自動控制原理第二節(jié)傳遞函數(shù)

10/29/202411:18:20PM1第二節(jié)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)10/29/202411:18:20PM2

傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最重要的數(shù)學(xué)模型之一。利用傳遞函數(shù)，可以：

不必求解微分方程就可以研究零初始條件系統(tǒng)在輸入作用下的動態(tài)過程。

了解系統(tǒng)參數(shù)或結(jié)構(gòu)變化時系統(tǒng)動態(tài)過程的影響--分析

可以對系統(tǒng)性能的要求轉(zhuǎn)化為對傳遞函數(shù)的要求---綜合傳遞函數(shù)的基本概念10/29/202411:18:20PM3一、傳遞函數(shù)的基本概念將上式求拉氏變化，得(令初始值為零）當(dāng)傳遞函數(shù)和輸入已知時Y(s)=G(s)X(s)。通過反變換可求出時域表達(dá)式y(tǒng)(t)。傳遞函數(shù)的基本概念傳遞函數(shù)的定義：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下輸出量的拉氏變換與輸出量的拉氏變換之比。稱為環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)式中：x（t）—輸入，y（t）—輸出為常系數(shù)設(shè)系統(tǒng)或元件的微分方程為：10/29/202411:18:20PM4[關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明]傳遞函數(shù)的概念適用于線性定常系統(tǒng)，它與線性常系數(shù)微分方程一一對應(yīng)。且與系統(tǒng)的動態(tài)特性一一對應(yīng)。傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)或元件的學(xué)科屬性和物理性質(zhì)。物理性質(zhì)和學(xué)科類別截然不同的系統(tǒng)可能具有完全相同的傳遞函數(shù)。而研究某傳遞函數(shù)所得結(jié)論可適用于具有這種傳遞函數(shù)的各種系統(tǒng)。傳遞函數(shù)僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)的輸入無關(guān)。只反映了輸入和輸出之間的關(guān)系，不反映中間變量的關(guān)系。傳遞函數(shù)的概念主要適用于單輸入單輸出系統(tǒng)。若系統(tǒng)有多個輸入信號，在求傳遞函數(shù)時，除了一個有關(guān)的輸入外，其它的輸入量一概視為零。傳遞函數(shù)忽略了初始條件的影響。傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)是s的有理分式，對實(shí)際系統(tǒng)而言分母的階次n大于分子的階次m，此時稱為n階系統(tǒng)。傳遞函數(shù)的基本概念10/29/202411:18:20PM5傳遞函數(shù)的基本概念例１[例1]求電樞控制式直流電動機(jī)的傳遞函數(shù)。[解]已知電樞控制式直流電動機(jī)的微分方程為：方程兩邊求拉氏變換為：令，得轉(zhuǎn)速對電樞電壓的傳遞函數(shù)：令，得轉(zhuǎn)速對負(fù)載力矩的傳遞函數(shù)：最后利用疊加原理得轉(zhuǎn)速表示為：10/29/202411:18:20PM6傳遞函數(shù)的基本概念例2[例2]求下圖的傳遞函數(shù)：10/29/202411:18:20PM7傳遞函數(shù)的基本概念例2[例2]求下圖的傳遞函數(shù)：10/29/202411:18:20PM8傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式[傳遞函數(shù)的幾種表達(dá)形式]：表示為有理分式形式：式中：—為實(shí)常數(shù)，一般n≥m上式稱為n階傳遞函數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。表示成零點(diǎn)、極點(diǎn)形式：式中：稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。—傳遞系數(shù)10/29/202411:18:20PM9傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式寫成時間常數(shù)形式：分別稱為時間常數(shù)，K稱為放大系數(shù)顯然：，若零點(diǎn)或極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)，則一般用2階項(xiàng)來表示。若為共軛復(fù)極點(diǎn)，則：或其系數(shù)由或求得；10/29/202411:18:20PM10若有零值極點(diǎn)，則傳遞函數(shù)的通式可以寫成：傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式

從上式可以看出：傳遞函數(shù)是一些基本因子的乘積。這些基本因子就是典型環(huán)節(jié)所對應(yīng)的傳遞函數(shù)，是一些最簡單、最基本的一些形式。式中：或：10/29/202411:18:20PM11比例環(huán)節(jié)二、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

典型環(huán)節(jié)有比例、積分、慣性、振蕩、微分和延遲環(huán)節(jié)等多種。以下分別討論典型環(huán)節(jié)的時域特征和復(fù)域（s域）特征。時域特征包括微分方程和單位階躍輸入下的輸出響應(yīng)。s域特性研究系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布。

