安徽省宣城市2023-2024學年高二下學期期末考試數(shù)學

宣城市2023—2024學年度第二學期期末調(diào)研測試高二數(shù)學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B. C. D.2.已知復數(shù)，則（）A.0 B.1 C.2 D.33.設，向量，則是（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也必要條件4.已知角的終邊過點，則（）A. B. C. D.15.我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）（

）A.6寸 B.4寸 C.3寸 D.2寸6.已知雙曲線的左右焦點分別為，曲線上存在一點，使得為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.7.在中，內(nèi)角的對邊分別為.若的面積為，且，，則外接圓的面積為（）A. B. C. D.8.已知均為正實數(shù)，若直線與曲線相切，則的最小值是（）A.8 B.9 C.10 D.11二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列敘述錯誤的是（）A.命題“”的否定是“”B.在空間中，已知直線，滿足，則C.直線與圓相交D.拋物線的焦點坐標為10.中，下列說法正確的是（）A.若，則為鈍角三角形B.若為重心，則C.若點滿足，則D.若，則點的軌跡一定通過的內(nèi)心11.已知函數(shù)，若，則（）A.上單調(diào)遞減 B.在上單調(diào)遞增C.中最大是 D.中最小的是三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若二項式展開式的常數(shù)項為160，則實數(shù)__________.13.如圖，一花壇分成1，2，3，4，5五個區(qū)域，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每個1區(qū)域里面種1種花，且相鄰的兩個區(qū)域種不同的花，則不同的種法總數(shù)為_______．14.已知偶函數(shù)滿足，當時，，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有四個零點，則實數(shù)的取值范圍是__________.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列前項和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知，設，求前項和.16.如圖，在四棱錐中，平面，且，分別為棱的中點.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.17.文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者.某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取50份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于30分的整數(shù)）分成七段：，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求出頻率分布直方分圖中的值，并估計這50份樣本成績的中位數(shù)；（2）在這50份樣本答卷中用分層抽樣的方法從成績在的三組中抽取11份，再從這11份中隨機抽取3份，記為3份中成績在的份數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.18.已知橢圓的離心率，且過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點的直線與橢圓交于兩點，是坐標原點，求面積的最大值.19.設是坐標平面上的一點，曲線是函數(shù)的圖象.若過點恰能作曲線的條切線，則稱是函數(shù)的“度點”.（1）判斷點分別是函數(shù)的“幾度點”，不需要說明理由；（2）證明：點是的“0度點”；（3）當實數(shù)滿足什么條件時，點是函數(shù)的“3度點”.宣城市2023—2024學年度第二學期期末調(diào)研測試高二數(shù)學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解一元二次不等式求出集合A,再求交集即可.【詳解】因為，所以,所以,所以.故選：D.2.已知復數(shù)，則（）A0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】先計算出，故.【詳解】，故.故選：C3.設，向量，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也必要條件【答案】B【解析】【分析】和分布求出m范圍，再用充分必要條件章節(jié)知識判斷即可.【詳解】，則；，則.則推不出，但是可以推出.故是的必要必要不充分條件.故選：B.4.已知角的終邊過點，則（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，對已知進行弦化切，即可求出答案.【詳解】因為角的終邊過點，所以，所以.故選：D5.我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）（

）A.6寸 B.4寸 C.3寸 D.2寸【答案】C【解析】【分析】由題意得到盆中水面的半徑，利用圓臺的體積公式求出水的體積，用水的體積除以盆的上底面面積即可得到答案.【詳解】如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸，因為積水深9寸，所以水面半徑為寸，則盆中水的體積為立方寸，所以平地降雨量等于寸.故選：C.6.已知雙曲線的左右焦點分別為，曲線上存在一點，使得為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】畫出圖形，用雙曲線定義和勾股定理構造方程求解即可.【詳解】如圖所示，為等腰直角三角形，且，運用勾股定理，知道根據(jù)．由雙曲線定義，知道，即，解得，故離心率為：.故選：C.7.在中，內(nèi)角的對邊分別為.若的面積為，且，，則外接圓的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得，利用面積公式和余弦定理可得，再利用正弦定理求外接圓的半徑和面積.【詳解】因為，且，即，則，整理可得，且，可得，所以外接圓的半徑，面積為.故選：A.8.已知均為正實數(shù)，若直線與曲線相切，則的最小值是（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】C【解析】【分析】設切點為，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可求出，即得，繼而根據(jù)“1”的巧用，結合基本不等式，即可求得答案.【詳解】由于直線與曲線相切，設切點為，而，故，解得，故，均為正實數(shù)，故，當且僅當，結合，即得時等號成立，故的最小值是10，故選：C二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列敘述錯誤的是（）A.命題“”的否定是“”B.空間中，已知直線，滿足，則C.直線與圓相交D.拋物線焦點坐標為【答案】ABD【解析】【分析】A選項，全稱量詞命題的否定是特稱量詞命題，把任意改為存在，把結論否定；B選項，舉出反例；C選項，求出圓心到直線的距離，與半徑比較后得到C正確；D選項，焦點坐標在軸上.【詳解】A選項，命題“”的否定是“”，A錯誤；B選項，在空間中，已知直線，滿足，則，或異面，相交，B錯誤；C選項，圓的圓心為，半徑為，圓心到平面的距離，故與圓相交，C正確；D選項，拋物線的焦點坐標為，D錯誤.故選：ABD10.中，下列說法正確的是（）A.若，則為鈍角三角形B.若為重心，則C.若點滿足，則D.若，則點的軌跡一定通過的內(nèi)心【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)可確定角為鈍角，則一定為鈍角三角形，可判定A；根據(jù)向量的加法運算可確定B；根據(jù)向量的數(shù)量積以及向量模的運算可判斷C;根據(jù)單位向量、共線向量的概念可判斷D．【詳解】選項A：若，則，因此角為鈍角，但一定為鈍角三角形，故A正確；選項B：若為的重心，設邊的中點為，則，故B正確；

