43講 杠桿的平衡條件、杠桿中最小力的問題（含答案） 2024年初中物理自主招生講義68講

43講杠桿的平衡條件、杠桿中最小力的問題（含答案）2024年初中物理自主招生講義68講初中物理自主招生講義43杠桿及其五要素、探究杠桿的平衡條件、杠桿的動態(tài)平衡分析、杠桿的分類與應(yīng)用、杠桿的平衡條件、杠桿中最小力的問題一．杠桿及其五要素（共1小題）1．在足球賽場上，我們總能看到靠近球門的攝像師利用一根長支架進(jìn)行拍攝，如圖所示。這樣做的好處是。二．力臂的畫法（共3小題）2．如圖甲所示，曲桿AOBC自重不計(jì)，O為支點(diǎn)，AO＝60cm，OB＝40cm，BC＝30cm，要使曲桿在圖示位置平衡，請作出最小的力F的示意圖及其力臂L。3．如圖所示，一輕質(zhì)杠桿OA可繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動，A端用繩子系住，繩子的另一端系于豎趕墻壁的C點(diǎn)，在杠桿中點(diǎn)B處懸掛一重為G的重物，杠桿處于水平靜止?fàn)顟B(tài)。已知杠桿OA長為2L，O點(diǎn)到C點(diǎn)距離為L。（1）請?jiān)趫D上畫出拉力F的力臂；（2）求出拉力F的大??；（3）若繩子能承受的最大拉力為G，則重物最多能懸掛在離O點(diǎn)多遠(yuǎn)處？4．如圖所示，O為杠桿AC的支點(diǎn)，在B處掛一小球，AO＝OB＝BC，為使杠桿在水平位置平衡，畫出施加在杠桿上最小動力F1的力臂L1，并標(biāo)出F1的方向。三．杠桿的平衡條件（共25小題）5．有一物體由粗細(xì)不同的兩段圓柱體組成，用線系著懸掛起來，恰好能在水平位置平衡，如圖所示，已知該物體由同一材料制成，粗段的橫截面積是細(xì)段的2倍，那么粗段的長度是細(xì)段的（）A．倍 B．倍 C．2倍 D．倍6．小新同學(xué)家中的墻壁上豎直懸掛著一指針式電子鐘，當(dāng)其因電池電能不足而停止時，指針最可能停在如圖中所示的哪個位置附近（）A．B．C．D．7．一輛汽車重1.0×104N，現(xiàn)要測量車的重心位置，讓車的前輪壓在水平地秤（一種彈簧秤）上，測得壓力為6×103N，汽車前后輪中心的距離是2m．則汽車重心的位置到前輪中心的水平距離為（）A．2m B．1.8m C．1.2m D．0.8m8．如圖所示的杠桿是平衡的。若如圖乙所示，在支點(diǎn)兩側(cè)的物體下方分別加掛一個等重的物體，杠桿（）A．仍能平衡 B．不能平衡，A端上升 C．不能平衡，B端上升 D．無法判斷9．一根粗細(xì)不均勻的樹干在點(diǎn)O支起，恰好平衡；如果在點(diǎn)O把它鋸斷，則（）A．兩段樹干的重力相等 B．細(xì)而長的一段重 C．粗而短的一段重 D．無法判斷10．有一根長為l的均勻細(xì)棒，一部分浸入密度為ρ的液體中，長度為b，另一端擱在容器壁上，伸出器壁的長度為a，如圖所示。則細(xì)棒的密度等于（）A．ρ?（1+） B．ρ?（1﹣） C．ρ?（1+） D．ρ?（1+）11．如圖所示，杠桿OA在力FA、FB的作用下保持水平靜止?fàn)顟B(tài)，杠桿的自重不計(jì)，O為杠桿的支點(diǎn)，F(xiàn)B的方向與OA垂直。則下列關(guān)系式中一定正確的是（）A．FA?OA＝FB?OB B．FA?OA＜FB?OB C．＝ D．FA＞FB?（多選）12．甲物體靜止在水平地面上時，對地面的壓強(qiáng)為6×105Pa．現(xiàn)將甲物體用細(xì)繩掛在輕質(zhì)杠桿的A端，杠桿的B端懸掛乙物體，如圖所示，當(dāng)杠桿在水平位置平衡時，甲物體對地面的壓強(qiáng)為2×105Pa，已知：乙物體的質(zhì)量為2kg，OA：OB＝1：3，g取10N/kg。下列判斷中正確的是（）A．甲物體的重力是90N B．要使甲物體恰好被細(xì)繩拉離地面，甲物體對地面的壓力只需減少30N C．要使甲物體恰好被細(xì)繩拉離地面，杠桿B端所掛物體的質(zhì)量至少增加1kg D．要使甲物體恰好被細(xì)繩拉離地面，可以移動支點(diǎn)O的位置，使OA：OB＝9：213．如圖所示，一根輕質(zhì)木桿，A端細(xì)線下所掛50N的重物靜止在水平地面上。當(dāng)在B點(diǎn)加豎直向下的力F＝30N作用時，木桿恰能在水平位置處于平衡狀態(tài)，此時細(xì)線豎直。已知OA＝15cm，OB＝5cm，則重物對水平地面的壓力為。14．由五塊相同磚塊構(gòu)成的橋，如圖所示，若每塊磚長度為L，則此橋的最大跨度為。15．一輛板車陷入泥里，甲、乙兩人來幫忙。甲幫助拉車把，乙推車輪的上邊緣，若兩人用力一樣大，且方向合理，則兩人中實(shí)際效果更好些的是，這是因?yàn)椤?6．地面上有一條大木桿，抬起A端需用力300N，抬起B(yǎng)端需用力200N．這條木桿的端較粗，整個木桿的重量（所受的重力）為N。17．一塊邊長為10厘米、質(zhì)量為1.5千克的正方體，放在水平地面上，若要把它翻轉(zhuǎn)一次，至少要做焦的功，把此正方體翻轉(zhuǎn)的最小推力為牛。（g＝10N/kg）18．輕質(zhì)杠桿力臂L1≠L2，左端懸掛一物體時，右端每個砝碼質(zhì)量為m，盤質(zhì)量為m0．已知物體體積為V，水的密度為ρ，物體密度大于ρ．物體完全浸沒在水中后，需要拿掉右端質(zhì)量為的砝碼。19．如圖，一根均勻的棒，其一端B用細(xì)繩吊在墻上，另一端A浸在水中，棒重為G，當(dāng)木棒L的一半長浸在水中時，恰好如圖平衡，則木棒的密度ρ＝。20．一根長為L的圓木頭，質(zhì)量大于100kg，其重心O在離大頭為L的地方，甲、乙二人同時各扛一端將木頭扛起，此后丙又在木頭中點(diǎn)N處向上扛，用力f丙＝300N，如圖所示，由于丙的參與，甲的負(fù)重減輕了N，乙的負(fù)重減輕了N。21．如圖所示，長為l的兩塊相同的均勻長方形磚塊A和B疊放在一起，A磚相對于B磚伸出，B磚放在水平桌面上磚的端面與桌面平行。為保持兩磚不翻倒，B磚伸出桌面的最大長度是。22．如圖所示，重力不計(jì)的輕桿O1B和O2A，長度均為L，O1和O2為光滑的轉(zhuǎn)動軸，A處有一突起物擱在O1B的中點(diǎn)，B處用細(xì)繩系在O2A的中點(diǎn)，此時兩短桿便組合成一根長桿。今在O1B桿上的C點(diǎn)（C點(diǎn)為AB的中點(diǎn)）懸掛一個重為G的物體，則A處受到的支承力為；B處繩的拉力為。23．如圖是挖井時從井中提升沙土的杠桿示意圖，杠桿AB可以在豎直平面內(nèi)繞固定點(diǎn)O轉(zhuǎn)動，已知AO：OB＝5：4，懸掛在A端的桶與沙土所受的重力為200N，懸掛在B端的配重所受的重力為80N，當(dāng)杠桿AB在水平位置平衡時，加在配重下面繩端的豎直向下的拉力F是N．當(dāng)把水桶浸入水中的體積是m3時，加在配重下面繩端的豎直向下的拉力F恰好為零。（不計(jì)桿重和繩重）24．如圖甲所示在容器底部用吸盤固定一個滑輪，輕質(zhì)杠桿A端的細(xì)線通過滑輪與水中的實(shí)心長方體C相連，C的底面積為0.2m2，輕質(zhì)杠桿OA：OB＝3：2．容器內(nèi)有一定質(zhì)量的水，實(shí)心長方體C漂浮在水面上，此時物體D對杠桿B端的拉力恰好為零。繼續(xù)向容器中加水，D物體對地面壓力隨C下底面的深度h變化的圖象如圖乙所示。不計(jì)摩擦、繩重和水的阻力，求：（1）C的重力GC；（2）D物體的重力GD。25．將一根粗細(xì)均勻的鐵絲彎成直角，兩直角邊邊長之比為2：1，將角頂放在一光滑細(xì)釘上（如圖所示），當(dāng)直角鐵絲靜止時，短邊和豎直方向的夾角θ的正切等于。26．如圖AB、BC、CD是三根相同的輕桿，彼此之間用絞鏈連接，輕桿與墻壁之間也以絞鏈連接。A、D兩點(diǎn)在同一水平面內(nèi)。絞鏈B上懸掛一質(zhì)量為m的物體，為使BC保持水平，在絞鏈C上至少要施加多大的作用力？27．如圖所示，A、B、C、D是四塊完全相同的磚，質(zhì)量均勻分布，長度為2L（注意：長度不是為L），處于靜止?fàn)顟B(tài)。上面的磚相對下面的磚伸出的長度分別為x、y、z。（1）（x+y+z）應(yīng)該小于多少？（2）如果要求x＝y(tǒng)＝z，那么（x+y+z）應(yīng)該小于多少？28．質(zhì)量為10kg，長2m的不均勻細(xì)桿，兩端用細(xì)繩懸于天花板上的O點(diǎn)。在距B端0.3m處掛一質(zhì)量為3kg的重物，桿恰好保持水平。已知桿AB與兩繩間夾角分別為30°和60°（如圖所示），求桿重心距A端的距離。29．挑擔(dān)子時為什么把系在扁擔(dān)和筐子間的繩子放長些更好？四．探究杠桿的平衡條件（共2小題）30．小明、小亮和小敏在實(shí)驗(yàn)室分別做三個小實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)過程中，他們分別遇到了不同的困惑，有些困惑，他們通過交流已經(jīng)提出了解決方案，但還需要聽聽你的意見；有些困惑，需要你幫助解決。（1）小明的實(shí)驗(yàn)是“探究杠桿的平衡條件”，他在完成教材中的探究任務(wù)后，又多加了一個彈簧測力計(jì)繼續(xù)進(jìn)行探究。他的困惑是：在圖所示杠桿已經(jīng)平衡的情況下，不知道怎樣測彈簧拉力的力臂。