新教材人教B版高中數學選擇性必修第一冊第二章第三節(jié)圓及其方程-課時練習題含答案解析

2.3圓及其方程文檔中含有大量可修改的數學公式，在網頁中顯示可能會出現位置錯誤等情況，下載后均可正常顯示、編輯。TOC\o"1-4"\h\z\u2.3.1圓的標準方程 12.3.2圓的一般方程 72.3.3直線與圓的位置關系 142.3.4圓與圓的位置關系 222.3.1圓的標準方程1.圓心為(-3,4),半徑是2的圓的標準方程為()A.(x+3)2+(y-4)2=4B.(x-3)2+(y+4)2=4C.(x+3)2+(y-4)2=2D.(x-3)2+(y+4)2=2答案A2.方程y=9-x2表示的曲線是A.一條射線 B.一個圓C.兩條射線 D.半個圓答案D3.如圖,圓C的部分圓弧在如圖所示的網格紙上(小正方形的邊長為1),圖中直線與圓弧相切于一個小正方形的頂點,若圓C經過點A(2,15),則圓C的半徑為()A.72 B.8 C.82 D.10答案A解析∵圓C經過點(2,1)和點(2,15),故圓心在直線y=8上.又過點(2,1)的圓的切線為y-1=-(x-2),故圓心在直線y-1=x-2上,即圓心在直線x-y-1=0上.由y=8,故圓的半徑為(9-2)4.已知一圓的圓心為點A(2,-3),一條直徑的端點分別在x軸和y軸上,則圓的標準方程為()A.(x+2)2+(y-3)2=13B.(x-2)2+(y+3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=52答案B解析如圖,結合圓的性質可知,原點在圓上,圓的半徑為r=(2故所求圓的標準方程為(x-2)2+(y+3)2=13.5.已知直線l過圓x2+(y-3)2=4的圓心,且與直線x+y+1=0垂直,則l的方程為()A.x+y-2=0 B.x-y+2=0C.x+y-3=0 D.x-y+3=0答案D解析圓x2+(y-3)2=4的圓心坐標為(0,3).因為直線l與直線x+y+1=0垂直,所以直線l的斜率k=1.由點斜式得直線l的方程是y-3=x-0,化簡得x-y+3=0.6.將圓x2+y2=2沿x軸正方向平移2個單位后得到圓C,則圓C的標準方程為.

答案(x-2)2+y2=27.當a為任意實數時,直線(a-1)x-y+a+1=0恒過定點C,則以點C為圓心,5為半徑的圓的標準方程是.

答案(x+1)2+(y-2)2=5解析將直線方程整理為(x+1)a-(x+y-1)=0,可知直線恒過點(-1,2),從而所求圓的標準方程為(x+1)2+(y-2)2=5.8.若圓的方程為x+k22+(y+1)2=1-34k2,則當圓的面積最大時,圓心坐標和半徑分別為答案(0,-1)1解析∵圓的方程為x+k22+(y+1)2=1-∴r2=1-34k2>0,rmax=1,此時k=0∴圓心為(0,-1).9.求以A(2,2),B(5,3),C(3,-1)為頂點的三角形的外接圓的標準方程.解設所求圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,則有(2-即△ABC的外接圓的標準方程為(x-4)2+(y-1)2=5.10.已知點A(-1,2)和B(3,4).求:(1)線段AB的垂直平分線l的方程;(2)以線段AB為直徑的圓的標準方程.解由題意得線段AB的中點C的坐標為(1,3).(1)∵A(-1,2),B(3,4),∴直線AB的斜率kAB=4-∵直線l垂直于直線AB,∴直線l的斜率kl=-1kAB∴直線l的方程為y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0.(2)∵A(-1,2),B(3,4),∴|AB|=(3+1)2+∴以線段AB為直徑的圓的半徑R=12|AB|=5.又圓心為C∴所求圓的標準方程為(x-1)2+(y-3)2=5.11.方程(x-1)x2+y2-3A.一個圓 B.兩個點C.一個點和一個圓 D.一條直線和一個圓答案D解析(x-1)x2+y2-3=0可化為x-1=0或x2+y2=3,∴方程(x-12.已知直線(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0恒過定點P,則與圓C:(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圓心且過點P的圓的標準方程為()A.(x-2)2+(y+3)2=36B.(x-2)2+(y+3)2=25C.(x-2)2+(y+3)2=18D.(x-2)2+(y+3)2=9答案B解析由(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0,得(2x+3y-1)λ+(3x-2y+5)=0,則2x+3y-1=0,3x∵圓C:(x-2)2+(y+3)2=16的圓心坐標是(2,-3),∴|PC|=(-1-∴所求圓的標準方程為(x-2)2+(y+3)2=25,故選B.13.數學家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上,且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半,這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.在平面直角坐標系中作△ABC,在△ABC中,AB=AC=4,點B(-1,3),點C(4,-2),且其“歐拉線”與圓(x-3)2+y2=r2相切,則該圓的半徑r為()A.1 B.2 C.2 D.22答案B解析在△ABC中,AB=AC=4,點B(-1,3),點C(4,-2),可得BC邊上的高線、垂直平分線和中線三線合一,則其“歐拉線”為△ABC邊BC的垂直平分線,可得BC的中點為32,12,直線BC則BC的垂直平分線的斜率為1,所以BC的垂直平分線方程為y-12=x-32,即為x-y-1=0,其“歐拉線”與圓(x-3)2+y2=r2相切,所以圓心(3,0)到“歐拉線”的距離為d=|3-014.已知點A(-a,0),B(a,0)(a>0),點C在圓(x-2)2+(y-2)2=2上,且滿足∠ACB=90°,則a的最小值是.

