清單02全等三角形（8個考點梳理題型解讀核心素養(yǎng)提升中考聚焦）

清單02全等三角形（8個考點梳理+題型解讀+核心素養(yǎng)提升+中考聚焦）【知識導圖】【知識清單】考點一．全等圖形（1）全等形的概念能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形．（2）全等三角形能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符號“全等”用符號“≌”表示．注意：在記兩個三角形全等時，通常把對應頂點寫在對應位置上．（4）對應頂點、對應邊、對應角把兩個全等三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應頂點；重合的邊叫做對應邊；重合的角叫做對應角．1．（2022秋?劍閣縣期末）下列說法正確的是（）A．兩個面積相等的圖形一定是全等圖形 B．兩個全等圖形形狀一定相同 C．兩個周長相等的圖形一定是全等圖形 D．兩個正三角形一定是全等圖形【分析】根據(jù)全等圖形的定義進行判斷即可．【解答】解：A：兩個面積相等的圖形不一定是全等圖形，故A錯誤，不符合題意；B：兩個全等圖形形狀一定相同，故B正確，符合題意；C：兩個周長相等的圖形不一定是全等圖形，故C錯誤，不符合題意；D：兩個正三角形不一定是全等圖形，故D錯誤，不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了全等圖形，熟練運用“能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形”是本題的關鍵．2．（2022秋?東莞市期末）下列各組圖形中，是全等形的是（）A．兩個含60°角的直角三角形 B．腰對應相等的兩個等腰直角三角形 C．邊長為3和4的兩個等腰三角形 D．一個鈍角相等的兩個等腰三角形【分析】綜合運用判定方法判斷．做題時根據(jù)已知條件，結合全等的判定方法逐一驗證．【解答】解：A、兩個含60°角的直角三角形，缺少對應邊相等，所以不是全等形；B、腰對應相等的兩個等腰直角三角形，符合AAS或ASA，或SAS，是全等形；C、邊長為3和4的兩個等腰三角形有可能是3，3，4或4，4，3不一定全等對應關系不明確不一定全等；D、一個鈍角相等的兩個等腰三角形．缺少對應邊相等，不是全等形．故選：B．【點評】本題主要考查了三角形全等的判定方法；需注意：判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，還要找準對應關系．考點二．全等三角形的性質（1）性質1：全等三角形的對應邊相等性質2：全等三角形的對應角相等說明：①全等三角形的對應邊上的高、中線以及對應角的平分線相等②全等三角形的周長相等，面積相等③平移、翻折、旋轉前后的圖形全等（2）關于全等三角形的性質應注意①全等三角形的性質是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應用時要會找對應角和對應邊．②要正確區(qū)分對應邊與對邊，對應角與對角的概念，一般地：對應邊、對應角是對兩個三角形而言，而對邊、對角是對同一個三角形的邊和角而言的，對邊是指角的對邊，對角是指邊的對角．3．（2022秋?莊河市期末）如圖，圖中的兩個三角形全等，則∠α等于（）A．50° B．71° C．58° D．59°【分析】根據(jù)全等三角形對應角相等可知∠α是a、b邊的夾角，然后寫出即可．【解答】解：∵三角形內(nèi)角和是180°，∴a、b邊的夾角度數(shù)為：180°﹣71°﹣50°＝59°，∵圖中的兩個三角形全等，∴∠α等于59°，故選：D．【點評】本題考查了全等三角形對應角相等，根據(jù)對應邊的夾角準確確定出對應角是解題的關鍵．4．（2022秋?丹陽市校級期末）已知△ABC≌△DEF，AC＝9cm，則DF＝cm．【分析】由全等三角形的對應邊相等，即可得到答案．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴DF＝AC＝9（cm）．故答案為：9．【點評】本題考查全等三角形的性質，關鍵是掌握全等三角形的對應邊相等．考點三．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對應相等的兩個三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜邊與直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊．5．（2022秋?莘縣期末）如圖，BC＝BD，那么添加下列選項中的一個條件后，仍無法判定△ABC≌△ABD的是（）A．AC＝AD B．∠BAC＝∠BAD C．∠ABC＝∠ABD D．∠C＝∠D＝90°【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理逐項分析判斷即可求解．【解答】解：∵AB＝AB，BC＝BDA．添加AC＝AD，根據(jù)SSS，可以證明△ABC≌△ABD，不符合題意；B．添加∠BAC＝∠BAD，不能證明△ABC≌△ABD，符合題意；C．添加∠ABC＝∠ABD，根據(jù)SAS，可以證明△ABC≌△ABD，不符合題意；D．添加∠C＝∠D＝90°，根據(jù)HL，可以證明△ABC≌△ABD，不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．6．（2022秋?嘉魚縣期末）如圖，點A、D在線段BC的兩側，且∠A＝∠D＝90°．試添加一個條件，使△ABC≌△DBC．并寫出證明過程．【分析】根據(jù)題意可知BC＝BC，∠A＝∠D＝90°，再利用AAS定理判定△ABC≌△DBC即可．【解答】解：添加的條件：∠ABC＝∠DBC，證明如下：在△ABC和△DBC中，，∴△ABC≌△DBC（AAS）．