平面向量的概念

高一數(shù)學(xué)2022-2023.1平面向量的概念【知識導(dǎo)學(xué)】知識點(diǎn)一向量的概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2.數(shù)量：只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量.知識點(diǎn)二向量的幾何表示1.有向線段具有方向的線段叫做有向線段，它包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長度，如圖所示.以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作eq\o(AB,\s\up6(→))，線段AB的長度叫做有向線段eq\o(AB,\s\up6(→))的長度記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.2.向量的表示(1)幾何表示：向量可以用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑體a，b，c，書寫時(shí)用eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(c,\s\up6(→))).知識點(diǎn)三：.模、零向量、單位向量向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小，稱為向量eq\o(AB,\s\up6(→))的長度(或稱模)，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.長度為0的向量叫做零向量，記作0；長度等于1個(gè)單位長度的向量，叫做單位向量.知識點(diǎn)四：相等向量與共線向量1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.(1)記法：向量a與b平行，記作a∥b.(2)規(guī)定：零向量與任意向量平行.2.相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.3.共線向量：由于任一組平行向量都可以平移到同一直線上，所以平行向量也叫做共線向量.要注意避免向量平行、共線與平面幾何中的直線、線段的平行和共線相混淆.【考題透析】透析題組一：平面向量的概念1．給出如下命題：①向量的長度與向量的長度相等；②向量與平行，則與的方向相同或相反；③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；④兩個(gè)公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；⑤向量與向量是共線向量，則點(diǎn)，，，必在同一條直線上．其中正確的命題個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．42．給出下列四個(gè)命題：①若，則；②若，則或；③若，則；④有向線段就是向量，向量就是有向線段；其中，正確的命題有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)3．下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（）①單位向量都平行；②若兩個(gè)單位向量共線，則這兩個(gè)向量相等；③向量a與b不共線，則a與b都是非零向量；④有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行；⑤方向?yàn)槟掀?0°的向量與北偏東60°的向量是共線向量．A．2 B．3 C．4 D．5透析題組二：向量的模4．已知向量，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知非零向量，，下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，為單位向量，則C．若且與同向，則 D．6．若為任一非零向量，的模為1，下列各式：①；②；③；④．其中正確的是（）A．①④ B．③ C．①②③ D．②③透析題組三：零向量和單位向量7．如果是兩個(gè)單位向量，那么下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A． B．C． D．8．下列說法：①零向量是沒有方向的向量；②零向量的方向是任意的；③零向量與任意一個(gè)向量共線.其中，正確說法的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．39．下列說法中，正確的是（）①長度為0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③單位向量都是同方向；④任意向量與零向量都共線．A．①② B．②③ C．②④ D．①④透析題組四：相等向量和平行（共線）向量10．如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，則與相等的向量為（）A． B． C． D．11．已知、為非零向量，“”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．即非充分又非必要條件12．