答案2解析設C(2+2cosα,2+2sinα),∴AC=(2+2cosα+a,2+2sinα),BC=(2+2cosα-a,2+2sinα),∵∠ACB=90°,∴AC·BC=(2+2cosα)2-a2+(2+2sinα)2=0,∴a2=10+42(sinα+cosα)=10+8sinα+π4∈[2,18].∵a>0,∴a∈[2,32],∴a的最小值是215.已知圓C與圓(x-1)2+y2=1關于直線y=-x對稱,則圓C的標準方程為.

答案x2+(y+1)2=1解析由已知圓(x-1)2+y2=1,設其圓心為C1,則圓C1的圓心坐標為(1,0),半徑長r1=1.設圓心C1(1,0)關于直線y=-x對稱的點的坐標為(a,b),即圓心C的坐標為(a,b),則b解得a所以圓C的標準方程為x2+(y+1)2=1.16.已知三點A(3,2),B(5,-3),C(-1,3),以點P(2,-1)為圓心作一個圓,使A,B,C三點中一點在圓外,一點在圓上,一點在圓內,求這個圓的標準方程.解要使A,B,C三點中一點在圓外,一點在圓上,一點在圓內,則圓的半徑是|PA|,|PB|,|PC|的中間值.因為|PA|=10,|PB|=13,|PC|=5,所以|PA|<|PB|<|PC|,所以圓的半徑r=|PB|=13.故所求圓的標準方程為(x-2)2+(y+1)2=13.17.已知圓C與y軸相切,圓心在直線x-2y=0上,且圓C被直線y=x截得的弦長為214,求圓C的方程.解設圓心C(2y0,y0),半徑r=|2y0|,圓心到直線x-y=0的距離為|2由半徑、弦心距、半弦長的關系得4y02=14+∴y0=±2.當y0=2時,圓心C(4,2),半徑r=4,此時圓C為(x-4)2+(y-2)2=16,當y0=-2時,圓心C(-4,-2),半徑r=4,此時圓C為(x+4)2+(y+2)2=16.18.阿波羅尼斯是古希臘著名數學家,與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠,他對圓錐曲線有深刻而系統的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書,阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一,指的是:已知動點M與兩定點A,B的距離之比為λ(λ>0,λ≠1),那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.下面,我們來研究與此相關的一個問題.已知圓:x2+y2=1和點A-12,0,點B(1,1),M為圓O上動點,則2|MA|+|MB|答案10解析如圖,取點K(-2,0),連接OM,MK.∵|OM|=1,|OA|=12,|OK|=∴|OK||又∵∠MOK=∠AOM,∴△MOK∽△AOM,∴|MK|∴|MK|=2|MA|,∴|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|,|MB|+|MK|≥|BK|,∴|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|的最小值為|BK|,∵B(1,1),K(-2,0),∴|BK|=(-219.已知圓C的圓心在直線x-3y=0上,且與y軸相切于點(0,1).(1)求圓C的方程;(2)若圓C與直線l:x-y+m=0交于A,B兩點,分別連接圓心C與A,B兩點,若CA⊥CB,求m的值.解(1)設圓心坐標為C(a,b),則a=3b,∵圓與y軸相切于點(0,1),則b=1,r=|a-0|,∴圓C的圓心坐標為(3,1),半徑r=3.故圓的方程為(x-3)2+(y-1)2=9.(2)∵CA⊥CB,|CA|=|CB|=r,∴△ABC為等腰直角三角形,∵|CA|=|CB|=r=3,∴圓心C到直線l的距離d=32則d=|3-1+m|2=32.3.2圓的一般方程1.若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圓,則實數a的取值范圍是()A.R B.(-∞,0)∪(0,+∞)C.(0,+∞) D.(1,+∞)答案B解析當a≠0時,方程為x-2a-2a2+y+2a2=4(a2-2a+2)a2當a=0時,易知方程為x+y=0,表示直線.綜上可知,實數a的取值范圍是(-∞,0)∪(0,+∞).2.圓x2+y2-2x+4y+3=0的圓心到直線x-y=1的距離為()A.2 B.22 C.1 D.答案D解析因為圓心坐標為(1,-2),所以圓心到直線x-y=1的距離為d=|1+23.方程x2+y2+2ax+2by+a2+b2=0表示()A.以(a,b)為圓心的圓B.以(-a,-b)為圓心的圓C.點(a,b)D.點(-a,-b)答案D解析原方程可化為(x+a)2+(y+b)2=0,∴x+a=0,y+b=04.方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的圖形是半徑為r(r>0)的圓,則該圓的圓心在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案D解析因為方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的圖形是圓,又方程可化為x+a22+(y-a)2=-34a2-3a,故圓心坐標為-a2,a,r又r2>0,即-34a2-3a>0,解得-4<a<故該圓的圓心在第四象限.5.已知圓C:x2+y2+4x=0的圓心和圓上兩點A,B間的連線構成等邊三角形,則AB中點M的軌跡方程是()A.(x+2)2+(y+1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=3C.(x+1)2+y2=2D.(x+2)2+y2=3答案D解析圓C:x2+y2+4x=0?(x+2)2+y2=4,所以圓心C(-2,0),半徑r=2,因為△ABC為等邊三角形,且AC=BC=2,所以AB=2,MC=3,所以點M的軌跡是以(-2,0)為圓心,半徑為3的圓.所以AB中點M的軌跡方程是(x+2)2+y2=3.6.已知圓C過定點(7,2),且和圓C':x2+(y-3)2=2相切于點(1,2),則圓C的一般方程是.