（答案不唯一）若是AB＝DB（或AC＝DC），則判定△ABC≌△DBC的理由是HL，若是∠ACB＝∠DCB，則判定△ABC≌△DBC的理由是AAS．【點評】此題主要考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．7．（2023春?渠縣校級期末）已知：如圖，AC∥DF，點B為線段AC上一點，連接BF交DC于點H，過點A作AE∥BF分別交DC、DF于點G、點E，DG＝CH，求證：△DFH≌△CAG．【分析】先根據(jù)平行線的性質得出∠C＝∠D，∠AGC＝∠DHF，再由DG＝CH可知CH+HG＝HG+DG，即CG＝DH，根據(jù)ASA定理即可得出結論．【解答】證明：∵AC∥DF，AE∥BF，∴∠C＝∠D，∠AGC＝∠DHF，∵DG＝CH，∴CH+HG＝HG+DG，即CG＝DH，在△DFH和△CAG中，，∴△DFH≌△CAG（ASA）．【點評】本題考查的是全等三角形的判定，熟知兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等是解答此題的關鍵．8．（2023春?鄠邑區(qū)期末）如圖（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．點P在線段AB上以1cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動．它們運動的時間為t（s）．（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當t＝1時，△ACP與△BPQ是否全等，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關系，請分別說明理由；（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設點Q的運動速度為xcm/s，是否存在實數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應的x、t的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）利用SAS證得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，進一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出結論即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分兩種情況：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程組求得答案即可．【解答】解：（1）當t＝1時，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，又∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．∴∠ACP＝∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CPQ＝90°，即線段PC與線段PQ垂直．（2）存在，理由：①若△ACP≌△BPQ，則AC＝BP，AP＝BQ，則，解得；②若△ACP≌△BQP，則AC＝BQ，AP＝BP，則，解得：；綜上所述，存在或，使得△ACP與△BPQ全等．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．在解題時注意分類討論思想的運用．考點四．直角三角形全等的判定1、斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“HL”公理就是直角三角形獨有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時應該抓住“直角”這個隱含的已知條件．9．（2022秋?衡山縣期末）下列條件，不能判定兩個直角三角形全等的是（）A．兩個銳角對應相等 B．一個銳角和斜邊對應相等 C．兩條直角邊對應相等 D．一條直角邊和斜邊對應相等【分析】根據(jù)SAS，AAS，ASA，SSS，HL，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、兩個銳角對應相等，不能判定兩個直角三角形全等，故A符合題意；B、一個銳角和斜邊對應相等，利用AAS可以判定兩個直角三角形全等，故B不符合題意；C、兩條直角邊對應相等，利用SAS可以判定兩個直角三角形全等，故C不符合題意；D、一條直角邊和斜邊對應相等，利用HL可以判定兩個直角三角形全等，故D不符合題意；故選：A．【點評】本題考查了直角三角形全等的判定，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解題的關鍵．10．（2022秋?磁縣期末）如圖，若要用“HL”證明Rt△ABC≌Rt△ABD，則還需補充的條件是（）A．AC＝AD或BC＝BD B．AC＝AD且BC＝BD C．∠BAC＝∠BAD D．以上都不對【分析】根據(jù)HL，還缺少一條直角邊相等，由此判斷即可．【解答】解：因為公共邊AB為兩個直角三角形的斜邊，所以要用HL證明Rt△ABC和Rt△ABD全等，只需AC＝AD或者BC＝BD．故選：A．【點評】本題考查全等三角形的判定，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型．11．（2022秋?鄞州區(qū)校級期末）如圖，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一點，且AD＝BE，∠1＝∠2．求證：△ADE≌△BEC．【分析】此題比較簡單，根據(jù)已知條件，利用直角三角形的特殊判定方法可以證明題目結論．【解答】證明：∵∠1＝∠2，∴DE＝CE．∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠B＝90°．∴△ADE和△EBC是直角三角形，Rt△ADE和Rt△BEC中，，∴△ADE≌△BEC（HL）．【點評】本題考查了直角三角形全等的判定及性質；主要利用了直角三角形全等的判定方法HL，也利用了等腰三角形的性質：等角對等邊，做題時要綜合利用這些知識．12．（2023春?懷化期末）如圖，在△ABC中，AC＝BC，直線l經(jīng)過頂點C，過A，B兩點分別作l的垂線AE，BF，E，F(xiàn)為垂足，AE＝CF．求證：∠ACB＝90°．【分析】先利用HL定理證明△ACE和△CBF全等，再根據(jù)全等三角形對應角相等可以得到∠EAC＝∠BCF，因為∠EAC+ACE＝90°，所以∠ACE+∠BCF＝90°，根據(jù)平角定義可得∠ACB＝90°．【解答】證明：如圖，在Rt△ACE和Rt△CBF中，，∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），∴∠EAC＝∠BCF，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°．【點評】本題主要考查全等三角形的判定，全等三角形對應角相等的性質，熟練掌握性質是解題的關鍵．13．（2022秋?雄縣校級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE是過點A的直線，BD⊥DE于D，CE⊥DE于點E；（1）若B、C在DE的同側（如圖所示）且AD＝CE．求證：AB⊥AC；（2）若B、C在DE的兩側（如圖所示），且AD＝CE，其他條件不變，AB與AC仍垂直嗎？若是請給出證明；若不是，請說明理由．【分析】（1）由已知條件，證明Rt△ABD≌Rt△CAE，再利用角與角之間的關系求證∠BAD+∠CAE＝90°，即可證明AB⊥AC；（2）同（1），先證Rt△ABD≌Rt△CAE，再利用角與角之間的關系求證∠BAD+∠CAE＝90°，即可證明AB⊥AC．【解答】（1）證明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACE中，∵，∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL）．∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC．∵∠DAB+∠DBA＝90°，∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°．∠BAC＝180°﹣（∠BAD+∠CAE）＝90°．∴AB⊥AC．（2）AB⊥AC．理由如下：同（1）一樣可證得Rt△ABD≌Rt△CAE．∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC，∵∠CAE+∠ECA＝90°，∴∠CAE+∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°，∴AB⊥AC．【點評】三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，借助全等三角形的性質得到相等的角，然后證明垂直是經(jīng)常使用的方法，注意掌握、應用．考點五．全等三角形的判定與性質（1）全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．14．（2022秋?大田縣期末）如圖，正方形ABCD是一張邊長為12cm的皮革．皮雕師傅想在此皮革兩相鄰的角落分別切下△PDQ與△PCR后得到一個五邊形PQABR，其中P，Q，R三點分別在邊CD，AD，BC上，且PD＝2DQ，PC＝CR．（1）若DQ＝x，將△PDQ的面積用含x的代數(shù)式表示；（2）五邊形PQABR的面積是否存在最大值？若存在，請求出該最大值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)條件表示出PD，從而得到△PDQ的面積；（2）分別求出正方形ABCD、△PDQ、△PCR的面積，再作差求出五邊形的面積，最后確定出取極值時的x值．即可求出最大值．【解答】解：（1）依題意，PD＝2DQ＝2x．∴△PDQ的面積．（2）設DQ＝x，則，∴0＜x＜6，∵PC＝CR＝（12﹣2x），∴△PCR的面積．∴S五邊形PQABR＝S正方形ABCD﹣S△PDQ﹣S△PCR，＝122﹣x2﹣2（6﹣x）2＝﹣3x2+24x+72＝﹣3（x﹣4）2+120．當x＝4時，上式取得最大值120，所以，當DQ＝4cm時，五邊形PQABR的面積取得最大值120cm2．【點評】本題考查了二次函數(shù)的應用，三角形面積的計算、五邊形面積計算的方法，計算三角形的面積及利用二次函數(shù)頂點式求最值是解題的關鍵．15．（2022秋?榮昌區(qū)期末）如圖，AD是△ABC的中線，BE⊥AD，垂足為E，CF⊥AD，交AD的延長線于點F，G是DA延長線上一點，連接BG．（1）求證：BE＝CF；（2）若BG＝CA，求證：GA＝2DE．【分析】（1）利用AAS證明△BED≌△CFD，得BE＝CF；（2）利用HL證明Rt△BGE≌Rt△CAF，得GE＝AF，從而解決問題．【解答】證明：（1）∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠F，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴BE＝CF；（2）在Rt△BGE和Rt△CAF中，，∴Rt△BGE≌Rt△CAF（HL），∴GE＝AF，∴AG＝EF．∵△BED≌△CFD，∴DE＝DF，∴GA＝2DE．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，利用HL證明Rt△BGE≌Rt△CAF是解題的關鍵．16．（2022秋?