舉一反三系列高考高中數(shù)學(xué)同步及復(fù)習(xí)資料人教A版必修2專題6.11 解三角形（重難點(diǎn)題型精講）（含答案及解析）

專題6.11解三角形（重難點(diǎn)題型精講）1．余弦定理(1)余弦定理及其推論的表示(2)對(duì)余弦定理的理解①余弦定理對(duì)任意的三角形都成立.

②在余弦定理中，每一個(gè)等式都包含四個(gè)量，因此已知其中三個(gè)量，利用方程思想可以求得未知的量.

③余弦定理的推論是余弦定理的第二種形式，適用于已知三角形三邊來(lái)確定三角形的角的問題.用余弦定理的推論還可以根據(jù)角的余弦值的符號(hào)來(lái)判斷三角形中的角是銳角還是鈍角.

④余弦定理的另一種常見變式：+-=2bcA，+-=2acB，+-=2abC.2．正弦定理(1)正弦定理的表示在△ABC中，若角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c，則各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即==.(2)正弦定理的常見變形在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，則a=kA，b=kB，c=kC，由此可得正弦定理的下列變形：①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB；

②======；

③a:b:c=A:B:C；④===2R，（R為△ABC外接圓的半徑）.(3)三角形的邊角關(guān)系

由正弦定理可推導(dǎo)出，在任意三角形中，有“大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊”的邊角關(guān)系.3．解三角形(1)解三角形的概念一般地，三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對(duì)邊a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形.(2)余弦定理在解三角形中的應(yīng)用利用余弦定理可以解決以下兩類解三角形的問題：

①已知兩邊及它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角；

③已知三邊，求三角形的三個(gè)角.(3)正弦定理在解三角形中的應(yīng)用公式==反映了三角形的邊角關(guān)系.

由正弦定理的推導(dǎo)過程知，該公式實(shí)際表示為：=，=，=.上述的每一個(gè)等式都表示了三角形的兩個(gè)角和它們的對(duì)邊的關(guān)系.從方程角度來(lái)看，正弦定理其實(shí)描述的是三組方程，對(duì)于每一個(gè)方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用來(lái)解決兩類解三角形的問題：

①已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角，

③已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角.4．測(cè)量問題(1)測(cè)量距離問題的基本類型和解決方案

當(dāng)AB的長(zhǎng)度不可直接測(cè)量時(shí)，求AB的距離有以下三種類型：(2)測(cè)量高度問題的基本類型和解決方案

當(dāng)AB的高度不可直接測(cè)量時(shí)，求AB的高度有以下三種類型：(3)測(cè)量角度問題測(cè)量角度問題主要涉及光線(入射角、折射角)，海上、空中的追及與攔截，此時(shí)問題涉及方向角、方位角等概念，若是觀察建筑物、山峰等，則會(huì)涉及俯角、仰角等概念.解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意、圖形及有關(guān)概念，確定所求的角在哪個(gè)三角形中，該三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.5．對(duì)三角形解的個(gè)數(shù)的研究已知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時(shí)有唯一解，三角形被唯一確定.

已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角，此時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況，三角形不能被唯一確定.

(1)從代數(shù)的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角”時(shí)三角形解的情況，下面以已知a,b和A，解三角形為例加以說明.

由正弦定理、正弦函數(shù)的有界性及三角形的性質(zhì)可得：

①若B=>1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為0；

②若B==1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為1；

③若B=<1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為1或2.

顯然由0<B=<1可得B有兩個(gè)值，一個(gè)大于，一個(gè)小于，考慮到“大邊對(duì)大角”、“三角形內(nèi)角和等于”等，此時(shí)需進(jìn)行討論.(2)從幾何的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角”時(shí)三角形解的情況，以已知a,b和A，解三角形為例，用幾何法探究如下：6．三角形的面積公式(1)常用的三角形的面積計(jì)算公式①=a=b=c(,,分別為邊a,b,c上的高).

②將=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角的正弦值乘積的一半.(2)三角形的其他面積公式①=r(a+b+c)=rl，其中r,l分別為△ABC的內(nèi)切圓半徑及△ABC的周長(zhǎng).

