專題138三角形中的邊角關(guān)系命題與證明章末九大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）（滬科版）

專題13.8三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明章末九大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1確定第三邊的取值范圍】 1【題型2三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用】 3【題型3利用三角形的中線求長(zhǎng)度】 5【題型4三角形的高與面積有關(guān)的計(jì)算】 8【題型5三角形的穩(wěn)定性】 13【題型6三角形中的角平分線、中線、高有關(guān)的綜合計(jì)算】 15【題型7三角形的內(nèi)角和與外角有關(guān)的計(jì)算】 20【題型8多邊形內(nèi)角和、外角和有關(guān)的計(jì)算】 28【題型9命題與證明】 32【題型1確定第三邊的取值范圍】【例1】（2023春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)三角形的3邊長(zhǎng)分別是xcm、3x-3cm，x+2cm，它的周長(zhǎng)不超過39cmA．53<x<5 B．5<x≤8【答案】A【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系和周長(zhǎng)不超過39cm可列出不等式組求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，可得{x∴53故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系和解不等式組，根據(jù)條件列出不等式組求解是解題的關(guān)鍵．【變式11】（2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知a，b，c為△ABC的三邊長(zhǎng)，b，c滿足b-2+(c-3)2【答案】9【分析】利用絕對(duì)值的性質(zhì)以及偶次方的性質(zhì)得出b=2、c=3的值，再解絕對(duì)值方程可得a=6或a=4，進(jìn)而利用三角形三邊關(guān)系得出【詳解】解：∵b-∴b-2=0且∴b=2、c∵a為方程a-∴a=6或a又2+3<6，∴a=4則△ABC的周長(zhǎng)為2+3+4=9故答案為：9．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系以及絕對(duì)值的性質(zhì)和偶次方的性質(zhì)，得出a的值是解題關(guān)鍵．【變式12】（2023春·河南鄭州·八年級(jí)鄭州中學(xué)校聯(lián)考期中）有長(zhǎng)度分別是4cm、5cm、8cm和9cm的小棒各一根，任選其中三根首尾相接圍成三角形，可以圍成不同形狀的三角形的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系逐一判斷即可．【詳解】解：若選取長(zhǎng)度分別是4cm、5cm、8cm的小棒，4+5>8，故能圍成三角形；若選取長(zhǎng)度分別是4cm、5cm、9cm的小棒，4+5=9，故不能圍成三角形；若選取長(zhǎng)度分別是5cm、8cm、9cm的小棒，5+8>9，故能圍成三角形；若選取長(zhǎng)度分別是4cm、8cm、9cm的小棒，4+8>9，故能圍成三角形．綜上所述，可以圍成3種不同形狀的三角形．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了構(gòu)成三角形的條件，掌握三角形的三邊關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．【變式13】（2023春·河南周口·八年級(jí)統(tǒng)考期末）三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，2x-1，5，則x【答案】2<【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系：①任意兩邊之和大于第三邊；②任意兩邊之差小于第三邊，即可得出第三邊的取值范圍，進(jìn)而求出x的取值范圍．【詳解】解：∵三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和5，∴第三邊2x-1解得：2<x故答案為：2<x【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系和解不等式組，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系定理是解決問題的關(guān)鍵．【題型2三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用】【例2】（2023春·廣東深圳·八年級(jí)深圳中學(xué)校考期末）如圖，用五個(gè)螺絲將五條不可彎曲的木條圍成一個(gè)木框，不計(jì)螺絲大小，其中相鄰兩螺絲的距離依次為1、2、3、4、5，且相鄰兩木條的夾角均可調(diào)整．若調(diào)整木條的夾角時(shí)不破壞此木框，則任兩螺絲的距離之最大值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】若兩個(gè)螺絲的距離最大，則此時(shí)這個(gè)木框的形狀為三角形，可根據(jù)三條線段的長(zhǎng)來判斷三角形的最長(zhǎng)邊時(shí)的組合，然后分別找出這些三角形的最長(zhǎng)邊即可．【詳解】解：相鄰兩螺絲的距離依次為1、2、3、4、5；①選4+5作為三角形的一邊、另外的線段構(gòu)成三角形另外兩邊，而1+2+3=②選3+4作為三角形的一邊，另外的線段構(gòu)成三角形另外兩邊為2和6或3和5，而1+2+5=8>3+4，6-2<7，此時(shí)最大邊長(zhǎng)為7；綜上所述，任兩螺絲的距離之最大值為7．故選：B．【點(diǎn)睛】此題實(shí)際考查的是三角形的三邊關(guān)系定理，能夠正確的判斷出調(diào)整角度后三角形木框的組合方法是解答的關(guān)鍵．【變式21】（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）小明家和小亮家到學(xué)校的直線距離分別是5km和3km，那么小明到小亮家的直線距離不可能是（）A．1km B．2km C．3km D．8km【答案】A【分析】根據(jù)小明家和小亮家與學(xué)校共線，小明家和小亮家與學(xué)校不共線，兩種情況進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意知，當(dāng)小明家和小亮家與學(xué)校共線，小明家和小亮家的直線距離為5-3=2（km）或5+3=8（km）；當(dāng)小明家和小亮家與學(xué)校不共線，由三角形三邊關(guān)系可知，小明家和小亮家的直線距離大于2km，小于8km，綜上，小明家和小亮家的直線距離不可能是1km，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)加減運(yùn)算的應(yīng)用，三角形三邊關(guān)系．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握．【變式22】（2023秋·新疆和田·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已經(jīng)有兩根木條，長(zhǎng)分別是2cm和6cm，現(xiàn)要用3根木條組成三角形，還要從下面4根木條中選一根，可以是（

