課件(人教A版數(shù)學(xué)理)第二章-第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值

第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值1.增函數(shù)、減函數(shù)一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I,區(qū)間D?I,如果對于任意x1,x2∈D,且x1<x2,則有:(1)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)?___________;(2)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)?___________.2.單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是_______或_______,則稱函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,______叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)增函數(shù)減函數(shù)區(qū)間D3.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果存在M∈R滿足條件①對于任意的x∈I,都有________②存在x0∈I,使得_______①對于任意的x∈I,都有________②存在x0∈I,使得_______結(jié)論M是f(x)的_____值M是f(x)的_____值f(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥Mf(x0)=M最大最小判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”).(1)函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0)∪(0,+∞).(

)(2)對于函數(shù)f(x),x∈D,若x1,x2∈D且(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,則函數(shù)f(x)在D上是增函數(shù).(

)(3)函數(shù)y=|x|是R上的增函數(shù).(

)(4)函數(shù)y=f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+∞).(

)【解析】(1)錯誤.當(dāng)x1=-1,x2=1時,x1<x2,但f(x1)<f(x2),因此(-∞,0)∪(0,+∞)不是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.(2)正確.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?

因此函數(shù)f(x)是增函數(shù).(3)錯誤.函數(shù)y=|x|在(-∞,0)上是減函數(shù),在(0,+∞)上是增函數(shù).(4)錯誤.[1,+∞)是單調(diào)遞增區(qū)間的子集.答案:(1)×(2)√(3)×(4)×9、要學(xué)生做的事，教職員躬親共做；要學(xué)生學(xué)的知識，教職員躬親共學(xué)；要學(xué)生守的規(guī)則，教職員躬親共守。2024/10/292024/10/29Tuesday,October29,202410、閱讀一切好書如同和過去最杰出的人談話。2024/10/292024/10/292024/10/2910/29/202411:25:14PM11、一個好的教師，是一個懂得心理學(xué)和教育學(xué)的人。2024/10/292024/10/292024/10/29Oct-2429-Oct-2412、要記住，你不僅是教課的教師，也是學(xué)生的教育者，生活的導(dǎo)師和道德的引路人。2024/10/292024/10/292024/10/29Tuesday,October29,202413、Hewhoseizetherightmoment,istherightman.誰把握機(jī)遇，誰就心想事成。2024/10/292024/10/292024/10/292024/10/2910/29/202414、誰要是自己還沒有發(fā)展培養(yǎng)和教育好，他就不能發(fā)展培養(yǎng)和教育別人。29十月20242024/10/292024/10/292024/10/2915、一年之計，莫如樹谷；十年之計，莫如樹木；終身之計，莫如樹人。十月242024/10/292024/10/292024/10/2910/29/202416、提出一個問題往往比解決一個更重要。因為解決問題也許僅是一個數(shù)學(xué)上或?qū)嶒炆系募寄芏?，而提出新的問題，卻需要有創(chuàng)造性的想像力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步。2024/10/292024/10/2929October202417、兒童是中心，教育的措施便圍繞他們而組織起來。2024/10/292024/10/292024/10/292024/10/292、Ourdestinyoffersnotonlythecupofdespair,butthechaliceofopportunity.(RichardNixon,AmericanPresident)命運(yùn)給予我們的不是失望之酒，而是機(jī)會之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四3、Patienceisbitter,butitsfruitissweet.(JeanJacquesRousseau,Frenchthinker)忍耐是痛苦的，但它的果實是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.20214、Allthatyoudo,dowithyourmight;thingsdonebyhalvesareneverdoneright.----R.H.Stoddard,Americanpoet做一切事都應(yīng)盡力而為，半途而廢永遠(yuǎn)不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:195、Youhavetobelieveinyourself.That'sthesecretofsuccess.----CharlesChaplin人必須相信自己，這是成功的秘訣。-Thursday,June17,2021June21Thursday,June17,20216/17/2021

1.如果二次函數(shù)f(x)=3x2+2(a-1)x+b在區(qū)間(-∞,1)上是減函數(shù),則(

)(A)a=-2(B)a=2 (C)a≤-2(D)a≥2【解析】選C.二次函數(shù)的對稱軸是x=,由題意知≥1,解得a≤-2.2.函數(shù)f(x)中,滿足“對任意x1,x2∈(0,+∞),當(dāng)x1<x2時,都有f(x1)>f(x2)”的是(

)(A)f(x)= (B)f(x)=(x-1)2(C)f(x)=ex (D)f(x)=ln(x+1)【解析】選A.由題意知要求函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),故選A.3.函數(shù)y=(2k+1)x+b在R上是減函數(shù),則k的取值范圍是

.【解析】由題意知2k+1<0,∴k<.答案:(-∞,)4.f(x)=x2-2x,x∈[-2,3]的單調(diào)遞增區(qū)間為

,f(x)max=

.【解析】f(x)=(x-1)2-1,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[1,3],f(x)max=f(-2)=8.答案:[1,3]