②=，=，=.【題型1三角形的解的個(gè)數(shù)問題】【方法點(diǎn)撥】方法一：從代數(shù)的角度分析，利用正弦定理進(jìn)行分析；方法二：從幾何的角度分析，結(jié)合幾何圖形進(jìn)行分析求解.【例1】（2022秋·陜西寶雞·高二期中）在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情況為（

）A．一個(gè)解 B．二個(gè)解 C．無(wú)解 D．無(wú)法確定【變式1-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，若b=3，c=322，B=A．無(wú)解 B．兩解C．一解 D．解的個(gè)數(shù)不能確定【變式1-2】（2022秋·黑龍江哈爾濱·高三階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，則下列條件能確定三角形有兩解的是（

）A．a(chǎn)=5,b=4,A=B．a(chǎn)=4,b=5,A=C．a(chǎn)=5,b=4,A=D．a(chǎn)=4,b=5,A=【變式1-3】（2022秋·陜西咸陽(yáng)·高二階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知a=23,b=6,A=πA．無(wú)解 B．一解 C．兩解 D．解的個(gè)數(shù)不確定【題型2利用正弦定理解三角形】【方法點(diǎn)撥】事實(shí)上，所謂解三角形本質(zhì)上就是解基于邊角的內(nèi)蘊(yùn)方程，已知三角形的兩角與一邊解三角形時(shí)，(1)由三角形內(nèi)角和定理A+B+C=，可以計(jì)算出三角形的第三個(gè)角；(2)由正弦定理==，可計(jì)算出三角形的另兩邊.【例2】（2022春·河北唐山·高一階段練習(xí)）在△ABC中，sinA=13，b=3sinA．32 B．33 C．3 【變式2-1】（2022春·廣西貴港·高一期中）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若a=2,b=5,B=45°，則A．25 B．105 C．55【變式2-2】（2022秋·甘肅定西·高二開學(xué)考試）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，則a：b：c=（

）A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：3：1 D．1：3：2【變式2-3】（2022秋·遼寧葫蘆島·高三階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b=2，cosB=13，則△ABCA．324 B．322 C．【題型3利用余弦定理解三角形】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)具體題目，利用余弦定理或其推論，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例3】（2022春·山東聊城·高一期中）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若a:b:c=3:7:2，則B等于（A．π6 B．π4 C．π3【變式3-1】（2022春·浙江麗水·高一階段練習(xí)）在△ABC中，a=7,b=43,c=13A．π3 B．π4 C．π6【變式3-2】（2022秋·陜西西安·高二期中）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若sinA=32，b=3，c=5，則a=A．7 B．19 C．7或19 D．19【變式3-3】（2022秋·河南·高三階段練習(xí)）在△ABC中，A=34π,AB=6,AC=32，點(diǎn)D在BC邊上，且AD=BD，則A．22 B．23 C．10 【題型4三角形的面積問題】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)具體條件，結(jié)合三角形面積公式，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例4】（2022秋·陜西·高三階段練習(xí)）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a=217,b=52,cosA．362 B．183 C．27【變式4-1】（2022秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三階段練習(xí)）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若asinB=bsinC，則A．a(chǎn)2sin2CC．c2sin2B【變式4-2】（2022秋·甘肅武威·高三階段練習(xí)）已知△ABC中，a?b?c分別是角A?B?C所對(duì)的邊，已知bc=b2?2c2，若a=3，A．154 B．374 C．9【變式4-3】（2023秋·江蘇蘇州·高三階段練習(xí)）已知△ABC中，sinA=3sinCcosB，且AB=2，則△ABC的面積的最大值為（

