專題17銳角三角函數(shù)與解三角形問題（8類重點(diǎn)考向）（原卷版）

主題四平面幾何專題17銳角三角函數(shù)與解三角形問題目錄一覽知識(shí)目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）中考解密（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一同角三角函數(shù)的關(guān)系?考向二互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系?考向三相似三角形的判定與性質(zhì)?考向四解直角三角形?考向五解直角三角形的應(yīng)用?考向六解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題?考向七解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題?考向八解直角三角形的應(yīng)用方向角問題最新真題薈萃（精選最新典型真題，強(qiáng)化知識(shí)運(yùn)用，優(yōu)化解題技巧）1.探索并認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)(sinA，cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值；2.會(huì)使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對(duì)應(yīng)銳角；3.能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識(shí)解決一些簡單的實(shí)際問題．該板塊主要考查銳角三角函數(shù)的定義和特殊角的三角函數(shù)，尤其是應(yīng)用主要在綜合題中考查，是考查重點(diǎn)，每年都有一道三角函數(shù)的綜合題，看似考查解題的綜合能力，實(shí)質(zhì)是基本的定義和應(yīng)用.有時(shí)比較簡單，有時(shí)難點(diǎn)較大不易得分，分值為12分左右。預(yù)計(jì)2024年各地中考還將以選題和綜合題的形式出現(xiàn)，在牢固掌握定義的同時(shí)，一定要理解基本的方法，利用輔助線構(gòu)造直角三角形，是得分的關(guān)鍵。?考向一同角三角函數(shù)的關(guān)系1．（2023?大連模擬）下列選項(xiàng)中是有理數(shù)的是：（）①2cos245°﹣sin60°?tan60°；②sin215°+cos215°﹣π；③sin45°+π；④sin90°+（π﹣3）0+12023；⑤．A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤2．（2023?封丘縣模擬）計(jì)算：（1）；（2）sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°．?考向二互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系3．（2023?二道區(qū)校級(jí)模擬）在Rt△ABC中，AC≠BC，∠C＝90°，則下列式子成立的是（）A．sinA＝sinB B．sinA＝cosB C．tanA＝tanB D．cosA＝tanB4．（2023?蘭山區(qū)校級(jí)模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，則sinA+cosB的值為．?考向三相似三角形的判定與性質(zhì)5．（2022?天津）tan45°的值等于（）A．2 B．1 C． D．6．（2022?成都）（1）計(jì)算：（）﹣1﹣+3tan30°+|﹣2|．（2）解不等式組：7．（2022?張家界）計(jì)算：2cos45°+（π﹣3.14）0+|1﹣|+（）﹣1．?考向四解直角三角形解題技巧/易錯(cuò)易混1.分清直角三角形中的斜邊與直角邊.2.正確地表示出直角三角形的三邊長，常設(shè)某條直角邊長為k（有時(shí)也可設(shè)為1），在求三角函數(shù)值的過程中約去k．3.正確應(yīng)用勾股定理求第三邊長．4.應(yīng)用銳角三角函數(shù)定義，求出三角函數(shù)值．5.銳角三角函數(shù)值與三角形三邊的長短無關(guān)，只與銳角的大小有關(guān).8．（2023?陜西）如圖，在6×7的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1．若點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則sinB的值為（）A． B． C． D．9．（2023?牡丹江）如圖，將45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；頂點(diǎn)O與尺下沿的端點(diǎn)重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點(diǎn)B在尺上的讀數(shù)恰為2cm，若按相同的方式將22.5°的∠AOC放置在該刻度尺上，則OC與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)為cm．10．（2023?宿遷）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則sin∠ABC＝．?考向五解直角三角形的應(yīng)用解題技巧/易錯(cuò)易混1.解直角三角形的應(yīng)用此類題的一般方法：（1）構(gòu)造直角三角形；（2）理清直角三角形的邊角關(guān)系；（3）利用特殊角的三角函數(shù)值解答問題.2.