宿城區(qū)校級期末）如圖，△ABC和△ADE都是等腰三角形，BC、DE分別是這兩個等腰三角形的底邊，且∠BAC＝∠DAE，求證：BD＝CE．【分析】根據(jù)△ABC和△ADE都是等腰三角形，BC、DE分別是這兩個等腰三角形的底邊得到AE＝AD，AB＝AC，根據(jù)∠BAC＝∠DAE得到∠BAD＝∠CAE，即可得到△DAB≌△EAC，即可得到證明．【解答】證明：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，BC、DE分別是這兩個等腰三角形的底邊，∴AE＝AD，AB＝AC，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△DAB與△EAC中，，△DAB≌△EAC（SAS），∴BD＝CE．【點評】本題考查等腰三角形的性質與全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是根據(jù)等腰三角形得到三角形全等的條件．17．（2022秋?孝南區(qū)期末）如圖，已知，點B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D．（1）求證：AC∥DE；（2）若BF＝21，EC＝9，求BC的長．【分析】（1）由AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D，根據(jù)SAS即可證明；（2）由△ABC≌△DFE，推出BC＝EF，推出BE＝CF，由BF＝21，EC＝9，推出BE+CF＝12，可得BE＝CF＝6，由此即可解決問題；【解答】（1）證明：在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（SAS），∴∠ACB＝∠DEF，∴AC∥DE．（2）解：∵△ABC≌△DFE，∴BC＝EF，∴BE＝CF，∵BF＝21，EC＝9，∴BE+CF＝12，∴BE＝CF＝6，∴BC＝BE+CE＝6+9＝15．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質、平行線的判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質，屬于中考?？碱}型．考點六．全等三角形的應用（1）全等三角形的性質與判定綜合應用用全等尋找下一個全等三角形的條件，全等的性質和判定往往是綜合在一起應用的，這需要認真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系．（2）作輔助線構造全等三角形常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長，把分散條件集中到同一個三角形中是解決中線問題的基本規(guī)律．②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長法”或“補短法”，這些問題經(jīng)常用到全等三角形來證明．（3）全等三角形在實際問題中的應用一般方法是把實際問題先轉化為數(shù)學問題，再轉化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉化為三角形中的邊角關系是關鍵．18．（2023春?長安區(qū)期末）王強同學用10塊高度都是2cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點C在DE上，點A和B分別與木墻的頂端重合．（1）求證：△ADC≌△CEB；（2）求兩堵木墻之間的距離．【分析】（1）根據(jù)題意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，進而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再證明△ADC≌△CEB即可；（2）利用全等三角形的性質進行解答．【解答】（1）證明：由題意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由題意得：AD＝2×3＝6（cm），BE＝7×2＝14（cm），∵△ADC≌△CEB，∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，∴DE＝DC+CE＝20（cm），答：兩堵木墻之間的距離為20cm．【點評】此題主要考查了全等三角形的應用，關鍵是正確找出證明三角形全等的條件．19．（2022秋?永城市校級期末）如圖，點B，F(xiàn)，C，E在直線l上（點F，C之間不能直接測量），點A，D在l的異側，AB∥DE，∠A＝∠D，測得AB＝DE．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10cm，BF＝3cm，求FC的長．【分析】（1）先證明∠ABC＝∠DEF，再根據(jù)ASA即可證明．（2）根據(jù)全等三角形的性質即可解答．【解答】（1）證明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC與△DEF中，，∴△ABC≌△DEF；（2）∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BF+FC＝EC+FC，∴BF＝EC，∵BE＝10m，BF＝3m，∴FC＝10﹣3﹣3＝4（m），答：FC的長是4m．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質、平行線的判定等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形的條件，記住平行線的判定方法，屬于基礎題，中考?？碱}型．20．（2022秋?