113多邊形及其內(nèi)角和(講練)-2022-2023學年八年級數(shù)學上冊重要考點(人教版)

11.3多邊形及其內(nèi)角和多邊形的概念1．定義：在平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形．其中，各個角相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形．注意：(1)正多邊形必須同時滿足“各邊相等”，“各角相等”兩個條件，二者缺一不可；(2)過n邊形的一個頂點可以引(n3)條對角線，n邊形對角線的條數(shù)為；(3)過n邊形的一個頂點的對角線可以把n邊形分成(n2)個三角形．題型1：多邊形的概念辨析1.下列說法中，①三角形的內(nèi)角中最多有一個鈍角；②三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分；③從n邊形的一個頂點可以引（n3）條對角線，把n邊形分成（n2）個三角形，因此，n邊形的內(nèi)角和是（n2）?180°；④六邊形的對角線有7條，正確的個數(shù)有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，三角形的中線的性質，對角線的定義及公式來判斷所給命題是否正確即可．【解答】①假設一個三角形有兩個鈍角，那么這兩個鈍角的和大于180°，與三角形的內(nèi)角和為180°相矛盾．故三角形的內(nèi)角中最多有一個鈍角，正確；

②三角形的中線把三角形分成的兩個三角形的底邊相等，高相同，所以面積相等，正確；

③因為連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．n邊形的一個頂點不能與它本身及左右兩個鄰點相連成對角線，故從n邊形的一個頂點可以引（n3)條對角線，把n邊形分成（n2)個三角形，每一個三角形的內(nèi)角和是180°，因此，n邊形的內(nèi)角和是（n2)?180°，正確；

