2019-2021北京初三數(shù)學期中期末匯編：點和圓的位置關(guān)系

2019-2021北京初三數(shù)學期中期末匯編：點和圓的位置關(guān)系

選擇題（共15小題）

1.（2020秋?豐臺區(qū)期中）雷達通過無線電的方法發(fā)現(xiàn)目標并測定它們的空間位置，因此雷達被稱為“無線電定位”.現(xiàn)

有一款監(jiān)測半徑為5的?的雷達，監(jiān)測點的分布情況如圖，如果將雷達裝置設在尸點，每一個小格的邊長為

那么能被雷達監(jiān)測到的最遠點為（）

A.G點B.H點C.M點D.N點

2.在AABC中，ZC=90°,以點B為圓心，以BC長為半徑作圓，點4與該圓的位置關(guān)系為（）

A.點A在圓外B.點A在圓內(nèi)C.點A在圓上D.無法確定

3.（2019秋?西城區(qū)校級期中）己知。。的半徑為5,圓心。的坐標為（0,0）,點P的坐標是（4,3）,則點P在

。0（）

A.內(nèi)B.±C.外D.不確定

4.如圖，數(shù)軸上有A、B、C三點，點A,C關(guān)于點B對稱，以原點O為圓心作圓，若點A,B,C分別在。O外，

。。內(nèi)，。。上，則原點。的位置應該在（）

ABC

------------------1-----------------------11>

abc

A.點A與點B之間靠近A點B.點A與點8之間靠近B點

C.點8與點C之間靠近8點D.點8與點C之間靠近C點

5.半徑為7的圓，其圓心在坐標原點，則下列各點在圓外的是（）

A.（3,4）B.（4,4）C.（4,5）D.（4,6）

6.（2020秋?北京期末）。。的半徑為5,點尸到圓心。的距離為4,點P與。O的位置關(guān)系是（）

A.無法確定B.點P在。。外C.點尸在。。上D.點尸在。。內(nèi)

7.（2021?海淀區(qū)校級模擬）如圖，點M坐標為（0,2）,點A坐標為（2,0）,以點M為圓心，為半徑作。M,

與x軸的另一個交點為8,點C是。加上的一個動點，連接BC,AC,點。是AC的中點，連接?！?,當線段。。

取得最大值時，點。的坐標為（）

A.(0,1+>/2)B.(1,1-^/2)C.(2,2)D.(2,4)

8.（2020秋?門頭溝區(qū)期末）。。的半徑為3,點P在。。外，點P到圓心的距離為“，則4需要滿足的條件（）

A.d>3B.d=3C.0VdV3D.無法確定

（?北京模擬）如圖，拋物線尸

9.2020/x2-1與x軸交于A,B兩點,。是以點C（0,4）為圓心，1為半徑的圓

上的動點，E是線段40的中點，連接OE,8。，則線段OE的最小值是（）

B.平

A.2c-iD.3

10.（2019秋?門頭溝區(qū)期末）。。的半徑為3,點P到圓心。的距離為5,點P與。。的位置關(guān)系是（）

A.無法確定B.點P在。。外C.點P在。。上D.點P在。。內(nèi)

11.（2019秋?西城區(qū)校級期中）下列有關(guān)圓的一些結(jié)論，其中正確的是（）

A.任意三點可以確定一個圓

B.相等的圓心角所對的弧相等

C.平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧

D.圓內(nèi)接四邊形對角互補

12.小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中三塊碎片如圖所示，三塊碎片中最有可能配到與原來一樣大小的圓形

C.③D.均不可能

13.（2020秋?海淀區(qū)期中）如圖，不等邊△ABC內(nèi)接于。O,下列結(jié)論不成立的是（）

A.Z1=Z2B.Z1=Z4C.ZAOB=2ZACBD.ZACB=Z2+Z3

14.已知。。2，。。3是等圓，△ABP內(nèi)接于點C,E分別在。。2,。。3上.如圖,

①以C為圓心，AP長為半徑作弧交。。2于點。，連接C。;

②以E為圓心，BP長為半徑作弧交。。3于點F，連接EF；

下面有四個結(jié)論：

①CD+EF=AB

@CD+EF=AB

③NCO2D+NEO3F=ZAOiB

④NCDO2+NEFO3=NP

所有正確結(jié)論的序號是（)

A.①②③④B.①②③C.②④D.②③④

15.（2019秋?北京期末）如圖，。。是aABC的外接圓，ZC=60°,則NAOB的度數(shù)是（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

二.填空題（共13小題）

16.（2020秋?海淀區(qū)期中）如圖，在5x5的正方形網(wǎng)格中，兩條網(wǎng)格線的交點叫做格點，每個小正方形的邊長均

1.以點。為圓心，5為半徑畫圓，共經(jīng)過圖中個格點（包括圖中網(wǎng)格邊界上的點）.