答案x2+y2-8x+2y-1=0解析設定點(7,2)為點A,切點(1,2)為點B,圓C'的圓心C'坐標為(0,3),則直線BC'的方程為x+y-3=0,設圓C的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則C點坐標為-D則-D2所以圓C的一般方程是x2+y2-8x+2y-1=0.7.已知直線與圓x2+y2+2x-4y+a=0(a<5)相交于A,B兩點,且弦AB的中點Q的坐標為(0,1),則直線AB的方程為.

答案x-y+1=0解析易知圓心P的坐標為(-1,2).∵AB的中點Q的坐標為(0,1),∴直線PQ的斜率kPQ=2-1∴直線AB的斜率k=1,故直線AB的方程為y-1=1×(x-0),即x-y+1=0.8.若圓x2+y2+2x-4y-4=0的圓心C到直線l的距離為2,且l與直線3x+4y-1=0平行,則直線l的方程為.

答案3x+4y+5=0或3x+4y-15=0解析由題得圓心為(-1,2).設所求的直線方程為3x+4y+D=0,由點到直線的距離公式,得|3×(-1)+4×2+D|32+42=2,即|5+D|5=2,解得D=5或-9.求圓心在直線2x-y-3=0上,且過點A(5,2)和點B(3,-2)的圓的一般方程.解∵圓心在直線2x-y-3=0上,∴可設圓心坐標為(a,2a-3),半徑為r(r>0),則圓的方程為(x-a)2+(y-2a+3)2=r2.把點A(5,2)和點B(3,-2)的坐標代入方程,得(5-a)2+(2-2a+3)2=r2,①(3-a)2+(-2-2a+3)2=r2,②由①②可得a=2,r2=10.故所求圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=10,即x2+y2-4x-2y=5.10.已知圓C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圓心在直線x+y-1=0上,且圓心在第二象限,半徑長為2,求圓的一般方程.解圓心C的坐標為-D因為圓心在直線x+y-1=0上,所以-D2-E2-1=0,即D+E=-又r=D2+E2-122=2,所以由①②可得D又圓心在第二象限,所以-D2<0,即D>0,所以所以圓的一般方程為x2+y2+2x-4y+3=0.11.若a∈-2,0,1,23,則方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圓的個數為()A.0 B.1 C.2 D.3答案B解析根據題意,若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圓,則有a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,解得-2<a<23,又由a∈-2,0,1,23,則a=0.所以方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圓的個數為1.12.(多選)已知圓M的一般方程為x2+y2-8x+6y=0,則下列說法中正確的是()A.圓M的圓心為(4,-3)B.圓M被x軸截得的弦長為8C.圓M的半徑為25D.圓M被y軸截得的弦長為6答案ABD解析圓M的一般方程為x2+y2-8x+6y=0,則(x-4)2+(y+3)2=25.圓的圓心坐標為(4,-3),半徑為5.顯然選項C不正確,A,B,D均正確.13.已知直線l:ax+by-3=0經過點(a,b-2),則原點到點P(a,b)的距離可以是()A.4 B.2 C.22 D.答案B解析把點(a,b-2)代入直線方程得a2+b(b-2)-3=0,即a2+(b-1)2=4,即點P(a,b)在圓x2+(y-1)2=4上,∵02+(0-1)2<4,∴原點在圓x2+(y-1)2=4內,如圖所示,圓x2+(y-1)2=4的圓心為C(0,1),半徑為r=2,原點到點P的距離為|OP|,由三角不等式可得||PC|-|OC||≤|OP|≤|PC|+|OC|,即1≤|OP|≤3,∴B選項合乎要求.14.當點P在圓x2+y2=1上變動時,它與定點Q(3,0)的連線PQ的中點的軌跡方程是()A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1 D.(2x+3)2+4y2=1答案C解析設P(x1,y1),PQ的中點M的坐標為(x,y),∵Q(3,0),∴x=x1+32,y=y1+02,又點P在圓x2+y2=1上,∴(2x-3)2+(2y)2=1,故選C.15.已知圓x2+y2+4x-6y+a=0關于直線y=x+b成軸對稱圖形,則a-b的取值范圍是.

