2019高三數(shù)學(xué)（人教A版理）一輪教師用書專題探究課3數(shù)列中的高考熱點問題

三數(shù)列中的高考熱點問題(對應(yīng)學(xué)生用書第87頁)[命題解讀]數(shù)列在中學(xué)數(shù)學(xué)中既具有獨立性，又具有較強的綜合性，是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一個重要銜接點，從近五年全國卷高考試題來看，本專題的熱點題型有：一是等差、等比數(shù)列的綜合問題；二是數(shù)列的通項與求和；三是數(shù)列與函數(shù)、不等式的交匯，難度中等．等差、等比數(shù)列的綜合問題解決等差、等比數(shù)列的綜合問題，關(guān)鍵是理清兩種數(shù)列的項之間的關(guān)系，并注重方程思想的應(yīng)用，等差(比)數(shù)列共涉及五個量a1，an，Sn，d(q)，n，“知三求二”．已知等差數(shù)列{an}，公差d＝2，S1，S2，S4成等比數(shù)列．(1)求an.(2)令bn＝(－1)neq\f(4n,an·an＋1)，求{bn}的前n項和Tn.[解](1)∵S1，S2，S4成等比數(shù)列．∴Seq\o\al(2,2)＝S1S4，∴(2a1＋2)2＝a1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a1＋\f(4×3,2)×2))解得a1＝1，∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)bn＝(－1)n·eq\f(4n,an·an＋1)＝(－1)n·eq\f(4n,2n－12n＋1)＝(－1)neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)＋\f(1,2n＋1))).∴當n為偶數(shù)時，{bn}的前n項和Tn＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,5)))－…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)＋\f(1,2n＋1)))＝－1＋eq\f(1,2n＋1)＝eq\f(－2n,2n＋1)，當n為奇數(shù)時，{bn}的前n項和Tn＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,5)))－…－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)＋\f(1,2n＋1)))＝－1－eq\f(1,2n＋1)＝－eq\f(2n＋2,2n＋1)故Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－2n,2n＋1)n為偶數(shù),\f(－2n－2,2n＋1)n為奇數(shù))).[規(guī)律方法]1.若{an}是等差數(shù)列，則{ban}b>0，且b≠1是等比數(shù)列；若{an}是正項等比數(shù)列，則{logban}b>0，且b≠1是等差數(shù)列.2.對等差、等比數(shù)列的綜合問題，應(yīng)重點分析等差、等比數(shù)列項之間的關(guān)系，以便實現(xiàn)等差、等比數(shù)列之間的相互轉(zhuǎn)化.[跟蹤訓(xùn)練]已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，常數(shù)λ>0，且λa1an＝S1＋Sn對一切正整數(shù)n都成立．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)a1>0，λ＝100.當n為何值時，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,an)))的前n項和最大？[解](1)取n＝1，得λaeq\o\al(2,1)＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0.若a1＝0，則Sn＝0.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0，所以an＝0(n≥1)．若a1≠0，則a1＝eq\f(2,λ).當n≥2時，2an＝eq\f(2,λ)＋Sn,2an－1＝eq\f(2,λ)＋Sn－1，兩式相減得2an－2an－1＝an，所以an＝2an－1(n≥2)，從而數(shù)列{an}是等比數(shù)列，所以an＝a1·2n－1＝eq\f(2,λ)·2n－1＝eq\f(2n,λ).綜上，當a1＝0時，an＝0；當a1≠0時，an＝eq\f(2n,λ).(2)當a1>0，且λ＝100時，令bn＝lgeq\f(1,an)，由(1)知，bn＝lgeq\f(100,2n)＝2－nlg2.所以數(shù)列{bn}是單調(diào)遞減的等差數(shù)列，公差為－lg2.b1>b2>…>b6＝lgeq\f(100,26)＝lgeq\f(100,64)>lg1＝0，當n≥7時，bn≤b7＝lgeq\f(100,27)＝lgeq\f(100,128)<lg1＝0.故數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,an)))的前6項和最大．數(shù)列的通項與求和(答題模板)數(shù)列的通項與求和是高考的必考題型，求通項屬于基本問題，常涉及等差、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、基本量的運算；求和問題關(guān)鍵在于分析通項的結(jié)構(gòu)特征，選擇適當?shù)那蠛头椒ǎ？嫉那蠛头椒ㄓ校汗椒?、錯位相減法、裂項相消法、分組求和法等．(本小題滿分12分)(2016·全國卷Ⅰ)已知{an}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，b2＝eq\f(1,3)，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.(1)求{an}的通項公式；(2)求{bn}的前n項和．[規(guī)范解答](1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝eq\f(1,3)，得a1＝2. 3分所以數(shù)列{an}是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，通項公式為an＝3n－1. 5分(2)由(1)知anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝eq\f(bn,3)， 7分因此{bn}是首項為1，公比為eq\f(1,3)的等比數(shù)列. 9分記{bn}的前n項和為Sn，則Sn＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(n),1－\f(1,3))＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2×3n－1). 12分[閱卷者說]易錯點防范措施不知道如何求出a1加強賦值法的訓(xùn)練，明確遞推式anbn＋1＋bn＋1＝nbn對?n∈N*均成立，欲求a1，只需令n＝1即可．