請你在圖中幫小明作出彈簧拉力F對支點(diǎn)O的力臂。（2）小亮的實(shí)驗(yàn)是“探究同種物質(zhì)的質(zhì)量與體積的關(guān)系”，他選擇了三個體積不同，質(zhì)量分別為89g、178g、356g的實(shí)心銅塊做實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)中，他用每次都盛有30cm3水的量筒分別測出了三個銅塊的體積，并將數(shù)據(jù)記錄在了自己設(shè)計(jì)的表格中。質(zhì)量m/g體積V/cm3比值（m/V）/（g/cm3）銅塊18910銅塊217820銅塊335670小亮在計(jì)算質(zhì)量與體積的比值（m/V）時，發(fā)現(xiàn)其中的一個數(shù)據(jù)測量有錯誤，這個數(shù)據(jù)應(yīng)該是（填該數(shù)據(jù)的數(shù)字和它的單位）。小亮的困惑是：不清楚這個錯誤是怎樣產(chǎn)生的。請你幫小亮指出該錯誤產(chǎn)生的原因：。（3）小敏的實(shí)驗(yàn)是“探究凸透鏡成像的特點(diǎn)”。她的困惑是：不知道實(shí)驗(yàn)室準(zhǔn)備的凸透鏡的焦距。小亮給他提供的解決方案是：根據(jù)圖所示的設(shè)計(jì)方案圖進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。測出焦距。你的意見：小亮的“方案”是（填“可行”或“不可行”）的。A．如果“方案”可行，請你對利用該“方案”測量焦距的具體操作提出一條注意事項(xiàng)：B．如果“方案”不可行，請?zhí)岢瞿愕慕鉀Q方案：。（說明：若你認(rèn)為“方案”可行，則選A解答，若你認(rèn)為“方案”不可行，則選B解答）31．在“探究杠桿平衡條件”的實(shí)驗(yàn)中，先把杠桿的中點(diǎn)支在支架上，杠桿停在如圖a所示的位置，此時杠桿（選填“處于”或“不處于”）平衡狀態(tài)。為了使杠桿在水平位置平衡，可以調(diào)節(jié)右端的螺母，使它向（選填“左”或“右”）移動。在杠桿上掛1牛的重物，如圖b所示，則彈簧測力計(jì)的示數(shù)2牛（選填“＞”、“＝”或“＜”）；若將所掛的重物往右移，則彈簧測力計(jì)的示數(shù)會（選填“變大”、“不變”或“變小”）五．杠桿的動態(tài)平衡分析（共7小題）32．如圖所示，杠桿OA的B點(diǎn)掛著重物G，A端用細(xì)繩掛在圓弧EF上，此時OA恰成水平，且A點(diǎn)與圓弧形架EF的圓心重合。當(dāng)繩AM的M端從E點(diǎn)緩慢滑到F點(diǎn)的過程中，繩對A點(diǎn)拉力的大小將（）A．逐漸變大 B．逐漸變小 C．先變大再變小 D．先變小再變大33．如圖所示，一根鐵棒在水平拉力F的作用下，以O(shè)點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸，由豎直逆時針勻速轉(zhuǎn)向水平位置的過程中，動力F與動力臂L的大小變化（）A．F增大，L增大 B．F減小，L減小 C．F增大，L減小 D．F減小，L增大34．如圖所示的裝置中，均勻木棒AB的A端固定在鉸鏈上，懸線一端繞過某定滑輪，另一端套在木棒上使木棒保持水平，現(xiàn)使線套逐漸向右移動，但始終保持木棒水平，則懸線上的拉力（棒和懸線均足夠長）（）A．逐漸變小 B．逐漸變大 C．先逐漸變大，后又變小 D．先逐漸變小，后又變大35．如圖所示，木塊m放在木板AB上，在木板的A端用一個豎直向上的力F使木板繞B端逆時針緩慢轉(zhuǎn)動（B端不滑動）．在此過程中，m與AB保持相對靜止，則（）A．木塊m對木板AB的壓力增大 B．木塊m受到的靜摩擦力逐漸減小 C．豎直向上的拉力F逐漸減小 D．拉力F的力矩逐漸減小36．如圖所示，作用在杠桿一端且始終與杠桿垂直的力F，將杠桿緩慢地由位置A拉至位置B，力F在這個過程中（）A．變大 B．變小 C．不變 D．先變大后變?。ǘ噙x）37．質(zhì)量分布不均的桿一端用鉸鏈固接，在桿上某處懸掛一物塊。今用豎直向上的力作用在桿的另一端，緩慢地將桿從A位置拉至水平B位置的過程中（桿與鉸鏈的摩擦不計(jì)），以下說法正確的是（）A．F大小不變 B．F在變小 C．F相對于鉸鏈的力矩（力和力臂的乘積）不變 D．F相對于鉸鏈的力矩在變大38．如圖所示的杠桿，重物掛在杠桿的中間位置，現(xiàn)用一個豎直向上的力F將這個重物提起，在提起的過程中力F的方向不變，則力F的大小將（先變大后變小、不變、先變小后變大），如果要提高該裝置的機(jī)械效率，A點(diǎn)應(yīng)向（填O或B）點(diǎn)移動。六．杠桿的平衡分析法及其應(yīng)用（共13小題）39．長均為L、質(zhì)量均為m的兩根均勻直桿A、B，它們的上端用光滑鉸鏈鉸接，懸掛于天花板上，在距離兩桿下端點(diǎn)均為處，用光滑鉸鏈M、N與彎桿C鉸接，A、B兩桿被彎桿C撐開的角度為2θ，彎桿C和鉸鏈的質(zhì)量均不計(jì)，如圖所示，則可知彎桿對桿A的作用力方向（）A．垂直于OA桿向左 B．在M點(diǎn)處沿彎桿的切線方向向左 C．水平向左 D．以上三個方向均有可能40．等臂杠桿兩端各懸掛一質(zhì)量相等的實(shí)心銅球和鐵球，杠桿保持平衡，如圖所示，若將兩球同時浸入水中，杠桿將（）A．銅球上升 B．鐵球上升 C．仍平衡 D．無法確定41．有一根長1.5m，重300N粗細(xì)不均的木棒平放在水平地面上，稍微抬起它的一端需力200N，則這時抬起的端是（選填“粗端”或“細(xì)端”）。42．某工地在冬季水利建設(shè)中設(shè)計(jì)了一個提起重物的機(jī)械，如圖所示是這個機(jī)械一個組成部分的示意圖。OA是根鋼管，每米受重力為30N；O是轉(zhuǎn)動軸；重物的質(zhì)量m為150kg，掛在B處，OB＝1m；拉力F加在A點(diǎn)，豎直向上，取g＝10N/kg．為維持鋼管水平平衡，OA為m時所用的拉力最小。43．如圖所示，水平放置的一個均勻薄木板，其中心C固定在對虛線對稱的均勻支架上。木板可繞O點(diǎn)順時針翻轉(zhuǎn)。已知木板長為2m，C到地面距離R＝1m．一個質(zhì)量為m的小物塊在水平力F作用下，從a端沿木板做勻速直線運(yùn)動，小物塊所受的摩擦力f＝0.2mg，為使木板不翻轉(zhuǎn)，物體向右運(yùn)動的最大距離不超過m。44．桿秤加一些小配件就可以設(shè)計(jì)制造出一桿能測出液體密度的桿秤。在秤盤中放一個容積為500mL、質(zhì)量為200g的玻璃容器，然后在桿秤的某些刻度上標(biāo)上密度值，就制成了一桿簡單而實(shí)用的液體密度秤（如圖所示）．只要在玻璃容器中加500mL的待測液體，就可以直接“稱”出該液體的密度。在這桿秤上，密度為“0”刻度應(yīng)標(biāo)在原刻度kg處；請通過計(jì)算，確定桿秤上“0.6kg”刻度處對應(yīng)的密度值g/cm3。45．如圖所示杠桿，在杠桿B點(diǎn)掛上一個重為6N的物體，要使杠桿在水平位置平衡，可在A點(diǎn)加N的力，力的方向是；若在C點(diǎn)加N的力，力的方向是。46．小明到一家商店去買2Kg白砂糖，店主用一架不等臂的天平分兩次將糖稱給他：把天平調(diào)節(jié)平衡后，先在左盤放入1Kg的砝碼，在右盤放入質(zhì)量為m1的糖使天平平衡，然后又將質(zhì)量為1Kg的砝碼放入右盤，在左盤放入質(zhì)量為m2的糖使天平平衡，最后店主將質(zhì)量為m1和m2的白砂糖一起給了小明。試通過計(jì)算說明，小明買到的白砂糖的質(zhì)量是否是2kg？47．某同學(xué)用一根粗細(xì)均勻的鐵棒，將一個邊長為a的正方形重物箱撬起一個很小的角度（如圖所示，圖中的角度已被放大）．已知：鐵棒單位長度的質(zhì)量為m，在另一端施加一個向上的力撬動重物箱。如果插入的長度為箱寬的五分之一，并保持該長度不變，求：（1）重物對鐵棒的壓力為多大？（2）當(dāng)選用的鐵棒長度滿足什么條件時，施加的力最小，此最小的力為多大？48．三根重均為G、長均為a的相同均勻木桿（其直徑d?a）如圖對稱地靠在一起，三木桿底端間均相距a，求：（1）A桿頂端所受作用力的大小和方向；（2）若有一重為G的人坐在A桿中點(diǎn)處，則A桿頂端所受作用力的大小和方向又如何？49．小強(qiáng)為課題研究小組提供了一把家中收藏的舊桿秤。桿秤的刻度模糊不清，只有5kg和6kg的刻度清晰可辨，秤砣遺失。小組成員對桿秤的外形進(jìn)行了測量，測量結(jié)果如圖所示。請根據(jù)以上信息（1）判斷該桿秤的重心（不包括秤砣）應(yīng)該在提紐的哪一側(cè)；（2）求出秤砣的質(zhì)量。50．某古典建筑上有一根粗細(xì)不均勻的立柱（下端粗，上端細(xì)），重約2004N，在一次維修時將它橫放在水平地面上，現(xiàn)有一個最大稱量200kg的桿秤和一些輔助工具，要求稱量該立柱的質(zhì)量。（1）簡要寫出稱量步驟。（2）需要測量哪些物理量？并寫出計(jì)算立柱質(zhì)量的表達(dá)式。51．某工廠設(shè)計(jì)了一個蓄水池（如圖所示），水源A罐的液面高度h1保持不變。罐底有一個小出水口，面積為S1．孔下通過一個截面積為S2活塞與杠桿BC相連。