17.（2019秋?西城區(qū)校級期中）在平面直角坐標系xOy中，。。的半徑為5,則點P（3,-4）在。0.（填

“內(nèi)”、“上”或“外”）

18.（2019秋?朝陽區(qū)校級期中）若。A的半徑為5,點A的坐標為（3,4）,則原點O與GM的位置關(guān)系是.

19.（2019秋?東城區(qū)校級期中）在平面直角坐標系中，。為坐標原點，A（3,4）是。。上一點，8是。。內(nèi)一點，

請你寫出一個符合要求的點B的坐標：.

20.如圖，在網(wǎng)格（每個小正方形的邊長均為1）中選取7個格點（格線的交點稱為格點），如果以A為圓心，「為

半徑畫圓，選取的格點中除點A外恰好有3個在圓內(nèi)，則廠的取值范圍為.

21.如圖，Rl/XABC中，/ACB=90。，4c=4,BC=3,CD是斜邊48上的高線，以點C為圓心，2.5為半徑作圓,

則點。在圓（填“外”，“內(nèi)”，"上

22.（2020?西城區(qū)校級模擬）如圖，在。。中，半徑OC=6,。是半徑0c上一點，且。。=4.A,8是。O上的兩

個動點，ZADB=90°,F是AB的中點，則OF的長的最大值等于

23.（2019秋?北京期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A,B,C都在格點上，過A,B,C三點作一圓弧，則圓

心的坐標是.

24.（2020秋?豐臺區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標系X。），中，點A,B,C的坐標分別是（0,2）,（2,0）,（4,0）,

G）M是△ABC的外接圓，則圓心M的坐標為,?！钡陌霃綖?

25.（2019秋?西城區(qū)校級期中）如圖，OO是△ABC的外接圓，若乙408=100。，貝IJNAC8的度數(shù)是

26.（2019秋?昌平區(qū)校級期末）銳角三角形的外心在,直角三角形的外心在，鈍角三角形的外

心在_________

27.（2019春?海淀區(qū)校級期末）已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（-1,3）,B（-1,-3）,C（3,-3）則

△A8C外接圓半徑的長度為.

28.（2019?海淀區(qū)校級模擬）如圖，。。是正方形ABC。的外接圓，若E是箴上一點，則N￡>EC=1

三.解答題（共3小題）

29.（2009秋?河西區(qū)期末）某地出土一個明代殘破圓形瓷盤，為復制該瓷盤需確定其圓心和半徑，請在圖中用直尺

和圓規(guī)畫出瓷盤的圓心（不要求寫作法、證明和討論，但要保留作圖痕跡）.

30.（2019秋?平谷區(qū)期末）如圖，。。是△ABC的外接圓，圓心。在△ABC的外部，A8=AC=4,8c=4加，求

。。的半徑.

31.（2019秋?房山區(qū)期末）如圖，△ABC內(nèi)接于。O,NBAC=60。，高A。的延長線交（DO于點E,BC=6,AO=

5.

（1）求（DO的半徑；

（2）求QE的長.

2019-2021北京初三數(shù)學期中期末匯編：點和圓的位置關(guān)系

參考答案與試題解析

一.選擇題（共15小題）

1.（2020秋?豐臺區(qū)期中）雷達通過無線電的方法發(fā)現(xiàn)目標并測定它們的空間位置，因此雷達被稱為“無線電定位”.現(xiàn)

有一款監(jiān)測半徑為5h〃的雷達，監(jiān)測點的分布情況如圖，如果將雷達裝置設在尸點，每一個小格的邊長為1如?，

那么能被雷達監(jiān)測到的最遠點為（）

A.G點B.H點C.M點D.N點

【分析】以P為圓心5為半徑作。P,可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，觀察圖像可知，能被雷達監(jiān)測到的最遠點為點

故選：B.