）A．3 B．33 C．9 D．【題型5正、余弦定理在幾何圖形中的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】正、余弦定理本身是研究幾何圖形計(jì)算的工具，因此在面對(duì)幾何圖形時(shí)，關(guān)鍵是尋找相應(yīng)的三角形，并在三角形中運(yùn)用正、余弦定理，特別是涉及公共邊時(shí)，要利用公共邊來(lái)進(jìn)行過渡，即利用公共邊創(chuàng)造的互補(bǔ)或互余關(guān)系列式，其本質(zhì)是構(gòu)建關(guān)于角的關(guān)系的方程.【例5】（2023秋·北京東城·高三期末）如圖，在銳角△ABC中，B=π4，AB=36，AC=6，點(diǎn)D在BC(1)求∠ACB；(2)求△ACD的周長(zhǎng).【變式5-1】（2022秋·陜西渭南·高二期末）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知a=3，b=2，cosA=(1)求c的值；(2)求sinC的值及△ABC【變式5-2】（2022秋·廣東揭陽(yáng)·高二期末）在△ABC中，a，b，c分別為角A、B、C的對(duì)邊，ca(1)求A；(2)若角A的平分線AD交BC于D，且BD=2DC，AD=23，求a【變式5-3】在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知sinA?(1)求角B的值；(2)若a=2，求△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍．【題型6解三角形的實(shí)際應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】正、余弦定理在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，本質(zhì)上還是正、余弦定理在解決幾何圖形(主要是三角形與四邊形)問題中的應(yīng)用，因此利用幾何圖形本身及實(shí)際問題中涉及的術(shù)語(yǔ)(如方位角等)構(gòu)建恰當(dāng)?shù)娜切危谌切沃羞\(yùn)用正弦定理或余弦定理即可.【例6】（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·高一期末）某景區(qū)的平面示意圖為如圖的五邊形ABCDE，其中BD，BE為景區(qū)內(nèi)的乘車觀光游覽路線，ED，DC，CB，BA，AE是步行觀光旅游路線（所有路線均不考慮寬度），經(jīng)測(cè)量得：∠BCD＝135°，∠BAE＝120°，∠CBD＝30°，CD=32，DE＝8，且cos(1)求BE的長(zhǎng)度；(2)景區(qū)擬規(guī)劃△ABE區(qū)域種植花卉，應(yīng)該如何設(shè)計(jì)，才能使種植區(qū)域△ABE面積最大，并求此最大值．【變式6-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）江西浮梁地大物博，山清水秀；據(jù)悉，某建筑公司在浮梁投資建設(shè)玻璃棧道?摩天輪等項(xiàng)目開發(fā)旅游產(chǎn)業(yè)，考察后覺得當(dāng)?shù)貎勺街g適合建造玻璃棧道，現(xiàn)需要測(cè)量?jī)缮巾擬，N之間的距離供日后施工需要，特請(qǐng)昌飛公司派直升機(jī)輔助測(cè)量，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)（如示意圖）.飛機(jī)測(cè)量的數(shù)據(jù)有在A處觀察山頂M，N的俯角為：α1=60°,β1=30°，在B處觀察山頂M，N的俯角為；α2=45°,β2=75°，飛機(jī)飛行的距離（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414,【變式6-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C和D．現(xiàn)測(cè)得∠BCD=45°,∠BDC=60°,CD=100米，在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為60°，(1)求△BCD的面積；(2)求塔高AB．【變式6-3】（2022春·河北保定·高一階段練習(xí)）西昌市邛瀘旅游風(fēng)景區(qū)在邛海舉行搜救演練，如圖，A、B是邛海水面上位于東西方向相距3+3公里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東60°、B點(diǎn)西北方向的D點(diǎn)有一艘漁船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西75°且與B點(diǎn)相距36公里的(1)觀測(cè)點(diǎn)B與D點(diǎn)處的漁船間的距離；(2)C點(diǎn)的救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？專題6.11解三角形（重難點(diǎn)題型精講）1．余弦定理(1)余弦定理及其推論的表示(2)對(duì)余弦定理的理解①余弦定理對(duì)任意的三角形都成立.

②在余弦定理中，每一個(gè)等式都包含四個(gè)量，因此已知其中三個(gè)量，利用方程思想可以求得未知的量.

③余弦定理的推論是余弦定理的第二種形式，適用于已知三角形三邊來(lái)確定三角形的角的問題.用余弦定理的推論還可以根據(jù)角的余弦值的符號(hào)來(lái)判斷三角形中的角是銳角還是鈍角.