④n邊形共有n(n?3)2條對角線，所以六邊形的對角線有6×3÷2=9條，錯誤．

【變式11】下列說法正確的是（）A．五條長度相等的線段首尾順次相接所構成的圖形是正五邊形B．正六邊形各內(nèi)角都相等，所以各內(nèi)角都相等的六邊形是正六邊形C．從n邊形的一個頂點出發(fā)可以引（n2）條對角線D．n邊形共有n(n?3)2【答案】D【解析】【解答】解：A、五條長度相等的線段首尾順次相接所構成的圖形不一定是正五邊形，故本選項說法錯誤，不符合題意；B、正六邊形各內(nèi)角都相等，但各內(nèi)角都相等的六邊形不一定是正六邊形，故本選項說法錯誤，不符合題意；C、從n邊形的一個頂點出發(fā)可以引（n－3）條對角線，本選項說法錯誤，不符合題意；D、n邊形共有n(n?3)2故答案為：D.【分析】根據(jù)正多邊形的定義即可判斷A、B兩項，根據(jù)多邊形對角線的性質和條數(shù)公式即可判斷C、D兩項，進而可得答案.題型2：多邊形的不穩(wěn)定性2.四邊形沒有穩(wěn)定性，當一個四邊形的形狀發(fā)生改變時，發(fā)生變化的是（）A．四邊形的外角和 B．四邊形的邊長C．四邊形的周長 D．四邊形某些角的大小【答案】D【解析】【解答】解：當四邊形形狀改變時，發(fā)生變化的是四邊形的內(nèi)角的度數(shù)．故答案為：D．【分析】根據(jù)四邊形的性質對每個選項一一判斷即可?！咀兪?1】三角形具有穩(wěn)定性，所以要使如圖所示的五邊形木架不變形，至少要使釘上（）根木條A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【解答】過五邊形的一個頂點作對角線，有53=2條對角線，所以至少要釘上2根木條．故答案為：B．【分析】三角形具有穩(wěn)定性，所以要使五邊形木架不變形需把它分成三角形，即過五邊形的一個頂點作對角線，有幾條對角線，就至少要釘上幾根木條．【變式22】要使一個六邊形的木架穩(wěn)定，至少要釘（）根木條A．3 B．4 C．6 D．9【答案】A【解析】【解答】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性，可將六邊形木架分成幾個三角形，則需要63=3根木條.【分析】此題考查多邊形的對角線及三角形的穩(wěn)定性．6．多邊形的內(nèi)角和不可能為（）A．180° B．540° C．1080° D．1200°【答案】D【解析】【解答】多邊形的內(nèi)角和可以表示成（n2）?180°（n≥3且n是整數(shù)），n應為整數(shù)，所以n2也是整數(shù)，所以多邊形的內(nèi)角能被180整除，因為在這四個選項中不是180°的倍數(shù)的只有1200°．故答案為：D．【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和可以表示成（n2）?180°（n≥3且n是整數(shù)），對每個選項一一判斷即可。題型3：多邊形的對角線3.分別畫出下列各多邊形的對角線，并觀察圖形完成下列問題：（1）試寫出用n邊形的邊數(shù)n表示對角線總條數(shù)S的式子：．（2）從十五邊形的一個頂點可以引出條對角線，十五邊形共有條對角線：（3）如果一個多邊形對角線的條數(shù)與它的邊數(shù)相等，求這個多邊形的邊數(shù)．【分析】（1）根據(jù)多邊形對角線的條數(shù)的公式即可求解；（2）根據(jù)多邊形對角線的條數(shù)的公式代值計算即可求解；（3）根據(jù)等量關系：一個多邊形對角線的條數(shù)與它的邊數(shù)相等，列出方程計算即可求解．【解答】解：如圖所示：（1）用n邊形的邊數(shù)n表示對角線總條數(shù)S的式子：S=12n（（2）十五邊形從一個頂點可引出對角線：15﹣3＝12（條），共有對角線：12（3）設多邊形有n條邊，則12n（n﹣3）＝n解得n＝5或n＝0（應舍去）．故這個多邊形的邊數(shù)是5．故答案為：S=12n（【點評】本題主要考查了多邊形對角線的條數(shù)的公式總結，熟記公式對今后的解題大有幫助．【變式31】五邊形共有條對角線.【答案】5【解析】【解答】解：∵n邊形共有n(n?3)2∴五邊形共有5(5?3)2∴故答案為：5.【分析】利用n邊形共有n(n?3)2【變式32】已知多邊形的邊數(shù)恰好是從這個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線條數(shù)的2倍，求此多邊形的邊數(shù)．【答案】解：設此多邊形有n條邊，由題意，得n=2（n3），解得n=6．故此多邊形有6條邊．【解析】【分析】根據(jù)多邊形對角線的規(guī)律：從一個點出發(fā)可引（n3）（n大于3）列出方程求解即可。【變式33】連接四邊形任意不相鄰的兩個頂點的線段叫做四邊形的對角線，如圖：

從四邊形的一個頂點可以引出

1

條對角線，把四邊形分成

2

個三角形；

從五邊形的一個頂點可以引出

2

條對角線，把五邊形分成

3

個三角形；

從六邊形的一個頂點可以引出

3

條對角線，把六邊形分成

4個三角形；

…

從n邊形的一個頂點可以引出條對角線，把n邊形分成個三角形；已知任意三角形的內(nèi)角和為180°，則：

四邊形的內(nèi)角和為：180°×2

五邊形的內(nèi)角和為：180°×3

六邊形的內(nèi)角和為：180°×4

…

n邊形的內(nèi)角和為：（用含n的代數(shù)式表示）

根據(jù)上面你所找到的規(guī)律嘗試計算十二邊形的內(nèi)角和．【分析】根據(jù)三角形以及對角線的概念，不難發(fā)現(xiàn)：從一個頂點出發(fā)的對角線除了和2邊不能組成三角形外，其余都能組成三角形．故過n邊形的一個頂點的對角線可以把n邊形分成（n2）個三角形．從一個頂點出發(fā)畫對角線除了相鄰的兩個頂點與自身外不能連接外，其余都能連接，故對角線有（n3）條，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和為（n2）×180°解答即可．【解答】解：從n邊形的一個頂點可以引（n3）條對角線，并將n邊形分成（n2）個三角形；

