浙江省杭州市S9聯(lián)盟2023-2024學年高二下學期4月期中考試數(shù)學

絕密★考試結(jié)束前2023學年第二學期杭州S9聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級數(shù)學學科試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級?姓名?考場號?座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.若，則（）A.B.C.D.4.已知正方體的棱長為，則點到面的距離為（）A.1B.C.2D.5.已知函數(shù).若，則的取值范圍是（）A.B.C.D.6.數(shù)列的前項的和滿足，則下列選項中正確的是（）A.數(shù)列是常數(shù)列B.若，則的最小項的值為1C.若，則D.若，則是遞增數(shù)列7.直線，直線與平行，且直線與垂直，則（）A.4B.2C.3D.18.已知雙曲線的左焦點為，漸近線方程為，焦距為8，點的坐標為，點為的右支上的一點，則的最小值為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯的0分.9.如圖，已知正方體的棱長為分別為棱的中點，則下列結(jié)論正確的為（）A.B.C.D.不是平面的一個法向量10.已知正數(shù)滿足，則下列選項正確的是（）A.B.C.D.11.已知函數(shù)，則（）A.有兩個極值點B.直線是曲線的切線C.有三個零點D.存在等差數(shù)列，滿足非選擇題部分三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，內(nèi)角所對應的邊分別為，且，則__________.13.一個盒子中裝有4張卡片，卡片上分別寫有數(shù)字，現(xiàn)從盒子中隨機抽取卡片，若第一次抽取一張卡片，放回后再抽取1張卡片，則兩次抽取的卡片數(shù)字之和不大于6的概率是__________.14.已知圓系，圓過軸上的定點，線段是圓在軸上截得的弦，設.對于下列命題：①不論取何實數(shù)，圓心始終落在曲線上；②不論取何實數(shù)，弦的長為定值1；③式子的取值范圍是.④不論取何實數(shù)，圓系的所有圓都與直線相切；其中真命題的序號是__________.（把所有真命題的序號都填上）四?解答題：本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）在中，角所對的邊分別是，在下面三個條件中任選一個作為條件，解答下列問題，三個條件為：①；②；③.（1）求角的大??；（2）若，求的值.16.（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，.（1）證明：平面.（2）若，求三棱錐的體積.17.（本小題滿分15分）設數(shù)列滿足，且.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）求數(shù)列的前項和，并證明.18.（本小題滿分17分）已知橢圓的離心率為且橢圓經(jīng)過點，為左右焦點.（1）求橢圓方程；（2）P是橢圓上任意一點，求的取值范圍；（3）過橢圓左焦點的直線交橢圓于兩點，求面積的最大值.19.（本小題滿分17分）（1）已知，求的最大值與最小值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（3）若關于的不等式存在唯一的整數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：1.C【分析】根據(jù)交集定義求解即可.【詳解】因為，所以.故選：C2.D【分析】利用復數(shù)的運算，得到的形式，再由復數(shù)的幾何意義得到對應復平面內(nèi)的點，從而判斷出所在象限.【詳解】由題得，則在復平面內(nèi)對應的點的坐標為，所以在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限.故選：D3.C【分析】利用正余弦的齊次式法即可得解.【詳解】因為，所以.故選：C4.A【分析】以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，求出面的法向量為，則到平面的距離，即可得出答案.【詳解】解：以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，所以，，設面的法向量為，，所以，令，則，所以，，所以到平面的距離，故選：A5.B【分析】利用導數(shù)判斷出函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，根據(jù)已知轉(zhuǎn)化出，再解出結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以是上的增函數(shù)，所以若則，解得.故選：B6.B【分析】由遞推關系求出時，代入得到結(jié)果與直接代入得到結(jié)果作比較可得錯誤；由遞推關系得到奇數(shù)項和偶數(shù)項，可判斷錯誤；由遞推關系得到當時，的偶數(shù)項為3，奇數(shù)項為2，再用分組求和可得錯誤；由遞推關系得到時，的偶數(shù)項為1，奇數(shù)項為2，可得正確.【詳解】A：當時，；①當時，，作差可得，代入可得，與①可能矛盾，故數(shù)列不一定是常數(shù)列，故A錯誤；B：若，則，故時，的偶數(shù)項為1，奇數(shù)項為2，則的最小項的值為1，故B正確；C：若，則由以上選項可知，所以當時，的偶數(shù)項為3，奇數(shù)項為2，而，故C錯誤；：由可得且，所以數(shù)列不是單調(diào)數(shù)列，故D錯誤；故選：B.【點睛】方法點睛：（1）已知求時可仿寫作差；（2）求數(shù)列中較大的前某項和時，可根據(jù)數(shù)列的周期性用分組求和.7.C【分析】根據(jù)求出的值，即可得出答案.【詳解】因為直線與平行，并且直線，所以.又因為直線與垂直，所以.所以.