已知，是不共線向量，則下列各組向量中是共線向量的有（）①，；②，；③，.A．①② B．①③C．②③ D．①②③【考點(diǎn)同練】一、單選題13．下列說法正確的是（）A．若，則B．零向量的長度是0C．長度相等的向量叫相等向量D．共線向量是在同一條直線上的向量14．下列說法正確的是（）A．單位向量均相等B．單位向量C．零向量與任意向量平行D．若向量，滿足，則E．15．給出下列命題：①起點(diǎn)相同，方向相同的兩個(gè)非零向量的終點(diǎn)相同；②起點(diǎn)相同的兩個(gè)相等的非零向量的終點(diǎn)相同；③兩個(gè)平行的非零向量的方向相同；④兩個(gè)共線的非零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)一定共線.其中正確的是（）A．①② B．② C．②③ D．③④16．下列說法正確的是（）A．向量與向量是相等向量B．若兩個(gè)向量是共線向量，則向量所在的直線可以平行，也可以重合C．與實(shí)數(shù)類似，對于兩個(gè)向量有三種關(guān)系D．向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)17．下列說法正確的是（）A．若，則、的長度相等且方向相同或相反B．若向量，滿足，且同向，則＞C．若，則與可能是共線向量D．若非零向量與平行，則A、B、C、D四點(diǎn)共線18．如圖，、、分別是等邊各邊的中點(diǎn)，則下列結(jié)論成立的是（）A． B．C． D．19．下列說法正確的是（）A．若，則、的長度相等且方向相同或相反B．若向量、滿足，且與同向，則C．若，則與可能是共線向量D．若非零向量與平行，則、、、四點(diǎn)共線20．已知向量，為非零向量，有以下四個(gè)命題：甲：；乙：；丙：與的方向相反；?。海粢陨详P(guān)于向量，的判斷的命題只有一個(gè)是錯(cuò)誤的，則該命題是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、多選題21．下列敘述中錯(cuò)誤的是（）A．若，則B．若，則與的方向相同或相反C．若，，則D．對任一非零向量，是一個(gè)單位向量22．下列敘述中錯(cuò)誤的是（）A．若，則B．若，則與方的方向相同或相反C．若且，，則D．對任一向量，是一個(gè)單位向量23．下列說法正確的是（）A．向量不能比較大小，但向量的模能比較大小B．與是否相等與與的方向無關(guān)C．若，，則D．若向量與向量是共線向量，則，，，四點(diǎn)在一條直線上24．如圖所示，四邊形，，是全等的菱形，則下列結(jié)論中一定成立的是（）A．＝B．與共線C．與共線D．＝25．下列說法中，正確的是（）A．任意單位向量的模都相等.B．若，是平面內(nèi)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，則C．若向量，，則D．零向量與任意向量平行三、填空題26．若為任一非零向量，為單位向量，下列各式：（1）；（2）∥；（3）||＞0；（4）||＝±1；（5）若是與同向的單位向量，則＝.其中正確的是________.(填序號)27．下列敘述：（1）單位向量都相等；（2）若一個(gè)向量的模為0，則該向量的方向不確定；（3）共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同；（4）方向不同的兩個(gè)向量一定不平行.其中正確的有________.(填所有正確的序號)28．下列命題中正確的是______．①空間向量與是共線向量，則，，，四點(diǎn)必在一條直線上；②單位向量一定是相等向量；③相反向量一定不相等；④四點(diǎn)不共線，則為平行四邊形的充要條件是，⑤模為0的向量方向是不確定的．29．如圖，在中，點(diǎn)D?E?F分別是邊BC?CA?AB的中點(diǎn)，在以A?B?C?D?E?F為端點(diǎn)的向量中，與向量的模相等的向量的個(gè)數(shù)是___________.6.1平面向量的概念【答案精講】1．B【解析】【分析】根據(jù)向量的基本概念，對每一個(gè)命題進(jìn)行分析與判斷，找出正確的命題即可．【詳解】對于①，向量與向量，長度相等，方向相反，故①正確；對于②，向量與平行時(shí)，或?yàn)榱阆蛄繒r(shí)，不滿足條件，故②錯(cuò)誤；對于③，兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)也相同，故③正確；對于④，兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，不一定是共線向量，故④錯(cuò)誤；對于⑤，向量與是共線向量，點(diǎn)，，，不一定在同一條直線上，故⑤錯(cuò)誤．綜上，正確的命題是①③．故選：B．2．A【解析】【分析】由零向量、相等向量、共線向量及向量的概念判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】①若，則，故錯(cuò)誤；②若，即向量的長度相等，但方向不一定相同或相反，故錯(cuò)誤；③若，即向量共線，它們的模長不一定相等，故錯(cuò)誤；④有向線段是幾何圖形，而向量是數(shù)學(xué)概念，可以用有向線段表示，故錯(cuò)誤；故選：A3．A【解析】【分析】根據(jù)向量的定義判斷．