n邊形的內(nèi)角和為（n2）×180°；

十二邊形的內(nèi)角和為（122）×180°=1800°．

故答案為：（n3）；（n2）；（n2）×180°．【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理的證明，解題關鍵是將多邊形的內(nèi)角和問題轉化為三角形中解決，在n邊形的任意一邊上任取一點P，連接P點與其它各頂點的線段可以把n邊形分成（n2）個三角形．多邊形內(nèi)角和n邊形的內(nèi)角和為(n2)·180°(n≥3)．注意：(1)內(nèi)角和公式的應用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形的每個內(nèi)角都相等，都等于；題型4：已知邊數(shù)求內(nèi)角和4.七邊形內(nèi)角和的度數(shù)是．【答案】900°【解析】【解答】解：七邊形內(nèi)角和的度數(shù)是(7?2故答案為：900°．

【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式求解即可。題型5：已知內(nèi)角和求邊數(shù)5.已知一個n邊形的內(nèi)角和等于1800°，則n＝（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【解析】【解答】解：∵（n﹣2）×180＝1800，∴n＝12.故答案為：D．

【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可得（n﹣2）×180＝1800，再求出n的值即可?！咀兪?1】一個n邊形的內(nèi)角和是900°，求n的值及這個多邊形對角線的條數(shù).【答案】解：多邊形的邊數(shù)n=900°÷180°+2=7；對角線的條數(shù)：7×(7?3)÷2=14.故n=7，這個多邊形的對角線共有14條.【解析】【分析】首先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計算公式：(n?2)×180°建立方程，求出多邊形的邊數(shù)；再進一步代入多邊形的對角線計算公式12【變式52】一個多邊形的內(nèi)角和是1260°，求這個多邊形的邊數(shù)。【答案】解：解：設這個多邊形的邊數(shù)為n，則（n2）180°=1260°解得：n=9答：這個多邊形的邊數(shù)為9.【解析】【分析】設這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式得出該多邊形的內(nèi)角和為（n2）180°，又多邊形的內(nèi)角和是1260°，根據(jù)用兩個不同的式子表示同一個量，則這兩個式子相等，從而列出方程，求解即可.題型6：正多邊形的概念6.下列圖形為正多邊形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)正多邊形的定義；各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形可得答案．【解答】解：正五邊形五個角相等，五條邊都相等，故選：D．【點評】此題主要考查了正多邊形，關鍵是掌握正多邊形的定義．【變式61】一個正多邊形的每一個內(nèi)角為140°，求它的邊數(shù)?！敬鸢浮拷猓焊鶕?jù)題意可知，正多邊形一個外角的度數(shù)=180°140°=40°

∴多邊形的邊數(shù)=360°÷40°=9【解析】【分析】根據(jù)正多邊形的內(nèi)角的度數(shù)，即可得到其外角的度數(shù)，根據(jù)多邊形的外角度數(shù)的和為360°，即可求出多邊形的邊數(shù)。題型7：求正n多邊形內(nèi)角的度數(shù)7.一個正多邊形的內(nèi)角和是1440°，則此多邊形的邊數(shù)是．【答案】10【解析】【解答】解：多邊形的內(nèi)角和公式為：180°（n－2），其中n為多邊形的邊數(shù)，且為正整數(shù)，則：180°(n－2)=1440°，解得n=10故答案為：10．【分析】先求出180°(n－2)=1440°，再解方程即可。【變式71】如果一個正多邊形的內(nèi)角和為1260°，那么這個正多邊形的每一個內(nèi)角為度．【答案】140【解析】【解答】解：設此多邊形為n邊形，根據(jù)題意得：180（n2）=1260，解得：n=9，∴這個正多邊形的每一個內(nèi)角等于：1260°÷9=140°．故答案為：140．

【分析】先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理求得多邊形的邊數(shù)，再求出每個內(nèi)角和每個外角度數(shù)，進而求出答案。【變式72】若從一個正多邊形的一個頂點出發(fā)，最多可以引5條對角線，則它的一個內(nèi)角為（）A．1080° B．720° C．140° D．135°【答案】D【解析】【解答】設多邊形邊數(shù)為n，由題意得：n3=5，n=8，內(nèi)角和：180°(8?2)=1080°，一個內(nèi)角度數(shù)：1080°÷8=135°，故答案為：D.