新化縣期末）【問題背景】在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝60°，試探究圖1中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關系．【初步探索】小亮同學認為：延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，則可得到BE、EF、FD之間的數(shù)量關系是EF＝BE+FD．【探索延伸】在四邊形ABCD中如圖2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC、CD上的點，∠EAF＝∠BAD，上述結論是否仍然成立？說明理由．【結論運用】如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角（∠EOF）為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．【分析】探索延伸：延長FD到G，使DG＝BE，連接AG，證明△ABE≌△ADG和△AEF≌△AGF，得到答案；結論運用：連接EF，延長AE、BF交于點C，得到EF＝AE+BF，根據(jù)距離、速度和時間的關系計算即可．【解答】解：初步探索：EF＝BE+FD，故答案為：EF＝BE+FD，探索延伸：結論仍然成立，證明：如圖2，延長FD到G，使DG＝BE，連接AG，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF，∴EF＝FG，∴FG＝DG+FD＝BE+DF；結論運用：解：如圖3，連接EF，延長AE、BF交于點C，∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF＝∠AOB，∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的條件∴結論EF＝AE+BF成立，即EF＝1.5×（60+80）＝210海里，答：此時兩艦艇之間的距離是210海里．【點評】本題考查的是全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵，注意要正確作出輔助線．考點七．角平分線的性質角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質可以獨立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時不必證明全等；③使用該結論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE21．（2022秋?雙流區(qū)期末）已知：如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AD⊥AB，BD平分∠ABC交AD于D點．（1）求證：∠ADE＝∠AED；（2）若AB＝6，CE＝2，求△ABE的面積．【分析】（1）根據(jù)垂直定義可得∠DAB＝90°，然后利用直角三角形的兩個銳角互余可得∠D+∠ABD＝90°，∠CEB+∠CBE＝90°，再利用角平分線的定義可得∠CBE＝∠ABD，從而可得∠D＝∠CEB，最后利用對頂角相等可得∠CEB＝∠AED，從而利用等量代換即可解答；（2）過點E作EF⊥AB，垂足為F，利用角平分線的性質可得EC＝EF＝2，然后利用三角形的面積進行計算即可解答．【解答】（1）證明：∵AD⊥AB，∴∠DAB＝90°，∴∠D+∠ABD＝90°，∵∠C＝90°，∴∠CEB+∠CBE＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABD，∴∠D＝∠CEB，∵∠CEB＝∠AED，∴∠ADE＝∠AED；（2）過點E作EF⊥AB，垂足為F，∵BD平分∠ABC，EF⊥AB，EC⊥BC，∴EC＝EF＝2，∵AB＝6，∴△ABE的面積＝AB?EF＝×6×2＝6，∴△ABE的面積為6．【點評】本題考查了角平分線的性質，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．22．（2022秋?鞏義市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分線AD交BC于點D，過點D作DE⊥AB，垂足為E，此時點E恰為AB的中點．（1）求∠CAD的大?。唬?）若BC＝9，求DE的長．【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的判定及性質得出AD＝BD，再根據(jù)等邊對等角得出∠B＝∠BAD，然后根據(jù)角平分線得出∠CAD＝∠BAD，最后根據(jù)余角的概念即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線的性質得出DC＝DE，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質得出BD＝2DE，然后根據(jù)等量代換及線段的和差即可得出答案．【解答】解：（1）∵DE⊥AB，且E為AB的中點，∴DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∵AD是∠CAB的平分線，∴∠CAD＝∠BAD，∵∠C＝90°，∴3∠CAD＝90°，∴∠CAD＝30°；（2）∵AD是∠CAB的平分線，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC＝DE，∵∠B＝30°，∴BD＝2DE，∴BD＝2DC，∵BC＝9，∴BD+CD＝9，∴3DE＝BC，∴3DE＝9，∴DE＝3．【點評】本題考查了垂直平分線的判定及性質、角平分線的性質、含30度角的直角三角形的性質以及余角的定義，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．考點八．