）A．4cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】B【分析】設(shè)第三根木條的長(zhǎng)度為xcm，根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系列不等式組求出x的范圍，然后選出滿足條件的選項(xiàng)即可【詳解】設(shè)第三根木條的長(zhǎng)度為xcm6-2<x解得4<x故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊之間的關(guān)系，熟練掌握三角形三邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【變式23】（2023春·北京西城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）以某公園西門O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，東門A和景點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是(6,0)和(4,4)．如圖1，甲的游覽路線是：O→B→A，其折線段的路程總長(zhǎng)記為l1．如圖2，景點(diǎn)C和D分別在線段OB,BA上，乙的游覽路線是：O→C→D→A，其折線段的路程總長(zhǎng)記為l2．如圖3，景點(diǎn)E和G分別在線段OB,BA上，景點(diǎn)

A．l1=l2=l3 B．l1<l【答案】D【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可證明l1>l【詳解】解：由題意可得：l1l2∴l(xiāng)1將線段EF平移可得到線段BG，將線段FG平移可得到線段BE，∴BE=∴l(xiāng)3∴l(xiāng)1故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，平移的性質(zhì)，題目新穎，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵．【題型3利用三角形的中線求長(zhǎng)度】【例3】（2023春·云南·八年級(jí)云南師大附中?？计谀┮阎阎BC的周長(zhǎng)為33cm，AD是BC邊上的中線，AB=（1）如圖，當(dāng)AC=10cm時(shí)，求（2）若AC=12cm，能否求出【答案】（1）4cm；（2）不能，理由見解析【分析】（1）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)三角形周長(zhǎng)和邊的關(guān)系解答即可．【詳解】（1）∵AB=32∴AB=15又∵ΔABC的周長(zhǎng)是33cm∴BC=8∵AD是BC邊上的中線，∴BD=（2）不能，理由如下：∵AB=32∴AB=18又∵ΔABC的周長(zhǎng)是33cm∴BC=3∵AC+∴不能構(gòu)成三角形ABC，則不能求出DC的長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】此題考查三角形的中線、高、角平分線，關(guān)鍵是根據(jù)三角形中線的性質(zhì)解答．【變式31】（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)期中）在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△ADC的周長(zhǎng)比△ABD的周長(zhǎng)多3，AB與AC的和為13，則AC的長(zhǎng)為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根據(jù)三角形的中線的定義得到BD=DC，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式得到ACAB=3，根據(jù)題意列出方程組，解方程組得到答案．【詳解】解：∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝DC，由題意得，（AC+CD+AD）﹣（AB+BD﹣AD）＝3，整理得，AC﹣AB＝3，則AC-解得，AC＝故選B．