杠桿可繞B端上下轉(zhuǎn)動，另一端有一個中空的圓柱形浮子，橫截面積為S3，BO是杠桿總長的．原設(shè)計(jì)打算當(dāng)杠桿水平時，浮子浸入水深為h2，活塞恰好能堵住出水口，但在使用時發(fā)現(xiàn)，活塞離出水口尚有極小一段距離時，浮子便不再上浮，此時浮子沒入水深為h3．為了使活塞自動堵住出水口，只得將浮子的重量減去G′．試求浮子應(yīng)減去重量G′的大小。（活塞及連桿的重量不計(jì)，杠桿所受浮力不計(jì)。）七．杠桿中最小力的問題（共4小題）52．在海南舉辦的大力士比賽中，有一個項(xiàng)目是把車輪推上臺階。下面把車輪推上臺階的四種方法，推力的作用點(diǎn)相同，推力的方向不同，如圖所示，則哪一種推法最省力（）A． B． C． D．53．小明推一輛滿載重物的獨(dú)輪車，手握在車把A處（圖中未畫人），遇到一個較高的臺階，他自己推不上去，小華趕快跑來幫忙。小華選擇了一種最省力且效果最好的施力方法，請畫出小華所施力F的示意圖。54．如圖所示，唐師傅想用最省力的方法把一個油桶推上臺階，請你在圖中畫出這個力的示意圖。55．有一邊長為a，密度為ρ的立方體大理石，工人用一根粗細(xì)均勻的單位長度重為P牛的鐵棒將石塊撬起一個很小的角度。如圖所示，如果插入的長度為石塊邊長的四分之一，并保持該長度不變，則當(dāng)選用的鐵棒多長時，向上施加的力最?。看俗钚〉牧Χ啻?？八．杠桿的分類（共5小題）56．室內(nèi)垃圾桶平放時桶蓋關(guān)閉不使垃圾發(fā)出異味，使用時用腳踩踏板，桶蓋開啟。根據(jù)室內(nèi)垃圾桶的結(jié)構(gòu)示意圖（如圖所示）可確定（）A．桶中只有一個杠桿在起作用，且為省力杠桿 B．桶中只有一個杠桿在起作用，且為費(fèi)力杠桿 C．桶中有兩個杠桿在起作用，且都是省力杠桿 D．桶中有兩個杠桿在起作用，且一個是省力杠桿，一個是費(fèi)力杠桿57．我市竹資源非常豐富，如圖是某公司生產(chǎn)的竹木工藝筷。下列關(guān)于筷子的“自述”中，錯誤的是（）A．將我放在水里，我就會受到浮力的作用 B．當(dāng)人們在餐桌上使用我時，我就成了省力杠桿 C．當(dāng)我從桌面掉到地面的過程，我的重力勢能越來越小 D．將我斜插在玻璃水杯中，我的身子被“折斷”是由于光的折射58．如圖賽艇比賽的場景，賽艇的槳可看成一個杠桿。若把杠桿按省力杠桿、等臂杠桿和費(fèi)力杠桿進(jìn)行分類，賽艇的槳屬于（）A．省力杠桿 B．費(fèi)力杠桿 C．等臂杠桿 D．無法確定59．圖中所示每個指甲剪中總共有個杠桿，其中圖甲和圖乙是指甲剪的兩種裝配方法，其中圖的裝法比較好，用起來比較。60．杠桿在我國古代就有了許多巧妙的應(yīng)用。護(hù)城河上安裝使用的吊橋就是一個杠桿，由圖可知它的支點(diǎn)在（填A(yù)、B、或C），在勻速拉起時，它屬于一個杠桿，在圖中畫出動力臂。初中物理自主招生講義43杠桿及其五要素、探究杠桿的平衡條件、杠桿的動態(tài)平衡分析、杠桿的分類與應(yīng)用、杠桿的平衡條件、杠桿中最小力的問題一．杠桿及其五要素（共1小題）1．在足球賽場上，我們總能看到靠近球門的攝像師利用一根長支架進(jìn)行拍攝，如圖所示。這樣做的好處是為了獲得更大的拍攝范圍。答案與解析：從圖中可以看出攝像師利用的這根長支架是一個費(fèi)力杠桿，雖然他費(fèi)了力卻省了距離，他移動比較小的距離，攝像就可移動比較大的距離?？梢耘臄z更大的范圍。故答案為：為了獲得更大的拍攝范圍。二．力臂的畫法（共3小題）2．如圖甲所示，曲桿AOBC自重不計(jì)，O為支點(diǎn)，AO＝60cm，OB＝40cm，BC＝30cm，要使曲桿在圖示位置平衡，請作出最小的力F的示意圖及其力臂L。答案與解析：根據(jù)杠桿平衡的條件可知，力臂越長越省力，因?yàn)镺B＝40cm，BC＝30cm，所以O(shè)C＝50cm，而OA＝60cm，故OA作為力臂最長，所以過A點(diǎn)作垂直于OA的有向線段，方向向上，即為最小的力F的示意圖。如圖所示：3．如圖所示，一輕質(zhì)杠桿OA可繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動，A端用繩子系住，繩子的另一端系于豎趕墻壁的C點(diǎn)，在杠桿中點(diǎn)B處懸掛一重為G的重物，杠桿處于水平靜止?fàn)顟B(tài)。已知杠桿OA長為2L，O點(diǎn)到C點(diǎn)距離為L。（1）請?jiān)趫D上畫出拉力F的力臂；（2）求出拉力F的大?。唬?）若繩子能承受的最大拉力為G，則重物最多能懸掛在離O點(diǎn)多遠(yuǎn)處？答案與解析：（1）過支點(diǎn)O作垂直繩子對杠桿的拉力F作用線的垂線段（即力臂L）。如圖所示：（2）根據(jù)杠桿平衡條件得：F×OD＝G×OA即F＝G又因?yàn)镺C＝L，OA＝2L所以AC＝L則F＝G＝G＝G。（3）設(shè)重物最多能懸掛在離O點(diǎn)的距離為X。∵＝∴OD＝×OA＝×2L＝L則根據(jù)杠桿平衡條件得：F×OD＝G×XX＝＝×L＝答：（2）拉力F的大?。唬?）重物最多能懸掛在離O點(diǎn)的距離為。4．如圖所示，O為杠桿AC的支點(diǎn)，在B處掛一小球，AO＝OB＝BC，為使杠桿在水平位置平衡，畫出施加在杠桿上最小動力F1的力臂L1，并標(biāo)出F1的方向。答案與解析：杠桿平衡時，動力F1要最小，F(xiàn)1的力臂應(yīng)最大，即CO為動力臂，力F1作用點(diǎn)在C點(diǎn)，豎直向上拉，如圖：三．杠桿的平衡條件（共25小題）5．有一物體由粗細(xì)不同的兩段圓柱體組成，用線系著懸掛起來，恰好能在水平位置平衡，如圖所示，已知該物體由同一材料制成，粗段的橫截面積是細(xì)段的2倍，那么粗段的長度是細(xì)段的（）A．倍 B．倍 C．2倍 D．倍答案與解析：由杠桿平衡的條件可得：G1×l1＝G2×l2ρ1gs1l1×l1＝ρ2gs2l2×l2；∵物體由同一材料制成，粗段的橫截面積是細(xì)段的2倍，則有：ρ1＝ρ2，s1＝2s2；∴2×＝即l1＝l2。故選：A。6．小新同學(xué)家中的墻壁上豎直懸掛著一指針式電子鐘，當(dāng)其因電池電能不足而停止時，指針最可能停在如圖中所示的哪個位置附近（）A．B．C．D．答案與解析：因電能是漸漸消耗的，而當(dāng)需要提供的力最大時，消耗的電能最多；因秒針的重力不變，而當(dāng)秒針在水平位置時重力的力臂是最大的，則當(dāng)指針在左側(cè)水平位置向上時，電能需要克服的阻力及重力的力臂的乘積最大，則此時消耗的電能最多；故秒針最應(yīng)停在9點(diǎn)的位置，即A圖所示；故選：A。7．一輛汽車重1.0×104N，現(xiàn)要測量車的重心位置，讓車的前輪壓在水平地秤（一種彈簧秤）上，測得壓力為6×103N，汽車前后輪中心的距離是2m．則汽車重心的位置到前輪中心的水平距離為（）A．2m B．1.8m C．1.2m D．0.8m答案與解析：汽車的重力G＝1.0×104N，設(shè)重力的力臂即阻力臂為L阻，地秤對車的支持力F等于車對地秤的壓力，即地秤的示數(shù)F'，F(xiàn)＝F'＝6×103N，支持力力臂即動力的力臂L動＝2m，由杠桿平衡條件得：G×L阻＝F×L動，所以L阻＝＝＝1.2m，則汽車重心到前輪中心的水平距離是L＝2m﹣1.2m＝0.8m。故選：D。8．如圖所示的杠桿是平衡的。若如圖乙所示，在支點(diǎn)兩側(cè)的物體下方分別加掛一個等重的物體，杠桿（）A．仍能平衡 B．不能平衡，A端上升 C．不能平衡，B端上升 D．無法判斷答案與解析：甲圖杠桿平衡是因?yàn)椋?G×2L＝1G×4L；乙圖分別加掛一個等重的物體G′后：左邊：（2G+G′）×2L＝2G×2L+G′×2L右邊：（1G+G′）×4L＝1G×4L+G′×4L，因?yàn)镚′×2L＜G′×4L，所以：（2G+G′）×2L＜（1G+G′）×4L所以杠桿不能平衡，A端上升、B端下沉；故選：B。9．一根粗細(xì)不均勻的樹干在點(diǎn)O支起，恰好平衡；如果在點(diǎn)O把它鋸斷，則（）A．兩段樹干的重力相等 B．細(xì)而長的一段重 C．粗而短的一段重 D．無法判斷答案與解析：根據(jù)杠桿原理：F1L1＝F2L2，可知：粗的一段重，由于粗的一段重心離支點(diǎn)近，力臂比較小，故粗的一段重。故選：C。10．有一根長為l的均勻細(xì)棒，一部分浸入密度為ρ的液體中，長度為b，另一端擱在容器壁上，伸出器壁的長度為a，如圖所示。則細(xì)棒的密度等于（）A．ρ?（1+） B．ρ?（1﹣） C．ρ?（1+） D．ρ?（1+）答案與解析：因重力的作用點(diǎn)在物體的重心，由于棒是均勻的，所以重力的作用點(diǎn)A在棒的中心；又因細(xì)棒只有浸入液體中的部分b才受浮力，所以浮力的作用點(diǎn)B在浸入部分的中點(diǎn)。如圖所示：設(shè)均勻細(xì)棒的橫截面積和密度分別為S、ρ′，則其重力為G＝ρ′glS。根據(jù)阿基米德原理，浸入液體中部分受到的浮力F浮＝ρgV排＝ρgbS，由圖可知，OA＝﹣a，OB＝l﹣a﹣，又設(shè)重力和浮力的力臂分別為l1、l2，則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得：OA：OB＝l1：l2。