答案(-∞,8)解析由題意知,直線y=x+b過圓心,而圓心坐標為(-2,3),代入直線方程,得b=5,所以圓的方程化為標準方程為(x+2)2+(y-3)2=13-a,所以a<13,由此得a-b<8.16.已知直線3x+4y-10=0與圓x2+y2-5y+F=0相交于A,B兩點,且OA⊥OB(O是原點),則F=.

答案0解析易得圓x2+y2-5y+F=0的圓心坐標為0,52,它在直線3x+4y-10=0上,再由OA⊥OB,可知圓x2+y2-5y+F=0過原點O,將O(0,0)代入圓的方程可求得17.設△ABC頂點坐標A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),其中a>0,圓M為△ABC(1)求圓M的方程;(2)當a變化時,圓M是否過某一定點,請說明理由.解(1)設圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.因為圓M過點A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),所以a2+aE+F=0,3a所以圓M的方程為x2+y2+(3-a)y-3a=0.(2)圓M過定點(0,-3).理由如下,圓M的方程可化為(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由3+y=0,x2+y2+3y=0,解得18.已知圓C的方程可以表示為x2+y2-2x-4y+m=0,其中m∈R.(1)若m=1,求圓C被直線x+y-1=0截得的弦長;(2)若圓C與直線l:x+2y-4=0相交于M,N兩點,且OM⊥ON(O為坐標原點),求m的值.解(1)m=1,配方得(x-1)2+(y-2)2=4,圓心到直線的距離為|1+2所以圓C被直線x+y-1=0截得的弦長為24-2=2(2)設M(x1,y1),N(x2,y2),直線代入圓的方程得5x2-8x+4(m-4)=0,所以x1+x2=85,x1x2=4因為OM⊥ON,所以x1x2+y1y2=0,所以54×4(m-4)5-85+19.已知圓C:x2+y2+2x+Ey+F=0,有以下命題:①E=-4,F=4是曲線C表示圓的充分非必要條件;②若曲線C與x軸交于兩個不同點A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2∈[-2,1),則0≤F≤1;③若曲線C與x軸交于兩個不同點A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2∈[-2,1),O為坐標原點,則|OA-OB|④若E=2F,則曲線C表示圓,且該圓面積的最大值為3π其中所有正確命題的序號是.