【點(diǎn)睛】此題考查三角形的中線的概念，解題關(guān)鍵在于掌握三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．【變式32】（2023秋·山東德州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC的周長(zhǎng)為24cm，AD，BE分別是BC，AC邊上的中線，AD，BE相交于點(diǎn)O，CO的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F，且BD＝4cm，AE＝3.5cm，求AF的長(zhǎng)．【答案】AF＝4.5(cm)．【分析】此題主要考查三角形的中線，利用三角形的周長(zhǎng)求出AB的長(zhǎng)度，然后利用中線便可解出答案.【詳解】∵AD，BE是△ABC的中線，∴BC＝2BD，AC＝2AE，CF是△ABC的中線，∴AF＝AB.∵BD＝4cm，AE＝3.5cm，∴BC＝8cm，AC＝7cm.∵△ABC的周長(zhǎng)是24cm，∴AB＝24－(BC＋AC)＝24－(8＋7)＝9(cm)，∴AF＝×9＝4.5(cm)．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形的中線特點(diǎn)，需熟練運(yùn)用三角形的各種定理來解題.【變式33】（2023秋·黑龍江大慶·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知AD、AE分別是△ABC的高和中線AB=9cm,AC(1)△ABE(2)AD的長(zhǎng)度；(3)△ACE與△【答案】(1)27cm(2)365(3)3cm【分析】（1）先根據(jù)三角形面積公式計(jì)算出SΔABC=54cm2，然后利用AE是邊BC（2）利用面積法得到12AD?BC（3）由△ACE的周長(zhǎng)－△ABE的周長(zhǎng)=【詳解】（1）解：∵△ABC是直角三角形，∠BAC=∴S∵AE是BC∴BE∴S∴S（2）解：∵∠BAC=90°，∴1∴AD=AB（3）解：∵AE是BC∴BE∴△ACE的周長(zhǎng)－△ABE的周長(zhǎng)=AC+AE+即△ACE和△ABE的周長(zhǎng)差是【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積公式，以及三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與公式是解決此題的關(guān)鍵．【題型4三角形的高與面積有關(guān)的計(jì)算】【例4】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市虹橋初級(jí)中學(xué)校?？计谀┰凇鰽BC中，AD是高，AD=6，CD=1，若△ABC的面積為12，則線段【答案】3或5【分析】根據(jù)題意分AD在△ABC內(nèi)部和AD在△ABC外部?jī)煞N情況進(jìn)行討論，根據(jù)三角形的面積公式求得【詳解】當(dāng)AD在△ABC

根據(jù)題意可知：S△ABCS解得：BC=4∵∴當(dāng)AD在△ABC

根據(jù)題意可知S△ABCS解得：BC∴故答案為：3或5．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出相關(guān)的圖形（AD在△ABC內(nèi)部和外部【變式41】（2023春·江蘇常州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知△ABC(1)畫出△ABC的三條高AD(2)在（1）的條件下，若AB=6，BC=3，CF=2，則【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）根據(jù)三角形的高線的畫法畫出AD、（2）根據(jù)面積相等可得出12AB?【詳解】（1）如圖，AD、（2）∵CF是AB邊上的高，AD是BC邊上的高，∴S△∵AB=6，BC=3，∴12解得，AD=4故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形高的畫法以及與高有關(guān)的面積計(jì)算，正確識(shí)圖是解答本題的關(guān)鍵．【變式42】（2023春·上海寶山·八年級(jí)校考期中）如圖，在△ABC