④余弦定理的另一種常見變式：+-=2bcA，+-=2acB，+-=2abC.2．正弦定理(1)正弦定理的表示在△ABC中，若角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c，則各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即==.(2)正弦定理的常見變形在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，則a=kA，b=kB，c=kC，由此可得正弦定理的下列變形：①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB；

②======；

③a:b:c=A:B:C；④===2R，（R為△ABC外接圓的半徑）.(3)三角形的邊角關(guān)系

由正弦定理可推導(dǎo)出，在任意三角形中，有“大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊”的邊角關(guān)系.3．解三角形(1)解三角形的概念一般地，三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對(duì)邊a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形.(2)余弦定理在解三角形中的應(yīng)用利用余弦定理可以解決以下兩類解三角形的問題：

①已知兩邊及它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角；

③已知三邊，求三角形的三個(gè)角.(3)正弦定理在解三角形中的應(yīng)用公式==反映了三角形的邊角關(guān)系.

由正弦定理的推導(dǎo)過程知，該公式實(shí)際表示為：=，=，=.上述的每一個(gè)等式都表示了三角形的兩個(gè)角和它們的對(duì)邊的關(guān)系.從方程角度來(lái)看，正弦定理其實(shí)描述的是三組方程，對(duì)于每一個(gè)方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用來(lái)解決兩類解三角形的問題：

①已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角，

③已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角.4．測(cè)量問題(1)測(cè)量距離問題的基本類型和解決方案

當(dāng)AB的長(zhǎng)度不可直接測(cè)量時(shí)，求AB的距離有以下三種類型：(2)測(cè)量高度問題的基本類型和解決方案

當(dāng)AB的高度不可直接測(cè)量時(shí)，求AB的高度有以下三種類型：(3)測(cè)量角度問題測(cè)量角度問題主要涉及光線(入射角、折射角)，海上、空中的追及與攔截，此時(shí)問題涉及方向角、方位角等概念，若是觀察建筑物、山峰等，則會(huì)涉及俯角、仰角等概念.解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意、圖形及有關(guān)概念，確定所求的角在哪個(gè)三角形中，該三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.5．對(duì)三角形解的個(gè)數(shù)的研究已知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時(shí)有唯一解，三角形被唯一確定.

已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角，此時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況，三角形不能被唯一確定.

(1)從代數(shù)的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角”時(shí)三角形解的情況，下面以已知a,b和A，解三角形為例加以說明.

由正弦定理、正弦函數(shù)的有界性及三角形的性質(zhì)可得：

①若B=>1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為0；

②若B==1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為1；

③若B=<1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為1或2.

顯然由0<B=<1可得B有兩個(gè)值，一個(gè)大于，一個(gè)小于，考慮到“大邊對(duì)大角”、“三角形內(nèi)角和等于”等，此時(shí)需進(jìn)行討論.(2)從幾何的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角”時(shí)三角形解的情況，以已知a,b和A，解三角形為例，用幾何法探究如下：6．三角形的面積公式(1)常用的三角形的面積計(jì)算公式①=a=b=c(,,分別為邊a,b,c上的高).

②將=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角的正弦值乘積的一半.(2)三角形的其他面積公式①=r(a+b+c)=rl，其中r,l分別為△ABC的內(nèi)切圓半徑及△ABC的周長(zhǎng).

②=，=，=.【題型1三角形的解的個(gè)數(shù)問題】【方法點(diǎn)撥】方法一：從代數(shù)的角度分析，利用正弦定理進(jìn)行分析；方法二：從幾何的角度分析，結(jié)合幾何圖形進(jìn)行分析求解.【例1】（2022秋·陜西寶雞·高二期中）在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情況為（