比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)。k為放大系數(shù)。實(shí)例：分壓器，放大器，無間隙無變形齒輪傳動等。（一）比例環(huán)節(jié)：時域方程：傳遞函數(shù)：10/29/202411:18:20PM12積分環(huán)節(jié)

有一個0值極點(diǎn)。在圖中極點(diǎn)用“”表示，零點(diǎn)用“”表示。K表示比例系數(shù)，T稱為時間常數(shù)。（二）積分環(huán)節(jié)：時域方程：傳遞函數(shù)：0S平面j010/29/202411:18:20PM13積分環(huán)節(jié)實(shí)例積分環(huán)節(jié)實(shí)例：①RC圖中，為轉(zhuǎn)角，為角速度?？梢姡瑸楸壤h(huán)節(jié)， 為積分環(huán)節(jié)。②電動機(jī)（忽略慣性和摩擦）齒輪組10/29/202411:18:20PM14（三）慣性環(huán)節(jié)時域方程：傳遞函數(shù)：當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時,有，可解得： ，式中：k為放大系數(shù)，T為時間常數(shù)。當(dāng)k=1時，輸入為單位階躍函數(shù)時,時域響應(yīng)曲線和零極點(diǎn)分布圖如下：通過原點(diǎn)的斜率為1/T，且只有一個極點(diǎn)（-1/T）。1yt00.632T通過原點(diǎn)切線斜率為1/TjRe0S平面慣性環(huán)節(jié)10/29/202411:18:20PM15求單位階躍輸入的輸出響應(yīng)：

可見，y(t)是非周期單調(diào)升的，所以慣性環(huán)節(jié)又叫作非周期環(huán)節(jié)。慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)10/29/202411:18:20PM16①R2C-+R1而R②C兩個實(shí)例：慣性環(huán)節(jié)實(shí)例10/29/202411:18:20PM17振蕩環(huán)節(jié)（四）振蕩環(huán)節(jié)：時域方程：傳遞函數(shù)：上述傳遞函數(shù)有兩種情況：當(dāng)時，可分為兩個慣性環(huán)節(jié)相乘。即：傳遞函數(shù)有兩個實(shí)數(shù)極點(diǎn)：10/29/202411:18:20PM18振蕩環(huán)節(jié)分析y(t)t0單位階躍響應(yīng)曲線極點(diǎn)分布圖[分析]：y(t)的上升過程是振幅按指數(shù)曲線衰減的的正弦運(yùn)動。與有關(guān)。反映系統(tǒng)的阻尼程度，稱為阻尼系數(shù)，稱為無阻尼振蕩圓頻率。當(dāng)時，曲線單調(diào)升，無振蕩。當(dāng)時，曲線衰減振蕩。越小，振蕩越厲害。若，傳遞函數(shù)有一對共軛復(fù)數(shù)。還可以寫成：設(shè)輸入為：則10/29/202411:18:20PM19解：當(dāng)時，有一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。所以：解得：[例]：求質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的和。振蕩環(huán)節(jié)例子10/29/202411:18:20PM20微分環(huán)節(jié)（五）微分環(huán)節(jié)：微分環(huán)節(jié)的時域形式有三種形式：①②③相應(yīng)的傳遞函數(shù)為：①②③分別稱為：純微分，一階微分和二階微分環(huán)節(jié)。微分環(huán)節(jié)沒有極點(diǎn)，只有零點(diǎn)。分別是零、實(shí)數(shù)和一對共軛零點(diǎn)（若）。在實(shí)際系統(tǒng)中，由于存在慣性，單純的微分環(huán)節(jié)是不存在的，一般都是微分環(huán)節(jié)加慣性環(huán)節(jié)。10/29/202411:18:20PM21式中：y(t)x(t)R1R2C[實(shí)例]微分環(huán)節(jié)實(shí)例10/29/202411:18:20PM22延遲環(huán)節(jié)（六）延遲環(huán)節(jié)：又稱時滯，時延環(huán)節(jié)。它的輸出是經(jīng)過一個延遲時間后，完全復(fù)現(xiàn)輸入信號。如右圖所示。其傳遞函數(shù)為：延遲環(huán)節(jié)是一個非線性的超越函數(shù)，所以有延遲的系統(tǒng)是很難分析和控制的。為簡單起見，化簡如下：或x(t)ty(t)t10/29/202411:18:20PM23（七）其