由杠桿的平衡條件得：Gl1＝F浮l2，即ρ′glS（﹣a）＝ρgbS（l﹣a﹣），將上式整理后得：ρ′＝ρ?（1+）。故選：A。11．如圖所示，杠桿OA在力FA、FB的作用下保持水平靜止?fàn)顟B(tài)，杠桿的自重不計(jì)，O為杠桿的支點(diǎn)，F(xiàn)B的方向與OA垂直。則下列關(guān)系式中一定正確的是（）A．FA?OA＝FB?OB B．FA?OA＜FB?OB C．＝ D．FA＞FB?答案與解析：過O點(diǎn)作FA作用線的垂線段，即FA的力臂；如圖所示：因?yàn)镕B的方向與OA垂直，所以FB對應(yīng)的力臂為OB；顯然FA的方向與OA不垂直；從圖中可知，F(xiàn)A的力臂為OC，并且OC小于OA，故FA×OC＝FB×OB；故A錯誤；因?yàn)镺A大于OC，因此FA×OA＞FB×OB；故B錯誤；由FA×OC＝FB×OB可得，＝，故C錯誤；因?yàn)镕A×OA＞FB×OB，所以FA＞FB?，故D正確。故選：D。（多選）12．甲物體靜止在水平地面上時，對地面的壓強(qiáng)為6×105Pa．現(xiàn)將甲物體用細(xì)繩掛在輕質(zhì)杠桿的A端，杠桿的B端懸掛乙物體，如圖所示，當(dāng)杠桿在水平位置平衡時，甲物體對地面的壓強(qiáng)為2×105Pa，已知：乙物體的質(zhì)量為2kg，OA：OB＝1：3，g取10N/kg。下列判斷中正確的是（）A．甲物體的重力是90N B．要使甲物體恰好被細(xì)繩拉離地面，甲物體對地面的壓力只需減少30N C．要使甲物體恰好被細(xì)繩拉離地面，杠桿B端所掛物體的質(zhì)量至少增加1kg D．要使甲物體恰好被細(xì)繩拉離地面，可以移動支點(diǎn)O的位置，使OA：OB＝9：2答案與解析：A、乙物體的重力G乙＝m乙g＝2kg×10N/kg＝20N；根據(jù)杠桿平衡條件FALOA＝G乙LOB，細(xì)繩對A端的拉力：FA＝G乙×＝20N×＝60N，繩子拉力處處相等，細(xì)繩對甲的拉力也為60N，甲對地面的壓力△F減少了60N，△F＝F1﹣F2＝p1S﹣p2S，數(shù)據(jù)代入：60N＝6×105PaS﹣2×105PaS，解得：S＝1.5×10﹣4m2；則甲的重力G甲＝F1＝p1S＝6×105Pa×1.5×10﹣4m2＝90N；故A正確；B、甲對地面的壓力為F甲＝G甲﹣△F＝90N﹣60N＝30N；要使甲物體恰好被細(xì)繩拉離地面，甲物體對地面的壓力只需減少30N即可；故B正確；C、要使甲物體恰好被細(xì)繩拉離地面，甲對地面的壓力為0，A端受到的拉力等于甲的重力：根據(jù)杠桿平衡條件：G甲lOA＝G乙′lOB，G乙′＝＝90N×＝30N，杠桿B端所掛物體的質(zhì)量至少增加△m＝＝＝1kg；故C正確；D、根據(jù)杠桿平衡條件：G甲LOA′＝G乙LOB′，則＝＝＝；故D錯誤。故選：ABC。13．如圖所示，一根輕質(zhì)木桿，A端細(xì)線下所掛50N的重物靜止在水平地面上。當(dāng)在B點(diǎn)加豎直向下的力F＝30N作用時，木桿恰能在水平位置處于平衡狀態(tài)，此時細(xì)線豎直。已知OA＝15cm，OB＝5cm，則重物對水平地面的壓力為40N。答案與解析：∵杠桿平衡，∴F×OB＝F拉×OA，∴F拉＝＝＝10N，又∵重物靜止，∴重物受力平衡，G＝F支+F拉，所以：F支＝G﹣F拉＝50N﹣10N＝40N因?yàn)榱Φ淖饔檬窍嗷サ乃訤壓＝F支＝40N故答案為：40N。14．由五塊相同磚塊構(gòu)成的橋，如圖所示，若每塊磚長度為L，則此橋的最大跨度為L。答案與解析：最上方的磚受兩端的兩磚的支持力作用而處于平衡，則磚對左方第二塊磚壓力F1＝；第二塊磚在重力及壓力的作用下而處于杠桿的平衡狀態(tài)下，設(shè)露出部分長為x，則重心的位置離支點(diǎn)﹣x；則由杠桿的平衡條件可知：G（﹣x）＝F1x；則求得：x＝L；此圖可知，此橋的最大跨度：s＝L+2×L＝L；故答案為：L。15．一輛板車陷入泥里，甲、乙兩人來幫忙。甲幫助拉車把，乙推車輪的上邊緣，若兩人用力一樣大，且方向合理，則兩人中實(shí)際效果更好些的是乙，這是因?yàn)橐沂管囕喲氐孛鏉L動的力臂長些，力和力臂的乘積較大。答案與解析：車輪是一個杠桿，車輪與泥坑邊的接觸點(diǎn)是支點(diǎn)，乙作用在輪上的力是動力，車輪的直徑是動力臂，阻力臂是支點(diǎn)到車輪軸所在的豎直方向的距離。由于動力臂大于阻力臂，所以車輪是一個省力杠桿，甲、乙兩人使用相同力的情況下，乙的力和力臂的乘積較大；這種方法可以使車比較容易的從泥坑里出來。而甲對車的力就是他的拉力，采用這種方法就得需要更大的力才能將車?yán)鰜怼９蚀鸢笧椋阂?；乙使車輪沿地面滾動的力臂長些，力和力臂的乘積較大。16．地面上有一條大木桿，抬起A端需用力300N，抬起B(yǎng)端需用力200N．這條木桿的A端較粗，整個木桿的重量（所受的重力）為500N。答案與解析：如右上圖，抬A端，以B點(diǎn)為支點(diǎn)：FALAB＝GLBC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①如右上下圖，抬B端，以A點(diǎn)為支點(diǎn)：FBLAB＝GLAC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②①+②得：LAB（FA+FB）＝G（LBC+LAC）∴G＝FA+FB＝300N+200N＝500N由①得：LBC＝＝×LAB＝LAB由此可知重心C離A端近，力臂短，A端較粗。故答案為：A，500。17．一塊邊長為10厘米、質(zhì)量為1.5千克的正方體，放在水平地面上，若要把它翻轉(zhuǎn)一次，至少要做（﹣1）焦的功，把此正方體翻轉(zhuǎn)的最小推力為牛。（g＝10N/kg）答案與解析：在B端施加F方向的最小力能使正方體翻轉(zhuǎn)，根據(jù)杠桿平衡條件得，OC×G＝OB×F，OB是正方體的對角線，所以O(shè)B＝0.1m。所以，0.05m×1.5kg×10N/kg＝0.1m×F，所以把此正方體翻轉(zhuǎn)的最小推力為：F＝N。要使正方體翻轉(zhuǎn)一次，至少把正方體的重心從M點(diǎn)升高到M'點(diǎn)，克服重力做功：W＝Gh＝1.5kg×10N/kg×（×0.1﹣0.05）m＝（﹣1）J。故答案為：（﹣1）；。18．輕質(zhì)杠桿力臂L1≠L2，左端懸掛一物體時，右端每個砝碼質(zhì)量為m，盤質(zhì)量為m0．已知物體體積為V，水的密度為ρ，物體密度大于ρ．物體完全浸沒在水中后，需要拿掉右端質(zhì)量為ρV的砝碼。答案與解析：由杠桿平衡的條件：F1L1＝F2L2可得，ρ物VgL1＝（2m+m0）gL2ρ物＝①物體完全浸沒在水中后，由杠桿平衡的條件：F1L1＝F2L2可得，（ρ物Vg﹣ρVg）L1＝（m′+m0）gL2②將①代入②可得：m′＝2m﹣ρV；需要拿掉右端質(zhì)量為：m″＝2m﹣2m+ρV＝ρV。故答案為：ρV。19．如圖，一根均勻的棒，其一端B用細(xì)繩吊在墻上，另一端A浸在水中，棒重為G，當(dāng)木棒L的一半長浸在水中時，恰好如圖平衡，則木棒的密度ρ＝0.75×103kg/m3。答案與解析：如圖所示，B為杠桿的支點(diǎn)，O為重力G的作用點(diǎn)，也正好是杠桿長度的一半；因此杠桿均勻，且有一半浸在水中，則浮力的作用點(diǎn)在點(diǎn)P處，也正好是OA的中間位置。作出兩個力的力臂，根據(jù)三角形的關(guān)系可得＝＝．由杠桿的平衡條件得，2G＝3F浮?2ρ木gV木＝3ρ水gV排移項(xiàng)得，ρ木＝ρ水＝0.75×103kg/m3。故答案為：0.75×103kg/m3。20．一根長為L的圓木頭，質(zhì)量大于100kg，其重心O在離大頭為L的地方，甲、乙二人同時各扛一端將木頭扛起，此后丙又在木頭中點(diǎn)N處向上扛，用力f丙＝300N，如圖所示，由于丙的參與，甲的負(fù)重減輕了150N，乙的負(fù)重減輕了150N。答案與解析：丙作用前，以右端為支點(diǎn)，根據(jù)力矩平衡條件，有：F甲?L＝mg?L，F(xiàn)甲×L＝100kg×10N/kg×L解得F甲＝N；丙作用前，以左端為支點(diǎn)，有：F乙?L＝mg?LF乙×L＝100kg×10N/kg×L解得：F乙＝N；丙作用后，以右端為支點(diǎn)，根據(jù)力矩平衡條件，有：F甲′?L+F丙?（1﹣﹣）L＝mg?LF甲′×L+300N×L＝100kg×10N/kg×L解得F甲′＝N；丙作用后，以左端為支點(diǎn)，有：F乙′?L+F丙?L＝mg?LF乙′×L+300N×L＝100kg×10N/kg×L解得F乙′＝N；故甲的負(fù)擔(dān)減輕了﹣＝150N，乙的負(fù)擔(dān)減輕了﹣＝150N；故答案為：150，150。21．如圖所示，長為l的兩塊相同的均勻長方形磚塊A和B疊放在一起，A磚相對于B磚伸出，B磚放在水平桌面上磚的端面與桌面平行。為保持兩磚不翻倒，B磚伸出桌面的最大長度是。答案與解析：讀圖可知，可將其視為一個整體，則其總長度為，重心恰在桌面邊緣時，磚平衡，因此，其重心離A右端的長度為總長度的一半L，離B右端的長度為﹣＝。故答案為：。22．如圖所示，重力不計(jì)的輕桿O1B和O2A，長度均為L，O1和O2為光滑的轉(zhuǎn)動軸，A處有一突起物擱在O1B的中點(diǎn)，B處用細(xì)繩系在O2A的中點(diǎn)，此時兩短桿便組合成一根長桿。