8考向1

確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間

【典例1】(1)(2013·南京模擬)函數(shù)f(x)=log2(x2-4)的單調(diào)遞減區(qū)間為

.(2)試討論函數(shù)f(x)=,x∈(-1,1)的單調(diào)性(其中a≠0).【思路點撥】(1)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.(2)用定義法或?qū)?shù)法求解.【規(guī)范解答】(1)由x2-4>0得x>2或x<-2,即函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,-2)∪(2,+∞).令t=x2-4,因為y=log2t在t∈(0,+∞)上為增函數(shù),t=x2-4在x∈(-∞,-2)上是減函數(shù),所以函數(shù)f(x)=log2(x2-4)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-2).答案:(-∞,-2)(2)方法一(定義法):設(shè)x1,x2∈(-1,1)且x1＜x2,則f(x1)-f(x2)=∵-1＜x1＜x2＜1,∴x2-x1＞0,x12-1＜0,x22-1＜0,-1＜x1x2＜1,x1x2+1＞0,因此當(dāng)a＞0時,f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2),此時函數(shù)在(-1,1)上為減函數(shù);當(dāng)a＜0時,f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2),此時函數(shù)在(-1,1)上為增函數(shù).方法二(導(dǎo)數(shù)法)：f′(x)=當(dāng)a＞0時,f′(x)<0;當(dāng)a＜0時,f′(x)>0.∴當(dāng)a＞0時,f(x)在(-1,1)上為減函數(shù);當(dāng)a＜0時,f(x)在(-1,1)上為增函數(shù).【互動探究】若將本例題(1)中的函數(shù)改為f(x)=試求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.【解析】函數(shù)f(x)的定義域為(-1,+∞),令t=x+1,因為y=在t∈(0,+∞)上是減函數(shù),t=x+1在x∈(-1,+∞)上為增函數(shù),所以函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,+∞).【拓展提升】1.函數(shù)單調(diào)性的四種判斷方法(1)定義法.(2)圖象法.(3)利用已知函數(shù)的單調(diào)性.(4)導(dǎo)數(shù)法.2.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)y=f(t)和內(nèi)層函數(shù)t=g(x)的單調(diào)性判斷,遵循“同增異減”的原則.【變式備選】用定義法判斷函數(shù)y=在定義域上的單調(diào)性.【解析】由x2-1≥0得x≥1或x≤-1,即函數(shù)的定義域為(-∞,-1］∪［1,+∞).設(shè)x1＜x2,則f(x1)-f(x2)=∴當(dāng)x1,x2∈(-∞,-1］時,x1-x2＜0,>0,≥0,x1+x2＜0,則f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)＞f(x2),故函數(shù)在(-∞,-1］上是減函數(shù).當(dāng)x1,x2∈［1,+∞)時,x1-x2＜0,≥0,＞0,x1+x2＞0,則f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)＜f(x2),故函數(shù)在［1,+∞)上是增函數(shù).考向2

求函數(shù)的值域或最值【典例2】(1)(2013·天津模擬)設(shè)函數(shù)g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=則f(x)的值域是()(A)［-,0］∪(1,+∞)(B)［0,+∞)(C)［,+∞)(D)［-,0］∪(2,+∞)(2)用min{a,b,c}表示a,b,c三個數(shù)中的最小值，設(shè)f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),則f(x)的最大值為______.【思路點撥】(1)明確自變量的取值范圍,先求每一部分的函數(shù)值范圍,再取并集求值域.(2)明確f(x)的意義,數(shù)形結(jié)合求f(x)的最大值.【規(guī)范解答】(1)選D.解x＜g(x)=x2-2得x2-x-2＞0，則x＜-1或x＞2.因此x≥g(x)=x2-2的解為：-1≤x≤2.于是f(x)=當(dāng)x＜-1或x＞2時，f(x)=當(dāng)-1≤x≤2時，f(x)=且f(-1)=f(2)=0，∴≤f(x)≤0.由以上可得f(x)的值域是［,0］∪(2,+∞).故選D.(2)由題意知函數(shù)f(x)是三個函數(shù)y1=2x，y2=x+2,y3=10-x中的較小者，作出三個函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系下的圖象(如圖實線部分為f(x)的圖象)，可知A(4，6)為函數(shù)f(x)圖象的最高點，則f(x)max=6.答案:6【拓展提升】求函數(shù)最值的五個常用方法(1)單調(diào)性法:先確定函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)性求最值.(2)圖象法:先作出函數(shù)的圖象,再觀察其最高點、最低點,求出最值.(3)換元法:對比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù),再用相應(yīng)的方法求最值.(4)基本不等式法:先對解析式變形,使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.(5)導(dǎo)數(shù)法:先求導(dǎo),然后求出在給定區(qū)間上的極值,最后結(jié)合端點值,求出最值.【提醒】在求函數(shù)的值域或最值時,應(yīng)先確定函數(shù)的定義域.【變式訓(xùn)練】(1)函數(shù)f(x)=在區(qū)間［a,b］上的最大值是1,最小值是,則a+b=______.【解析】易知f(x)在［a,b］上為減函數(shù),答案:6(2)設(shè)f(x)=x2-2ax(0≤x≤1)的最大值為M(a),最小值為m(a),試求M(a)及m(a)的表達(dá)式.【解析】f(x)=x2-2ax=(x-a)2-a2,x∈[0,1].當(dāng)a≤0時,M(a)=f(1)=1-2a,m(a)=f(0)=0.當(dāng)0<a≤時,M(a)=f(1)=1-2a,m(a)=f(a)=-a2.當(dāng)<a≤1時,M(a)=f(0)=0,m(a)=f(a)=-a2.當(dāng)a>1時,M(a)=f(0)=0,m(a)=f(1)=1-2a.綜上知,M(a)=m(a)=考向3