答案①③解析①圓C:x2+y2+2x+Ey+F=0中,應有4+E2-4F>0,當E=-4,F=4時,滿足4+E2-4F>0,曲線C表示圓,但曲線C表示圓時,E不一定等于-4,F不一定等于4,故①正確;②若曲線C與x軸交于兩個不同點A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2∈[-2,1),則x1,x2是x2+2x+F=0的兩根,Δ=4-4F>0,解得F<1,故②不正確;③由②知,|OA-OB|=|BA|=|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=4-4F,故當F=0,即x1=2,x2=0,④由于E=2F,則圓的半徑的平方為14(4+E2-4F)=14(4+4F2-4F)=則圓面積有最小值,無最大值,故④不對.20.在平面幾何中,通常將完全覆蓋某平面圖形且直徑最小的圓,稱為該平面圖形的最小覆蓋圓.最小覆蓋圓滿足以下性質:①線段AB的最小覆蓋圓就是以AB為直徑的圓;②銳角△ABC的最小覆蓋圓就是其外接圓.已知曲線W:x2+y4=16,A(0,t),B(4,0),C(0,2),D(-4,0)為曲線W上不同的四點.(1)求實數t的值及△ABC的最小覆蓋圓的方程;(2)求四邊形ABCD的最小覆蓋圓的方程;(3)求曲線W的最小覆蓋圓的方程.解(1)由題意,t=-2.由于△ABC為銳角三角形,外接圓就是△ABC的最小覆蓋圓.設△ABC外接圓方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則4-2∴△ABC的最小覆蓋圓的方程為x2+y2-3x-4=0.(2)∵DB的最小覆蓋圓就是以DB為直徑的圓,∴DB的最小覆蓋圓的方程為x2+y2=16.又∵|OA|=|OC|=2<4,∴點A,C都在圓內.∴四邊形ABCD的最小覆蓋圓的方程為x2+y2=16.(3)由題意,曲線W為中心對稱圖形.設曲線W上一點P的坐標為(x0,y0),則x02+∴|OP|2=x02+y02,且-2故|OP|2=x02+y02=∴當y02=12時,∴曲線W的最小覆蓋圓的方程為x2+y2=6542.3.3直線與圓的位置關系1.直線(m-1)x+(m-3)y-2=0與圓(x-1)2+y2=1的位置關系是()A.相交 B.相切C.相離 D.相交或相切答案D解析圓(x-1)2+y2=1,圓心為(1,0),半徑r=1,由(m-1)x+(m-3)y-2=0,得m(x+y)=x+3y+2,由x+y=0,x+3y+2=0,代入(x-1)2+y2=1成立,所以點(1,-1)為圓上的定點,所以直線與圓相切或者相交.2.過點(1,0)且傾斜角為30°的直線被圓(x-2)2+y2=1所截得的弦長為()A.32 B.1 C.3 D.2答案C解析根據題意,設過點(1,0)且傾斜角為30°的直線為l,其方程為y=tan30°(x-1),即y=33(x-1),變形可得x-3y-1=圓(x-2)2+y2=1的圓心為(2,0),半徑r=1,設直線l與圓交于點A,B,圓心到直線的距離d=|2-1|1+3=12,則3.已知圓x2+y2=9的弦過點P(1,2),當弦長最短時,該弦所在直線的方程為()A.y-2=0 B.x+2y-5=0C.2x-y=0 D.x-1=0答案B解析當弦長最短時,該弦所在直線與過點P(1,2)的直徑垂直.已知圓心O(0,0),所以過點P(1,2)的直徑所在直線的斜率k=2-01-0=2,故所求直線的斜率為-12,所以所求直線方程為y-即x+2y-5=0.4.若直線x-y=2被圓(x-a)2+y2=4所截得的弦長為22,則實數a的值為()A.0或4 B.0或3C.-2或6 D.-1或3答案A解析由圓的方程,可知圓心坐標為(a,0),半徑r=2.又直線被圓截得的弦長為22,所以圓心到直線的距離d=22-2222=2.又d=|a-2|25.已知直線l:3x+4y+m=0(m>0)被圓C:x2+y2+2x-2y-6=0截得的弦長是圓心C到直線l的距離的2倍,則m等于()A.6 B.8 C.11 D.9答案D解析圓C:x2+y2+2x-2y-6=0可化為(x+1)2+(y-1)2=8,圓心坐標為(-1,1),半徑為22,由題意可知,圓心到直線的距離d=|1+m|∵m>0,∴m=9.6.直線x+y+1=0被圓C:x2+y2=2所截得的弦長為;由直線x+y+3=0上的一點向圓C引切線,切線長的最小值為.

答案6解析圓C:x2+y2=2的圓心坐標為C(0,0),半徑r=2.圓心C到直線x+y+1=0的距離d=|1∴直線x+y+1=0被圓C:x2+y2=2所截得的弦長為2(2)2-222=6.圓心C到直線x+y+3=0的距離d1=|3|2=7.已知對任意實數m,直線l1:3x+2y=3+2m和直線l2:2x-3y=2-3m分別與圓C:(x-1)2+(y-m)2=1相交于A,C和B,D,則四邊形ABCD的面積為.

答案2解析由題意,直線l1:3x+2y=3+2m和直線l2:2x-3y=2-3m交于圓心(1,m),且互相垂直,∴四邊形ABCD是正方形,∴四邊形ABCD的面積為4×12×1×1=28.過點A(3,5)作圓x2+y2-4x-8y-80=0的最短弦,則這條弦所在直線的方程是.