今在O1B桿上的C點(diǎn)（C點(diǎn)為AB的中點(diǎn)）懸掛一個重為G的物體，則A處受到的支承力為G；B處繩的拉力為G。答案與解析：（1）如圖甲所示，對于杠桿O2A來說，由杠桿平衡條件得：FA×L＝FB×，則FB＝2FA；（2）如圖乙所示，對于杠桿O1B來說，由題意可知：AB＝，O1C＝+＝+＝，由杠桿平衡條件可得：FA′×+G×＝FB′×L①，F(xiàn)A與FA′、FB與FB′是物體間的相互作用力，它們大小相等，F(xiàn)A＝FA′，F(xiàn)B＝FB′，所以FB′＝2FA′，把FB′＝2FA′代入①，解得：FA′＝G，F(xiàn)B′＝G，則A處受到的支承力為G，B處繩的拉力為G。故答案為：G；G。23．如圖是挖井時從井中提升沙土的杠桿示意圖，杠桿AB可以在豎直平面內(nèi)繞固定點(diǎn)O轉(zhuǎn)動，已知AO：OB＝5：4，懸掛在A端的桶與沙土所受的重力為200N，懸掛在B端的配重所受的重力為80N，當(dāng)杠桿AB在水平位置平衡時，加在配重下面繩端的豎直向下的拉力F是170N．當(dāng)把水桶浸入水中的體積是1.36×10﹣2m3時，加在配重下面繩端的豎直向下的拉力F恰好為零。（不計(jì)桿重和繩重）答案與解析：設(shè)AO＝5l，則OB＝4l，（1）根據(jù)杠桿的平衡條件F1L1＝F2L2，代入數(shù)值可得：F1×4l＝200N×5l，可得F1＝250N，故拉力F＝F1﹣G配重＝250N﹣80N＝170N；（2）根據(jù)杠桿的平衡條件F1L1＝F2L2，帶入數(shù)值可得：80N×4l＝F2'×5l，則F2'＝64N，則木桶受到的浮力為：F浮＝G總﹣F2'＝200N﹣64N＝136N，由阿基米德原理F?。溅岩篻V排，排開水的體積即木桶浸入水的體積為V排＝＝＝1.36×10﹣2m3。故答案為：170；1.36×10﹣2。24．如圖甲所示在容器底部用吸盤固定一個滑輪，輕質(zhì)杠桿A端的細(xì)線通過滑輪與水中的實(shí)心長方體C相連，C的底面積為0.2m2，輕質(zhì)杠桿OA：OB＝3：2．容器內(nèi)有一定質(zhì)量的水，實(shí)心長方體C漂浮在水面上，此時物體D對杠桿B端的拉力恰好為零。繼續(xù)向容器中加水，D物體對地面壓力隨C下底面的深度h變化的圖象如圖乙所示。不計(jì)摩擦、繩重和水的阻力，求：（1）C的重力GC；（2）D物體的重力GD。答案與解析：（1）由乙圖可知，當(dāng)水的深度h＝0.3m時，物體C對繩子的拉力為0，此時，物體C只受到重力和浮力，且GC＝F浮，由阿基米德原理可知：F?。溅阉甮V排＝ρ水gSCh＝1.0×103kg/m3×10N/kg×0.2m2×0.3m＝600N，則物體C的重力GC＝F浮＝600N；（2）當(dāng)C下底面水的深度h'＝0.5m時，物體C受到的浮力為：F浮'＝ρ水gV排＝ρ水gSCh'＝1.0×103kg/m3×10N/kg×0.2m2×0.5m＝1000N，此時物體C對繩子的拉力為：FC＝F浮'﹣GC＝1000N﹣600N＝400N，設(shè)OA＝3l，則0B＝2l，根據(jù)杠桿的平衡條件：F1L1＝F2L2，帶入數(shù)值可得：FD×2l＝400N×3l，可得繩子對D的拉力為：FD＝600N，由圖象可知，當(dāng)C下底面的深度為0.5m時，D對地面的壓力為200N，根據(jù)相互作用力可知：地面對D的支持力F支＝200N，則物體D的重力為：GD＝FD+F支＝600N+200N＝800N。答：（1）C的重力GC為600N；（2）D物體的重力GD為800N。25．將一根粗細(xì)均勻的鐵絲彎成直角，兩直角邊邊長之比為2：1，將角頂放在一光滑細(xì)釘上（如圖所示），當(dāng)直角鐵絲靜止時，短邊和豎直方向的夾角θ的正切等于4。答案與解析：如圖，ON＝2×OM，∵鐵絲平衡，∴G1×OA＝G2×OB，即：mg×OA＝mg×OB，∴OA＝2OB，由圖可知，∠OMA＝∠BON＝∠θ，∵sinθ＝sinOMA＝，cosθ＝cosBON＝，∴tanθ＝＝＝×＝×＝×＝4。故答案為：4。26．如圖AB、BC、CD是三根相同的輕桿，彼此之間用絞鏈連接，輕桿與墻壁之間也以絞鏈連接。A、D兩點(diǎn)在同一水平面內(nèi)。絞鏈B上懸掛一質(zhì)量為m的物體，為使BC保持水平，在絞鏈C上至少要施加多大的作用力？答案與解析：對杠桿AB而言，支點(diǎn)是A，動力臂為AH，阻力臂AE，動力為懸掛物體的重力G＝mg，動力為沿BC方向的拉力F，設(shè)杠桿AB長為L，則AE＝L，AH＝L杠桿處于平衡狀態(tài)，所以：F×AH＝G×AE，即F×L＝mg×L解得：F＝mg。答：為使BC保持水平，在絞鏈C上至少要施加F＝mg的作用力27．如圖所示，A、B、C、D是四塊完全相同的磚，質(zhì)量均勻分布，長度為2L（注意：長度不是為L），處于靜止?fàn)顟B(tài)。上面的磚相對下面的磚伸出的長度分別為x、y、z。（1）（x+y+z）應(yīng)該小于多少？（2）如果要求x＝y(tǒng)＝z，那么（x+y+z）應(yīng)該小于多少？答案與解析：（1）以O(shè)1為支點(diǎn)時，3x+2y+z＜y+2z+3（2L﹣x﹣y﹣z）﹣﹣①以O(shè)2為支點(diǎn)時，2y+z＜z+2（2L﹣y﹣z）﹣﹣②以O(shè)3為支點(diǎn)時，z＜2L﹣z﹣﹣③整理①②③得，3x+2y+z＜3L﹣﹣④2y+z＜2L﹣﹣⑤z＜L﹣﹣⑥④×2+⑤+⑥×3得：6x+6y+6z＜11L，x+y+z＜L。（2）在x＝y(tǒng)＝z時，④⑤⑥可以轉(zhuǎn)化為：6x＜3L﹣﹣⑦3x＜2L﹣﹣⑧x＜L﹣﹣⑨⑦式成立，⑧⑨一定成立，3x＜1.5L。所以在x＝y(tǒng)＝z時，x+y+z＜1.5L。答：（1）（x+y+z）應(yīng)該小于L。（2）如果要求x＝y(tǒng)＝z，那么（x+y+z）應(yīng)該小于1.5L。28．質(zhì)量為10kg，長2m的不均勻細(xì)桿，兩端用細(xì)繩懸于天花板上的O點(diǎn)。在距B端0.3m處掛一質(zhì)量為3kg的重物，桿恰好保持水平。已知桿AB與兩繩間夾角分別為30°和60°（如圖所示），求桿重心距A端的距離。答案與解析：如圖所示，取O為支點(diǎn)，設(shè)重心在C處LOB＝LAB?sin30°＝1米LDB＝LOB?sin30°＝0.5米則重物的力臂L物＝DB﹣0.3m＝0.2m則由杠桿的平衡條件可知：G桿L桿＝G物L(fēng)物100×L桿＝30×（DB﹣0.3）解得L桿＝0.06m即LDC＝0.06m則重心到A端的距離：LAC＝LAD﹣LDC＝1.44m答：桿重心距A點(diǎn)的距離為1.44m。29．挑擔(dān)子時為什么把系在扁擔(dān)和筐子間的繩子放長些更好？【解答】答：繩子放長會使人和扁擔(dān)及貨物總體重心下移，這樣增加了穩(wěn)定，使人更不容易摔倒。四．探究杠桿的平衡條件（共2小題）30．小明、小亮和小敏在實(shí)驗(yàn)室分別做三個小實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)過程中，他們分別遇到了不同的困惑，有些困惑，他們通過交流已經(jīng)提出了解決方案，但還需要聽聽你的意見；有些困惑，需要你幫助解決。（1）小明的實(shí)驗(yàn)是“探究杠桿的平衡條件”，他在完成教材中的探究任務(wù)后，又多加了一個彈簧測力計(jì)繼續(xù)進(jìn)行探究。他的困惑是：在圖所示杠桿已經(jīng)平衡的情況下，不知道怎樣測彈簧拉力的力臂。請你在圖中幫小明作出彈簧拉力F對支點(diǎn)O的力臂。（2）小亮的實(shí)驗(yàn)是“探究同種物質(zhì)的質(zhì)量與體積的關(guān)系”，他選擇了三個體積不同，質(zhì)量分別為89g、178g、356g的實(shí)心銅塊做實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)中，他用每次都盛有30cm3水的量筒分別測出了三個銅塊的體積，并將數(shù)據(jù)記錄在了自己設(shè)計(jì)的表格中。質(zhì)量m/g體積V/cm3比值（m/V）/（g/cm3）銅塊18910銅塊217820銅塊335670小亮在計(jì)算質(zhì)量與體積的比值（m/V）時，發(fā)現(xiàn)其中的一個數(shù)據(jù)測量有錯誤，這個數(shù)據(jù)應(yīng)該是70cm3（填該數(shù)據(jù)的數(shù)字和它的單位）。小亮的困惑是：不清楚這個錯誤是怎樣產(chǎn)生的。請你幫小亮指出該錯誤產(chǎn)生的原因：沒有用浸入銅塊后水和銅塊的總體積減去最初水的體積。（3）小敏的實(shí)驗(yàn)是“探究凸透鏡成像的特點(diǎn)”。她的困惑是：不知道實(shí)驗(yàn)室準(zhǔn)備的凸透鏡的焦距。小亮給他提供的解決方案是：根據(jù)圖所示的設(shè)計(jì)方案圖進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。測出焦距。你的意見：小亮的“方案”是可行（填“可行”或“不可行”）的。A．