解直角三角形應(yīng)用題應(yīng)注意的問題：（1）分析題意，根據(jù)已知條件畫出它的平面或截面示意圖，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距離、垂直距離等概念的意義；（2）找出要求解的直角三角形．有些圖形雖然不是直角三角形，但可添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把它們分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根據(jù)已知條件，選擇合適的邊角關(guān)系式解直角三角形；（4）按照題目中已知數(shù)據(jù)的精確度進(jìn)行近似計(jì)算，檢驗(yàn)是否符合實(shí)際，并按題目要求的精確度取近似值，注明單位．11．（2023?內(nèi)蒙古）如圖源于我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為α，則cosα的值為（）A． B． C． D．12．（2023?廣西）如圖，焊接一個(gè)鋼架，包括底角為37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，則共需鋼材約m（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）13．（2023?蘭州）如圖1是我國第一個(gè)以“龍”為主題的主題公園——“蘭州龍?jiān)础?，“蘭州龍?jiān)础钡摹褒垺弊种黝}雕塑以紫銅鑄造，如巨龍騰空，氣勢(shì)如虹，屹立在黃河北岸．某數(shù)學(xué)興趣小組開展了測(cè)量“龍”字雕塑CD高度的實(shí)踐活動(dòng)，具體過程如下．如圖2，“龍”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A處測(cè)得∠BAC＝38°，∠BAD＝53°，AB＝18m，求“龍”字雕塑CD的高度．B，C，D三點(diǎn)共線，BD⊥AB，結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）?考向六解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題14．（2023?長春）學(xué)校開放日即將來臨，負(fù)責(zé)布置的林老師打算從學(xué)校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩AB到地面，如圖所示．已知彩旗繩與地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32米（即AC＝32米），則彩旗繩AB的長度為（）A．32sin25°米 B．32cos25°米 C．米 D．米15．（2023?遼寧）暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風(fēng)景區(qū)登山．需要登頂600m高的山峰，由山底A處先步行300m到達(dá)B處，再由B處乘坐登山纜車到達(dá)山頂D處．已知點(diǎn)A，B，D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，山坡AB的坡角為30°，纜車行駛路線BD與水平面的夾角為53°（換乘登山纜車的時(shí)間忽略不計(jì)）．（1）求登山纜車上升的高度DE；（2）若步行速度為30m/min，登山纜車的速度為60m/min，求從山底A處到達(dá)山頂D處大約需要多少分鐘（結(jié)果精確到0.1min）．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）19．（2023?濟(jì)南）圖1是某越野車的側(cè)面示意圖，折線段ABC表示車后蓋，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，該車的高度AO＝1.7m．如圖2，打開后備箱，車后蓋ABC落在AB'C'處，AB'與水平面的夾角∠B'AD＝27°．（1）求打開后備箱后，車后蓋最高點(diǎn)B'到地面l的距離；（2）若小琳爸爸的身高為1.8m，他從打開的車后蓋C'處經(jīng)過，有沒有碰頭的危險(xiǎn)？請(qǐng)說明理由．（結(jié)果精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）?考向七解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題20．（2023?黃石）如圖，某飛機(jī)于空中A處探測(cè)到某地面目標(biāo)在點(diǎn)B處，此時(shí)飛行高度AC＝1200米，從飛機(jī)上看到點(diǎn)B的俯角為37°，飛機(jī)保持飛行高度不變，且與地面目標(biāo)分別在兩條平行直線上同向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)飛機(jī)飛行943米到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，地面目標(biāo)此時(shí)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E處，從點(diǎn)E看到點(diǎn)D的仰角為47.4°，則地面目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的距離BE約為米．（參考數(shù)據(jù)：tan37°≈，tan47.4°≈）21．（2023?岳陽）2023年岳陽舉辦以“躍馬江湖”為主題的馬拉松賽事．