答案x+y-8=0解析將圓x2+y2-4x-8y-80=0化成標準形式為(x-2)2+(y-4)2=100,圓心為M(2,4),則點A在圓內,當AM垂直這條弦時,所得到的弦長最短.∵kAM=5-43-2=1,∴這條弦所在直線的斜率為-1,其方程為y-5=-(x-3),即9.一圓與y軸相切,圓心在直線x-3y=0上,且直線y=x截圓所得弦長為27,求此圓的方程.解因為圓與y軸相切,且圓心在直線x-3y=0上,故設圓的方程為(x-3b)2+(y-b)2=9b2.又因為直線y=x截圓得弦長為27,則有|3b-b|22+(7)2=9b2,解得b=±1,故所求圓的方程為(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+10.已知圓C:(x+2)2+(y+2)2=3,直線l過原點O.(1)若直線l與圓C相切,求直線l的斜率;(2)若直線l與圓C交于A,B兩點,點P的坐標為(-2,0).若AP⊥BP,求直線l的方程.解(1)由題意知直線l的斜率存在,所以設直線l的方程為y=kx.由直線l與圓C相切,得|2k-2|k2+1=3,整理為k2-8(2)設點A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),由(1)知直線l的方程為y=kx.聯立方程(消去y整理為(k2+1)x2+(4k+4)x+5=0,所以x1+x2=-4k+4k2+1,x1x2=5k2+1由PA=(x1+2,y1),PB=(x2+2,y2),則PA·PB=(x1+2)(x2+2)+y1y2=x1x2+2(x1+x2)+y1y2+4,代入化簡得PA·PB=5k2+1-8k+8k2+1+5k2k2+1+4=9k2-8k+1k2+1,由AP11.圓x2+y2+2x-2y-2=0上到直線l:x+y+2=0的距離為1的點共有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個答案C解析化x2+y2+2x-2y-2=0為(x+1)2+(y-1)2=4,得圓心坐標為(-1,1),半徑為2,∵圓心到直線l:x+y+2=0的距離d=|-1+1+2|1結合圖形可知,圓上有三點到直線l的距離為1.12.(多選)已知點A是直線l:x+y-10=0上一定點,點P,Q是圓C:(x-4)2+(y-2)2=4上的動點,若∠PAQ的最大值為60°,則點A的坐標可以是()A.(4,6) B.(2,8)C.(6,4) D.(8,2)答案AD解析點A是直線l:x+y-10=0上一定點,點P,Q是圓C:(x-4)2+(y-2)2=4上的動點,如圖,圓的半徑為2,所以直線上的A到圓心的距離為4,結合圖形,可知A的坐標(4,6)與(8,2)滿足題意.13.設圓C:x2+y2-2x-3=0,若等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦,則線段PC長度的最大值為()A.10 B.23 C.4 D.26答案C解析化圓C:x2+y2-2x-3=0為(x-1)2+y2=4,連接AC,BC,設∠CAB=θ0<θ<π2,連接PC與AB交于點D,∵AC=BC,△PAB是等邊三角形,∴D是AB的中點,得PC⊥AB,在圓C:(x-1)2+y2=4中,圓C的半徑為2,|AB|=4cosθ,|CD|=2sinθ,∴在等邊△PAB中,|PD|=32|AB|=23cosθ∴|PC|=|CD|+|PD|=2sinθ+23cosθ=4sinθ+π314.在圓x2+y2-2x-6y=0內,過點E(0,1)的最長弦和最短弦分別為AC和BD,則圓心坐標為,四邊形ABCD的面積為.

答案(1,3)102解析圓的方程化為標準形式為(x-1)2+(y-3)2=10,易知點E在圓內,由圓的性質可知最長弦|AC|=210,最短弦BD恰以E(0,1)為中點,且與AC垂直,設點F為其圓心,坐標為(1,3).故|EF|=5,∴|BD|=210-(5)2∴S四邊形ABCD=12|AC|·|BD|=10215.過點(1,4)且斜率為k的直線l與曲線y=-x2-4x-3+1有公共點答案9解析曲線y=-x2-4x-3+1可化為(x+2)2+(y-1)2=1(1≤y≤2),設點C(1,4),如圖所示,當直線l在直線AC和BC之間運動時,直線l與曲線有公共點,其中點A為(-1,1),點B為直線l與曲線的切點,即直線l與圓心為(-2,1),半徑為1的半圓相切.∵直線l∴在點B處有|k(-2-1)+4-1|k2+(-1)2=16.過點P(4,-4)的直線l被圓C:x2+y2-2x-4y-20=0截得的弦AB的長度為8,求直線l的方程.解∵圓的方程可化為(x-1)2+(y-2)2=52,∴圓心C(1,2),半徑r=5.由圓的幾何性質可知圓的半弦長、半徑、弦心距構成直角三角形,∴圓心到直線l的距離d=r2-|AB|22=5∵l過點P(4,-4),∴直線l的方程為x=4.點C(1,2)到直線l的距離d=|4-1|=3,滿足題意.當直線l與x軸不垂直時,設直線l的方程為y+4=k(x-4),即kx-y-4k-4=0,∴|k-2-4k∴直線l的方程為y+4=-34(x-即3x+4y+4=0.綜上所述,直線l的方程為x=4或3x+4y+4=0.17.直線y=kx與圓C:x2+y2-6x-4y+10=0相交于不同的兩點A,B,當k取不同實數值時,求AB中點的軌跡.解設A(x1,y1),B(x2,y2),則x12+y12-6x1-4y1x22+y22-6x2-4y2+①-②得(x12-x22)+(y12-y22)-6(x1-x設AB的中點坐標為(x,y),則x1+x2=2x,y1+y2=2y.代入上式,有2x(x1-x2)+2y(y1-y2)-6(x1-x2)-4(y1-y2)=0,即(2x-6)(x1-x2)+(2y-4)(y1-y2)=0.所以x-3y-2=-又因為y=kx,④由③④得x2+y2-3x-2y=0.故所求軌跡為圓x2+y2-3x-2y=0位于圓C:x2+y2-6x-4y+10=0內的一段弧.18.已知A,B為圓C:(x+1)2+(y-1)2=5上兩個動點,且|AB|=2,直線l:y=k(x-5),若線段AB的中點D關于原點的對稱點為D',若直線l上任一點P,都有|PD'|≥1,則實數k的取值范圍是.