(1)畫△ABC邊AB上的高CD(2)E在CD上，連接BE，使得S△ABC=(3)已知BD=3，CD=4，DE=1，那么點(diǎn)C到直線AB的距離為_______，△【答案】(1)見解析(2)見解析(3)4，3【分析】（1）根據(jù)畫高的方法作圖即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)只需要令A(yù)E∥BC即可得到（3）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義即可求出點(diǎn)C到直線AB的距離；先求出S△BDE=32【詳解】（1）解：如圖所示，CD即為所求；

（2）解：如圖所示，點(diǎn)E即為所求；

（3）解：∵CD⊥AB，∴點(diǎn)C到直線AB的距離為4；∵BD=3，DE∴S△∵AE∥∴S△∴S△【點(diǎn)睛】本題主要考查了畫三角形的高，畫平行線，三角形面積，平行線的性質(zhì)等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式43】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？计谥校┤鐖D是由邊長(zhǎng)都是1的小正方形組成的網(wǎng)格．圖中各點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按以下要求畫圖．①所畫頂點(diǎn)必須在格點(diǎn)上；②標(biāo)清指定的字母；③不得出格．(1)在圖甲中面出△ABC中BC邊上的高AD(2)在圖乙中畫出一個(gè)Rt△EBC，且△EBC的面積是圖甲中△(3)在圖丙中畫出一個(gè)銳角三角形△MBC，且面積為15【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）延長(zhǎng)CB，過點(diǎn)A垂直CB的延長(zhǎng)線的線段即所求；（2）根據(jù)S△ABC=5，可得S△EBC=10，即可求出△EBC中BC（3）根據(jù)銳角三角形△MBC的面積可求△MBC中BC上的高為6，即可確定點(diǎn)M，再連接MB、【詳解】（1）解：如圖，線段AD即為△ABC中BC（2）解：由（1）可得：S△ABC=5∵△EBC的面積是圖甲中△ABC面積的∴S△EBC=2×5=10（3）解：∵銳角三角形△MBC的面積為15，BC∴△MBC中BC上的高為：15×2∴點(diǎn)M距離BC邊為6，如圖，△MBC【點(diǎn)睛】本題考查網(wǎng)格畫三角形的高，三角形高的有關(guān)計(jì)算及利用網(wǎng)格求三角形的面積，熟練掌握三角形面積求出三角形的高是解題的關(guān)鍵．【題型5三角形的穩(wěn)定性】【例5】（2023秋·北京·八年級(jí)?？计谥校┫铝袌D形中不具備穩(wěn)定性的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】三角形具有穩(wěn)定性，只要選項(xiàng)中的圖形可以分解成三角形，則圖形就有穩(wěn)定性，據(jù)此即可確定．【詳解】解：A、可以看成兩個(gè)三角形，而三角形具有穩(wěn)定性，則這個(gè)圖形一定具有穩(wěn)定性，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、可以看成三個(gè)三角形，而三角形具有穩(wěn)定性，則這個(gè)圖形一定具有穩(wěn)定性，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、可以看成一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，而四邊形不具有穩(wěn)定性，則這個(gè)圖形一定不具有穩(wěn)定性，故本選項(xiàng)正確；D、可以看成7個(gè)三角形，而三角形具有穩(wěn)定性，則這個(gè)圖形一定具有穩(wěn)定性，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，正確理解各個(gè)圖形具有穩(wěn)定性的條件是解題的關(guān)鍵．【變式51】（2023秋·四川瀘州·八年級(jí)四川省瀘縣第四中學(xué)?？计谀┤鐖D，某中學(xué)的電動(dòng)伸縮校門利用的數(shù)學(xué)原理是（）A．三角形的穩(wěn)定性 B．兩點(diǎn)之間，線段最短C．三角形兩邊之和大于第三邊 D．四邊形的不穩(wěn)定性【答案】D【分析】根據(jù)電動(dòng)伸縮門的工作原理，結(jié)合四邊形的不穩(wěn)定性即可得到答案．【詳解】解：∵電動(dòng)伸縮門的整體形狀為四邊形，且電動(dòng)伸縮門的長(zhǎng)度可以伸長(zhǎng)和變短，∴利用的是四邊形的不穩(wěn)定性，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的性質(zhì)，熟練掌握四邊形的相關(guān)知識(shí)的解本題的關(guān)鍵．【變式52】（2023秋·廣西南寧·八年級(jí)南寧市天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）要使四邊形木架不變形，至少要再釘幾根木條（

