊥AD.點(diǎn)撥：本題運(yùn)用倍長(zhǎng)中線法構(gòu)造全等三角形說明線段相等，再利用直角三角形的判定方法說明三角形為直角三角形，從而說明兩條線段垂直.4.解：如圖，連接EE′.由題意可知△ABE≌△CBE′，所以CE′=AE=1，BE′=BE=2，∠ABE=∠CBE′.又因?yàn)椤螦BE+∠EBC=90°，所以∠CBE′+∠EBC=90°，即∠EBE′=90°.則由勾股定理，得EE′2=8.在△EE′C中，CE′2+EE′2=1+8=9=CE2.由直角三角形的判定方法可知∠EE'C=90°.因?yàn)锽E=BE'，∠EBE′=90°，所以∠BE'E=.所以∠BE'C=∠BE'E+∠EE'C=45°+90°=135°.5.解：如圖，連接CD，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E.因?yàn)镈M⊥DN，所以∠MDC+∠CDN=90°.因?yàn)椤螦CB=90°，AC=BC，D為AB的中點(diǎn)，所以CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∠A=∠B=45°.所以∠CDN+∠NDB=90°.所以∠MDC=∠NDB.由∠BCD=∠B=45°，DE⊥BC，易得△DBE≌△DCE（AAS）.所以CD=BD.在△CMD和△BND中，所以△CMD≌△BND（ASA）.所以CM=BN.所以CM+CN=BN+CN=BC.又因?yàn)锳B2=AC2+BC2=2BC2，所以AB2=2（CM+CN）2.6.解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得BC2=AC2-AB2=52-32=42，所以BC=4.根據(jù)折疊的性質(zhì)可知B′M=BM，AB