答案-解析∵|AB|=2,且圓C:(x+1)2+(y-1)2=5的半徑為5,∴AB的中點D到圓心(-1,1)的距離為(5)則D的軌跡方程為(x+1)2+(y-1)2=4.∵線段AB的中點D關于原點的對稱點為D',∴D'的軌跡方程為(x-1)2+(y+1)2=4.要使直線l:y=k(x-5)上任一點P,都有|PD'|≥1,則|k+1-5k|k2+1-2≥1,解得k≤4-619.已知直線l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R)和圓C:x2+y2-8x-6y+5=0.(1)求證:直線l恒過一定點M;(2)試求當m為何值時,直線l被圓C所截得的弦長最短;(3)在(2)的前提下,直線l'是過點N(-1,-2)且與直線l平行的直線,求圓心在直線l'上,且與圓C相外切的動圓中半徑最小的圓的標準方程.(1)證明由直線l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,得m(2x+y-7)+x+y-4=0,聯立2x+y-7=0,x+y(2)解要使直線l被圓C所截得的弦長最短,則l⊥CM,化圓C:x2+y2-8x-6y+5=0為(x-4)2+(y-3)2=20,可得C(4,3),則kCM=3-14-3=2,∴-2m+1(3)解由(2)得,直線l':y+2=-12(x+即x+2y+5=0.如圖,過C與直線x+2y+5=0垂直的直線方程為y-3=2(x-4),即2x-y-5=0.聯立x+2y而C到直線x+2y+5=0的距離d=|4+6+5|5=35,∴所求圓的半徑為35-故圓心在直線l'上,且與圓C相外切的動圓中半徑最小的圓的標準方程為(x-1)2+(y+3)2=5.2.3.4圓與圓的位置關系1.設r>0,圓(x-1)2+(y+3)2=r2與圓x2+y2=16的位置關系不可能是()A.內切 B.相交C.內切或內含 D.外切或外離答案D解析兩圓的圓心距為d=(1-0)2+(-3所以兩圓不可能外切或外離,故選D.2.兩圓C1:x2+y2=16,C2:x2+y2+2x+2y-7=0,則兩圓公切線條數為()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析兩圓C1:x2+y2=16,圓心C1(0,0),半徑為4,C2:x2+y2+2x+2y-7=0,其標準方程為(x+1)2+(y+1)2=9,圓心C2(-1,-1),半徑為3,圓心距|C1C2|=2,|4-3|<2<|4+3|,即兩圓相交,所以公切線恰有兩條.3.設兩圓C1,C2都和兩坐標軸相切,且都過點(4,1),則兩圓心的距離|C1C2|等于()A.4 B.42 C.8 D.82答案C解析∵兩圓與兩坐標軸都相切,且都經過點(4,1),∴兩圓圓心均在第一象限且每個圓心的橫、縱坐標相等.設兩圓的圓心坐標分別為(a,a),(b,b),則有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,即a,b為方程(4-x)2+(1-x)2=x2的兩個根,整理得x2-10x+17=0,∴a+b=10,ab=17.∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,∴|C1C2|=(a-b4.過點M(2,-2)以及圓x2+y2-5x=0與圓x2+y2=2交點的圓的方程是()A.x2+y2-154x-12=0 B.x2+y2-154x+C.x2+y2+154x-12=0 D.x2+y2+154x+答案A解析設經過圓x2+y2-5x=0與圓x2+y2=2交點的圓的方程是x2+y2-5x+λ(x2+y2-2)=0,再把點M(2,-2)代入可得4+4-10+λ(4+4-2)=0,求得λ=13故要求的圓的方程為x2+y2-154x-12=5.若圓x2+y2=r2與圓x2+y2+2x-4y+4=0有公共點,則r滿足的條件是()A.r<5+1 B.r>5+1C.|r-5|≤1 D.|r-5|<1答案C解析由x2+y2+2x-4y+4=0,得(x+1)2+(y-2)2=1,兩圓圓心之間的距離為(-1∵兩圓有公共點,∴|r-1|≤5≤r+1,∴5-1≤r≤5+1,即-1≤r-5≤1,∴|r-5|≤1.6.已知兩圓(x+2)2+(y-2)2=4和x2+y2=4相交于M,N兩點,則|MN|=.

答案22解析由題意可知直線MN的方程為(x+2)2+(y-2)2-x2-y2=0,即lMN:x-y+2=0,圓x2+y2=4的圓心為(0,0),半徑為2,則圓心(0,0)到x-y+2=0的距離d=22=2,所以|MN|=2r2-d2=7.若圓x2+y2-2ax+a2=2和圓x2+y2-2by+b2=1外離,則a,b滿足的條件是.

答案a2+b2>3+22解析由題意可得兩圓的圓心坐標和半徑長分別為(a,0),2和(0,b),1.因為兩圓外離,所以a2+b2>2+1,即a2+b28.若☉O1:x2+y2=5與☉O2:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B兩點,且兩圓在點A處的切線互相垂直,則線段AB的長度是.

