專題七　圓周運動的臨界問題

專題七圓周運動的臨界問題水平面內圓周運動的臨界問題1.(多選)如圖所示,在勻速轉動的水平圓盤上,沿半徑方向放著用細線相連的質量均為m的兩個物體A和B,它們分居圓心兩側,與圓心距離分別為RA=r,RB=2r,與盤間的動摩擦因數μ相同,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力.當圓盤轉速加快到兩物體剛好還未發(fā)生滑動時,下列說法正確的是(重力加速度為g)(ABC)A.此時繩子張力為FT=3μmgB.此時圓盤的角速度為ω=2C.此時A所受摩擦力方向沿半徑指向圓外D.此時燒斷繩子,A仍相對盤靜止,B將做離心運動[解析]A和B隨著圓盤轉動時,合力提供向心力,則F=mω2r,B的運動半徑比A的半徑大,所以B所需向心力大,繩子拉力相等,所以當圓盤轉速加快到兩物體剛好還未發(fā)生滑動時,B的最大靜摩擦力方向沿半徑指向圓心,A的最大靜摩擦力方向沿半徑指向圓外,根據牛頓第二定律得FT-μmg=mω2r,FT+μmg=mω2·2r,解得FT=3μmg,ω=2μgr,故A、B、C正確;此時燒斷繩子,A的最大靜摩擦力不足以提供向心力,則A做離心運動,故D2.(多選)如圖所示,水平轉臺上的小物體A、B通過輕彈簧連接,并隨轉臺一起勻速轉動,A、B的質量分別為m、2m,A、B與轉臺間的動摩擦因數都為μ,A、B離轉臺中心的距離分別為1.5r、r,已知彈簧的原長為1.5r,勁度系數為k,設本題中的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,重力加速度為g,以下說法正確的是(BD)A.若B受到的摩擦力為0,轉臺轉動的角速度為kB.若A受到的摩擦力為0,轉臺轉動的角速度為2C.使轉臺轉速緩慢增大,若B比A先相對轉臺滑動,則當B剛好要滑動時,轉臺轉動的角速度為kD.使轉臺轉速緩慢增大,若A比B先相對轉臺滑動,則當A剛好要滑動時,轉臺轉動的角速度為2[解析]若B受到的摩擦力為0,由彈簧彈力提供B做圓周運動的向心力,則k(2.5r-1.5r)=2mω2r,解得ω=k2m,A錯誤;若A受到的摩擦力為0,由彈簧彈力提供A做圓周運動的向心力,則k(2.5r-1.5r)=mω2·1.5r,解得ω=2k3m,B正確;使轉臺轉速緩慢增大,若B比A先相對轉臺滑動,則當B剛好要滑動時,B與轉臺間的摩擦力達到最大靜摩擦力且指向轉臺中心,此時彈簧彈力與最大靜摩擦力的合力提供B做圓周運動的向心力,則有k(2.5r-1.5r)+μ·2mg=2mω2·r,解得ω=k2m+μgr,C錯誤;使轉臺轉速緩慢增大,若A比B先相對轉臺滑動,則當A剛好要滑動時,A與轉臺間的摩擦力達到最大靜摩擦力且指向轉臺中心,此時彈簧彈力與最大靜摩擦力的合力提供A做圓周運動的向心力,則有k(2.5r-1.5r)+μmg=mω2·1.豎直面內圓周運動的臨界問題3.如圖所示,在豎直平面內固定有兩個很靠近的同心圓軌道,外軌內表面光滑,內軌外表面粗糙.一質量為m的小球從軌道的最低點以初速度v0向右運動,球的直徑略小于兩軌間距,球運動的軌道半徑為R,重力加速度為g,不計空氣阻力.下列說法正確的是(C)A.當v0=2gR時,B.當v0=2gR時,小球可以到達最高點C.當v0=5gR時,D.當v0=5gR時,[解析]若v0=2gR,則由12mv02=mgh可知,h=R,則小球能到達與圓軌道圓心等高處反向返回,在最低點兩側做往返運動,選項A錯誤;若v0=2gR,且軌道的內外壁均光滑時,小球到達最高點的速度恰好為零,但是因軌道內軌外表面粗糙,則小球與內軌接觸時要損失機械能,則小球不能到達最高點,選項B錯誤;若小球運動時只與軌道的外軌接觸而恰能到達最高點,則到達最高點時的臨界滿足mg=mv2R,從最低點到最高點由機械能守恒可知,12mv02=mg·2R+12mv2,解得v0=5gR,由此可知當v0=5gR4.(多選)如圖所示,支架固定在底座上,它們的總質量為M.質量分別為2m和m的小球A、B(可視為質點)固定在一根長度為L的輕桿兩端,該輕桿通過光滑轉軸O安裝在支架的橫梁上,O、A間的距離為L3,兩小球和輕桿一起繞軸O在豎直平面內做圓周運動,運動過程中支架和底座一直保持靜止.當轉動到圖示豎直位置時,小球A的速度為v,重力加速度為g.對于該位置,下列說法正確的是 (BCA.小球A、B的加速度大小相等B.若v=gL3,則底座對水平地面的壓力為Mg+3C.小球A、B的向心力大小相等D.若v=13gL,則底座對水平地面的壓力為Mg[解析]兩小球和輕桿一起繞軸O在豎直平面內做圓周運動,所以兩小球的角速度相同,根據a=ω2r可知,小球A、B的加速度之比為aA∶aB=1∶2,故A錯誤;若v=gL3,對A有2mg-FA=2mv213L,解得輕桿對A的支持力為FA=0,根據v=ωr可知vB=2gL3,對B有FB-mg=mvB223L,解得輕桿對B的拉力為FB=3mg,以支架、底座和輕桿為對象,水平地面對底座的支持力為FT=Mg+3mg,故B正確;根據Fn=mω2r可知,A、B的向心力之比為FAn∶FBn=1∶1,故C正確;若v=13gL,對A有2mg-F'A=2mv213L,解得輕桿對A支持力為F'A=43mg,根據v=ωr可知,v'B=23gL,對B有F'B-mg=mv斜面上圓周運動的臨界問題5.如圖所示,傾斜放置的圓盤繞著中心軸O勻速轉動,圓盤的傾角為37°,在距轉動中心r=0.1m處放一小木塊,小木塊跟隨圓盤一起轉動,小木塊與圓盤間的動摩擦因數μ=0.8,小木塊與圓盤間的最大靜摩擦力與相同條件下的滑動摩擦力相同.已知sin37°=0.6,cos37°=0.8,g取10m/s2.若要保持小物塊不相對圓盤滑動,圓盤轉動的角速度最大值應為 (D)A.8rad/s B.6r