）A．4 B．2 C．1 D．3【答案】C【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性可得：沿對(duì)角線釘上1根木條即可．【詳解】解：根據(jù)三角形的穩(wěn)定性可得，至少要再釘上1根木條．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形具有穩(wěn)定性，當(dāng)三角形三邊的長(zhǎng)度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有穩(wěn)定性．【變式53】（2023春·廣東惠州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是一個(gè)用六根竹條連接而成的凸六邊形風(fēng)箏骨架，考慮到骨架的穩(wěn)固性、美觀性、實(shí)用性等因素，需再加竹條與其頂點(diǎn)連接．要求：（1）在圖（1）、（2）中分別加適當(dāng)根竹條，設(shè)計(jì)出兩種不同的連接方案．（2）通過上面的設(shè)計(jì)，可以看出至少需再加根竹條，才能保證風(fēng)箏骨架穩(wěn)固、美觀和實(shí)用．（3）在上面的方案設(shè)計(jì)過程中，你所應(yīng)用的數(shù)學(xué)道理是．【答案】（1）答案見解析；（2）三；（3）三角形的穩(wěn)定性．【詳解】解：（1）如圖所示（答案不唯一）（2）至少要三根故答案為：三；（3）三角形的穩(wěn)定性．【題型6三角形中的角平分線、中線、高有關(guān)的綜合計(jì)算】【例6】（2023秋·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，下面結(jié)論：①△ABE的面積＝A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】根據(jù)三角形角平分線和高的性質(zhì)可確定角之間的數(shù)量關(guān)系；根據(jù)三角形的中線和面積公式可確定△ABE和△BCE的面積關(guān)系以及求出【詳解】解：∵BE是△∴AE∴△ABE的面積等于△BCE故①正確；∵∠BAC=90°，AD是∴∠AFG+∠ACG∵CF是△∠ACG∴∠又∵∠DGC∴∠AFG故②正確；