答案4解析由題知O1(0,0),O2(m,0),半徑分別為5,25,根據兩圓相交,可得圓心距大于兩圓的半徑之差而小于半徑之和,即5<m<35.又O1A⊥O2A,所以有m2=(5)2+(25)2=25,∴m=±5.再根據S△AO1O2=12·|AO1|·|AO2|=12|O1O2|·9.已知圓O1:x2+(y+1)2=4,圓O2的圓心O2(2,1).若圓O2與圓O1交于A,B兩點,且|AB|=22,求圓O2的方程.解設圓O2的方程為(x-2)2+(y-1)2=r2因為圓O1的方程為x2+(y+1)2=4,將兩圓的方程相減,即得兩圓公共弦AB所在的直線方程為4x+4y+r22-8=0,作O1H⊥AB,H為垂足,圖略,則|AH|=12|AB|=2,所以|O1由圓心O1(0,-1)到直線4x+4y+r22-8=0的距離為|r22-12|42=2,得r22=4或r22=20,故圓O2的方程為(x-2)2+(y-1)10.已知圓x2+y2-2x-6y-1=0和圓x2+y2-10x-12y+m=0.(1)m取何值時兩圓外切?(2)m取何值時兩圓內切?(3)求m=45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長.解兩圓的標準方程為(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,圓心分別為M(1,3),N(5,6),半徑分別為11和兩圓圓心之間的距離d=(5-1(1)當兩圓外切時,5=11+解得m=25+1011.(2)當兩圓內切時,因定圓的半徑11小于兩圓圓心間距離5,故只有61-m-11=5,解得m=25(3)兩圓的公共弦所在直線方程為(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0,∴公共弦長為2(11)2-11.已知圓C的方程為(x-3)2+y2=1,若y軸上存在一點A,使得以A為圓心,半徑為3的圓與圓C有公共點,則A的縱坐標可以是()A.1 B.-3 C.5 D.-7答案A解析圓C的方程為(x-3)2+y2=1,則圓心C(3,0).設y軸上一點A(0,b),當以A為圓心,半徑為3的圓與圓C有公共點時,滿足3-1≤|CA|≤3+1,即2≤(0-所以2≤9+b2化簡得b2≤7,∴-7≤b≤7,∴A的縱坐標可以是1.12.已知函數f(x)=bx-b2-14(b>0,x∈R),若(m+1)2+(n+1)2=2,則f(n)A.[-3,2] B.[3,2+3]C.[2-3,3] D.[2-3,2+答案D解析f(可以看作點(m,n)與點b+14b,b+14b連線的斜率,點(m,n)在圓(x+1)點b+14b,b+14b當過點(1,1)作圓(x+1)2+(y+1)2=2的切線,此時兩條切線的斜率分別是f(n兩條切線與圓心(-1,-1)、點(1,1)所在直線的夾角均為π6,兩條切線的傾斜角分別為π故所求直線的斜率的范圍為[2-3,2+3].13.已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=1和兩點A(-m,0),B(m,0)(m>0),若圓上存在點P,使得∠APB=90°,則m的取值范圍是.

答案[4,6]解析設點P的坐標為(x,y),∵∠APB=90°,且坐標原點O為AB的中點,∴|OP|=12|AB|=m,則點P的軌跡方程為x2+y2=m2由題意可知,圓x2+y2=m2與圓C有公共點,且圓心C(3,4),則|m-1|≤|OC|≤m+1,即|m-1|≤5≤m+1.∵m>0,解得4≤m≤6.因此,實數m的取值范圍是[4,6].14.已知點P(t,t-1),t∈R,點E是圓x2+y2=14上的動點,點F是圓(x-3)2+(y+1)2=94上的動點,則|PF|-|PE|的最大值為答案4解析∵P(t,t-1),∴P點在直線y=x-1上,作E關于直線y=x-1的對稱點E',且圓O:x2+y2=14關于直線y=x-1對稱的圓O1的方程為(x-1)2+(y+1)2=14,所以E'在圓O1上,∴設圓(x-3)2+(y+1)2=94的圓心為O2∴|PE'|≥|PO1|-|E'O1|,|PF|≤|PO2|+|FO2|,∴|PF|-|PE|=|PF|-|PE'|≤(|PO2|+|FO2|)-(|PO1|-|E'O1|)=|PO2|-|PO1|+2≤|O1O2|+2=4,當P,E',F,O1,O2五點共線,E'在線段PO1上,O2在線段PF上時等號成立.因此,|PF|-|PE|的最大值為4.15.與圓C1:(x-1)2+y2=1,圓C2:(x-4)2+(y+4)2=4均外切的圓中,面積最小的圓的方程是.

答案x-11解析當三圓圓心在一條直線上時,所求圓面積最小.設所求圓的圓心坐標為(a,b),已知兩圓圓心之間的距離為d=(1-4)2+(0+4)2=5,所以所求圓半徑為1.由已知可知所以所求圓的方程為x-11516.已知圓C1:x2+y2=5與圓C2:x2+y2-4x+3=0相交于A,B兩點.(1)求過圓C1的圓心與圓C2相切的直線方程;(2)求圓C1與圓C2的公共弦長|AB|.解(1)已知圓C1:x2+y2=5的圓心坐標為(0,0),