如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組在A處用儀器測(cè)得賽場(chǎng)一宣傳氣球頂部E處的仰角為21.8°，儀器與氣球的水平距離BC為20米，且距地面高度AB為1.5米，則氣球頂部離地面的高度EC是米（結(jié)果精確到0.1米，sin21.8°≈0.3714，cos21.8°≈0.9285，tan21.8°≈0.4000）．22．（2023?張家界）“游張家界山水，逛七十二奇樓”成為今年旅游新特色．某數(shù)學(xué)興趣小組用無人機(jī)測(cè)量奇樓AB的高度，測(cè)量方案如圖：先將無人機(jī)垂直上升至距水平地面225m的P點(diǎn)，測(cè)得奇樓頂端A的俯角為15°，再將無人機(jī)沿水平方向飛行200m到達(dá)點(diǎn)Q，測(cè)得奇樓底端B的俯角為45°，求奇樓AB的高度．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）?考向八解直角三角形的應(yīng)用方向角問題23．（2023?眉山）一漁船在海上A處測(cè)得燈塔C在它的北偏東60°方向，漁船向正東方向航行12海里到達(dá)點(diǎn)B處，測(cè)得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是海里．24．（2023?濰坊）如圖，l是南北方向的海岸線，碼頭A與燈塔B相距24千米，海島C位于碼頭A北偏東60°方向．一艘勘測(cè)船從海島C沿北偏西30°方向往燈塔B行駛，沿線堪測(cè)石油資源，堪測(cè)發(fā)現(xiàn)位于碼頭A北偏東15°方向的D處石油資源豐富．若規(guī)劃修建從D處到海岸線的輸油管道，則輸油管道的最短長度是多少千米？（結(jié)果保留根號(hào)）25．（2023?聊城）東昌湖西岸的明珠大劇院，隔湖與遠(yuǎn)處的角樓、城門樓、龍堤、南關(guān)橋等景觀遙相呼應(yīng)．如圖所示，城門樓B在角樓A的正東方向520m處，南關(guān)橋C在城門樓B的正南方向1200m處．在明珠大劇院P測(cè)得角樓A在北偏東68.2°方向，南關(guān)橋C在南偏東56.31°方向（點(diǎn)A，B，C，P四點(diǎn)在同一平面內(nèi)），求明珠大劇院到龍堤BC的距離．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin68.2°≈0.928，cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cos56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50）1．（2023?深圳）爬坡時(shí)坡面與水平面夾角為α，則每爬1m耗能（1.025﹣cosα）J，若某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能（）（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，≈1.414）A．58J B．159J C．1025J D．1732J2．（2023?日照）日照燈塔是日照海濱港口城市的標(biāo)志性建筑之一，主要為日照近海及進(jìn)出日照港的船舶提供導(dǎo)航服務(wù)．?dāng)?shù)學(xué)小組的同學(xué)要測(cè)量燈塔的高度，如圖所示，在點(diǎn)B處測(cè)得燈塔最高點(diǎn)A的仰角∠ABD＝45°，再沿BD方向前進(jìn)至C處測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角∠ACD＝60°，BC＝15.3m，則燈塔的高度AD大約是（）（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）A．31m B．36m C．42m D．53m3．（2023?泉港區(qū)模擬）已知∠A是銳角△ABC的內(nèi)角，，則cosA的值是（）A． B． C． D．4．（2023?鐘樓區(qū)校級(jí)模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，則cosA等于（）A． B． C． D．5．（2023?道縣校級(jí)模擬）在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB＝，則sinA的值是（）A． B． C． D．6．（2022?濱州）下列計(jì)算結(jié)果，正確的是（）A．（a2）3＝a5 B．＝3 C．＝2 D．cos30°＝7．（2023?益陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有三點(diǎn)A（0，1），B（4，1），C（5，6），則sin∠BAC＝（）A． B． C． D．8．（2023?南充）如圖，小兵同學(xué)從A處出發(fā)向正東方向走x米到達(dá)B處，再向正北方向走到C處，已知∠BAC＝α，則A，C兩處相距（）A．米 B．米 C．x?sinα米 D．x?cosα米9．（2023?婁星區(qū)校級(jí)一模）在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，則cosA＝．10．（2022?荊門）計(jì)算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝．11．（2023?常州）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)D在邊AB上，連接CD．若BD＝CD，＝，則tanB＝．12．（2023?廣元）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（0，﹣3），點(diǎn)C在x軸上，且點(diǎn)C在點(diǎn)A右方，連接AB，BC，若tan∠ABC＝，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．