【詳解】①錯(cuò)誤，因?yàn)閱挝幌蛄康姆较蚩梢约炔幌嗤植幌喾矗虎阱e(cuò)誤，因?yàn)閮蓚€(gè)單位向量共線，則這兩個(gè)向量的方向有可能相反；③正確，因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量共線，所以若向量a與b不共線，則a與b都是非零向量；④錯(cuò)誤，有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量方向有可能相同或相反，所以有可能是平行向量；⑤正確，方向?yàn)槟掀?0°的向量與北偏東60°的向量的方向是相反的，所以這兩個(gè)向量是共線向量．正確的有兩個(gè)．故選：A．4．B【解析】【分析】根據(jù)向量的模、充分、必要條件的知識確定正確選項(xiàng).【詳解】時(shí)，不一定是相等或相反向量，時(shí)，，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B5．A【解析】【分析】根據(jù)平面向量的定義依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】對于A，若，則兩向量的大小相等，方向相同，故成立，故A對，對于B，若，都是單位向量，兩向量的方向不定，故不成立，故B錯(cuò)，對C，因?yàn)閮上蛄坎荒鼙容^大小，故C錯(cuò)，對于D，根據(jù)平面向量的三角形法則成立，故D錯(cuò)，故選：A6．B【解析】【分析】根據(jù)向量的定義依次判斷即可.【詳解】①中，的大小不能確定，故①錯(cuò)誤；②中，兩個(gè)非零向量是否平行取決于兩個(gè)向量的方向，故②錯(cuò)誤；③中，為任一非零向量，則，故③正確；④中，由題，故④錯(cuò)誤.故選：B．7．D【解析】【分析】用單位向量的定義進(jìn)行求解.【詳解】兩個(gè)單位向量的方向不一定相同或相反，所以選項(xiàng)A、C不正確；由于兩個(gè)單位向量的夾角不確定，則不成立，所以選項(xiàng)B不正確；，則選項(xiàng)D正確．故選：D.8．C【解析】【分析】根據(jù)零向量的定義、性質(zhì)判斷各項(xiàng)的正誤即可.【詳解】由零向量定義及性質(zhì)知：其方向任意，且與任意向量共線，故①錯(cuò)誤，②③正確；故選：C9．D【解析】【分析】根據(jù)零向量、單位向量的性質(zhì)即可判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】①長度為0的向量都是零向量，正確；②零向量的方向任意，故錯(cuò)誤；③單位向量只是模長都為1的向量，方向不一定相同，故錯(cuò)誤；④任意向量與零向量都共線，正確；故選：D10．D【解析】【分析】方向相同，模長相等的向量為相等向量.【詳解】AB選項(xiàng)均與方向不同，C選項(xiàng)與模長不等，D選項(xiàng)與方向相同，長度相等.故選：D11．A【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義結(jié)合相等向量的定義判斷即可得出結(jié)論.【詳解】由題意知，充分性：若，則、方向相同且，充分性成立；必要性：若，但、的方向不一定相同，即、不一定相等，必要性不成立.因此，“”是“”充分而不必要條件.故選：A.12．A【解析】【分析】根據(jù)向量共線的條件對①②③逐一分析，由此確定共線的向量.【詳解】①中，與顯然共線；②中，因?yàn)?，故與共線；③中，設(shè)，得，無解，故與不共線.故選：A.13．B【解析】【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念逐一判斷即可.【詳解】A：僅表示與的大小相等，但是方向不確定，故未必成立，所以A錯(cuò)誤；B：根據(jù)零向量的定義可判斷B正確；C：長度相等的向量方向不一定相同，故C錯(cuò)誤；D：共線向量不一定在同一條直線上，也可平行，故D錯(cuò)誤.故選：B.14．C【解析】【分析】利用單位向量的定義可判斷AB；利用零向量的定義可判斷CE；利用向量定義可判斷D.【詳解】對于A，單位向量是模長為1的向量，而向量是有大小，有方向的量，故A錯(cuò)誤；對于B，單位向量，故B錯(cuò)誤；對于C，零向量方向任意，故零向量與任意向量平行，故C正確；對于D，若向量滿足，只說明的大小相等，方向不一定，故D錯(cuò)誤；對于E，，故E錯(cuò)誤；故選：C15．B【解析】【分析】利用向量的有關(guān)概念判斷.【詳解】①起點(diǎn)相同，方向相同，但大小不一定相同，所以兩個(gè)非零向量的終點(diǎn)不一定相同，故錯(cuò)誤；②起點(diǎn)相同的兩個(gè)相等的非零向量的終點(diǎn)相同，故正確；③兩個(gè)平行的非零向量的方向相同或相反，故錯(cuò)誤；④兩個(gè)共線的非零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)不一定共線，所對應(yīng)的直線可能平行，故錯(cuò)誤.故選：B16．B【解析】【分析】選項(xiàng)A，由向量相等、相反的定義可判斷；選項(xiàng)B，由向量共線的定義可判斷；選項(xiàng)C，由向量的定義可判斷；選項(xiàng)D，零向量的模長為0，故可判斷.