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用【典例3】(1)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間［0,+∞)上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足f(2x-1)<f()的x的取值范圍是()(A)()(B)［)(C)()(D)［)(2)(2013·中山模擬)已知f(x)=滿足對任意x1≠x2,都有＞0成立，那么a的取值范圍是_________.【思路點撥】(1)根據(jù)單調(diào)性列不等式組求解,注意定義域.(2)尋找f(x)是增函數(shù)滿足的條件,列不等式組求解.【規(guī)范解答】(1)選D.由已知得(2)∵對任意x1≠x2,都有＞0成立,∴函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù).答案:［,2)【拓展提升】1.含“f”號不等式的解法首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x))>f(h(x))的形式,然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”號,轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組),此時要注意g(x)與h(x)的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi).2.比較函數(shù)值大小的思路比較函數(shù)值的大小時,若自變量的值不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi),要利用其函數(shù)性質(zhì),轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行比較,對于選擇題、填空題能數(shù)形結(jié)合的盡量用圖象法求解.【變式訓(xùn)練】(1)(2013·日照模擬)已知f(x)=是(-∞,+∞)上的減函數(shù),那么a的取值范圍是()(A)(0,1)(B)(0,)(C)［)(D)［,1)【解析】選C.由題意知(2)已知函數(shù)y=f(x)滿足:f(x)=f(4-x)(x∈R),且在[2,+∞)上為增函數(shù),則(

)(A)f(4)>f(1)>f(0.5)(B)f(1)>f(0.5)>f(4)(C)f(4)>f(0.5)>f(1)(D)f(0.5)>f(4)>f(1)【解析】選C.∵函數(shù)y=f(x)滿足:f(x)=f(4-x)(x∈R),∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=2對稱,∴f(1)=f(3),f(0.5)=f(3.5),又∵f(x)在[2,+∞)上為增函數(shù),∴f(4)>f(3.5)>f(3),即f(4)>f(0.5)>f(1),故選C.【易錯誤區(qū)】忽略定義域致誤

【典例】(2013·無錫模擬)已知函數(shù)f(x)=則滿足不等式f(1-x2)>f(2x)的x的取值范圍是

.【誤區(qū)警示】本題易出現(xiàn)以下錯誤由f(1-x2)>f(2x)得1-x2>2x,忽視了1-x2>0導(dǎo)致解答失誤.【規(guī)范解答】畫出f(x)=的圖象，由圖象可知,若f(1-x2)＞f(2x)，答案:(-1,-1)【思考點評】解決分段函數(shù)的單調(diào)性問題時,應(yīng)高度關(guān)注以下幾個方面(1)抓住對變量所在區(qū)間的討論.(2)保證各段上同增(減)時,要注意左、右段端點值間的大小關(guān)系.(3)弄清最終結(jié)果取并還是交.1.(2013·廣州模擬)已知函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x=1對稱,且在(1,+∞)上單調(diào)遞增,設(shè)a=f(),b=f(2),c=f(3),則a,b,c的大小關(guān)系為(

)(A)c<b<a (B)b<a<c(C)b<c<a (D)a<b<c【解析】選B.由題意知f(x)=f(2-x),則f()=f(2+)=f(),又f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,∴f(2)<f()<f(3),即b<a<c.2.(2013·濟(jì)寧模擬)函數(shù)在(0，+∞)上是減函數(shù)，則y=-2x2+ax在(0,+∞)上的單調(diào)性為________.【解析】∵函數(shù)在(0，+∞)上是減函數(shù)，∴a＜0.又y=-2x2+ax的對稱軸為在區(qū)間(0，+∞)的左邊,∴y=-2x2+ax在(0，+∞)上的單調(diào)性