【點評】本題考查點與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.

2.在中，NC=90。，以點2為圓心，以BC長為半徑作圓，點A與該圓的位置關(guān)系為（）

A.點A在圓外B.點A在圓內(nèi)C.點A在圓上D.無法確定

【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論.

【解答】解：I?在△ABC中，ZC=90°,

：.AB>BC,

，點A在圓外.

故選：A.

【點評】本題考查的是點與圓的位置關(guān)系，熟知點與圓的三種位置關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.

3.（2019秋?西城區(qū)校級期中）己知。。的半徑為5,圓心。的坐標為（0,0）,點P的坐標是（4,3）,則點P在

QO（）

A.內(nèi)B.上C.外D.不確定

【分析】首先求得點P與圓心O之間的距離，然后和圓的半徑比較即可得到點P與。O的位置關(guān)系.

【解答】解：由勾股定理得：OP=3+32=5,

:。。的半徑為5,

二點尸在。。上.

故選：B.

【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，求出點到圓心的距離是解決本題的關(guān)鍵.

4.如圖，數(shù)軸上有A、B、C三點，點A,C關(guān)于點8對稱，以原點O為圓心作圓，若點A,B,C分別在。。外，

。0內(nèi)，上，則原點O的位置應該在（）

ABC

—a-------b--------c------->

A.點A與點B之間靠近A點B.點A與點B之間靠近8點

C.點2與點C之間靠近8點D.點2與點C之間靠近C點

【分析】畫出圖象，利用圖象法即可解決問題；

【解答】解：如圖，觀察圖象可知，

原點。的位置應該在點B與點C之間靠近B點，

故選：C.

【點評】本題考查點與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會利用圖象法解決問題.

5.半徑為7的圓，其圓心在坐標原點，則下列各點在圓外的是（）

A.（3,4）B.（4,4）C.（4,5）D.（4,6）

【分析】要確定點與圓的位置關(guān)系，主要確定點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系.本題可由勾股定理等性質(zhì)算出

點與圓心的距離比則時，點在圓外；當d=r時，點在圓上，當時，點在圓內(nèi).

【解答】解：A、d=5<r,所以在圓內(nèi)；

B、d=4&〈r,所以在圓內(nèi)；

C、d=y/^i<r,所以在圓內(nèi)；

。、4=20與〉r,所以在圓外.

故選：D.

【點評】此題主要考查了點與圓的位置關(guān)系及勾股定理的理解與運用.

6.（2020秋?北京期末）。。的半徑為5,點P到圓心。的距離為4,點P與。。的位置關(guān)系是（）

A.無法確定B.點P在。。外C.點尸在。。上D.點P在。。內(nèi)

【分析】直接根據(jù)點與圓的位置關(guān)系的判定方法進行判斷.

【解答】解：:OO的半徑為5,點尸到圓心。的距離為4,

點P到圓心。的距離小于圓的半徑，

.?.點P在。。內(nèi).

故選：D.

【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：點與圓的位置關(guān)系有3種.設。。的半徑為/?，點尸到圓心的距離OP

=d,則有：點P在圓外Qd>r；點P在圓上Q"=r；點P在圓內(nèi)

7.（2021?海淀區(qū)校級模擬）如圖，點M坐標為（0,2）,點A坐標為（2,0）,以點M為圓心，MA為半徑作。M,

與x軸的另一個交點為8,點C是。M上的一個動點，連接BC,AC,點。是AC的中點，連接0。，當線段。。

取得最大值時，點Q的坐標為（）

A.(0,l-h/2)B.(1,1+>/2)C.(2,2)D.(2,4)

【分析】根據(jù)垂徑定理得到0A=03,然后根據(jù)三角形中位線定理得到。?！?<7,OD^^BC,即當2c取得最

2

大值時，線段。。取得最大值，根據(jù)圓周角定理得到軸，進而求得△04。是等腰直角三角形，即可得到

AD=0A=2,得到。的坐標為（2,2）.