【分析】先利用角平分線判斷多邊形的邊數(shù)，再利用多邊形內(nèi)角和公式計算即可。題型8：已知內(nèi)角和求正n多邊形邊數(shù)8已知一個正多邊形的每個內(nèi)角是150°，則這個正多邊形是（）A．正八邊形 B．正十邊形 C．正十二邊形 D．正十四邊形【答案】C【解析】【解答】解：∵一個正多邊形的每個內(nèi)角為150°，∴這個正多邊形的每個外角=180°150°=30°，∴這個正多邊形的邊數(shù)=360°故答案為：C.【分析】根據(jù)多邊形的一個內(nèi)角和它相鄰的外角互補可求得一個外角的度數(shù)，再根據(jù)多邊形的外角和等于360°和正多邊形的各個外角都相等可求解.【變式81】.一個正多邊形的邊長為2，每個內(nèi)角為135°，則這個多邊形的周長是()A．8 B．14 C．16 D．20【答案】C【解析】【解答】解：∵正多邊形的每個內(nèi)角為135°，∴每個外角是180°135°=45°，∵多邊形的邊數(shù)為：360÷45=8，則這個多邊形是八邊形，∴這個多邊形的周長=2×8=16，故答案為：C.【分析】一個正多邊形的每個內(nèi)角都相等，根據(jù)內(nèi)角與外角互為鄰補角，因而就可以求出外角的度數(shù)，根據(jù)任何多邊形的外角和都是360度，利用360除以外角的度數(shù)就可以求出外角和中外角的個數(shù)，求得多邊形的邊數(shù)，即可得到結論.【變式82】已知一個正多邊形的內(nèi)角是144°，則這個正多邊形是邊形．【答案】十【解析】【解答】解：設這個正多邊形是正n邊形，根據(jù)題意得：（n2）×180°÷n=144°，解得：n=10．故答案為：十．【分析】先根據(jù)已知條件設出正多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)正多邊形的計算公式即可得出答案。題型9：截角問題9.一個四邊形，截一刀后得到新多邊形的內(nèi)角和將（）A．增加180° B．減少180°C．不變 D．以上三種情況都有可能【答案】D【解析】【解答】解：∵一個四邊形截一刀后得到的多邊形可能是三角形，可能是四邊形，也可能是五邊形，∴內(nèi)角和可能減少180°，可能不變，可能增加180°.故答案為：D.【分析】由于一個四邊形截一刀后得到的多邊形可能是三角形，可能是四邊形，也可能是五邊形，從而根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可解決問題.【變式91】將一個多邊形紙片沿一條直線剪下一個三角形后，變成一個六邊形，則原多邊形紙片的邊數(shù)不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】實際畫圖，動手操作一下，可知六邊形可以是五邊形、六邊形、七邊形截去一個角后得到．【解答】解：如圖可知，原來多邊形的邊數(shù)可能是5，6，7．不可能是8．故選：D．【點評】此題主要考查了多邊形，此類問題要從多方面考慮，注意不能漏掉其中的任何一種情況．【變式92】把一個多邊形紙片沿一條直線截下一個三角形后，變成一個18邊形，則原多邊形紙片的邊數(shù)不可能是（）A．16 B．17 C．18 D．19【分析】一個n邊形剪去一個角后，剩下的形狀可能是n邊形或（n+1）邊形或（n﹣1）邊形．【解答】解：當剪去一個角后，剩下的部分是一個18邊形，則這張紙片原來的形狀可能是18邊形或17邊形或19邊形，不可能是16邊形．故選：A．【點評】此題主要考查了多邊形，剪去一個角的方法可能有三種：經(jīng)過兩個相鄰頂點，則少了一條邊；經(jīng)過一個頂點和一邊，邊數(shù)不變；經(jīng)過兩條鄰邊，邊數(shù)增加一條．【變式93】一個四邊形，截一刀后得到的新多邊形的內(nèi)角和最多為．【答案】540°【解析】【解答】畫出圖形：一個四邊形截一刀后得到的新多邊形可能是三角形、四邊形、五邊形，它們的內(nèi)角和依次是180°或360°或540°。