選項C：如圖所示，設的中點為，若點滿足，則點為外心，于是有．又，則，故C錯誤；選項D：因為分別表示方向上的單位向量，所以的方向與的角平分線一致．若，則的方向與的角平分線一致，所以點的軌跡一定通過的內(nèi)心，故D正確；故選：ABD．11.已知函數(shù)，若，則（）A.在上單調(diào)遞減 B.在上單調(diào)遞增C.中最大的是 D.中最小的是【答案】ACD【解析】【分析】對于AB，對函數(shù)求導后，由導數(shù)的正負求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進行判斷，對于CD，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】對于AB，的定義域為，由，得，令，則，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，所以，所以當或時，，所以在和上遞減，所以A正確，B錯誤，對于CD，因為在上遞增，且，所以，所以因為，所以，因為在上遞減，所以，因為，所以，因為，所以，所以，所以，即，所以中最大的是，最小的是，所以CD正確.故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數(shù)的應用，考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，解題的關鍵是對函數(shù)正確求導，由導數(shù)的正負求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查計算能力，屬于較難題.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若二項式的展開式的常數(shù)項為160，則實數(shù)__________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式，令其中的指數(shù)等于0，即可得出，再代入已知求參即可.【詳解】二項式的通項公式為，令，解得，則展開式中常數(shù)項為，.故答案為：1.13.如圖，一花壇分成1，2，3，4，5五個區(qū)域，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每個1區(qū)域里面種1種花，且相鄰的兩個區(qū)域種不同的花，則不同的種法總數(shù)為_______．【答案】【解析】【分析】利用分類計數(shù)原理以及排列數(shù)進行計算求解.【詳解】解：由題意得：若只有2，4區(qū)域種的花相同，則有種種法；若只有3，5區(qū)域種的花相同，則有種種法；若2、4區(qū)域種的花相同，3，5種的花也相同，則有種種法，由分類加法計數(shù)原理知共有種不同的種法.故答案為：14.已知偶函數(shù)滿足，當時，，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有四個零點，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】判斷函數(shù)周期，作出其圖象，繼而將原問題轉化為函數(shù)，在內(nèi)的圖象有四個交點問題，列出需滿足的不等式，求得答案.【詳解】由題意知偶函數(shù)滿足，即，故2為函數(shù)的周期；結合當時，，可作出時的的圖象如圖：在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有四個零點，可轉化為函數(shù)，在內(nèi)的圖象有四個交點問題，結合圖象可知需滿足，即實數(shù)的取值范圍是，故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列前項和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知，設，求的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列的通項公式和前項和公式求，可得解；（2）錯位相減法求和.【小問1詳解】設數(shù)列公差為，則，解得：，所以，；【小問2詳解】由（1）知，①，②，①—②，16.如圖，在四棱錐中，平面，且，分別為棱的中點.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證明平面，根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明結論；（2）方法一：結合（1）可知平面，即可說明即為直線與平面所成的角，解三角形，即可求得答案；方法二，建立空間直角坐標系，求出相關點坐標，利用空間角的向量求法，即可求得答案.【小問1詳解】平面平面，則，由，則；又平面，平面平面，，，且為的中點，，平面，平面，又平面，所以平面平面；【小問2詳解】解法一：如圖，連結，由（1）知平面，所以，為直線在平面內(nèi)的射影，且，所以，即為直線與平面所成的角.在直角梯形內(nèi)，過作于，則四邊形為矩形，，在中，，所以，，而，在中，，所以，綜上，直線與平面所成角的正弦值為.解法二：在直角梯形內(nèi)，過作于，則四邊形為矩形，，在中，，所以，，以點為原點，分別為軸，建系如圖，則.由（1）知，平面，平面法向量可取為，設直線與平面所成角為，則，綜上，直線與平面所成角的正弦值為.17.文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者.某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取50份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于30分的整數(shù)）分成七段：，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求出頻率分布直方分圖中的值，并估計這50份樣本成績的中位數(shù)；（2）在這50份樣本答卷中用分層抽樣的方法從成績在的三組中抽取11份，再從這11份中隨機抽取3份，記為3份中成績在的份數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.【答案】（1），（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1可得，即可利用中位數(shù)的計算公式求解，（2）利用超幾何概率公式求解概率，即可得分布列，進而由期望公式求解.【小問1詳解】由.又.所以，估計這50份樣本成績的中位數(shù)為：.【小問2詳解】因為三組的頻率之比為，所以從三組中抽取的份數(shù)分別為.由題意可取，且，所以的分布列為：0123所以.18.已知橢圓的離心率，且過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點的直線與橢圓交于兩點，是坐標原點，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）把點代入方程得，結合離心率公式可得，可得橢圓方程.（2）應用韋達定理結合弦長公式，點到直線的距離，基本不等式即可求解.【小問1詳解】橢圓過點，得①，，，即②，由①②聯(lián)立解得，則橢圓方程為【小問2詳解】當直線垂直于軸時，三點共線，不能構成三角形，故直線的斜率存在，則設直線為：，設，聯(lián)立，得，則，即或，，則，點到直線的距離為，則，令，則，則，當且僅當，即，即時等號成立，故面積的最大值為.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.19.設是坐標平面上的一點，曲線是函數(shù)的圖象.若過點恰能作曲線的條切線，則稱是函數(shù)