【解答】解：

：.OA=OB,

"：AD=CD,

：.0D//BC,0D=—BC,

2

.?.當BC取得最大值時，線段0。取得最大值，如圖,

；BC為直徑，

NCAB=90。，

.?.CALc軸，

,/OB=OA=OM,

：.ZABC=45°,

"：0D//BC,

：.NAOD=45°,

△400是等腰直角三角形，

：.AD=0A^2,

二。的坐標為（2,2）,

故選：C.

【點評】本題考查了點和圓的位置關(guān)系，垂徑定理、圓周角定理以及三角形中位線定理，明確當BC為直徑時,

線段0。取得最大值是解題的關(guān)鍵.

8.（2020秋?門頭溝區(qū)期末）。。的半徑為3,點尸在OO外，點P到圓心的距離為“，則”需要滿足的條件（)

A.d>3B.d=3C.0VdV3D.無法確定

【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系的判定方法求解.

【解答】解：???點P在。。外，

：.d>3.

故選：A.

【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：設。0的半徑為心點P到圓心的距離。尸=d,則點P在圓外

點尸在圓上Qd=r；點P在圓內(nèi)=dVr.

9.(2020?北京模擬)如圖，拋物線1與x軸交于A,8兩點，O是以點C(0,4)為圓心，1為半徑的圓

上的動點，E是線段AD的中點，連接OE,BD,則線段OE的最小值是()

【分析】根據(jù)拋物線丫=七*2-1與1軸交于A,B兩點，可得A、B兩點坐標，。是以點C(0,4)為圓心，根

據(jù)勾股定理可求BC的長為5,E是線段40的中點，再根據(jù)三角形中位線，8。最小，OE就最小.

【解答】解：???拋物線產(chǎn)1與x軸交于4,B兩點，

...A、B兩點坐標為(-3,0)、(3,0),

?。是以點C(0,4)為圓心，

根據(jù)勾股定理，得

BC=5,

是線段AO的中點，。是AB中點，

OE是三角形A8。的中位線,

2

即點B、D、C共線時，80最小，0E就最小.

如圖，連接8c交圓于點。，

：.BD'=BC-CD'^5-1=4,

：.0E'=2.

所以線段0E的最小值為2.

故選：A.

【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系、拋物線與x軸的交點、三角形中位線定理，解決本題的關(guān)鍵是點8、。、

C共線問題.

10.（2019秋?門頭溝區(qū)期末）。。的半徑為3,點P到圓心。的距離為5,點尸與。。的位置關(guān)系是（）

A.無法確定B.點P在。。外C.點P在。。上D.點P在。。內(nèi)

【分析】根據(jù)點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系即可確定點P與。。的位置關(guān)系.

【解答】解：的半徑分別為3,點P到圓心。的距離為5,

：.d>r,

.?.點P與。。的位置關(guān)系是：點P在。。外.

故選:B.

【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系.注意若半徑為r,點到圓心的距離為d,則有：當?時，點在圓外;

當d=r時，點在圓上，當時，點在圓內(nèi).

11.（2019秋?西城區(qū)校級期中）下列有關(guān)圓的一些結(jié)論，其中正確的是（）

A.任意三點可以確定一個圓

B.相等的圓心角所對的弧相等

C.平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧

D.圓內(nèi)接四邊形對角互補

【分析】根據(jù)確定圓的條件、圓心角、弧、弦的關(guān)系定理、垂徑定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)進行判斷即可得到正

確結(jié)論.

【解答】解：A、不共線的三點確定一個圓，故本選項不符合題意：

B、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故本選項不符合題意；

C、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故本選項不符合題意；

力、圓內(nèi)接四邊形對角互補，故本選項符合題意.

故選：D.

【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系定理，垂徑定理的推論，半圓與弧的定義，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟

練掌握定義與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中三塊碎片如圖所示，三塊碎片中最有可能配到與原來一樣大小的圓形

鏡子的碎片是（）

【分析】要確定圓的大小需知道其半徑.根據(jù)垂徑定理知第①塊可確定半徑的大小.

【解答】解：第①塊出現(xiàn)兩條完整的弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點就是圓心，進而可

得到半徑的長.

故選：A.

【點評】本題考查了垂徑定理的應用，確定圓的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：圓上任意兩弦的垂直平分線的交

點即為該圓的圓心.