其中，內(nèi)角和最多的是540°。

【分析】一個四邊形截一刀后得到的新多邊形可能是三角形、四邊形、五邊形，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可求出答案。多邊形的外角和多邊形的外角和為360°．注意：(1)在一個多邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關；(2)正n邊形的每個內(nèi)角都相等，所以它的每個外角都相等，都等于；(3)多邊形的外角和為360°的作用是：①已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；②已知多邊形邊數(shù)求各相等外角的度數(shù)．題型10：多邊形的外角和10.下列圖形中，內(nèi)角和等于外角和的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【解答】解：設n邊形的內(nèi)角和等于外角和（n2）×180°=360°解得：n=4故答案為：B

【分析】設n邊形的內(nèi)角和等于外角和，根據(jù)題意列出方程（n2）×180°=360°求解即可?！咀兪?01】八邊形的外角和是（）A．180° B．360° C．540° D．720°【答案】B【解析】【解答】解：八邊形的外角和是360°．故答案為：B．

【分析】根據(jù)多邊形的外角和公式，計算得到答案即可?！咀兪?02】一正多邊形的內(nèi)角和與外角和的和是1440°，則該正多邊形是（）A．正六邊形 B．正七邊形 C．正八邊形 D．正九邊形【答案】C【解析】【解答】解：設多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意列方程得，（n﹣2）?180°+360°＝1440°，n﹣2＝6，n＝8．故這個多邊形的邊數(shù)為8．故答案為：C．【分析】依題意，多邊形的內(nèi)角與外角和為1440°，多邊形的外角和為360°，根據(jù)內(nèi)角和公式求出多邊形的邊數(shù)．題型11：多邊形內(nèi)角和和外角和實際應用11.八年級一班的同學體育課上玩游戲，讓小聰同學從A出發(fā)前進10米后左轉30°，再前進10米后左轉30°，按照這樣方法一直走下去，當他回到A時，共走了（）A．60米 B．100米 C．120米 D．150米【分析】根據(jù)多邊形的外角和＝360°求解即可．【解答】解：∵多邊形的外角和為360°，∴360°30°即12×10米＝120米，故選：C．【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角，能熟記多邊形的外角和定理是解此題的關鍵，注意：多邊形的外角和等于360°．【變式111】如圖，桐桐從A點出發(fā)，前進3m到點B處后向右轉20°，再前進3m到點C處后又向右轉20°，…，這樣一直走下去，她第一次回到出發(fā)點A時，一共走了（）A．100m B．90m C．54m D．60m【答案】C【解析】【解答】解：由題意可知，當她第一次回到出發(fā)點A時，所走過的圖形是一個正多邊形，由于正多邊形的外角和是360°，且每一個外角為20°，360°÷20°＝18，所以它是一個正18邊形，因此所走的路程為18×3＝54（m）.故答案為：C.【分析】由題意可知：當她第一次回到出發(fā)點A時，所走過的路程是一個正多邊形的周長，根據(jù)外角的度數(shù)求出多邊形的邊數(shù)，進而可得所走的路程.【變式112】科技館為某機器人編制了一個程序，如果機器人在平地上按照圖中所示的步驟行走，那么該機器人所走的總路程為（）A．12米 B．16米 C．18米 D．20米【分析】先判斷出機器人所走過的路線是正多邊形，然后用多邊形的外角和除以每一個外角的度數(shù)求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)周長公式列式進行計算即可得解．【解答】解：根據(jù)題意得，機器人所走過的路線是正多邊形，∵每一次都是左轉20°，∴多邊形的邊數(shù)＝360°÷20°＝18，周長＝18×1＝18（米）．故選：C．【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，判斷出走過的路線是正多邊形是解題的關鍵．題型12：多邊形內(nèi)角和和外角和綜合應用12.已知一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的和為1980°，這個多邊形的邊數(shù)為（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】【解答】解：該多邊形的外角和為360°，故內(nèi)角和為1980°360°=1620°，故（n2）?180°=1620°，解得n=11．故答案為：C．