不會應(yīng)用第(1)問的結(jié)果事實上，一個解答題設(shè)計幾問，后一問的解答，應(yīng)有意識的應(yīng)用前一問的結(jié)果.[規(guī)律方法]若干個能唯一確定一個數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”.首項與公差是等差數(shù)列的“基本量”，首項與公比是等比數(shù)列的“基本量”.在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題時，“基本量法”是常用的方法.[跟蹤訓(xùn)練](2017·全國卷Ⅱ)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通項公式；(2)若T3＝21，求S3.[解]設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，則an＝－1＋(n－1)·d，bn＝qn－1.由a2＋b2＝2得d＋q＝3. ①(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6. ②聯(lián)立①和②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝3，,q＝0))(舍去)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝1，,q＝2.))因此{bn}的通項公式為bn＝2n－1.(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0.解得q＝－5或q＝4.當q＝－5時，由①得d＝8，則S3＝21.當q＝4時，由①得d＝－1，則S3＝－6.數(shù)列與函數(shù)、不等式的交匯數(shù)列與函數(shù)的交匯一般體現(xiàn)在兩個方面：一是以數(shù)列的特征量n，an，Sn等為坐標的點在函數(shù)圖象上，可以得到數(shù)列的遞推關(guān)系；二是數(shù)列的項或前n項和可以看作關(guān)于n的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列問題．數(shù)列與不等式的交匯考查方式主要有三種：一是判斷數(shù)列中的一些不等關(guān)系；二是以數(shù)列為載體，考查不等式恒成立問題；三是考查與數(shù)列有關(guān)的不等式的證明．◎角度1數(shù)列與函數(shù)的交匯已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2n2＋2n.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若點(bn，an)在函數(shù)y＝log2x的圖象上，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.【導(dǎo)學(xué)號：97190187】[解](1)當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋2n－[2(n－1)2＋2(n－1)]＝4n，當n＝1時，a1＝S1＝4＝4×1，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝4n.(2)由點(bn，an)在函數(shù)y＝log2x的圖象上得an＝log2bn，且an＝4n，所以bn＝2an＝24n＝16n，故數(shù)列{bn}是以16為首項，公比為16的等比數(shù)列．Tn＝eq\f(161－16n,1－16)＝eq\f(16n＋1－16,15).[規(guī)律方法]解決此類問題要抓住一個中心——函數(shù)，兩個密切聯(lián)系：一是數(shù)列和函數(shù)之間的密切聯(lián)系，數(shù)列的通項公式是數(shù)列問題的核心，函數(shù)的解析式是研究函數(shù)問題的基礎(chǔ)；二是方程、不等式與函數(shù)的聯(lián)系，利用它們之間的對應(yīng)關(guān)系進行靈活的處理.◎角度2數(shù)列與不等式的交匯(2018·東北三省三校二模)已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝2an－n＋1，數(shù)列{bn}滿足bn＝an－n.(1)證明：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；(2)若數(shù)列{cn}滿足cn＝eq\f(bn,bn＋1bn＋1＋1)，且數(shù)列{cn}的前n項和Tn，求證：Tn＜eq\f(1,3).[證明](1)∵an＋1＝2an－n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，即bn＋1＝2bn.又b1＝a1－1＝2，∴數(shù)列{bn}是以2為首項、2為公比的等比數(shù)列．(2)由(1)知，bn＝2×2n－1＝2n，∴cn＝eq\f(2n,2n＋12n＋1＋1)＝eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋1＋1).∴Tn＝eq\f(1,2＋1)－eq\f(1,22＋1)＋eq\f(1,22＋1)－eq\f(1,23＋1)＋…＋eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋1＋1)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,2n＋1＋1)＜eq\f(1,3).[規(guī)律方法]解決數(shù)列與不等式的綜合問題時，如果是證明題要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；如果是解不等式問題要使用不等式的各種不同解法，如列表法、因式分解法等.總之解決這類問題把數(shù)列和不等式的知識巧妙結(jié)合起來綜合處理就行了.[跟蹤訓(xùn)練]設(shè)n∈N*，xn是曲線y＝x2n＋2＋1在點(1,2)處的切線與x軸交點的橫坐標．(1)求數(shù)列{xn}的通項公式；(2)記Tn＝xeq\o\al(2,1)xeq\o\al(2,3)…xeq\o\al(2,2n－1)，證明：Tn≥eq\f(1,4n).[解](1)y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲線y＝x2n＋2＋1在點(1,2)處的切線斜率為2n＋2，從而切線方程為y－2＝(2n＋2)(x－1)．令y＝0，解得切線與x軸交點的橫坐標xn＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1)，所以數(shù)列{xn}的通項公式xn＝eq\f(n,n＋1).(2)證明：由題設(shè)和(1)中的計算結(jié)果知，Tn＝xeq\o\al(2,1)xeq\o\al(2,3)…xeq\o\al(2,2n－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2n－1,2n)))eq\s\up12(2).當n＝1時，T1＝eq\f(1,4).當n≥2時，因為xeq\o\al(2,2n－1)＝eq\b\lc