天津市和平區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)

和平區(qū)2023~2024學(xué)年度第二學(xué)期高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科期末質(zhì)量調(diào)查試卷本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共100分，考試時(shí)間100分鐘.祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷（選擇題共27分）注意事項(xiàng)：1．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題卡上.2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).答在試卷上無效.3．本卷共9小題，每小題3分，共27分.參考公式：·球的表面積公式，其中R是球的半徑·圓臺(tái)的側(cè)面積公式，其中，r分別是上、下底面半徑，l是母線長．·如果事件A、B相互獨(dú)立，那么．一、單選題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)虛部為（）A. B. C. D.12.已知一組樣本數(shù)據(jù)10，10，9，12，10，9，12，則這組樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為（）A.9 B.10 C.11 D.123.若采用斜二測畫法畫水平放置的的直觀圖，的面積為，則的面積為（）A.2 B. C.4 D.4.已知a，b，c是三條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，以下說法中正確的個(gè)數(shù)為（）①若，，則；②若，，則；③若，，，則．A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)5.已知向量，滿足，，且，則（）A B.4 C.5 D.6.連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件“第一次出現(xiàn)2點(diǎn)”，“第二次的點(diǎn)數(shù)小于5點(diǎn)”，“兩次點(diǎn)數(shù)之和為9”，“兩次點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，則下列說法不正確的是（）A.B與A不互斥且相互獨(dú)立 B.B與C互斥且不相互獨(dú)立C.C與A互斥且不相互獨(dú)立 D.D與A不互斥且相互獨(dú)立7.用平面截一個(gè)球，所得到的截面面積為，若球心到這個(gè)截面的距離為，則該球的表面積為（）A.4 B.8 C.16 D.288.某市為了減少水資源浪費(fèi)，計(jì)劃對(duì)居民生活用水實(shí)施階梯水價(jià)制度，為確定一個(gè)比較合理的標(biāo)準(zhǔn)，從該市隨機(jī)調(diào)查了100位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖，則以下四個(gè)說法正確的個(gè)數(shù)為（）①估計(jì)居民月均用水量低于1.5的概率為0.25；②估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù)約為2.1③該市有40萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3的人數(shù)為6萬；④根據(jù)這100位居民用水量，采用樣本量按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，抽取了容量為20人的樣本，則在用水量區(qū)間中應(yīng)抽取3人A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)9.已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，，側(cè)面積等于，若存在一個(gè)在圓臺(tái)內(nèi)部可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)的正方體，那么該正方體的體積取最大值時(shí)，正方體的棱長為（）A.16 B. C. D.8第Ⅱ卷（非選擇題共73分）注意事項(xiàng)：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.2．本卷共10小題，共73分.二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分.試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給2分，全部答對(duì)的給4分）10.設(shè)向量，，若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為_________．11.三名運(yùn)動(dòng)員練習(xí)射擊，甲、乙、丙三人的中靶概率分別為0.8，0.4，0.5，若三人各射擊一次，則甲、乙、丙三人都中靶的概率為_________；至少有兩人中靶的概率為_________．12.已知，是夾角為的兩個(gè)單位向量，若向量在上的投影向量為，則實(shí)數(shù)_________．13.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若的面積為，，則該三角形的外接圓直徑_________．14.如圖，正三棱柱的所有棱長均相等，點(diǎn)M，P，N分別是棱，，的中點(diǎn)，則二面角的正弦值為_________，異面直線與所成的角的余弦值為_________．15.已知平面四邊形中，，是的中點(diǎn)，，與相交于點(diǎn)，若，，則的長為_________．三、解答題（本大題共5小題，共49分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.已知，，且向量與夾角為.（1）求與的值；（2）若向量與互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值.17.在△中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．（1）求角的大?。唬?）若，，求的值．18.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為.（1）求；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)在第三象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.19.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面平面，，，點(diǎn)E、F分別是、中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線和平面所成的角的正切值.20.