作圖—尺規(guī)作圖的定義（1）尺規(guī)作圖是指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖．只使用圓規(guī)和直尺，并且只準許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題．（2）基本要求它使用的直尺和圓規(guī)帶有想像性質，跟現(xiàn)實中的并非完全相同．直尺必須沒有刻度，無限長，且只能使用直尺的固定一側．只可以用它來將兩個點連在一起，不可以在上畫刻度．圓規(guī)可以開至無限寬，但上面亦不能有刻度．它只可以拉開成你之前構造過的長度．23．（2022秋?長安區(qū)校級期末）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圓規(guī)和直尺作圖，把它分成兩個三角形，其中一個三角形是等腰三角形．其作法錯誤的是（）A． B． C． D．【分析】A．由作法知AD＝AC，可判斷A；B．由作法知所作圖形是線段BC的垂直平分線，可判斷B；C由作法知，所作圖形是線段AB的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質得到DA＝DB，可判斷C；D．由作法知AD是∠BAC的平分線，根據(jù)角平分線的定義和等腰三角形的判定得到DB＝DA，可判斷D．【解答】解：A．由作法知AD＝AC，∴△ACD是等腰三角形，故選項A不符合題意；B．由作法知所作圖形是線段BC的垂直平分線，∴不能推出△ACD和△ABD是等腰三角形，故選項B符合題意；C由作法知，所作圖形是線段AB的垂直平分線，∴DA＝DB，∴△ABD是等腰三角形，故選項C不符合題意；D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAC＝60°，由作法知AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝30°＝∠B，∴DB＝DA，∴△ABD是等腰三角形，故選項D不符合題意；故選B．【點評】本題主要考查了尺規(guī)作圖，熟練掌握尺規(guī)作圖的五個基本圖形是解決問題的關鍵．24．（2022秋?青秀區(qū)校級期末）如圖，是尺規(guī)作圖中“畫一個角等于已知角”的示意圖，該作法運用了“全等三角形的對應角相等”這一性質，則判定圖中兩三角形全等的條件是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】利用作圖的基本原理，得到線段的關系證明即可．【解答】解：如圖，由作圖可知，BA＝CF．在△AOB和△CEF中，，∴△AOB≌△CEF（SSS），故選：D．【點評】本題考查了畫一個角等于已知角的基本作圖，正確理解作圖的基本原理是解題的關鍵．【核心素養(yǎng)提升】邏輯推理——構建全等三角形進行證明1．（2022秋?香坊區(qū)期末）如圖，等邊△ABC中，CH⊥AB于點H，點D、E分別在邊AB、BC上，連接DE，點F在CH上，連接EF，若DE＝EF，∠DEF＝60°，BE＝2，CE＝8，則DH＝．【分析】在BC上取點G，連接GF，使GC＝GF，證明△BDE≌△GEF，得到BE＝CG，BD＝EG，求出BD，則DH＝BD﹣BH即可求出結果．【解答】解：在BC上取點G，連接GF，使GC＝GF，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵CH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝×10＝5，∠BCH＝∠ABC＝30°，∵GF＝GC，∴∠GFC＝∠BCH＝30°，∴∠EGF＝∠GFC+∠BCH＝60°，∴∠B＝∠EGF，∵∠DEF＝60°，∴∠BED+∠GEF＝120°，∵∠BED+∠BDE＝120°，∴∠BDE＝∠GEF，又∵DE＝EF，∴△BDE≌△GEF（AAS），∴BE＝CG＝2，BD＝EG＝10﹣2﹣2＝6，∴DH＝BD﹣BH＝6﹣5＝1．故答案為：1．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，正確添加輔助線，構造全等三角形是解題關鍵．2．（2022秋?江岸區(qū)期末）如圖所示，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD且AC＝5，將BC沿BA方向平移至AE，連接CE、DE，若以AC、BD和DE為邊構成的三角形面積是，則DE＝．【分析】如圖，過點A作AF⊥BC于F，延長CD交AE于G，過點C作CH∥DE，過點D作DH∥CE交CH于H，延長ED交AC于K，證明△ABF≌△ADG（AAS），△ACE≌△CAB（SAS），Rt△CEG≌Rt△ABF（HL），△CDH≌△DCE（ASA），△ADH≌△BAD（SAS），得出：CH＝DE，AH＝BD，再根據(jù)三角形面積即可求得答案．【解答】解：如圖，過點A作AF⊥BC于F，延長CD交AE于G，過點C作CH∥DE，過點D作DH∥CE交CH于H，延長ED交AC于K，則∠AFB＝∠AFC＝90°，∵BC沿BA方向平移至AE，∴AE∥BC，∴∠CGE＝∠BCD＝90°，∠GAF＝∠AFB＝90°，∴∠AGD＝90°＝∠AFB，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠DAG+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAG，在△ABF和△ADG中，，∴△ABF≌△ADG（AAS），∴BF＝DG，AF＝AG，∵AE∥BC，AE＝BC，∴∠CAE＝∠ACB，在△ACE和△CAB中，，∴△ACE≌△CAB（SAS），∴CE＝AB，∠ACE＝∠CAB，∴CE∥AB，∵DH∥CE，∴DH∥AB，∴∠ADH＝180°﹣∠BAD＝180°﹣90°＝90°，∵AE∥BC，CG⊥AE，AF⊥BC，∴CG＝AF，∴Rt△CEG≌Rt△ABF（HL），∴EG＝BF，CG＝AF，∴EG＝DG，CG＝AG，∴△DEG和△ACG是等腰直角三角形，∴∠DEG＝EDG＝∠CAG＝45°，∴∠AKE＝90°，∴∠CKE＝90°，∵CH∥DE，∴∠ACH＝∠CKE＝90°，∵DE∥CH，DH∥CE，∴∠DCH＝∠CDE，∠CDH＝∠DCE，在△CDH和△DCE中，，∴△CDH≌△DCE（ASA），∴CH＝DE，DH＝CE，∴DH＝AB＝AD，∵∠ADH＝∠BAD＝90°，∴△ADH≌△BAD（SAS），∴AH＝BD，∵以AC、BD和DE為邊構成的三角形面積是，∴S△ACH＝AC?CH＝4，∴CH＝＝，∴DE＝，故答案為：．