∵∠FAG∴∠FAG∵∠ACD∴∠FAG故③正確；∵2S∴AD故④錯(cuò)誤；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線、高、角平分線，靈活運(yùn)用三角形的中線、高、角平分線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式61】（2023秋·江西南昌·八年級(jí)?？计谀┤鐖D所示，已知AD，AE分別是△ABC的高和中線，AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm，∠CAB=90°．(1)求AD的長(zhǎng)．(2)求△ABE的面積．【答案】（1）125cm；（2）3cm【分析】（1）利用“面積法”來求線段AD的長(zhǎng)度；（2）△AEC與△ABE是等底同高的兩個(gè)三角形，它們的面積相等【詳解】解：∵∠BAC=90°，AD是邊BC上的高，∴12AB?AC=12∴AD=AB?ACBC=3×45（2）如圖，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=3cm，AC=4cm，∴S△ABC=12AB?AC=12×3×4=6（cm又∵AE是邊BC的中線，∴BE=EC，∴12BE?AD=12EC?AD，即S△ABE=S△∴S△ABE=12S△ABC=3（cm2∴△ABE的面積是3cm2．【點(diǎn)睛】本題考查了中線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用三角形面積的兩個(gè)表達(dá)式相等，求出AD．【變式62】（2023春·陜西商洛·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在三角形ABC中，AH⊥BC，BF平分∠ABC，BE⊥BF，EF∥BC，以下四個(gè)結(jié)論：①AH⊥EF；②∠A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、余角的性質(zhì)等來判斷即可．【詳解】解：∵AH⊥BC，EF∥BC，∴AH⊥EF，故①正確；∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∵EF∥BC，∴∠EFB＝∠CBF，∴∠ABF＝∠EFB，故②正確；∵BE⊥BF，而AC與BF不一定垂直，∴BE∥AC不一定成立，故③錯(cuò)誤；∵BE⊥BF，∴∠E和∠EFB互余，∠ABE和∠ABF互余，而∠EFB＝∠ABF，∴∠E＝∠ABE，故④正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義以及余角的性質(zhì)等的運(yùn)用，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．【變式63】（2023春·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在ΔABC中，CD是AB邊上的高，CE是∠ACB的平分線（1）若∠A=40°，（2）若∠A=α，∠B=β，求（3）當(dāng)線段CD沿DA方向平移時(shí)，平移后的線段與線段CE交于G點(diǎn)，與AB交于H點(diǎn)，若∠A=α，∠B=β，求∠【答案】（1）∠DCE＝18°；；（2）12(β－α)；（3）∠HGE＝12(β－【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠ACB=64°，根據(jù)角平分線的定義得到∠ECB=12∠ACB=32°，根據(jù)余角的定義得到∠DCE=90°∠DEC=184°（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠ACB=180°αβ，根據(jù)角平分線的定義得到∠ECB=12∠ACB=12（180°αβ），根據(jù)余角的定義得到∠BCD=90°∠B=90°（3）作出平移圖，因?yàn)镚H∥CD，所以∠HGE＝∠DCE，由（2）得到∠DCE＝12(β－α)，進(jìn)而得到∠HGE＝12(β【詳解】解：（1）∵∠A＝40°，∠B＝76°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－40°－76°＝64°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝12∠ACB＝12×64°＝∴∠DEC＝∠A＋∠ACE＝40°＋32°＝72°，∵CD是AB邊上的高，∴∠CDE＝90°，∴∠DCE＝90°－∠DEC＝90°－72°＝18°；（2）∵∠A＝α，∠B＝β，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－α－β，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝12∠ACB＝12(180°－α－β)＝90°－12α－∴∠DEC＝∠A＋∠ACE＝α＋90°－12α－12β=90°＋12α－∵CE是AB邊上的高，∴∠CDE＝90°，∴∠ECD＝90°－∠DEC＝90°－(90°＋12α－12β)＝12β＝12(β－α)（3）如圖，由平移知GH∥CD，所以∠HGE＝∠DCE，由（2）知∠DCE＝12(β－α)所以∠HGE＝∠DCE＝12(β－α)即∠HGE與α，β的數(shù)量關(guān)系為∠HGE＝12(β－α)【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和，角平分線的定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．【題型7三角形的內(nèi)角和與外角有關(guān)的計(jì)算】【例7】（2023春·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC和△FBC中，∠A≤∠F．點(diǎn)F與A位于線段BC所在直線的兩側(cè)，分別延長(zhǎng)AB、AC

【特殊化思考】若∠A（1）當(dāng)F在∠A內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠ECF、∠DBF與∠（2）當(dāng)F在∠A外部時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠ECF、∠DBF與∠（3）若CG平分∠ECF，BH平分∠FBD．無(wú)論點(diǎn)F在∠A內(nèi)部（如圖③）還是∠A外部（如圖

【一般化探究】若∠A（4）若射線CG、BH分別是∠ECF，∠DBF的n等分線（n為大于2的正整數(shù)），且∠ECG=1n∠ECF，∠HBD【答案】（1）∠ECF+∠DBF=2∠A；（2）∠ECF【分析】（1）根