【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和及外角和公式列出方程（n2）?180°=1620°，求解即可。【變式121】已知一個多邊形的內(nèi)角和等于外角和的2倍，求這個多邊形的邊數(shù).【答案】解：設這個多邊形的邊數(shù)為n，則根據(jù)題意，得（n2）?180=720，解得：n=6.答：這個多邊形的邊數(shù)為6.【解析】【分析】設這個多邊形的邊數(shù)為n，則其內(nèi)角和為（n2）?180，由于任何多邊形的外角和都是360°，進而根據(jù)題意解方程求出n的值，即可求解.【變式122】一個正多邊形的每一個內(nèi)角比每一個外角的5倍還小60°，求這個正多邊形的邊數(shù)及內(nèi)角和.【答案】解：設這個正多邊的外角為x，則內(nèi)角為5x﹣60°，由題意得：x+5x﹣60＝180，解得：x＝40，360°÷40°＝9.（9﹣2）×180°＝1260°答：這個正多邊形的邊數(shù)是9，內(nèi)角和是1260°.【解析】【分析】設這個正多邊的外角為x，則內(nèi)角為5x﹣60°，根據(jù)內(nèi)角與相鄰外角互補可得x+5x﹣60＝180，求出x的值，再利用外角和360°÷一個外角的度數(shù)即得邊數(shù)，然后利用內(nèi)角和公式進行計算即可.題型13：多邊形內(nèi)角和和外角和平行線13.如圖，五邊形ABCDE中，AE∥CD，∠A=107°，∠B=121°，求∠C的度數(shù)。【答案】解：五邊形ABCDE的內(nèi)角和為(5?2)×即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540°∵AE∥CD，∴∠D+∠E=180°∵∠A=107°，∠B=121°∴∠C=132°【解析】【分析】根據(jù)直線平行的性質即可得到∠E和∠D的和，根據(jù)五邊形的內(nèi)角和公式計算得到內(nèi)角和，根據(jù)∠A以及∠B的度數(shù)即可得到∠C的答案。【變式131】如圖，五邊形ABCDE中，AE∥BC，則∠C+∠D+∠E的度數(shù)為（）A．180° B．270° C．360° D．450°【分析】首先過點D作DF∥AE，交AB于點F，由AE∥BC，可證得AE∥DF∥BC，然后由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，證得∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，繼而證得結論．【解答】解：過點D作DF∥AE，交AB于點F，∵AE∥BC，∴AE∥DF∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，∴∠C+∠CDE+∠E＝360°，故選：C．【點評】此題考查了平行線的性質．此題比較適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用．【變式132】如圖1，四邊形ABCD中，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC＝∠BCD，（1）求證：∠DEC+∠DCE＝90°；（2）如圖2，若∠ABD的平分線與CD的延長線交于F，且∠F＝58°，求∠ABC．【答案】（1）證明：AD∥BC，∠ADC+∠BCD=180°，∵DE平分∠ADB，∠BDC=∠BCD，∴∠ADE=∠EDB，∠BDC=∠BCD，∵∠ADC+∠BCD=180°，∴∠EDB+∠BDC=90°，∴∠DEC+∠DCE=90°；（2）解：∵∠FBD+∠BDE=90°∠F=32°，DE平分∠ADB，BF平分∠ABD，∴∠ADB+∠ABD=2（∠FBD+∠BDE）=64°，又∵四邊形ABCD中，AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB，即∠ABC=64°．【解析】【分析】（1）由AD//BC，DE平分∠ADB，得到∠ADC+∠BCD=180°，再根據(jù)∠BDC=∠BCD，得到∠DEC+∠DCE=90°；（2）由DE平分∠ADB，BF平分∠ABD，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠F＝58°，得出∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB，即∠ABC=64°．題型14：多邊形內(nèi)角和和外角和角平分線14.如圖，在六邊形ABCDEF中，若∠A+∠B+∠C+∠D＝500°，∠DEF與∠AFE的平分線交于點G，則∠G等于（）A．55° B．65° C．70° D．80°【分析】首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出∠DEF與∠AFE的度數(shù)和是多少，進而求出∠GEF與∠GFE的度數(shù)和是多少；然后在△GEF中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出∠G等于多少即可．【解答】解：六邊形ABCDEF的內(nèi)角和是：（6﹣2）×180°＝4×180°＝720°∵∠A+∠B+∠C+∠D＝500°，∴∠DEF+∠AFE＝720°﹣500°＝220°，∵GE平分∠DEF，GF平分∠AFE，∴∠GEF+∠GFE=12（∠DEF+∠AFE）∴∠G＝180°﹣110°＝70°．故選：C．【點評】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角的計算，解答此題的關鍵是要明確：（1）多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180（n≥3）且n為整數(shù)）．（2）多邊形的外角和指每個頂點處取一個外角，則n邊形取n個外角，無論邊數(shù)是幾，其外角和永遠為360°．【變式141】如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC交CD于E，DF平分∠ADC交AB于F.（1）若∠ABC＝60°，則∠ADC＝°，∠AFD＝°；（2）求證：BE∥DF.【答案】（1）120；30（2）證明：四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵BE平分∠ABC交CD于E，DF平分∠ADC交AB于F，∴∠ADF＝∠FDC，∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE+∠FDC＝90°，∵∠AFD+∠ADF＝90°，∠ADF＝∠FDC，∴∠AFD＝∠ABE，∴BE∥DF.【解析】【解答】解：（1）∵∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC＝120°，∵DF平分∠ADC交AB于F，∴∠FDA＝12∴∠AFD＝90°﹣∠ADF＝30°；故答案為：120，30；【分析】（1）首先根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°求出∠ADC的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的概念可得∠FDA的度數(shù)，接下來根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質進行求解；