【點評】本題考查了平移的性質，等腰直角三角形性質，全等三角形的判定和性質，平行線的性質，三角形面積等，涉及知識點較多，難度較大，合理添加輔助線構造全等三角形是解題關鍵．3．（2022秋?葫蘆島期末）在平面直角坐標系xOy中，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，點A（0，5），點C（﹣2，0），點B在第四象限．（1）如圖1，求點B的坐標；（2）如圖2，若AB交x軸于點D，BC交y軸于點M，N是BC上一點，且BN＝CM，連接DN，求證CD+DN＝AM；（3）如圖3，若點A不動，點C在x軸的負半軸上運動時，分別以AC，OC為直角邊在第二、第三象限作等腰直角△ACE與等腰直角△OCF，其中∠ACE＝∠OCF＝90°，連接EF交x軸于P點，問當點C在x軸的負半軸上移動時，CP的長度是否變化？若變化，請說明理由，若不變化，請求出其長度．【分析】（1）過B作BF⊥x軸于F，先證△CFB≌△AOC（AAS），得FB＝OC＝2，F(xiàn)C＝OA＝5，則OF＝FC﹣OC＝3，即可得出答案；（2）過B作BE⊥BC交x軸于E，先證△BCE≌△CAM（ASA），得CE＝AM，BE＝CM，再證△BDE≌△BDN（SAS），得DE＝DN，進而得出結論；（3）過E作EG⊥x軸于G，先證△GEC≌△OCA（AAS），得GC＝OA＝5，GE＝OC，再證△EPG≌△FPC（AAS），得GP＝CP＝GC＝即可．【解答】（1）解：如圖1，過B作BF⊥x軸于F，則∠BFC＝90°，∵點A（0，5），點C（﹣2，0），∴OA＝5，OC＝2，∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠ABC＝45°，∠FCB+∠OCA＝90°，∵∠COA＝90°，∴∠OAC+∠OCA＝90°，∴∠OAC＝∠FCB，∵∠COA＝∠BFC＝90°，∴△CFB≌△AOC（AAS），∴FB＝OC＝2，F(xiàn)C＝OA＝5，∴OF＝FC﹣OC＝5﹣2＝3，∴點B的坐標為（3，﹣2）；（2）證明：如圖2，過B作BE⊥BC交x軸于E，則∠CBE＝90°＝∠ACM，由（1）得：BC＝CA，∠ECB＝∠MAC，∴△BCE≌△CAM（ASA），∴CE＝AM，BE＝CM，∵BN＝CM，∴BE＝BN，∵∠CBE＝90°，∠ABC＝45°，∴∠DBE＝90°﹣45°＝45°，∴∠DBE＝∠DBN＝45°，又∵BD＝BD，∴△BDE≌△BDN（SAS），∴DE＝DN，∵CD+DE＝CE，∴CD+DN＝CE，∴CD+DN＝AM；（3）解：CP的長度不變化，CP＝，理由如下：如圖3，過E作EG⊥x軸于G，則∠EGC＝90°＝∠COA，∴∠GEC+∠GCE＝90°，∵△ACE是等腰直角三角形，∠ACE＝90°，∴CE＝AC，∠GCE+∠OCA＝90°，∴∠GEC＝∠OCA，∴△GEC≌△OCA（AAS），∴GC＝OA＝5，GE＝OC，∵△OCF是等腰直角三角形，∠OCF＝90°，∴OC＝CF，∠FCP＝90°，∴GE＝CF，∠EGP＝∠FCP，又∵∠EPG＝∠FPC，∴△EPG≌△FPC（AAS），∴GP＝CP＝GC＝．【點評】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、坐標與圖形性質、直角三角形的性質等知識，本題綜合性強，正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵，屬于中考常考題型．【中考熱點聚焦】熱點1.三角形全等的判定1．（2023?衢州）已知：如圖，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上．下面四個條件：①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．（1）請選擇其中的三個條件，使得△ABC≌△DEF（寫出一種情況即可）．（2）在（1）的條件下，求證：△ABC≌△DEF．【分析】（1）根據(jù)兩三角形全等的判定定理，選擇合適的條件即可．（2）根據(jù)（1）中所選條件，進行證明即可．【解答】解：（1）由題知，選擇的三個條件是：①②③；或者選擇的三個條件是：①③④．證明：（2）當選擇①②③時，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）．當選擇①③④時，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．【點評】本題考查全等三角形的證明，熟知全等三角形的判定定理是解題的關鍵．2．（2023?云南）如圖，C是BD的中點，AB＝ED，AC＝EC．求證：△ABC≌△EDC．【分析】求出BC＝DC，根據(jù)全等三角形的判定定理證明即可．【解答】證明：∵C是BD的中點，∴BC＝DC，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SSS）．【點評】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關鍵，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL．熱點2.三角形全等的判定和性質的綜合應用3．（2023?