13.（2020秋?海淀區(qū)期中）如圖，不等邊aABC內(nèi)接于。。，下列結(jié)論不成立的是（）

A.Z1=Z2B.Z1=Z4C.ZA0B=2ZACBD.乙4cB=N2+N3

【分析】利用08=0C可對A選項的結(jié)論進行判斷；由于AB用C,則NBOCr/AOB,而/BOC=180。-2N1,

408=180。-2/4,則/摩/4,于是可對8選項的結(jié)論進行判斷；根據(jù)圓周角定理可對C選項的結(jié)論進行判

斷；利用NOCA=N3,N1=N2可對。選項的結(jié)論進行判斷.

【解答】解：：OB=OC,

.-.Z1=Z2,所以A選項的結(jié)論成立；

?：OA=OB,

：.N4=NOBA,

：.ZAOB=180°-Z4-/O3A=180°-2Z4,

「△ABC為不等邊三角形，

：.4BOC豐乙AOB,

而/8OC=180°-Z1-N2=180°-2/1,

.-.Z1^Z4,所以B選項的結(jié)論不成立；

,/NAOB與ZACB都對標，

...NAOB=2NACB,所以C選項的結(jié)論成立；

,：OA=OC,

：.ZOCA=Z3,

...NACB=N1+/OCA=N2+N3,所以。選項的結(jié)論成立.

故選：B.

【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角

形的外心.也考查了圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì).

14.已知。Oi，。。2,。。3是等圓，△ABP內(nèi)接于。0|,點C,E分別在。。2,。。3上.如圖,

①以C為圓心，AP長為半徑作弧交。。2于點。，連接。；

②以E為圓心，8P長為半徑作弧交于點凡連接EF；

下面有四個結(jié)論：

@CD+EF=AB

@CD+EF=AB

③/CO2D+NEO3-NAOiB

④NCDO?+NEFO3=NP

所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②③④B.①②③C.②④D.②③④

【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：由題意得，AP=CD,BP=EF,

"：AP+BP>AB,

：.CD+EF>AB；

。。2，003是等圓，

???AP=CD-BP=EF.

???CD+EF-AB；

：.ACOiD=ZAO\P,NEO?F=/BOiP,

'：NAOiP+NBOiP=NAOiP,

NCO2D+NEO3F=NAOlB；

ZCDO2=ZAPO\,NBP01=NEFO、

"：NP=ZAPOi+ZBPOi,

/CD0/NEF（）3=NP,

.?.正確結(jié)論的序號是②③④，

故選：D.

【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，熟練掌握圓心角、弧、弦的

關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

15.（2019秋?北京期末）如圖，。。是△ABC的外接圓，ZC=60°,則/AO8的度數(shù)是（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【分析】根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：???/C=60。，

NAOB=2NC=120。，

故選：C.

【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共13小題）

16.（2020秋?海淀區(qū)期中）如圖，在5x5的正方形網(wǎng)格中，兩條網(wǎng)格線的交點叫做格點，每個小正方形的邊長均

1.以點。為圓心，5為半徑畫圓，共經(jīng)過圖中4個格點（包括圖中網(wǎng)格邊界上的點）.

【分析】通過作圖展示滿足條件的格點，然后利用點與圓的位置關(guān)系的判定方法進行驗證.

【解答】解：如圖，。0共經(jīng)過圖中4個格點

故答案為4.

【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心

距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系.

17.（2019秋?西城區(qū)校級期中）在平面直角坐標系xOy中，。。的半徑為5,則點P（3,-4）在。。上.（填

“內(nèi)”、“上，，或“外，，）

【分析】先根據(jù)勾股定理求出OP的長，再與。。的半徑為5相比較即可.

【解答】解：?二圓心戶的坐標為（3,-4）,

.-.0/>=^32+42=5.

的半徑為5,

...點P（3,-4）在。。上.

故答案為：上.

【點評】本題考查的是點與圓的位置關(guān)系，熟知點與圓的三種位置關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.

18.（2019秋?朝陽區(qū)校級期中）若。A的半徑為5,點4的坐標為（3,4）,則原點。與OA的位置關(guān)系是在圓

上.

【分析】先由勾股定理等性質(zhì)算出點與圓心的距離d,再根據(jù)點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系，即當?時，

點在圓外；當"=r時，點在圓上；點在圓外；當時，點在圓內(nèi)；來確定點與圓的位置關(guān)系.