）A．一個(gè)解 B．二個(gè)解 C．無(wú)解 D．無(wú)法確定【解題思路】根據(jù)bsin【解答過程】因?yàn)閎sin所以122<18<24，即故選：B.【變式1-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，若b=3，c=322，B=A．無(wú)解 B．兩解C．一解 D．解的個(gè)數(shù)不能確定【解題思路】根據(jù)正弦定理求出sinC【解答過程】由正弦定理，得bsin得sinC=因?yàn)閏<b，則C<B，故C為銳角，故滿足條件的△ABC只有一個(gè).故選：C.【變式1-2】（2022秋·黑龍江哈爾濱·高三階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，則下列條件能確定三角形有兩解的是（

）A．a(chǎn)=5,b=4,A=B．a(chǎn)=4,b=5,A=C．a(chǎn)=5,b=4,A=D．a(chǎn)=4,b=5,A=【解題思路】結(jié)合已知條件和正弦定理即可求解.【解答過程】對(duì)于A：由正弦定理可知，a∵a>b，∴B<A=π6，故三角形對(duì)于B：由正弦定理可知，asin∵b>a，∴B>A=π4，故三角形對(duì)于C：由正弦定理可知，a∵A為鈍角，∴B一定為銳角，故三角形△ABC有一解；對(duì)于D：由正弦定理可知，asinA=故選：B.【變式1-3】（2022秋·陜西咸陽(yáng)·高二階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知a=23,b=6,A=πA．無(wú)解 B．一解 C．兩解 D．解的個(gè)數(shù)不確定【解題思路】利用正弦定理結(jié)合已知條件分析判斷即可.【解答過程】由正弦定理asinA=bsin因?yàn)閍<b，所以A<B.又因?yàn)锽∈(0,π)，所以B=π3或故此三角形有兩解，故選：C.【題型2利用正弦定理解三角形】【方法點(diǎn)撥】事實(shí)上，所謂解三角形本質(zhì)上就是解基于邊角的內(nèi)蘊(yùn)方程，已知三角形的兩角與一邊解三角形時(shí)，(1)由三角形內(nèi)角和定理A+B+C=，可以計(jì)算出三角形的第三個(gè)角；(2)由正弦定理==，可計(jì)算出三角形的另兩邊.【例2】（2022春·河北唐山·高一階段練習(xí)）在△ABC中，sinA=13，b=3sinA．32 B．33 C．3 【解題思路】利用正弦定理即可求解.【解答過程】由asin得a=b故選：B.【變式2-1】（2022春·廣西貴港·高一期中）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若a=2,b=5,B=45°，則A．25 B．105 C．55【解題思路】根據(jù)正弦定理可求出結(jié)果.【解答過程】由正弦定理asin得sinA=故選：B.【變式2-2】（2022秋·甘肅定西·高二開學(xué)考試）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，則a：b：c=（