如果“方案”可行，請你對利用該“方案”測量焦距的具體操作提出一條注意事項(xiàng)：實(shí)驗(yàn)時要讓平行光線盡量與透鏡的主光軸平行B．如果“方案”不可行，請?zhí)岢瞿愕慕鉀Q方案：A。（說明：若你認(rèn)為“方案”可行，則選A解答，若你認(rèn)為“方案”不可行，則選B解答）答案與解析：（1）如圖支點(diǎn)O到力的作用線的距離，即為測力計(jì)拉力F的力臂：（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算質(zhì)量與體積的比值，填入下面的表格中：質(zhì)量m/g體積V/cm3比值（m/V）/（g/cm3）銅塊189108.9銅塊2178208.9銅塊3356705.1分析結(jié)果，銅塊3的比值與其它值不同，偏小了，表明體積70cm3是錯誤的，比實(shí)際值偏大，可能是沒有用浸入銅塊后水和銅塊的總體積減去最初水的體積造成的。（3）由圖可知是利用凸透鏡可把平行光會聚為焦點(diǎn)來測量的，而凸透鏡的焦距就是指焦點(diǎn)到凸透鏡的光心的距離，所以此方案可行。但必須注意，凸透鏡焦點(diǎn)是平行于透鏡主光軸光線的會聚點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)時要讓平行光線盡量與透鏡的主光軸平行才行。若認(rèn)為方案不可行，提出的解決方案必須簡單明了、合情合理也可。故答案為：（2）70cm3、沒有用浸入銅塊后水和銅塊的總體積減去最初水的體積；（3）可行、實(shí)驗(yàn)時要讓平行光線盡量與透鏡的主光軸平行。31．在“探究杠桿平衡條件”的實(shí)驗(yàn)中，先把杠桿的中點(diǎn)支在支架上，杠桿停在如圖a所示的位置，此時杠桿處于（選填“處于”或“不處于”）平衡狀態(tài)。為了使杠桿在水平位置平衡，可以調(diào)節(jié)右端的螺母，使它向右（選填“左”或“右”）移動。在杠桿上掛1牛的重物，如圖b所示，則彈簧測力計(jì)的示數(shù)＞2牛（選填“＞”、“＝”或“＜”）；若將所掛的重物往右移，則彈簧測力計(jì)的示數(shù)會變?。ㄟx填“變大”、“不變”或“變小”）答案與解析：（1）因?yàn)楦軛U平衡是指杠桿處于靜止或勻速轉(zhuǎn)動狀態(tài)而此時杠桿停著不動，說明杠桿此時處于平衡狀態(tài)；（2）由圖（a）可知，杠桿左邊下降，說明杠桿左邊偏重，所以應(yīng)將杠桿的平衡螺母向右；（3）因?yàn)槿魷y力計(jì)豎直向上拉動，由F1L1＝F2L2得F1＝＝＝2N，若測力計(jì)斜向上拉動，則L1變小，F(xiàn)1變大；（4）若重物右移，則L2變小，由F1L1＝F2L2可知在F2、L1不變時L2變小，F(xiàn)1變小。故答案為（1）處于；（2）右；（3）＞；（4）變小。五．杠桿的動態(tài)平衡分析（共7小題）32．如圖所示，杠桿OA的B點(diǎn)掛著重物G，A端用細(xì)繩掛在圓弧EF上，此時OA恰成水平，且A點(diǎn)與圓弧形架EF的圓心重合。當(dāng)繩AM的M端從E點(diǎn)緩慢滑到F點(diǎn)的過程中，繩對A點(diǎn)拉力的大小將（）A．逐漸變大 B．逐漸變小 C．先變大再變小 D．先變小再變大答案與解析：圖中O為支點(diǎn)，G為阻力、A點(diǎn)的拉力為動力。當(dāng)杠桿水平時，OB為阻力臂，OA為動力臂，此時動力臂最長，所以根據(jù)杠桿的平衡條件可知，所用的拉力最小。當(dāng)繩的M端從E點(diǎn)向中間滑時，力臂由小變大，拉力則由大變?。划?dāng)從中間再向F滑時，力臂由大變小，拉力則由小變大。因此，繩對A點(diǎn)拉力的大小將是先變小再變大。故選：D。33．如圖所示，一根鐵棒在水平拉力F的作用下，以O(shè)點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸，由豎直逆時針勻速轉(zhuǎn)向水平位置的過程中，動力F與動力臂L的大小變化（）A．F增大，L增大 B．F減小，L減小 C．F增大，L減小 D．F減小，L增大答案與解析：（1）當(dāng)杠桿豎直時，動力F、阻力G、動力臂L1、阻力臂L2如下圖所示：由于重力的方向也豎直向下，因此重力的作用線穿過支點(diǎn)，因此阻力臂L2為零；動力臂為整個杠桿的長度，如圖中L1所示；（2）當(dāng)杠桿被拉到水平位置時，動力F′、阻力G、動力臂L1′、阻力臂L2′如下圖所示：由圖可見，阻力臂變成了L2′，變大了；動力水平，動力作用線穿過支點(diǎn)，動力臂L1′為零。（3）杠桿由豎直被拉到水平時，阻力不變，阻力臂增大，動力臂減小，根據(jù)杠桿平衡條件：動力×動力臂＝阻力×阻力臂，因此動力增大。故選：C。34．如圖所示的裝置中，均勻木棒AB的A端固定在鉸鏈上，懸線一端繞過某定滑輪，另一端套在木棒上使木棒保持水平，現(xiàn)使線套逐漸向右移動，但始終保持木棒水平，則懸線上的拉力（棒和懸線均足夠長）（）A．逐漸變小 B．逐漸變大 C．先逐漸變大，后又變小 D．先逐漸變小，后又變大答案與解析：如圖所示，G表示桿AB的自重，LOA表示桿的重心到A端的距離，T表示懸線拉力的大小，L表示作用于桿AB上的懸線拉力對A點(diǎn)的力臂。把AB視為一根可繞A端轉(zhuǎn)動的杠桿，則由杠桿的平衡條件應(yīng)有：G×LOA＝T×L，由此得：當(dāng)線套在桿上逐漸向右移動時，拉力T的動力L（L1、L2、L3、L4）經(jīng)歷了先逐漸變大后又逐漸變小的過程，故懸線的拉力T則是逐漸變小后逐漸變大。故選：D。35．如圖所示，木塊m放在木板AB上，在木板的A端用一個豎直向上的力F使木板繞B端逆時針緩慢轉(zhuǎn)動（B端不滑動）．在此過程中，m與AB保持相對靜止，則（）A．木塊m對木板AB的壓力增大 B．木塊m受到的靜摩擦力逐漸減小 C．豎直向上的拉力F逐漸減小 D．拉力F的力矩逐漸減小答案與解析：（1）木塊m受重力、支持力和靜摩擦力，如圖所示，由平衡條件得：支持力N＝mgcosθ①，靜摩擦力f＝mgsinθ②，在木板繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動過程中，角θ逐漸增大，則支持力N減小，由牛頓第三定律可知，木塊m對木板AB的壓力N′＝N＝mgcosθ減小，摩擦力f＝mgsinθ增大，故AB錯誤；（2）設(shè)m到B的距離為l，支持力的力臂等于l，對木塊和木板整體而言，總重力要使板順時針轉(zhuǎn)動，拉力要使板逆時針轉(zhuǎn)動，根據(jù)力矩平衡條件，有F?Lcosθ＝Mgcosθ+mglcosθ③，其中：L為板長，則F的力矩MF＝F?Lcosθ＝Mgcosθ+mglcosθ，可見，隨著θ的增大，cosθ減小，Mgcosθ+mglcosθ減小，則MF減小，故D正確。（3）由③解得：F＝Mg+mg，拉力F與角度θ無關(guān)，在整個過程中，拉力F保持不變，故C錯誤；故選：D。36．如圖所示，作用在杠桿一端且始終與杠桿垂直的力F，將杠桿緩慢地由位置A拉至位置B，力F在這個過程中（）A．變大 B．變小 C．不變 D．先變大后變小答案與解析：在杠桿緩慢由A到B的過程中，動力臂OA的長度沒有變化，阻力G的大小沒有變化，而阻力臂L卻逐漸增大；由杠桿的平衡條件知：F?OA＝G?L，當(dāng)OA、G不變時，L越大，那么F越大；因此拉力F在這個過程中逐漸變大。故選：A。（多選）37．質(zhì)量分布不均的桿一端用鉸鏈固接，在桿上某處懸掛一物塊。今用豎直向上的力作用在桿的另一端，緩慢地將桿從A位置拉至水平B位置的過程中（桿與鉸鏈的摩擦不計(jì)），以下說法正確的是（）A．F大小不變 B．F在變小 C．F相對于鉸鏈的力矩（力和力臂的乘積）不變 D．F相對于鉸鏈的力矩在變大答案與解析：A、做出G和F的力臂，如圖所示：由圖知＝根據(jù)杠桿的平衡條件：G?LG＝F?LF，則F＝，在桿上升過程中，不變，G不變，所以F不變，A正確；B、由A知，B錯誤；C、由A知，F(xiàn)不變，桿在上升過程中，F(xiàn)的力臂增大，所以F的力矩增大，C錯誤；D、由C知，F(xiàn)的力矩增大，D正確。故選：AD。38．如圖所示的杠桿，重物掛在杠桿的中間位置，現(xiàn)用一個豎直向上的力F將這個重物提起，在提起的過程中力F的方向不變，則力F的大小將不變（先變大后變小、不變、先變小后變大），如果要提高該裝置的機(jī)械效率，A點(diǎn)應(yīng)向B（填O或B）點(diǎn)移動。答案與解析：如圖所示：杠桿在水平位置時，動力臂為阻力臂的二倍，由杠桿平衡的條件可知，動力為阻力的二分之一；杠桿在B位置時，OA′為動力臂，OB′為阻力臂，阻力不變?yōu)镚，因?yàn)椤鱋A′A∽△OB′B，所以＝＝，由杠桿平衡的條件可知，動力為阻力的二分之一；因此在提升物體的過程中，拉力的大小不變；由η＝＝和極端法分析可知，當(dāng)物體在O點(diǎn)時，杠桿的機(jī)械效率最??；當(dāng)物體在B點(diǎn)時，杠桿的機(jī)械效率最大，因此要提高該裝置的機(jī)械效率，需將A點(diǎn)向B點(diǎn)移動。故答案為：不變；B。六．杠桿的平衡分析法及其應(yīng)用（共13小題）39．長均為L、質(zhì)量均為m的兩根均勻直桿A、B，它們的上端用光滑鉸鏈鉸接，懸掛于天花板上，在距離兩桿下端點(diǎn)均為處，用光滑鉸鏈M、N與彎桿C鉸接，A、B兩桿被彎桿C撐開的角度為2θ，彎桿C和鉸鏈的質(zhì)量均不計(jì)，如圖所示，則可知彎桿對桿A的作用力方向（）A．