2020-2021學(xué)年人教版高二年級上冊冊數(shù)學(xué)期末數(shù)學(xué)試卷帶答案

2020-2021學(xué)年高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.）

1.設(shè)集合4={x|（x-7）（x+12）<0},B={x\x+6>0},則4nB=（）

A.{x|-6<x<12}B.{x|-6<x<7}C.{x|x>—12}D.{%|6<x<7}

2.“四邊形4BCD是菱形"是"四邊形48CD的對角線互相垂直，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.雙曲線一一4y2=-8的漸近線方程為（）

c,i

A.y—±2xB.y—±~xC.y—+V2xD.y=±yx

4.“一尺之日取其半，萬世不竭”這句話出自《莊子?天下篇》，其意思為"一根一尺

長的木槐，每天截取其一半，永遠(yuǎn)都取不完設(shè)第一天這根木植被截取一半剩下四尺,

第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下尺，則

a5一（）

A.18B.20C.22D.24

5.已知拋物線C的焦點到準(zhǔn)線的距離大于2,則C的方程可能為（）

A.y2=4%B.y2=-3xC.x2=6yD.y=-8x2

6.如圖，在正方體ZBCC—aB1C1D1中，E為8當(dāng)?shù)闹悬c，若。為底面的中心,

則異面直線GE與4。所成角的余弦值為（）

22

7.P為橢圓C：卷=1上一動點，&,尸2分別為左、右焦點，延長&P至點Q,使得

|PQ|=IPFzl，則動點Q的軌跡方程為()

A.(x+2)2+y2=34B.(x+2)2+y2=68C.(x—2)2+y2=34

D.(x—2)2+y2=68

8.如圖，某人在一條水平公路旁的山頂P處測得小車在4處的俯角為30。，該小車在公

路上由東向西勻速行駛7.5分鐘后，到達(dá)B處，此時測得俯角為45。.已知小車的速度是

20km/h,且cos乙4OB=-延，則此山的高P0=()

8

A.l/cmB.—kmC.^SkmD.V2/cm

2

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得。分.）

9.設(shè)命題p:VneN,6n+7為質(zhì)數(shù)，則（）

A.-ip為假命題B.-ip:3nGN,6n+7不是質(zhì)數(shù)

C.-ip為真命題D.-ip:VneN,6n+7不是質(zhì)數(shù)

10.設(shè)Sn是等差數(shù)列｛即｝的前般項和，且%=2,a3=8,則（）

A.a5=12

B.公差d=3

C.S2n=n（6n+1）

D.數(shù)列的前n項和為34

lanan+1J6n+4

11.已知且Q+3b=1,則（）

A.ab的最大值為點B.ab的最小值為高

C.i+［的最小值為16D.a2+15b2的最小值為J

ab8

12.已知橢圓Q總+y2=i的左、右頂點分別為4B,點P為。上一點，且P不在坐標(biāo)

試卷第2頁，總13頁

軸上，直線4P與直線y=-3交于點C,直線BP與直線y=-3交于點D.設(shè)直線4P的斜

率為匕則滿足|CD|=36的k的值可能為()

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線

上.)

13.設(shè)向量/=(1,2,4),CD=ABLCD,則實數(shù)m=.

14.若雙曲線營-絲=1的虛軸長為6&，則該雙曲線的離心率為

6m---------------

15.在△2BC中，若B=ptanC=2遮，AC=2,則28=.

16.已知點P(m,n)是拋物線/=-8y上■—動點，則Um?+n2+4n+4+

Vm2+n2-4m+2n+5的最小值為.

四、解答題.本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說期、證時過程或演算步

驟.)

17.△ABC的內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,b,c.已知爐+c?-a?=Jbc,sinC=

8

2sinB.

(1)求cos/；

(2)若△ABC的周長為6+同，求△ABC的面積.

18.如圖，在直三棱柱ABC—ABiG中，AC1BC,AC=AAy=2BC,E,尸分別為側(cè)

棱BBi，CG的中點.

(1)證明：BF〃平面&GE;

(2)求BiC與平面4GE所成角的正弦值.

