22人教版高中數(shù)學(xué)新教材選擇性必修第二冊-5.1.2-導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義

5.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義課標(biāo)解讀課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景,知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá);⒉.通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.1.數(shù)學(xué)抽象——能通過瞬時(shí)變化率了解導(dǎo)數(shù)的概念;2.直觀想象——能根據(jù)圖形和導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率.自主學(xué)習(xí)·必備知識教材研習(xí)教材原句要點(diǎn)一平均變化率對于函數(shù)y=f(x),設(shè)自變量x從x0變化到x0+Δx,相應(yīng)地,函數(shù)值y就從f(x0)變化到f(x0+Δx).這時(shí),x的變化量為我們把比值ΔyΔx，即ΔyΔx=f(x0+Δx)?f(要點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的概念與表示如果當(dāng)Δx→0時(shí),平均變化率ΔyΔx無限趨近于一個(gè)確定的值,即ΔyΔx有極限,則稱y=f(x)在x=x0處的②導(dǎo)數(shù)(也稱為瞬時(shí)變化率),記作③f'(x要點(diǎn)三切線如圖,在曲線y=f(x)上任取一點(diǎn)P(x,f(x)),如果當(dāng)點(diǎn)P(x,f(x))沿著曲線y=f(x)無限趨近于點(diǎn)P0(x0,f(x0))時(shí),割線P0自主思考1.自變量的變化量Δx能否為0?答案：提示由平均變化率的定義可知,|Δx|可以很小,但是Δx≠0.2.已知函數(shù)y=2x2,當(dāng)x=a,Δx→0時(shí)，答案：提示當(dāng)x=a時(shí)，ΔyΔx∵Δx→0,∴ΔyΔx無限趨近于名師點(diǎn)睛1.關(guān)于導(dǎo)數(shù)的概念的理解基于瞬時(shí)速度與切線斜率的計(jì)算公式具有共同點(diǎn),即瞬時(shí)速度是平均速度的極限,切線斜率是割線斜率的極限,所以導(dǎo)數(shù)概念是瞬時(shí)速度與切線斜率的數(shù)學(xué)抽象與概括,表示為f'2.導(dǎo)數(shù)的物理意義與幾何意義（1）導(dǎo)數(shù)的物理意義就是位移時(shí)間函數(shù)s=s(t)在t=t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度,同理也是速度時(shí)間函數(shù)v=v(t)在（2）導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y=f(x)在x=x割線斜率k(P切線斜率k0（切點(diǎn)Pk=Δyk03.導(dǎo)數(shù)定義公式的兩種等價(jià)形式導(dǎo)數(shù)的定義公式為f'若令x=x0+Δx,得Δx=x?互動(dòng)探究·關(guān)鍵能力探究點(diǎn)一變化率與導(dǎo)數(shù)的概念精講精練例1已知函數(shù)f(x)=2x+3,則f(?1)=1，的值為()A.1B.2C.3D.-3答案：C解析：因?yàn)閒(x)=2x+3,所以f(?1)=1,f'=lim=lim所以f(?1)+f例2（多選）下列關(guān)于函數(shù)f(x)=xA.f(x)在[1,2]的平均變化率為1B.f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為2C.f(x)在x=1處的瞬時(shí)變化率為1D.f(x)在[x1,答案：B;D解析：因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)在[x1,所以函數(shù)f(x)=x2在[1,函數(shù)f(x)在x=1處的瞬時(shí)變化率即f'解題感悟?qū)?shù)是瞬時(shí)速度與切線斜率的數(shù)學(xué)抽象,其本質(zhì)是極限思想.解決導(dǎo)數(shù)問題運(yùn)用了由“平均變化率"逼近“瞬時(shí)變化率”的思想方法.遷移應(yīng)用1.（2020遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二質(zhì)檢）函數(shù)y=1x在x=1到A.23B.?C.?13D.