垂直于OA桿向左 B．在M點(diǎn)處沿彎桿的切線方向向左 C．水平向左 D．以上三個方向均有可能答案與解析：因?yàn)锳B是對稱的，所以只分析A和C的受力。設(shè)A上鉸支座對桿A的水平支座反力為Rx，豎直反力為Ry（就是支座對桿的力）桿C對A的作用力水平為Nx，豎直為Ny，則有：水平方向力平衡：Nx＝Rx﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①豎直力平衡：Ry+mg＝Ny﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②力矩平衡（A定點(diǎn)為力矩中心）：mg×Lsinθ＝Nx×Lcosθ+Ny×Lsinθ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③同時，對AB的整體來說，有：2Ry＝2mg﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣④解①②③④聯(lián)立方程得：Rx＝0.75mgtanθ，Ry＝mg（方向向上），Nx＝0.75mgtanθ，Ny＝0。所以彎桿C對桿A的作用力的方向水平向左，大小為0.75mgtanθ。故選：C。40．等臂杠桿兩端各懸掛一質(zhì)量相等的實(shí)心銅球和鐵球，杠桿保持平衡，如圖所示，若將兩球同時浸入水中，杠桿將（）A．銅球上升 B．鐵球上升 C．仍平衡 D．無法確定答案與解析：原來質(zhì)量相等的實(shí)心銅球和鐵球分別掛在等臂杠桿的兩端，杠桿平衡；因?yàn)殂~的密度大于鐵的密度，所以銅球的體積小于鐵球的體積，根據(jù)阿基米德原理可知在水中銅球受浮力小于鐵球受浮力，則銅球端對杠桿的拉力要大于鐵球的拉力，又因?yàn)槭堑缺鄹軛U，所以杠桿鐵球那端上升。故選：B。41．有一根長1.5m，重300N粗細(xì)不均的木棒平放在水平地面上，稍微抬起它的一端需力200N，則這時抬起的端是粗端（選填“粗端”或“細(xì)端”）。答案與解析：如圖，抬A端，以B點(diǎn)為支點(diǎn)：LAB＝1.5m，G＝300N，F(xiàn)＝200N，由杠桿平衡條件可得FLAB＝GLBC，即：200N×1.5m＝300N×LBC，解得：LBC＝1m，LAC＝LAB﹣LBC＝1.5m﹣1m＝0.5m，可見B端離重心較遠(yuǎn)、A端離重心較近，A端為粗端、B端為細(xì)端，此時抬起的為粗端。故答案為：粗端。42．某工地在冬季水利建設(shè)中設(shè)計(jì)了一個提起重物的機(jī)械，如圖所示是這個機(jī)械一個組成部分的示意圖。OA是根鋼管，每米受重力為30N；O是轉(zhuǎn)動軸；重物的質(zhì)量m為150kg，掛在B處，OB＝1m；拉力F加在A點(diǎn)，豎直向上，取g＝10N/kg．為維持鋼管水平平衡，OA為10m時所用的拉力最小。答案與解析：由題意可知，杠桿的動力為F，動力臂為OA，阻力分別是重物G物和鋼管的重力G鋼管，阻力臂分別是OB和OA，重物的重力G物＝m物g＝150kg×10N/kg＝1500N，鋼管的重力G鋼管＝30N×OA，由杠桿平衡條件得：F?OA＝G物?OB+G鋼管?OA，即F?OA＝1500N×1m+30N?OA?OA，得：F?OA＝1500+15?OA2，移項(xiàng)得：15?OA2﹣F?OA+1500＝0，由于鋼管的長度OA是確定的只有一個，所以該方程只能取一個解，因?yàn)楫?dāng)b2﹣4ac＝0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，即有一個解，因此應(yīng)該讓根的判別式b2﹣4ac等于0，即F2﹣4×15×1500＝0，F(xiàn)2﹣90000＝0，解得：F＝300N，將F＝300N代入方程15?OA2﹣F?OA+1500＝0，解得OA＝10m。故答案為：10。43．如圖所示，水平放置的一個均勻薄木板，其中心C固定在對虛線對稱的均勻支架上。木板可繞O點(diǎn)順時針翻轉(zhuǎn)。已知木板長為2m，C到地面距離R＝1m．一個質(zhì)量為m的小物塊在水平力F作用下，從a端沿木板做勻速直線運(yùn)動，小物塊所受的摩擦力f＝0.2mg，為使木板不翻轉(zhuǎn)，物體向右運(yùn)動的最大距離不超過0.8m。答案與解析：如圖，設(shè)到達(dá)M點(diǎn)，木板剛好翻轉(zhuǎn)，此時木板受到的作用力：①重力，因?yàn)橹亓νㄟ^支點(diǎn)O，對木板是否翻轉(zhuǎn)不起作用；②小物塊的作用力F壓，F(xiàn)壓＝G＝mg，力臂為OA；③摩擦力f，f＝F＝0.2mg，力臂為OC；根據(jù)杠桿平衡條件可得：F壓×OA＝f×OC，即：mg×OA＝0.2mg×1m，∴OA＝0.2m，物體向右運(yùn)動的最大距離：s大＝1m﹣0.2m＝0.8m。故答案為：0.8。44．桿秤加一些小配件就可以設(shè)計(jì)制造出一桿能測出液體密度的桿秤。在秤盤中放一個容積為500mL、質(zhì)量為200g的玻璃容器，然后在桿秤的某些刻度上標(biāo)上密度值，就制成了一桿簡單而實(shí)用的液體密度秤（如圖所示）．只要在玻璃容器中加500mL的待測液體，就可以直接“稱”出該液體的密度。在這桿秤上，密度為“0”刻度應(yīng)標(biāo)在原刻度0.2kg處；請通過計(jì)算，確定桿秤上“0.6kg”刻度處對應(yīng)的密度值0.8g/cm3。答案與解析：燒杯放在秤盤內(nèi)，燒杯的質(zhì)量為200g，所以秤砣在0.2kg處，即密度秤的零刻度。燒杯中倒入500ml的待測液體，秤砣在0.6kg刻度處，液體的質(zhì)量為：m＝0.6kg﹣0.2kg＝0.4kg＝400g，液體的體積：V＝500ml＝500cm3，液體的密度為：ρ＝＝＝0.8g/cm3。故答案為：0.2；0.8。45．如圖所示杠桿，在杠桿B點(diǎn)掛上一個重為6N的物體，要使杠桿在水平位置平衡，可在A點(diǎn)加4N的力，力的方向是豎直向下；若在C點(diǎn)加3N的力，力的方向是豎直向上。答案與解析：要使杠桿在水平位置平衡，（1）如下圖，若動力加在A端，當(dāng)垂直杠桿向下（豎直向下）用力時，OA為動力臂，設(shè)每一格為L，則OA＝3L，∵FA×OA＝G×OB，OB＝2L，即：FA×3L＝6N×2L，∴FA＝4N；（2）如下圖，若動力加在C端，當(dāng)垂直杠桿向上（豎直向上）用力時，OC為動力臂，設(shè)每一格為L，則OC＝4L，∵FC×OC＝G×OB，OB＝2L，即：FC×4L＝6N×2L，∴FC＝3N；故答案為：4；豎直向下；3；豎直向上。46．小明到一家商店去買2Kg白砂糖，店主用一架不等臂的天平分兩次將糖稱給他：把天平調(diào)節(jié)平衡后，先在左盤放入1Kg的砝碼，在右盤放入質(zhì)量為m1的糖使天平平衡，然后又將質(zhì)量為1Kg的砝碼放入右盤，在左盤放入質(zhì)量為m2的糖使天平平衡，最后店主將質(zhì)量為m1和m2的白砂糖一起給了小明。試通過計(jì)算說明，小明買到的白砂糖的質(zhì)量是否是2kg？答案與解析：由于天平的力臂不相等，故可設(shè)天平的左臂長為a，右臂長為b，（不妨設(shè)a＞b），先稱得砂糖的實(shí)際質(zhì)量為m1，后稱得砂糖的實(shí)際質(zhì)量為m2，由杠桿的平衡原理得：a×1kg＝b×m1，a×m2＝b×1kg，解得：m1＝，m2＝，則m1+m2＝+，比較m1+m2與2kg的大小，（求差比較法）因?yàn)椋╩1+m2）﹣2kg＝+﹣2kg＝＞0，又因?yàn)閍≠b，所以（m1+m2）﹣2kg＞0，即（m1+m2）＞2kg，則小明買到的白砂糖的質(zhì)量大于2kg。答：小明買到的白砂糖的質(zhì)量大于2kg。47．某同學(xué)用一根粗細(xì)均勻的鐵棒，將一個邊長為a的正方形重物箱撬起一個很小的角度（如圖所示，圖中的角度已被放大）．已知：鐵棒單位長度的質(zhì)量為m，在另一端施加一個向上的力撬動重物箱。如果插入的長度為箱寬的五分之一，并保持該長度不變，求：（1）重物對鐵棒的壓力為多大？（2）當(dāng)選用的鐵棒長度滿足什么條件時，施加的力最小，此最小的力為多大？答案與解析：（1）重物箱的重力是阻力，鐵棒的支持力為動力，動力臂為a，重物箱的重心在它的幾何中心，阻力臂為，由杠桿平衡條件得：G×＝F×a，解得：F＝，鐵棒對重物箱的支持力與重物箱對鐵棒的壓力相等，為。（2）人的作用力F為動力，力臂為鐵棒的長度L，設(shè)鐵棒長度為L，鐵棒的重力mgL為其中一個阻力，力臂為，由（1）知，重物箱作用在鐵棒上的阻力為，鐵棒插入的長度為箱寬的五分之一，則重物箱阻力的力臂為，由杠桿平衡條件得：FL＝mgL×+×，則F＝+，由數(shù)學(xué)知識得：+≥2×＝，即F≥，當(dāng)＝，即L＝時F最小，F(xiàn)的最小值F最?。?。答：（1）重物對鐵棒的壓力為。（2）當(dāng)鐵棒長度L＝時F最小，最小作用力為。48．三根重均為G、長均為a的相同均勻木桿（其直徑d?a）如圖對稱地靠在一起，三木桿底端間均相距a，求：（1）A桿頂端所受作用力的大小和方向；（2）若有一重為G的人坐在A桿中點(diǎn)處，則A桿頂端所受作用力的大小和方向又如何？