19.已知數(shù)列｛斯｝的首項為4.

(1)若數(shù)列271｝是等差數(shù)列，且公差為2,求｛a“｝的通項公式;

(2)在①&3—0.2~48且a2>01=64且。4>0，^3)ci202i=16a2a2017這二個條

件中任選一個，補充在下面的問題中并解答.

問題：若｛即｝是等比數(shù)列，，求數(shù)列｛(3n—l)an｝的前n項和

注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.

20.如圖，平面4BCDE1平面CEFG,四邊形CEFG為正方形，點8在正方形4CDE的外

部，且AB=BC=瓜AC=4.

(1)證明：AD1CF-.

(2)求平面BFG與平面2BCDE所成銳二面角的余弦值.

丫2

21.已知拋物線C:y2=2px(p>0)與雙曲線^^一丫？=1有相同的焦點F.

(1)求C的方程，并求其準(zhǔn)線，的方程;

(2)如圖，過尸且斜率存在的直線與C交于不同的兩點4(Xi，yD，S(x2,y2),直線04與準(zhǔn)

線/交于點N,過點4作，的垂線，垂足為M.證明：為丫2為定值，且四邊形為梯

形.

試卷第4頁，總13頁

22.已知橢圓C：圣+\=l(a>b>0)的離心率為雪，且焦距為8.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線，的傾斜角為或且與C交于4,B兩點，點。為坐標(biāo)原點，求AAOB面積的最

大值.

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.

1.

【答案】

B

【解析】

可求出集合4B,然后進(jìn)行交集的運算即可.

2.

【答案】

A

【解析】

利用充分條件和必要條件的定義，結(jié)合平面幾何知識進(jìn)行判斷，即可得到答案.

3.

【答案】

B

【解析】

根據(jù)題意，將雙曲線的方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程，分析可得其焦點位置以及或b的值，利

用雙曲線的漸近線方程計算可得答案.

4.

【答案】

D

【解析】

設(shè)這根木梗的長度為1尺，分別計算每一次截取的量可得剩余的量，可得答案.

5.

【答案】

C

【解析】

利用已知條件推出p>2,然后判斷選項的正誤即可.

6.

【答案】

D

【解析】

建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角計算公式即可得出.

7.

【答案】

B

【解析】

由橢圓的方程求出a,b,c的值，由此可得IPF/+IPF2I=2a=2VT7,再由已知可

|QFi|=2V17,進(jìn)而可以求解.

8.

【答案】

A

【解析】

試卷第6頁，總13頁

設(shè)。P=x,由題意可得：Rt△OBP^,NPBO=45。；在RtAOAP中，/LPAO=30°,即

7.5

可得出OB,OA.AB=60x20=2.5.在AOAB中，利用余弦定理即可得出.

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.

【答案】

B,C

【解析】

先判斷命題p為真命題，然后利用含有一個量詞的命題的否得到「p,利用命題的否定

與原命題的真假相反得到答案.

10.

【答案】

B,C,D

【解析】

本題先設(shè)等差數(shù)列｛。工的公差為d,根據(jù)已知條件即可計算出d的值，判斷選項8,然

后根據(jù)通項公式計算出as的值，判斷選項4,再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式計算出S2n的

表達(dá)式，判斷選項C,最后計算出等差數(shù)列包工的通項公式，進(jìn)一步計算出數(shù)列

｛&!12什1｝的通項公式，運用裂項相消法計算出數(shù)列｛4112什1｝的前幾項和，判斷

選項D.

11.

【答案】

A,C,D

【解析】

根據(jù)基本不等式的性質(zhì)分別判斷4B,C,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷。即可.

12.

【答案】

A,D

【解析】

設(shè)出點P的坐標(biāo)，求出直線P4PB的斜率的乘積，然后再設(shè)出直線P4P8的方程，

進(jìn)而可以求出點C,。的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可以求出|CD|,即可求解.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線

上.

13.

【答案】

-6

【解析】

由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，計算求得小的值.

14.

【答案】

2

【解析】

利用雙曲線的虛軸長，求解匕，然后求解c,即可求解離心率.