答案：C解析：當(dāng)x=1時(shí),y=11=1;當(dāng)x=3時(shí),y=13,所以函數(shù)y=1x2.(★)（山東菏澤一中高二質(zhì)檢）已知曲線y=13x3+1上一點(diǎn)A(1,43答案：1;3x?3y+1=0解析：由Δy=1=1=Δx+(Δx)得ΔyΔx則limΔx→0ΔyΔx=lim探究點(diǎn)二求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)精講精練例求y=2x2+4x答案：∵Δy=2(3+Δx)∴Δy即y'變式求f(x)=2x2+4x在x=答案：∵Δy=2(xΔyΔx∴l(xiāng)imΔx→0Δy由f'(x解題感悟計(jì)算函數(shù)y=f(x)在x=x（1）先計(jì)算函數(shù)值的增量：Δy=f(x（2）再計(jì)算函數(shù)的平均變化率：ΔyΔx（3）最后計(jì)算極限：f'遷移應(yīng)用1.求函數(shù)y=x2+1答案：∵Δy=(?3+Δx)ΔyΔx∴l(xiāng)im∴y探究點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的幾何意義與應(yīng)用精講精練類型1求函數(shù)的圖象在某點(diǎn)處的切線斜率與切線方程例1函數(shù)y=x2+x的圖象在點(diǎn)P(1,2)處的切線斜率為答案：3;3x?y?1=0解析：解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,曲線y=x2+x在點(diǎn)P(1,2)所以切線方程為y?2=3(x?1),即3x?y?1=0.解法二：設(shè)曲線y=x2+x在點(diǎn)P(1,2)處的切線斜率為k,則切線方程為y?2=k(x?1),即y=kx+2?k,將其代入y=依題意,Δ=(1?k)2?4(k?2)=(k?3所以切線方程為y?2=3(x?1),即3x?y?1=0.變式若本例函數(shù)不變,如何求此拋物線在頂點(diǎn)處的切線方程？過此拋物線頂點(diǎn)的切線有什么特點(diǎn)？答案：函數(shù)y=x2+x解法一：函數(shù)y=x2+x的圖象在頂點(diǎn)(?，所以拋物線在頂點(diǎn)處的切線方程為y=?1解法二：結(jié)合圖象(圖略)可知,拋物線在頂點(diǎn)處的切線是水平的直線,切線方程為y=?1解題感悟?qū)?shù)的幾何意義及其應(yīng)用1.曲線的切線與曲線至少有一個(gè)公共點(diǎn),其中必有一個(gè)公共點(diǎn)是切點(diǎn),所以曲線必過切點(diǎn),切線必過切點(diǎn),斜率等于切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值.2.若曲線的切線方程與曲線方程聯(lián)立所得的方程組可以化為一元二次方程,則可以運(yùn)用一元二次方程的根的判別式等于0求切線斜率.類型2求函數(shù)的圖象過某點(diǎn)的切線斜率與切線方程例2已知函數(shù)y=x3?x（1）求曲線C在點(diǎn)(1,0)處的切線方程;（2）求曲線C過點(diǎn)(1,0)的切線方程.答案：（1）函數(shù)y=x3?x=lim=lim所以曲線C在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為y=2x?2.（2）設(shè)函數(shù)y=x3?xk=lim=lim=lim=3x所以切線方程為y?(x所以0?(x03?x所以2(x0?1)(x02+所以P(1,0)或P(?12,38解題感悟過點(diǎn)P(x（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為Q(x（2）求出函數(shù)y=f(x)在x=x0。處的導(dǎo)數(shù)（3）利用Q在曲線上和f'(x0)=（4）根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程,得切線方程為y?y遷移應(yīng)用1.求曲線y=x（1）平行于直線y=4x?5;（2）垂直于直線2x?6y+5=0;（3）傾斜角為135°答案：（1）f'設(shè)P(x因?yàn)榍芯€與直線y=4x?5平行,所以2x0=4,得x（2）因?yàn)榍芯€與直線2x?6y+5=0垂直,所以2x0?13（3）因?yàn)榍芯€與x軸成135°的傾斜角,故其斜率為-1,即2x0=?1,解得2.求過曲線y=13x答案：曲線y=13xk=lim若點(diǎn)P(2,83)所以切線方程為y?83=4(x?2)若點(diǎn)P(2,83)不是切點(diǎn),則設(shè)切點(diǎn)為Q(x0,1整理得x03?3x02+4=0,故切線方程為3x?3y+2=0.