）A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：3：1 D．1：3：2【解題思路】根據(jù)題意利用正弦定理進(jìn)行邊化角，結(jié)合三角形的內(nèi)角和為π運(yùn)算求解.【解答過程】∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，且∠A+∠B+∠C=π∴∠A=π6，∠B=π3，故a:b:c=故選：D.【變式2-3】（2022秋·遼寧葫蘆島·高三階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b=2，cosB=13，則△ABCA．324 B．322 C．【解題思路】利用三角函數(shù)基本關(guān)系式求出sinB=【解答過程】因?yàn)閏osB=13，0<B<因?yàn)閎=2，所以bsinB=32故選：A.【題型3利用余弦定理解三角形】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)具體題目，利用余弦定理或其推論，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例3】（2022春·山東聊城·高一期中）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若a:b:c=3:7:2，則B等于（A．π6 B．π4 C．π3【解題思路】由a:b:c=3:7:2，設(shè)【解答過程】解：在△ABC中，a:b:c=3:7設(shè)a=3t,b=7由余弦定理得cosB=因?yàn)锽∈0,π所以B=π故選：B.【變式3-1】（2022春·浙江麗水·高一階段練習(xí)）在△ABC中，a=7,b=43,c=13A．π3 B．π4 C．π6【解題思路】由已知，根據(jù)條件給出的三邊確定△ABC的最小角為C，直接利用余弦定理計(jì)算cosC【解答過程】由已知，在△ABC中，a=7,b=43因?yàn)閍>b>c，所以△ABC的最小角為C，所以cosC=又因?yàn)镃∈0,所以C=π故選：C.【變式3-2】（2022秋·陜西西安·高二期中）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若sinA=32，b=3，c=5，則a=A．7 B．19 C．7或19 D．19【解題思路】根據(jù)正弦值，分別在A=π3和【解答過程】∵A∈0,π，sinA=32當(dāng)A=π3時(shí)，a2當(dāng)A=2π3時(shí)，a2綜上所述：a=7或19.故選：C.【變式3-3】（2022秋·河南·高三階段練習(xí)）在△ABC中，A=34π,AB=6,AC=32，點(diǎn)D在BC邊上，且AD=BD，則A．22 B．23 C．10 【解題思路】先利用余弦定理求出BC，設(shè)∠ADB=θ，AD=x，在△ABD,△ACD分別利用余弦定理列方程，解方程組可求出x，從而可求得結(jié)果.【解答過程】由余弦定理知BC所以BC=310在△ABD中，設(shè)∠ADB=θ，則∠ADC=180設(shè)AD=x，則BD=x,DC=310由余弦定理AB即36=2x2AC即18=x2由①②解得x=10，即AD=故選：C.【題型4三角形的面積問題】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)具體條件，結(jié)合三角形面積公式，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例4】（2022秋·陜西·高三階段練習(xí)）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a=217,b=52,cosA．362 B．183 C．27【解題思路】根據(jù)余弦定理求出c，再根據(jù)cos2A+sin【解答過程】由余弦定理得：a即4×17=50+c2?2×52?所以c=92，又因?yàn)閏os2所以△ABC的面積為1故選：C.【變式4-1】（2022秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三階段練習(xí)）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若asinB=bsinC，則A．a(chǎn)2sin2CC．c2sin2B【解題思路】根據(jù)題意和正弦定理可得sinA=sinC，進(jìn)而a=c,A=C【解答過程】asin得sinAsinB=sinB所以sinA=sinC所以sinB=所以△ABC的面積為S=1故選：A.【變式4-2】（2022秋·甘肅武威·高三階段練習(xí)）已知△ABC中，a?b?c分別是角A?B?C所對(duì)的邊，已知bc=b2?2c2，若a=3，A．154 B．374 C．9【解題思路】根據(jù)條件求出b=2c，結(jié)合余弦定理求出b，c的值，然后利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可.【解答過程】∵bc=b2?2c2∵b?c均為三角形的邊，b+c≠0，∴b?2c=0，即b=2c，∵a=3，cos∴由余弦定理：a2=b2+c再將b=2c代入?式可得：c2得c=62，又由cosA=34所以，三角形ABC的面積是：S=1故選：D.【變式4-3】（2023秋·江蘇蘇州·高三階段練習(xí)）已知△ABC中，sinA=3sinCcosB，且AB=2，則△ABC的面積的最大值為（