故選：C.8.A【分析】利用雙曲線的定義及漸近線方程，將轉(zhuǎn)化為的形式，通過點共線判斷并計算的最小值即可.【詳解】如圖所示由題意知，解得.記的右焦點為，即，由雙曲線的定義，得，即所以，當且僅當點在線段上時等號成立，所以的最小值為.故選：A.9.BD【分析】以點為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算可判斷各項的正誤.【詳解】以點為坐標原點，所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則?.對于選項，，則，故錯誤；對于B選項，，則，故B正確；對于選項，，故，故C錯誤；對于選項，，故不是平面的一個法向量，故正確.故選：BD.10.AC【分析】根據(jù)已知可直接得到；換元法得到B；乘“1”法得到C；基本不等式判斷D即可.【詳解】對于，由題可得，即，故A正確；對于，當且僅當時，等號成立，故B不正確；對于，當且僅當時，等號成立，故正確；對于D，，當且僅當時，等號成立，故D不正確.故選：AC.11.ACD【分析】由導數(shù)的意義可知斜率為時，求出切點，再由點斜式判斷B錯誤；求導后由單調(diào)性可判斷B正確；代入極值點后可判斷C正確；由等差中項可判斷D正確.【詳解】，：令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故時取得極大值，取得極小值；故A正確；B：令，而，由點斜式可知此時切線方程為；，由點斜式可知此時切線方程為所以直線不是曲線的切線，故錯誤；C：因為，所以由單調(diào)性可知函數(shù)由三個零點，故C正確；：取，則，故D正確；故選：ACD12.【分析】根據(jù)三角函數(shù)同角的平方關系和正弦定理計算即可.【詳解】因為在中，，所以，又，所以，因為，所以故答案為：.13.【分析】根據(jù)給定條件，利用列舉法求出古典概率即可.【詳解】兩次抽取的試驗的樣本空間，共16個，兩次抽取的卡片數(shù)字之和大于6的事件，共3個，所以兩次抽取的卡片數(shù)字之和大于6的概率是.則不大于6的概率為故答案為：14.②③【分析】對于①，根據(jù)圓的方程即可判斷①，對于②，根據(jù)弦長公式即可判斷②，根據(jù)圓心到直線的距離即可判斷③，對于④，令求出點和點的坐標，根據(jù)圓方程求出點坐標，求出和，在利用余弦定理求出，求出的面積即可求出，根據(jù)即可判斷④.【詳解】對于①，由圓的方程知，圓心在曲線上，故①不正確.對于②，由弦長公式得：弦的長為，故②正確.對于③，在圓方程令，可得，或，即由圓方程知，由基本不等式得（當且僅當，即時等號成立），中，由余弦定理得，的面積為，，，即，故③正確.對于④，圓心到直線的距離等于，而半徑為，二者不一定相等，故④不正確.故答案為：②③.15.（1）所選條件見解析，；（2）12【分析】（1）若選①：利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換分析求解；若選②：利用正弦定理邊化角即可結(jié)果；若選③：利用三角恒等變換分析求解；（2）利用余弦定理分析求解.【詳解】（1）若選①：因為，由正弦定理可得，且，則，可得，且，所以；若選②：因為，由正弦定理可得，且，則，可得，且，所以；若選③：因為，則，可得且，則，可得，且，所以.（2）由（1）可知：，由余弦定理可得：，即，解得16.（1）證明見解析（2）【分析】（1）利用線面垂直的判定定理先證出平面，再證得平面；（2）利用間接法，求體積.【詳解】（1）記.因為四邊形是菱形，所以.因為平面平面，且，所以平面.因為平面，所以.因為平面平面，且，所以平面.（2）因為，所以點到平面的距離是6.因為四邊形是邊長為8的菱形，且，所以，則四棱錐的體積，三棱錐的體積，三棱錐的體積，故三棱錐的體積.17.（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）由得，根據(jù)等差數(shù)列的定義可得；（2）由（1）可得，利用累加法可得，驗證即可；（3）利用裂項相消法可得.【詳解】（1）證明：因為，所以，又，所以數(shù)列是以4為首項，2為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）得，當時，代入驗證，左右成立，所以；（3），所以18.（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率和所過點求得，從而求得橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線的方程并與橢圓方程，得到，再利用弦長公式即可得解.【詳解】（1）由題意得，解得，橢圓的方程為；（2）設在橢圓上，（3）由（1）得，橢圓的左焦點，右焦點，則直線的斜率存在時方程為：，設，聯(lián)立，消去，得，顯然則，所以點0到直線的距離面積不存在時，面積所以面積的最大值為19.（1）最大值，最小值1；（2），當時，在單調(diào)遞減，當單調(diào)遞減，單調(diào)遞增（3）【分析】（1）求導，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合區(qū)間端點函數(shù)值比較大小即可求解最值；（3）解法一：把不等式化為，由的單調(diào)性結(jié)合端點函數(shù)值分析求解即可；解法二：令，求導，對進行分類討論，判斷函數(shù)單調(diào)性及最大值，從而求得的范圍，結(jié)合有唯一整數(shù)解，進一步求出的取值范圍.【詳解】（1）因為，所以，令，解得的變化情況如下表所示.1+0單調(diào)遞增單調(diào)遞減1所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.當時，有極大值，也是的最大值.又因為，而，所以，所以為的最小值（2），當時，在單調(diào)遞減當單調(diào)遞減，單調(diào)遞增（3）解法一：因為，所以不等式可化為，由（1）可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)