在中，角所對(duì)的邊分別為，已知為邊上的中線，點(diǎn)分別為邊與上的動(dòng)點(diǎn)，若直線與交于點(diǎn)，且，，且滿足．（1）求邊的長度；（2）若的面積是面積的4倍，求的最小值．和平區(qū)2023~2024學(xué)年度第二學(xué)期高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科期末質(zhì)量調(diào)查試卷本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共100分，考試時(shí)間100分鐘.祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷（選擇題共27分）注意事項(xiàng)：1．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題卡上.2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).答在試卷上無效.3．本卷共9小題，每小題3分，共27分.參考公式：·球的表面積公式，其中R是球的半徑·圓臺(tái)的側(cè)面積公式，其中，r分別是上、下底面半徑，l是母線長．·如果事件A、B相互獨(dú)立，那么．一、單選題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)虛部的定義即可得解.【詳解】，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：B.2.已知一組樣本數(shù)據(jù)10，10，9，12，10，9，12，則這組樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】D【解析】【分析】利用百分位的定義求解即可.【詳解】將樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：，上四分位數(shù)即為分位數(shù)，，所以四分位數(shù)為從小到大的第個(gè)數(shù)，即.故選：D.3.若采用斜二測畫法畫水平放置的的直觀圖，的面積為，則的面積為（）A.2 B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】利用直觀圖和原圖形的面積關(guān)系建立方程求解即可.【詳解】設(shè)的面積為，由已知得，解得，故C正確.故選：C4.已知a，b，c是三條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，以下說法中正確的個(gè)數(shù)為（）①若，，則；②若，，則；③若，，，則．A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)【答案】A【解析】【分析】由線線、線面、面面間的位置關(guān)系逐一分析即可.【詳解】①可能平行、相交或異面，故①錯(cuò)誤；②可能平行或垂直，故②錯(cuò)誤；③由面面垂直的性質(zhì)定理知，③缺少條件：，故③錯(cuò)誤；故選：.5.已知向量，滿足，，且，則（）A. B.4 C.5 D.【答案】A【解析】【分析】利用向量平行的坐標(biāo)表示求出，，再利用模長公式求解即可．【詳解】因?yàn)?，，，所以，則，故，所以，則．故選：A.6.連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件“第一次出現(xiàn)2點(diǎn)”，“第二次的點(diǎn)數(shù)小于5點(diǎn)”，“兩次點(diǎn)數(shù)之和為9”，“兩次點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，則下列說法不正確的是（）A.B與A不互斥且相互獨(dú)立 B.B與C互斥且不相互獨(dú)立C.C與A互斥且不相互獨(dú)立 D.D與A不互斥且相互獨(dú)立【答案】B【解析】【分析】根據(jù)互斥事件及相互獨(dú)立事件的定義一一判斷即可.【詳解】如第一次出現(xiàn)2點(diǎn)，第二次出現(xiàn)1點(diǎn)，此時(shí)事件A,B均發(fā)生，所以A與B不是互斥事件，依題意，，，又，即A與B相互獨(dú)立，故A正確；第一次出現(xiàn)5點(diǎn)，第二次出現(xiàn)4點(diǎn)，此時(shí)事件C,B均發(fā)生，所以C與B不是互斥事件,，即B與不相互獨(dú)立，故B錯(cuò)誤;，即與不相互獨(dú)立，C與A互斥故C正確；，即A與相互獨(dú)立，第一次出現(xiàn)2點(diǎn)，第二次出現(xiàn)1點(diǎn)，此時(shí)事件A、均發(fā)生，所以A與不是互斥事件，故D正確；故選：B.7.用平面截一個(gè)球，所得到的截面面積為，若球心到這個(gè)截面的距離為，則該球的表面積為（）A.4 B.8 C.16 D.28【答案】C【解析】【分析】根據(jù)球的截面性質(zhì)，即可由勾股定理求解球半徑，即可由表面積公式求解.【詳解】由于截面面積為，故截面圓的半徑為，又球心到這個(gè)截面的距離為，故球半徑為，故球的表面積為,故選：C8.某市為了減少水資源浪費(fèi)，計(jì)劃對(duì)居民生活用水實(shí)施階梯水價(jià)制度，為確定一個(gè)比較合理的標(biāo)準(zhǔn)，從該市隨機(jī)調(diào)查了100位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖，則以下四個(gè)說法正確的個(gè)數(shù)為（）①估計(jì)居民月均用水量低于1.5的概率為0.25；②估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù)約為2.1③該市有40萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3的人數(shù)為6萬；④根據(jù)這100位居民的用水量，采用樣本量按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，抽取了容量為20人的樣本，則在用水量區(qū)間中應(yīng)抽取3人A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】由頻率分布直方圖求頻率判斷①，結(jié)合直方圖中位數(shù)的求法計(jì)算中位數(shù)，即可判斷②；用頻率估計(jì)總體即可判斷③，結(jié)合分層抽樣的概念即可判斷④.【詳解】由頻率分布直方圖可知，居民月均用水量低于的概率，故①正確，三組的頻率之和為，而前四組頻率之和為，故中位數(shù)位于，由，②正確估計(jì)萬居民中月均用水量不低于3的人數(shù)為，③正確根據(jù)用水量對(duì)這100位居民進(jìn)行分層，用分層抽樣的方法抽取20人，則用水量在中應(yīng)抽取人，④錯(cuò)誤，故選：C9.已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，，側(cè)面積等于，若存在一個(gè)在圓臺(tái)內(nèi)部可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)的正方體，那么該正方體的體積取最大值時(shí)，正方體的棱長為（）A.16 B. C. D.