蘇州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為△ABC的角平分線．以點A圓心，AD長為半徑畫弧，與AB，AC分別交于點E，F(xiàn)，連接DE，DF．（1）求證：△ADE≌△ADF；（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度數(shù)．【分析】（1）由角平分線定義得出∠BAD＝∠CAD．由作圖知：AE＝AF．由SAS可證明△ADE≌△ADF；（2）由作圖知：AE＝AD．得出∠AED＝∠ADE，由等腰三角形的性質求出∠ADE＝70°，則可得出答案．【解答】（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠CAD．由作圖知：AE＝AF．在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（SAS）；（2）解：∵∠BAC＝80°，AD為△ABC的角平分線，∴∠EAD＝∠BAC＝40°，由作圖知：AE＝AD．∴∠AED＝∠ADE，∴∠ADE＝×（180°﹣40°）＝70°，∵AB＝AC，AD為△ABC的角平分線，∴AD⊥BC．∴∠BDE＝90°﹣∠ADE＝20°．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的性質，等腰三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．4．（2023?營口）如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，點E，F(xiàn)分別在直線AB的兩側，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．（1）求證：△ACE≌△BDF；（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的長．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理證明△ACE≌△DBF即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質即可得到結論．【解答】（1）證明：在△ACE和△BDF中，，∴△ACE≌△BDF（AAS）；（2）由（1）知△ACE≌△BDF，∴BD＝AC＝2，∵AB＝8，∴CD＝AB﹣AC﹣BD＝4，故CD的長為4．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質；熟練掌握證明三角形全等是解決問題的關鍵．5．（2023?南通）如圖，點D，E分別在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于點O，OB＝OC．求證：∠1＝∠2．小虎同學的證明過程如下：證明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°．∵∠DOB＝∠EOC，∴∠B＝∠C．……第一步又OA＝OA，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO．……第二步∴∠1＝∠2．……第三步（1）小虎同學的證明過程中，第二步出現(xiàn)錯誤；（2）請寫出正確的證明過程．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理判斷；（2）證明△DOB≌△EOC，根據(jù)全等三角形的性質得到OD＝OE，再證明Rt△ADO≌Rt△AEO，得到∠1＝∠2．【解答】（1）解：小虎同學的證明過程中，第二步出現(xiàn)錯誤，故答案為：二；（2）證明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠BDC＝∠CEB＝90°，在△DOB和△EOC中，，∴△DOB≌△EOC（AAS），∴OD＝OE，在Rt△ADO和Rt△AEO中，，∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），∴∠1＝∠2．【點評】本題考查的是全等三角形的判定和性質，掌握三角形全等的判定定理是解題的關鍵．6．（2023?陜西）如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．過點A作AE⊥BC，垂足為E，延長EA至點D．使AD＝AC．在邊AC上截取AF＝AB，連接DF．求證：DF＝CB．【分析】利用三角形內(nèi)角和定理得∠CAB的度數(shù)，再根據(jù)全等三角形的判定與性質可得結論．【解答】證明：在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝110°．∵AE⊥BC．∴∠AEC＝90°．∴∠DAF＝∠AEC+∠C＝110°，∴∠DAF＝∠CAB．在△DAF和△CAB中，，∴△DAF≌△CAB（SAS）．∴DF＝CB．【點評】此題考查的是全等三角形的判定與性質，掌握其性質定理是解決此題的關鍵．7．（2023?長沙）如圖，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E．（1）求證：△ABE≌△ACD；（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的長．【分析】（1）利用“AAS”可證明△ABE≌△ACD；（2）先利用全等三角形的性質得到AD＝AE＝6，再利用勾股定理計算出AC，從而得到AB的長，然后計算AB﹣AD即可．【解答】（1）證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△ACD，∴AD＝AE＝6，在Rt△ACD中，AC＝＝＝10，∵AB＝AC＝10，∴BD＝AB﹣AD＝10