【解答】解：?.?點4的坐標為4（3,4）,

：.OA=yJ^2~^2=5,

???根據(jù)點到圓心的距離等于半徑，則知點在圓上.

故答案為：在圓上.

【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系及坐標與圖形性質(zhì)，能夠根據(jù)勾股定理求得點到圓心的距離，根據(jù)數(shù)量關(guān)

系判斷點和圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

19.（2019秋?東城區(qū)校級期中）在平面直角坐標系中，。為坐標原點，A（3,4）是。。上一點，8是。。內(nèi)一點,

請你寫出一個符合要求的點8的坐標：（0,0）答案不唯一.

【分析】連接04,根據(jù)勾股定理可求。4再根據(jù)點與圓的位置關(guān)系可得一個符合要求的點8的坐標.

【解答】解：連接OA,

OA=Vs2+42=5,

,:B為。O內(nèi)一點，

符合要求的點B的坐標（0,0）答案不唯一.

故答案為：（0,0）答案不唯一.

【點評】考查了點與圓的位置關(guān)系，坐標與圖形性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得到OA的長.

20.如圖，在網(wǎng)格（每個小正方形的邊長均為1）中選取7個格點（格線的交點稱為格點），如果以A為圓心，「為

半徑畫圓，選取的格點中除點A外恰好有3個在圓內(nèi)，則r的取值范圍為2\如＜W3.

【分析】如圖，先計算出點8、C、。、E到4點的距離，然后根據(jù)只有B、C、。點在圓內(nèi)，從而得到，的范圍.

【解答】解：如圖，AB=AC=yj12+22=yfs，AD=^22+22=272-AE=3,

所以以A為圓心，r為半徑畫圓，選取的格點中除點A外恰好有3個在圓內(nèi)，

這三個點只能為8、C、。點,

所以2我〈心3.

故答案為2點＜合3.

【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心

距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系.

21.如圖，RtZ\4BC中，4c8=90。，AC=4,BC=3,CD是斜邊4B上的高線，以點C為圓心，2.5為半徑作圓,

則點。在圓內(nèi)（填“外”,“內(nèi)“，"上"）.

【分析】直角三角形中根據(jù)勾股定理可以計算AB的長度，CO為AB邊上的高，根據(jù)面積法4CxBC=ABxOC可

以求得CD的長，與半徑比較后即可得到點。與圓的位置關(guān)系.

【解答】解：直角△ABC中，AB2=AC2+BC2,

AC=4,BC=3,

?，MB=VAC2+BC2=5,

△ABC的面積S=—>AC>BC^—>AB>CD

22

AC2BC__J2_

C￡)=AB5.

?,?12<2.5,

5

...點。在。C內(nèi)，

故答案為：內(nèi).

【點評】本題考查了直角三角形中勾股定理的運用及點與圓的位置關(guān)系，根據(jù)勾股定理計算斜邊長是解題的關(guān)鍵.

22.（2020?西城區(qū)校級模擬）如圖，在。。中，半徑OC=6,。是半徑OC上一點，且。。=4.A,B是。。上的兩

個動點，ZADB=90°,尸是A8的中點，則O尸的長的最大值等于2+\王.

【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系。層0。+。凡則點尸運動至OC上時，OF長度最大，因為此時F是A8的中點,

則OFL48,此時A、3關(guān)于OC對稱，解直角三角形即可求得OF的長度.

【解答】解：???當點F運動至OC上時，。尸長度最大，如圖，

?.?尸是A8的中點,

OC±AB,

設OF為x,則DF=x-4,

?..△ABO是等腰直角三角形，

.?.￡>F=」AB=BF=X-4,

2

在RtaBO尸中，082=。尸2+8產(chǎn)，

"：OB=OC=6,

36=x2+（x-4）解得x=2+。14或2-逸14（舍去）

OF的長的最大值等于2+714，

故答案為2+714.

方法二：

解：過點A作AEJ_BC于點E,如圖1,在RtZVIBE中，AB2=AE2+BE2,

同理可得：AC2=AE1+CE1,AD1=AE2+DE2,為證明的方便，不妨設BO=CD=x,DE=y,

BDE

圖1

：.AB2+AC2=2AE2+（X+），）2+（x-y）2=2AE2+2?+2/,

=2AE2+2BD1+2DE2=2AD2+2Bb1.