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，可得該圓臺(tái)軸截面的內(nèi)切圓即為其軸截面所在正三角形的內(nèi)切圓，從而求得圓臺(tái)的內(nèi)切球半徑為，再結(jié)合正方體的外接球半徑與棱長的關(guān)系即可求得.【詳解】設(shè)圓臺(tái)的高為，母線長為，正方體的棱長為.由題意可得，解得，則，易得圓臺(tái)的母線與下底面所成角為，所以可以將該圓臺(tái)的軸截面補(bǔ)形為邊長為的正三角形.設(shè)該正三角形的內(nèi)切圓半徑為，則根據(jù)等面積法可得，解得,又，該內(nèi)切圓也為此圓臺(tái)軸截面內(nèi)切圓，圓臺(tái)的內(nèi)切球半徑為.該正方體可以在圓臺(tái)內(nèi)部任意轉(zhuǎn)動(dòng)，，解得，所以當(dāng)正方體的體積取最大值時(shí)，正方體的棱長為.故選：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于，理解正方體在圓臺(tái)內(nèi)部可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，即正方體在圓臺(tái)的內(nèi)切球內(nèi)，從而得解.第Ⅱ卷（非選擇題共73分）注意事項(xiàng)：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.2．本卷共10小題，共73分.二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分.試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給2分，全部答對(duì)的給4分）10.設(shè)向量，，若與夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及平行坐標(biāo)公式判斷鈍角即可求出參數(shù)范圍.【詳解】因?yàn)榕c夾角為鈍角，可以得出,且不平行，則即且.即得.故答案為：11.三名運(yùn)動(dòng)員練習(xí)射擊，甲、乙、丙三人的中靶概率分別為0.8，0.4，0.5，若三人各射擊一次，則甲、乙、丙三人都中靶的概率為_________；至少有兩人中靶的概率為_________．【答案】①0.16##②.0.6##【解析】【分析】第一空，直接利用獨(dú)立事件的概率公式求解即可，第二空，根據(jù)獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式求解即可【詳解】甲、乙、丙三人的中靶概率分別為0.8，0.4，0.5，則甲、乙、丙三人都中靶的概率為，至少有兩人中靶的概率為，故答案為：12.已知，是夾角為的兩個(gè)單位向量，若向量在上的投影向量為，則實(shí)數(shù)_________．【答案】【解析】【分析】由題意可得，進(jìn)而可得，求解即可.【詳解】向量在上的投影向量為，則，于是，所以，所以，解得.故答案為：.13.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若的面積為，，則該三角形的外接圓直徑_________．【答案】【解析】【分析】由余弦定理及三角形面積公式得出角C，再由正弦定理求外接圓直徑即可.【詳解】由,所以,即,由,所以,所以,所以.故答案為：.14.如圖，正三棱柱的所有棱長均相等，點(diǎn)M，P，N分別是棱，，的中點(diǎn)，則二面角的正弦值為_________，異面直線與所成的角的余弦值為_________．【答案】①.##②.##【解析】【分析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)平面法向量夾角求二面角，根據(jù)直線方向向量的夾角求線線角.【詳解】取中點(diǎn)，連接，則在正三棱柱中，平面，四邊形為矩形，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向分別為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示坐標(biāo)系，平面的一個(gè)法向量為，不妨設(shè)正三棱柱的棱長為，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，，，，所以二面角的正弦值為；，，異面直線與所成的角的余弦值為.故答案：，.15.已知平面四邊形中，，是的中點(diǎn)，，與相交于點(diǎn)，若，，則的長為_________．【答案】【解析】【分析】將用向量和表示，結(jié)合即可求的長度.【詳解】設(shè),則,設(shè),則,所以，解得，所以,由得，，化解得,所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查用基底表示平面向量，解題關(guān)鍵是將用向量和表示.三、解答題（本大題共5小題，共49分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.已知，，且向量與的夾角為.（1）求與的值；（2）若向量與互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值.【答案】（1），（2）或【解析】【分析】（1）運(yùn)用向量數(shù)量積的定義和線性運(yùn)算求解即可.（2）利用向量垂直的定義建立方程，求解參數(shù)即可.【小問1詳解】由已知得，所以．【小問2詳解】已知與互相垂直，向量，即，，所以或．17.在△中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．（1）求角的大?。唬?）若，，求的值．【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理化簡即可；（2）結(jié)合（1），利用余弦定理即可解得.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，又由正弦定理，所以有，因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋杂谢颍拘?詳解】當(dāng)時(shí)，由余弦定理得，解得.當(dāng)時(shí)，由余弦定理得，解得．所以的值為或．18.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為.（1）求；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)在第三象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）5（2）【解析】【分析】（1）運(yùn)用復(fù)數(shù)的乘法法則，由復(fù)數(shù)概念可得，，即，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得，最后應(yīng)用模長公式即可.（2）把代入化簡，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義列出關(guān)于的不等式，解不等式即