【詳解】向量與向量模長相等，方向相反，為相反向量，故選項(xiàng)A不正確；由向量共線的定義可知，選項(xiàng)B正確；由向量的定義，向量有模長和方向兩個(gè)要素，不可比較大小，故選項(xiàng)C不正確；零向量的模長為0，因此向量的模不一定為正數(shù)，故選項(xiàng)D不正確.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了向量的定義、模長、共線向量、相等向量、相反向量等基本概念，考查了學(xué)生概念理解的能力，屬于基礎(chǔ)題17．C【解析】【分析】因?yàn)橄蛄渴鞘噶?，具有大小和方向，是不能比較大小的，即可判斷選項(xiàng)A、B；再利用共線向量的含義可判斷選項(xiàng)C、D.【詳解】對于A項(xiàng)，只能說明、的長度相等，不能判斷它們的方向,因而選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，向量不能比較大小，因而選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)，只能說明、的長度不相等，它們的方向可能相同或相反，故選項(xiàng)C正確；對于D項(xiàng)，與平行，可能AB∥CD，即A、B、C、D四點(diǎn)不一定共線，因而選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：C.18．B【解析】【分析】本題可通過相等向量的性質(zhì)得出結(jié)果.【詳解】A項(xiàng)：與方向不同，A錯(cuò)誤；B項(xiàng)：因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn)，所以且，故，B正確；C項(xiàng)：與方向相反，C錯(cuò)誤；D項(xiàng)：與方向相反，D錯(cuò)誤，故選：B.19．C【解析】【分析】由向量的模和向量的方向，可判斷A；由向量為既有大小又有方向的量，不好比較大小，可判斷B；由共線向量的特點(diǎn)可判斷C，D．【詳解】對于A：若||＝||，可得、的長度相等但方向不一定相同或相反，故A錯(cuò)誤；對于B：若向量、滿足||＞||，且與同向，由于兩個(gè)向量不能比較大小，故B錯(cuò)誤；對于C：若，則與可能是共線向量，比如它們?yōu)橄喾聪蛄?，故C正確；對于D：若非零向量與平行，則A、B、C、D四點(diǎn)共線或平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．故選：C．20．A【解析】【分析】分析可知甲與乙肯定有一個(gè)不正確，再分類討論即可得解.【詳解】由題意知，甲與乙肯定有一個(gè)不正確，若甲正確，則丙也不正確，不合題意；若甲錯(cuò)誤，乙、丙、丁可以同時(shí)正確；故甲不正確．故選：A.21．ABC【解析】【分析】根據(jù)向量不能比較大小可判斷A；根據(jù)共線向量的定義可判斷B；當(dāng)時(shí)可判斷C；根據(jù)單位向量的定義可判斷D，進(jìn)而可得答案.【詳解】對于A，因?yàn)橄蛄渴羌扔写笮∮钟蟹较虻牧浚韵蛄坎荒鼙容^大小，故A錯(cuò)誤；對于B，零向量與任意向量平行，且零向量的方向是任意的，所以若，則對于非零向量，必有，但與的方向不一定相同或相反，故B錯(cuò)誤；對于C，若，則零向量與任意向量平行，所以對任意向量與，均有，，故此時(shí)與不一定平行，故C錯(cuò)誤；對于D，由單位向量的定義可得，對任一非零向量，其單位向量為，故D正確.故選：ABC.22．ABD【解析】【分析】本題利用向量平行的定義、零向量的方向以及單位向量的定義即可求解.【詳解】對于A，向量不能比較大小，A錯(cuò)誤；對于B，零向量與任意向量共線，且零向量的方向是任意的，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)椴粸榱阆蛄?，所以與是共線向量，故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，無意義，故D錯(cuò)誤.故選：ABD23．AB【解析】【分析】根據(jù)向量的定義以及向量模的定義可判斷A，B；舉反例時(shí)可判斷C；由共線向量的定義可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對于A：向量即有大小又有方向不能比較大小，向量的模可以比較大小，故選項(xiàng)A正確；對于B：與分別表示向量與的大小，與，的方向無關(guān)，故選項(xiàng)B正確；對于C：當(dāng)時(shí)，向量與可以是任意向量都滿足，，故選項(xiàng)C不正確；對于D：若向量與向量是共線向量，表示與方向相同或相反，得不出，，，四點(diǎn)在一條直線上，故選項(xiàng)D不正確；故選：AB.24．ABD【解析】【分析】根據(jù)相等向量、共線向量的概念，結(jié)合幾何圖形即可判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】由四邊形，，是全等的菱形，知：，即A正確；由圖形可知：與的方向相反，與方向相同且長度相同即＝，故B、D正確；而與不一定共線，故C不一定正確.故選：ABD.25．AD【解析】【分析】根據(jù)單位向量、向量共線的定義判斷即可；【詳解】解：對于A：根據(jù)單位向量的定義可知任意單位向量的模都相等，故A正確；對于B：與互為相反向量，故B錯(cuò)誤；對于C：若時(shí)，與不一定共線，故C錯(cuò)誤；對于D：零向量與任