（2）先根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°可得∠ADC+∠ABC＝180°，結合角平分線的概念可得∠ABE+∠FDC＝90°，推出∠AFD＝∠ABE，然后利用平行線的判定定理進行證明.【變式142】（1）（問題引入）如圖1，△ABC，點O是∠ABC和∠ACB相鄰的外角平分線的交點，若∠A=40°，請求出∠BOC的度數(shù)．（2）（深入探究）如圖2，在四邊形ABDC中，點O是∠BAC和∠ACD的角平分線的交點，若∠B+∠D=110°，請求出∠AOC的度數(shù)．（3）（類比猜想）如圖3，在△ABC中，∠CBO=13∠DBC，∠BCO=13∠ECB，∠A=α，則∠BOC=（4）如果BO，CO分別是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分線，它們交于點O，∠CBO=∠1nDBC∠BCO=1n∠ECB，則∠BOC=【答案】（1）解：∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°∠A=140°，∴∠DBC+∠ECB=180°∠ABC+180°∠ACB=360°（∠ABC+∠ACB）=360°140°=220°，∵BO、CO分別平分∠DBC和∠ECB，∴∠OBC+∠OCB=12（∠DBC+∠ECB）=1∴∠BOC=180°（∠OBC+∠OCB）=180°110°=70°（2）解：∵點O是∠BAC和∠ACD的角平分線的交點，∴∠OAC=12∠CAB，∠OCA=1∴∠AOC=180°（∠OAC+∠OCA）=180°12=180°12（360°∠B=12∵∠B+∠D=110°，∴∠AOC=12（3）120°13（4）(n?1)×180°【解析】【解答】（3）在△OBC中，∠BOC=180°（∠OBC+∠OCB）=180°13=180°13=180°13=120°13故答案為：120°13α；（4）在△OBC中，∠BOC=180°=180°1n=180°1n=180°1n=(n?1)×180°n故答案為：(n?1)×180°n【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB=180°∠A=140°，利用鄰補角求出∠DBC+∠ECB=180°∠ABC+180°∠ACB=220°，根據(jù)角平分線的定義可得∠OBC+∠OCB=12（∠DBC+∠ECB）=110°，在△BOC中，利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠BOC的度數(shù)；