13．（2023?黃石）“神舟”十四號(hào)載人飛行任務(wù)是中國空間站建造階段的首次載人飛行任務(wù)，也是空間站在軌建造以來情況最復(fù)雜、技術(shù)難度最高、航天員乘組工作量最大的一次載人飛行任務(wù)．如圖，當(dāng)“神舟”十四號(hào)運(yùn)行到地球表面P點(diǎn)的正上方的F點(diǎn)處時(shí)，從點(diǎn)F能直接看到的地球表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)記為Q點(diǎn)，已知PF＝km，∠FOQ＝20°，cos20°≈0.9，則圓心角∠POQ所對(duì)的弧長約為km（結(jié)果保留π）．14．（2023?城西區(qū)校級(jí)二模）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．初中階段，我們所學(xué)的銳角三角函數(shù)反映了直角三角形中的邊角關(guān)系：sinα＝cosα＝tanα＝一般地，當(dāng)α、β為任意角時(shí)，sin（α+β）與sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβsin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ例如sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°?cos30°﹣cos45°?sin30°＝根據(jù)上述材料內(nèi)容，解決下列問題：（1）計(jì)算：sin75°＝；（2）在Rt△ABC中，∠A＝75°，∠C＝90°，AB＝4，請(qǐng)你求出AC和BC的長．15．（2022?綏化）定義一種運(yùn)算：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如：當(dāng)α＝45°，β＝30°時(shí)，sin（45°+30°）＝×+×＝，則sin15°的值為．16．（2022?貴港）（1）計(jì)算：|1﹣|+（2022﹣π）0+（﹣）﹣2﹣tan60°；（2）解不等式組：17．（2022?濰坊）（1）在計(jì)算時(shí)，小亮的計(jì)算過程如下：解：＝＝＝﹣2小瑩發(fā)現(xiàn)小亮的計(jì)算有誤，幫助小亮找出了3個(gè)錯(cuò)誤．請(qǐng)你找出其他錯(cuò)誤，參照①～③的格式寫在橫線上，并依次標(biāo)注序號(hào)：①﹣22＝4；②（﹣1）10＝﹣1；③|﹣6|＝﹣6；④＝；．請(qǐng)寫出正確的計(jì)算過程．（2）先化簡，再求值：，其中x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．18．（2023?婁底）幾位同學(xué)在老師的指導(dǎo)下到某景區(qū)進(jìn)行戶外實(shí)踐活動(dòng)，在登山途中發(fā)現(xiàn)該景區(qū)某兩座山之間風(fēng)景優(yōu)美，但路陡難行，為了便于建議景區(qū)管理處在這兩山頂間建觀光索道，他們分別在兩山頂上取A、B兩點(diǎn)，并過點(diǎn)B架設(shè)一水平線型軌道CD（如圖所示），使得∠ABC＝α，從點(diǎn)B出發(fā)按CD方向前進(jìn)20米到達(dá)點(diǎn)E，即BE＝20米，測(cè)得∠AEB＝β，已知sinα＝，tanβ＝3，求A、B兩點(diǎn)間的距離．19．（2023?寧夏）如圖，糧庫用傳送帶傳送糧袋，大轉(zhuǎn)動(dòng)輪的半徑為10cm，傳送帶與水平面成30°角．假設(shè)傳送帶與轉(zhuǎn)動(dòng)輪之間無滑動(dòng)，當(dāng)大轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)140°時(shí)，傳送帶上點(diǎn)A處的糧袋上升的高度是多少？（傳送帶厚度忽略不計(jì)）20．（2023?連云港）漁灣是國家“AAAA”級(jí)風(fēng)景區(qū)，圖1是景區(qū)游覽的部分示意圖．如圖2，小卓從九孔橋A處出發(fā)，沿著坡角為48°的山坡向上走了92m到達(dá)B處的三龍?zhí)镀俨迹傺仄陆菫?7°的山坡向上走了30m到達(dá)C處的二龍?zhí)镀俨迹笮∽繌腁處的九孔橋到C處的二龍?zhí)镀俨忌仙母叨菵C為多少米？（結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）21．（2023?陜西）小華想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量自家對(duì)面的兩棟樓AB與CD的高度差．如圖所示，她站在自家陽臺(tái)上發(fā)現(xiàn)，在陽臺(tái)的點(diǎn)E處恰好可經(jīng)過樓CD的頂端C看到樓AB的底端B，即點(diǎn)E，C，B在同一直線上．此時(shí)，測(cè)得點(diǎn)B的俯角α＝22°，點(diǎn)A的仰角β＝16.7°，并測(cè)得EF＝48m，F(xiàn)D＝50m．已知，EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，點(diǎn)F，D，B在同一水平直線上．求樓AB與CD的高度差．（參考數(shù)據(jù)：sin16.7°≈0.29，cos16.7°≈0.96，tan16.7°≈0.30，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）22．（2023?襄陽）在襄陽市諸葛亮廣場(chǎng)上矗立著一尊諸葛亮銅像．某校數(shù)學(xué)興趣小組利用熱氣球開展綜合實(shí)踐活動(dòng)，