答案與解析：三木桿組成一個正四面體，已知正四面體邊長a，高三木桿h＝a，設(shè)桿與底面的夾角β，則cosβ＝，sinβ＝，設(shè)BC的中垂線與底面的夾角是α，則sinα＝，cosα＝。（1）以A桿為研究對象，A桿受力如圖一所示。A桿與地面的接觸點(diǎn)為支點(diǎn)，桿所受重力G的力臂L重＝cosβ＝a，桿頂端所受力F的力臂，LF＝asinβ＝a，由杠桿平衡條件，得：GL重＝FLF，即：G×a＝F×a，F(xiàn)＝G，方向水平向左。（2）以A桿為研究對象，受力如圖所示。由于人處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以人對桿的壓力F壓力摩擦力f'大小等于人的重力G，方向豎直向下，人對桿的作用力力臂L人＝cosβ＝a，BC桿所組成面對桿的作用力FN，力臂等于四面體的高h(yuǎn)，LFN＝h＝a，由杠桿的平衡條件得：GL人+GL重＝FLF+FNLFN，即G×a+G×a＝F×a+FN×a，解得：FN＝G，A桿頂端所受作用力的大小：F合＝＝＝G，方向斜向右上方，如圖所示。答：（1）A桿頂端所受作用力的大小為F＝G，方向水平向左。（2）A桿頂端所受作用力的大小為G，方向斜向右上方，如圖所示。49．小強(qiáng)為課題研究小組提供了一把家中收藏的舊桿秤。桿秤的刻度模糊不清，只有5kg和6kg的刻度清晰可辨，秤砣遺失。小組成員對桿秤的外形進(jìn)行了測量，測量結(jié)果如圖所示。請根據(jù)以上信息（1）判斷該桿秤的重心（不包括秤砣）應(yīng)該在提紐的哪一側(cè)；（2）求出秤砣的質(zhì)量。答案與解析：（1）從圖可知，5kg到6kg質(zhì)量增加了1kg，而杠桿的長增加了2cm，桿秤上的刻度是均勻的，所以，從0刻度線到5kg的位置，杠桿的長應(yīng)該為10cm，即零刻度線在提紐的右側(cè)，所以該桿秤的重心應(yīng)該在提紐的左側(cè)。（因?yàn)?刻度線處要掛稱砣才能使杠桿在水平位置平衡）（2）我們用桿秤稱物體時，物體在提紐的左側(cè)，秤砣在提紐的右側(cè)，該桿秤的重心在提紐的左側(cè)，設(shè)桿秤的重心到提紐的距離為S，秤砣的質(zhì)量為m，桿秤的質(zhì)量為m桿，由杠桿的平衡條件G左L左＝G右L右可知，∴5kg×g×3cm+m桿×g×S＝m×g×11cm，6kg×g×3cm+m桿×g×S＝m×g×（11cm+2cm），化簡得：5kg×3cm+m桿×S＝m×11cm，①6kg×3cm+m桿×S＝m×（11cm+2cm），②解①②可得：m＝1.5kg。答：（1）判斷該桿秤的重心應(yīng)該在提紐的左側(cè)。（2）秤砣的質(zhì)量為1.5kg。50．某古典建筑上有一根粗細(xì)不均勻的立柱（下端粗，上端細(xì)），重約2004N，在一次維修時將它橫放在水平地面上，現(xiàn)有一個最大稱量200kg的桿秤和一些輔助工具，要求稱量該立柱的質(zhì)量。（1）簡要寫出稱量步驟。（2）需要測量哪些物理量？并寫出計(jì)算立柱質(zhì)量的表達(dá)式。答案與解析：（1）稱量步驟：①如圖，用繩拴好粗端，用桿秤將粗端微微抬起，讀出示數(shù)m1，②同理，用繩拴好細(xì)端，用桿秤將細(xì)端微微抬起，讀出示數(shù)m2，③利用杠桿平衡條件求出立柱重力，進(jìn)而求出立柱的質(zhì)量；（2）需要測量的物理量：用桿秤將粗端、細(xì)端微微抬起，讀出桿秤的示數(shù)m、m2；設(shè)立柱重心距粗端的長度為L1，立柱重心距細(xì)端的長度為L2；則立柱總長為L＝（L1+L2），設(shè)立柱的重力為G，由杠桿平衡條件得：m1g（L1+L2）＝GL2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①，m2g（L1+L2）＝GL1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②，由①+②解得：G＝（m1+m2）g，∵G＝mg，∴立柱的質(zhì)量：m＝m1+m2。51．某工廠設(shè)計(jì)了一個蓄水池（如圖所示），水源A罐的液面高度h1保持不變。罐底有一個小出水口，面積為S1．孔下通過一個截面積為S2活塞與杠桿BC相連。杠桿可繞B端上下轉(zhuǎn)動，另一端有一個中空的圓柱形浮子，橫截面積為S3，BO是杠桿總長的．原設(shè)計(jì)打算當(dāng)杠桿水平時，浮子浸入水深為h2，活塞恰好能堵住出水口，但在使用時發(fā)現(xiàn)，活塞離出水口尚有極小一段距離時，浮子便不再上浮，此時浮子沒入水深為h3．為了使活塞自動堵住出水口，只得將浮子的重量減去G′．試求浮子應(yīng)減去重量G′的大小。（活塞及連桿的重量不計(jì)，杠桿所受浮力不計(jì)。）答案與解析：設(shè)浮子原來重力為G，杠桿長為l。浮子減重后，重為G′，由傾斜變?yōu)樗?，如圖所示，杠桿C端上升高度為EC＝h3﹣h2，活塞上升的高度△h即為OD的長度，△h＝。根據(jù)數(shù)學(xué)知識，三角形BDO相似于三角形BEC，所以：＝＝因?yàn)锽O是杠桿總長，所以：＝＝＝，（2）活塞減重前，杠桿平衡時，支點(diǎn)為B，以浮子為研究對象，C端受到的合力為F浮﹣G＝（S3h3ρ水g﹣G），該力的力臂BE，O點(diǎn)受到的力為F壓＝ρ水gS2（h1+△h），該力的力臂設(shè)為BD，根據(jù)杠桿平衡條件可得：（F浮﹣G）BE＝F壓BD，即：（S3h3ρ水g﹣G）BE＝ρ水gS2（h1+△h）BD，＝，可得：3（S3h3ρ水g﹣G）＝ρ水gS2（h1+△h），G＝S3h3ρ水g﹣ρ水gS2（h1+），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①浮子減重后，杠桿平衡時，以杠桿為研究對象，進(jìn)行受力分析：C端受到的合力為：F′浮﹣G′＝S3h2ρ水g﹣G′，此力的力臂為BC，（對浮子C受力分析：重力、浮力、杠桿的力，則杠桿施加的力等于浮力減去重力，根據(jù)力的作用是相互的，所以杠桿受到的力等于浮力減去重力）O點(diǎn)受到的力為F′壓＝ρ水gS2h1，此力的力臂為BO。根據(jù)杠桿平衡有：（S3h2ρ水g﹣G′）BC＝ρ水gS2h1BO，即為：3[S3h2ρ水g﹣G′]＝ρ水gS2h1，G′＝S3h2ρ水g﹣ρ水gS2h1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②①﹣②得浮子應(yīng)減去重量G′的大?。骸鱃＝S3h3ρ水g﹣ρ水gS2（h1+）﹣（S3h2ρ水g﹣ρ水gS2h1）＝ρ水g（h3﹣h2）（S3﹣S2）答：浮子應(yīng)減去重量G′的大小為ρ水g（h3﹣h2）（S3﹣S2）。七．杠桿中最小力的問題（共4小題）52．在海南舉辦的大力士比賽中，有一個項(xiàng)目是把車輪推上臺階。下面把車輪推上臺階的四種方法，推力的作用點(diǎn)相同，推力的方向不同，如圖所示，則哪一種推法最省力（）A． B． C． D．答案與解析：把車輪推上去的過程中，車輪沿著臺階轉(zhuǎn)動，把車輪看做是一個杠桿，則臺階的棱角為支點(diǎn)。阻力等于車輪的重力不變。阻力臂在這四種情況也都相同。根據(jù)杠桿的力臂的定義可知，在F3的動力臂最大，如圖所示：根據(jù)杠桿平衡條件可知，此時所用的動力最小。綜上分析，故選：C。53．小明推一輛滿載重物的獨(dú)輪車，手握在車把A處（圖中未畫人），遇到一個較高的臺階，他自己推不上去，小華趕快跑來幫忙。小華選擇了一種最省力且效果最好的施力方法，請畫出小華所施力F的示意圖。答案與解析：根據(jù)杠桿的平衡條件可知，動力臂為車輪的直徑時最省力；過O點(diǎn)作垂直于車輪直徑的力；如圖所示：54．如圖所示，唐師傅想用最省力的方法把一個油桶推上臺階，請你在圖中畫出這個力的示意圖。答案與解析：由杠桿的平衡條件可知，在阻力乘阻力臂不變時，動力臂越長所用的動力越小；如圖，支點(diǎn)為O，過支點(diǎn)O做直徑OA，過A做OA的垂線，可得動力的作用線，按這個方向用力，動力臂最長，最省力，如圖所示。55．有一邊長為a，密度為ρ的立方體大理石，工人用一根粗細(xì)均勻的單位長度重為P牛的鐵棒將石塊撬起一個很小的角度。如圖所示，如果插入的長度為石塊邊長的四分之一，并保持該長度不變，則當(dāng)選用的鐵棒多長時，向上施加的力最小？此最小的力多大？答案與解析：由題意可知，物體的重力為G＝mg＝ρa(bǔ)3g；設(shè)鐵棒長為L，動力為F．由題可知鐵棒的重力提供的阻力，作用點(diǎn)在鐵棒的重心上，阻力臂為L；因重物箱的密度均勻且鐵棒插入的長度為箱寬的四分之一，則重物的一半重力提供阻力，阻力臂為a；力F提供動力，動力臂為L．由杠桿的平衡條件得：F1L1＝F2L2即：a?ρa(bǔ)3g+LP?L＝FL解得人對杠桿的力：F＝＝+由數(shù)學(xué)知識a2+b2≥2ab，當(dāng)a＝b時取最小值，可得當(dāng)＝＝時，即L＝時F有最小值。F的最小值為：F＝。答：當(dāng)選用的鐵棒長度為L＝時，施加的力最小；這個最小的力是F＝。八．杠桿的分類（共5小題）56．室內(nèi)垃圾桶平放時桶蓋關(guān)閉不使垃圾發(fā)出異味，