綜上所述,所求切線方程為12x?3y?16=0或3x?3y+2=0.評價(jià)檢測·素養(yǎng)提升課堂檢測1.函數(shù)f(x)=3x+2在x=1處的導(dǎo)數(shù)為()A.0B.2C.3D.5答案：C2.設(shè)函數(shù)f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為2,則limΔx→0A.23B.6C.13D.答案：A3.（★）已知函數(shù)y=f(x)的圖象在x=3處的切線方程為3x+y?15=0,則f(3)?f'(3)=答案：9解析：由于函數(shù)y=f(x)的圖象在x=3處的切線方程為3x+y?15=0,所以切線斜率k=f'(3)=?34.已知函數(shù)f(x)=2x+5,求f'答案：解法一：∵Δy=[2(x+Δx)+5]?(2x+5)=2Δx,∴Δy∴f'(x)=解法二：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2x+5的圖象是斜率為2的直線,該直線上每一個(gè)點(diǎn)處的切線都是這條直線,所以f'素養(yǎng)演練直觀想象——利用數(shù)形結(jié)合法計(jì)算三角形的面積1.求曲線y=1x和y=x解析：審：已知曲線y=1x和y=x聯(lián)：將曲線方程聯(lián)立得方程組求交點(diǎn)坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)定義求切線斜率和切線方程,也可以運(yùn)用判別式法求切線斜率,確定切線與x軸圍成的三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)再求面積.答案：解法一：聯(lián)立兩曲線方程y=1解得{x=1,曲線y=1x在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為y'所以曲線y=1x在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y?1=?(x?1),即同理,曲線y=x2在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為所以曲線y=x2在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y?1=2(x?1),即兩條切線與x軸所圍成的圖形如圖所示（陰影部分）,所以所求三角形的面積S=1解法二：聯(lián)立兩曲線方程y=1x,設(shè)曲線y=1x在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為k,切線方程為②y?1=k(x?1),即代入y=1x,得1x依題意,得Δ=(1?k)2+4k=(1+k所以曲線y=1x在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為同理,曲線y=x2在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為③所以曲線y=x2在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y?1=2(x?1),即兩條切線y=?x+2和y=2x?1與x軸所圍成的圖形如圖所示（陰影部分),所以所求三角形的面積S=1思：已知切點(diǎn)求曲線的切線方程的方法：（1）如果切線方程與曲線方程聯(lián)立所得的方程組可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程,那么可以由根的判別式等于零求切線斜率.否則,就利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算導(dǎo)數(shù)求得斜率.（2）解題時(shí)要靈活運(yùn)用函數(shù)圖象或幾何圖形進(jìn)行計(jì)算.遷移應(yīng)用1.（2021山東棗莊高二質(zhì)檢）已知函數(shù)f(x)=x2?2x+1的圖象為拋物線C,點(diǎn)P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))為C（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)與直線l1（2）若f(x1)=f(x2答案：（1）依題意,切線l1的斜率為k=所以函數(shù)f(x)=(x?1)2在f'解得x1=32,則f(x1)=14,所以點(diǎn)P（2）因?yàn)閒(x1)=f(x2),所以拋物線C：f(x)=(x?1)2在點(diǎn)Q(12,14)處的切線斜率為顯然,切線l1與切線l2互相垂直,△PQM為等腰直角三角形,∠PMQ=90°,|PQ|=1課時(shí)評價(jià)作業(yè)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.