（2）利用角平分線的定義可得∠OAC=12∠CAB，∠OCA=12∠ACD，根據(jù)三角形內(nèi)角和及四邊形內(nèi)角和可得∠AOC=180°（∠OAC+∠OCA）=180°12（∠CAB+∠ACD）=180°12（360°∠B∠D）=12（∠B+∠D），從而求出結論；

（3）在△OBC中，∠BOC=180°（∠OBC+∠OCB）=180°13（∠DBC+∠ECB）=180°1一、單選題1．已知一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，那么這個多邊形的邊數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】【解答】設這個多邊形的邊數(shù)為n，∵n邊形的內(nèi)角和為（n﹣2）?180°，多邊形的外角和為360°，∴（n﹣2）?180°=360°×2，解得n=6．∴此多邊形的邊數(shù)為6．故答案為：D．

【分析】設這個多邊形的邊數(shù)為n，則n邊形的內(nèi)角和為（n﹣2）?180°，又任何多邊形的外角和為360°，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍即可列出方程，求解即可。2．游戲中有數(shù)學智慧，找起點游戲規(guī)定：從起點走五段相等直路之后回到起點，要求每走完一段直路后向右邊偏行.成功的招數(shù)不止一招，可助我們成功的一招是（）.A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走B．每段直路要短C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走D．每段直路要長【答案】A【解析】【解答】解：根據(jù)題意可知，從起點走五段相等直路之后回到起點的封閉圖形是正五邊形，∵正五邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為：(5?2)×180°∴它的鄰補角的度數(shù)為：180°108°=72°，因此，每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走，故答案為：A.【分析】根據(jù)題意可知封閉的圖形是正五邊形，求出正五邊形內(nèi)角的度數(shù)即可解決問題.3．一個五邊形的內(nèi)角和為（）A．540° B．450° C．360° D．180°【答案】A【解析】【解答】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式：180°×（5﹣2）=540°，即一個五邊形的內(nèi)角和是540度，故答案為：A．【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角公式180°×（n2）即可算出答案。4．一個多邊形的每個外角都是36°，則該多邊形的內(nèi)角和為（）A．900° B．1800° C．1440° D．1080°【答案】C【解析】【解答】解：多邊形的邊數(shù)：360÷36=10，內(nèi)角和：180°×（102）=1440°.故答案為：C．【分析】根據(jù)多邊形的外角和為360°，即可求出多邊形的邊數(shù)=360°÷36°=10，再根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式180°（n2），代入邊數(shù)10即可求出其內(nèi)角和.5．如果從一個n邊形的一個頂點出發(fā)，最多能引出6條對角線，那么這個n邊形的內(nèi)角和是（）A．720° B．1080° C．1260° D．1440°【答案】C【解析】【解答】解：設多邊形邊數(shù)為n，∵從一個n邊形的一個頂點出發(fā)，最多能引出6條對角線，由題意得：n﹣3＝6，解得：n＝9，內(nèi)角和：180°×（9﹣2）＝1260°．故答案為：C．

【分析】設多邊形邊數(shù)為n，根據(jù)n邊形的一個頂點出發(fā)，最多能引出6條對角線，由此得出n的值，再根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式可得出答案。6．過多邊形一個頂點的所有對角線把這個多邊形分成了7個三角形，則這個多邊形的邊數(shù)是（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【解析】【解答】解：n?2=7，解得：n=9，所以這個多邊形的邊數(shù)是9，故答案為：B．【分析】先求出n?2=7，再求出n=9，即可作答。7．已知正多邊形的一個內(nèi)角等于一個外角的3倍，那么這個正多邊形的邊數(shù)為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】【解答】解：設這個正多邊形的一個外角的度數(shù)為x，則其一個內(nèi)角的度數(shù)為3x，所以x+3x＝180°，x＝45°，該正多邊形的邊數(shù)是：360°÷45°＝8．故答案為：C．【分析】先求出x+3x＝180°，再求出x＝45°，最后計算求解即可。二、填空題8．一