）A．3 B．33 C．9 D．【解題思路】法一：根據(jù)正弦定理，將角化邊，從而利用三角形面積公式，半角公式及三角函數(shù)有界性求出面積的最大值；法二：根據(jù)正弦定理，將邊化角，得到tanB=2tanC，畫出圖形，作出輔助線，設(shè)AD=?,BD=x【解答過程】法一：由正弦定理得：a=3S△ABC法二：由正弦定理得：sinB所以sin故tanB=2tanC，如圖所示：過點(diǎn)A作AD⊥BC設(shè)AD=?,BD=x，則CD=2x，由勾股定理得：x2所以S△ABC當(dāng)且僅當(dāng)x=故選：A.【題型5正、余弦定理在幾何圖形中的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】正、余弦定理本身是研究幾何圖形計(jì)算的工具，因此在面對(duì)幾何圖形時(shí)，關(guān)鍵是尋找相應(yīng)的三角形，并在三角形中運(yùn)用正、余弦定理，特別是涉及公共邊時(shí)，要利用公共邊來(lái)進(jìn)行過渡，即利用公共邊創(chuàng)造的互補(bǔ)或互余關(guān)系列式，其本質(zhì)是構(gòu)建關(guān)于角的關(guān)系的方程.【例5】（2023秋·北京東城·高三期末）如圖，在銳角△ABC中，B=π4，AB=36，AC=6，點(diǎn)D在BC(1)求∠ACB；(2)求△ACD的周長(zhǎng).【解題思路】（1）在△ABC中，利用正弦定理即可求解；（2）由（1）可求得∠ACD=2π3，在△ACD中，利用余弦定理可求CD，從而可求【解答過程】（1）在△ABC中，B=π4，AB=36由正弦定理可得ABsin∠ACB=因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，所以∠ACB=π（2）由（1）得∠ACB=π3，所以在△ACD中，AC=6，CD=10，∠ACD=2π所以AD=A所以△ACD的周長(zhǎng)為6+10+14=30.【變式5-1】（2022秋·陜西渭南·高二期末）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知a=3，b=2，cosA=(1)求c的值；(2)求sinC的值及△ABC【解題思路】(1)直接利用余弦定理計(jì)算即可；(2)由題意可知sinA=32，利用正弦定理求sin【解答過程】（1）∵a=3，b=2，cosA=∴由余弦定理，得a2解得c=6（2）在△ABC中，∵cosA=12,0<A<∵asin∴sinC=∴S△ABC【變式5-2】（2022秋·廣東揭陽(yáng)·高二期末）在△ABC中，a，b，c分別為角A、B、C的對(duì)邊，ca(1)求A；(2)若角A的平分線AD交BC于D，且BD=2DC，AD=23，求a【解題思路】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊角互換得到sinCsinAcosB+sinB（2）根據(jù)角平分線定理得到c=2b，然后利用等面積的思路得到bc=2b+c，解方程即可得到b=3，c=6，最后利用余弦定理求a【解答過程】（1）因?yàn)閏a所以sinC即sin2即c2+b因?yàn)锳∈0,π，所以A=（2）因?yàn)榻茿?的平分線AD?交BC?于D?，且BD=2DC，由角平分線定理得：c=2b，又S△ABC即12所以AD=3bcb+c=23，即bc=2由余弦定理得，a2=c【變式5-3】在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知sinA?(1)求角B的值；(2)若a=2，求△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍．【解題思路】（1）根據(jù)正弦定理得到a2+c（2）根據(jù)正弦定理得到b=1sinA,c=3sinA+cosA【解答過程】（1）sinA?sinB即a2由余弦定理得：cosB=因?yàn)锽∈0,所以B=π（2）銳角△ABC中，a=2，B=π由正弦定理得：2sin故b=1則b+c==3因?yàn)殇J角△ABC中，B=π則A∈0,π2解得：A∈π故tanA∈3,+則1tan故b+c∈1+3,2所以三角形周長(zhǎng)的取值范圍是3+3【題型6解三角形的實(shí)際應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】正、余弦定理在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，本質(zhì)上還是正、余弦定理在解決幾何圖形(主要是三角形與四邊形)問題中的應(yīng)用，因此利用幾何圖形本身及實(shí)際問題中涉及的術(shù)語(yǔ)(如方位角等)構(gòu)建恰當(dāng)?shù)娜切?，在三角形中運(yùn)用正弦定理或余弦定理即可.【例6】（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·高一期末）某景區(qū)的平面示意圖為如圖的五邊形ABCDE，其中BD，BE為景區(qū)內(nèi)的乘車觀光游覽路線，ED，DC，CB，BA，AE是步行觀光旅游路線（所有路線均不考慮寬度），經(jīng)測(cè)量得：∠BCD＝135°，∠BAE＝120°，∠CBD＝30°，CD=32，DE＝8，且cos(1)求BE的長(zhǎng)度；(2)景區(qū)擬規(guī)劃△ABE區(qū)域種植花卉，應(yīng)該如何設(shè)計(jì)，才能使種植區(qū)域△ABE面積最大，并求此最大值．【解題思路】（1）在△BCD中，根據(jù)正弦定理，可得BD的長(zhǎng)，在△BDE中，根據(jù)余弦定理，即可得