已知函數(shù)f(x)=?x2+xA.3B.0.29C.2.09D.2.9答案：D2.若一質(zhì)點(diǎn)按位移時(shí)間方程s=3+2t做直線運(yùn)動(dòng),則在t=3?sA.1?m/sB.2?C.3?m/sD.4?答案：B3.已知函數(shù)f(x)=x2+4x,則f(x)A.1B.2C.3D.4答案：B4.如圖,函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)P(1,2)處的切線為直線l,且直線l經(jīng)過原點(diǎn),則f(1)+fA.1B.2C.3D.4答案：D5.設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x),則A.f'(1)B.C.12f'答案：C6.已知y=x+4,則yA.x+4B.2x+4C.1x+4D.1答案：D解析：Δy=x+Δx+4ΔyΔxlimΔx→0=lim∴y7.（多選）已知函數(shù)y=f(x)=3x2?1的圖象上一點(diǎn)(1,1)及該點(diǎn)的鄰近一點(diǎn)(1+Δx,1+Δy),函數(shù)f(x)在x=1A.ΔyΔx=2+ΔxB.C.f'(1)=2D.答案：B;D解析：ΔyΔxf'8.（多選）下列關(guān)于導(dǎo)數(shù)f'A.f'B.f'C.f'D.f'答案：A;D解析：f'(3)表示函數(shù)f(x)在x=3處的瞬時(shí)變化率,即令x=3+Δx,得Δx=x?3,由Δx→0,得x→3,于是f'9.（多選）（2020山東濟(jì)南一中高二期末）過點(diǎn)(2,0)作曲線f(x)=x3的切線l,則直線A.y=0B.x=0C.12x?y?24=0D.27x?y?54=0答案：A;D解析：∵f(x)=x∴f=lim設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,∴k=f解得x0=0或當(dāng)x0=0時(shí),切線方程為當(dāng)x0=3時(shí),切點(diǎn)為(3,27),斜率k=27,故切線方程為y?27=27(x?3),即10.設(shè)函數(shù)f(x)=ax+2,若f'(1)=3,則a=答案：311.如圖,函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是y=?x+8,則f(5)+f'(5)=答案：2解析：由函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)P(5,f(5))處的切線方程是y=?x+8,得切線斜率k=f'(5)=?1,又由切點(diǎn)P既在函數(shù)y=f(x)的圖象上又在切線上,得f(5)=312.若f(x)=x3,f'(x0)=3,則x答案：±1;±3解析：∵f=lim∴x由f'(x)=3x2=x0素養(yǎng)提升練13.函數(shù)y=x2+x在x=1A.Δx+2B.Δx+3C.2Δx+(Δx)2D.答案：B解析：Δy=(1+Δx)2+(1+Δx)?14.已知函數(shù)f(x)=2x2+1A.0B.3C.-6D.7答案：D解析：因?yàn)閒(x)=2x2+1,所以f(?1)=3=lim所以f(?1)?f15.（2021山東日照一中高二質(zhì)檢）如圖,函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC,其中A,B,C的坐標(biāo)分別為(0,4),(2,0),(6,4),則f'(3)=,limΔx→0答案：1;-2解析：由導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義知,f'limΔx→016.設(shè)函數(shù)f(x)=1x,求答案：解法一：令x?a=Δx,則x=a+Δx,所以limx→a=lim解法二：limx→alimx→a17.求曲線y=x2+x答案：解法一：設(shè)曲線y=x2+x過點(diǎn)P(1,1)的切線的斜率為k,則切線方程為y?1=k(x?1),即y=kx+1?k,代入y=x2+x,整理得x2+(1?k)x+k?1=0,依題意,Δ=(1?k)解法二：由于曲線y=x2+x不過點(diǎn)P(1,1),所以設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,x=lim=lim所以切線方程為y?(x02+x0)=(2x0+1)(x?x