如圖2,連接。F,取。。的中點E,連接E凡

；OF是△AB。的中線，EF是△OFZ）的中線，OF是4AOB的中線,

圖2

,/2￡F2+2OE2=。盾+F。2,

2FD1+2BF2=BD2+AD2,

OF2=OB1-BF-,

：.4EF2=2OB2-4O￡2=2OB2-OD2,

：.EF2^^OB2-工0》=工'g2.2X42=14,

2424

在中，OE=2,EF=yfl4,

OF<OE+EF,

OF長的最大值為2+g.

【點評】本題考查了垂徑定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理的應用等，確定點尸與點。運動至共線

時，。尸長度最大是解題的關(guān)鍵.

23.（2019秋?北京期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A,B,C都在格點上，過A,B,C三點作一圓弧，則圓

心的坐標是（2,1）.

【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦A8和BC的垂直平分線，交點即為圓心.

【解答】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心,

可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心.

如圖所小,則圓心是(2,1).

故答案為：(2,1).

【點評】本題考查垂徑定理的應用，解答此題的關(guān)鍵是熟知垂徑定理，即“垂直于弦的直徑平分弦”.

24.(2020秋?豐臺區(qū)期中)如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A,B,C的坐標分別是(0,2),(2,0),(4,0),

?！ㄊ恰鰽BC的外接圓，則圓心M的坐標為(3,3),?！ǖ陌霃綖椤獦薩.

【分析】M點為2C和43的垂直平分線的交點，利用點A、B、C坐標易得BC的垂直平分線為直線x=3,AB

的垂直平分線為直線y=x,從而得到M點的坐標，然后計算得到。M的半徑.

【解答】解：?..點A,B,C的坐標分別是(0,2),(2,0),(4,0),

：.BC的垂直平分線為直線x=3,

"：OA=OB,

：./\OAB為等腰直角三角形,

???AB的垂直平分線為第一、三象限的角平分線，即直線y=x,

?；直線x=3與直線y=x的交點為M點，

點的坐標為（3,3）,

?"MB=yj（3-2）2+§2=VTo>

二的半徑為百5.

故答案為（3,3）,VIO.

【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角

形的外心.也考查了坐標與圖形的性質(zhì).

25.（2019秋?西城區(qū)校級期中）如圖，。。是△ABC的外接圓，若/4。8=100。，則NAC8的度數(shù)是50。.

【分析】已知。。是aABC的外接圓，/AOB=100。，根據(jù)圓周角定理可求得NACB的度數(shù).

【解答】解：:。。是AABC的外接圓，/4OB=100。，

ZACB=—ZAOB=^xl00°=50°.

22

故答案為：50°.

【點評】本題主要考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半.

26.（2019秋?昌平區(qū)校級期末）銳角三角形的外心在三角形內(nèi)，直角三角形的外心在斜邊上，鈍角三角形

的外心在三角形外.

【分析】本題根據(jù)概念解答即可.銳角三角形的外心在三角形內(nèi)，直角三角形的外心在斜邊上，鈍角三角形的外

心在三角形外.

【解答】解：三角形內(nèi)，斜邊上，三角形外.

【點評】三角形的三邊的垂直平分線交于一點，這一點叫三角形的外心；作圖得出結(jié)論：銳角三角形的外心在三

角形內(nèi)，直角三角形的外心就是斜邊的中點，鈍角三角形的外心在三角形外.

27.（2019春?海淀區(qū)校級期末）已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（-1,3）,B（-1,-3）,C（3,-3）則

△ABC外接圓半徑的長度為

【分析】三角形的外心是三邊中垂線的交點，設△ABC的外心為M：由A、B、C的坐標知：AB、2C的垂直平

分線正好經(jīng)過（1,0）,由此可得到M（1,0）,由勾股定理即可求得。M的半徑長.

【解答】解：設的外心為M,如圖：

VA(-1,3),B(-1,-3),C(3,-3),

：.AB.8c的垂直平分線過（1,0）,故M（1,0）；

MA就是。M的半徑長，

由勾股定理得：