15.

【答案】

8\/13

13

【解析】

由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinC的值，進(jìn)而根據(jù)正弦定理即可求解的

值.

16.

【答案】

3

【解析】

拋物線的準(zhǔn)線為y=2,焦點F坐標(biāo)為(0,-2),

Ym2+n2+4n+4Wm?+n2-4m+2n+5表示點p(m,2與點尸(o,—2)的距離

與點P(zn,n)與點4(2,-1)的距離之和，由拋物線的定義和兩點之間線段最短可得最小

值，進(jìn)而可得結(jié)論.

四、解答題.本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說期、證時過程或演算步驟.

17.

【答案】

解:(1)/b2+c2-a2=-be,

.4b2+c2-a2淞s

.?cos>l=-----------=--=——.

2bc2bc16

(2),.,sinC=2sinB,

c—2b.

由余弦定理，得Cl?=+?2-2bcCOsA=受力2,

4

.Vis,

..CL=-b.

2

???△ABC的周長為6+同,

3b+半b=6+同,

解得b=2,

S3ABe=知csinA=：xbx2bjl-舄產(chǎn)

V231

x2x4x

16

—?

4

【解析】

(1)由已知利用余弦定理即可求解cos力的值.

(2)由已知利用正弦定理化簡可得c=2b,由余弦定理得a=^b,根據(jù)△ABC的周

長，可求b的值，進(jìn)而利用三角形的面積公式即可計算得解.

18.

【答案】

試卷第8頁，總13頁

(1)證明：在三棱柱ABC—4BiG中，

VBBi=CCi，BB[〃CC\,E,F分別為側(cè)棱B/,CC]的中點,

BE//FG，BE=FC。

.1,四邊形BECiF是平行四邊形，

BF//ECX.

■-GEu平面&GE,BFC平面&QE,

BF〃平面&GE.

(2)解：以C為坐標(biāo)原點，入的方向為x軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,

設(shè)BC=1,

則4(2,0,2),G(0,0,2),E(0,l,l),Bi(0,1,2),C(0,0,0),

G4=(2,0,0),Eg=(0,-1,1)，CBi=(0,1,2).

設(shè)平面AGE的法向量為蔡=(x,y,z),

TT

則n?QAi=2x=0,

n-EC1=-y+z=0,

令y=l,得n=(0,1,1),

則sin<CB]?TI>=|cosVCB^,n>|=/&=,

故BiC與平面&QE所成角的正弦值為誓.

【解析】

(1)推導(dǎo)出BE』=GF,從而四邊形BEC#是平行四邊形，進(jìn)而BF〃EC「由此能證

明BF〃平面&GE.

(2)以C為原點，CA為工軸，C8為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量

法能求出昆。與平面4GE所成角的正弦值.

19.

【答案】

解：(1)因為的=4,

所以的-2=2.

因為數(shù)列｛的,-271｝是等差數(shù)列，且公差為2,

所以a”—2n=2+2(n—1)=2n>

所以斯=2n+2n.

(2)選①：。3—a?=48且a2>0;

由題意，設(shè)數(shù)列的公比為勺?

由(13—&2=48,得4q2-4q=48,

解得q=4或q=-3,

又。2>°，

所以q=4.

所以即=4x4“T=471,

n

所以(3n—1)0n=(3n—l)4,

所以%=2x4+5x42+…+(3n—1)x小，

23n+1

4Sn=2X4+5X4+-+(3n-1)x4,

2nn+1

兩式相減,得一3Sn=8+3(4+43+???+4)-(3n-l)4,

即-3S“=8+3X+(1-3n)4n+1=(2-3n)4n+1-8,

所以％=所-2)：…+8.

選②：a3=64且6X4>0；

由題意，設(shè)數(shù)列｛a"的公比為q.

由(23=64,得4q2=64,

解得q=±4,

又Cl2>0,

所以q=4.

所以即=4x4"-1=4n,

n

所以(3n—1)0n=(3n-l)4.

所以%=2x4+5x42+-+(3n-1)x4n,

45.=2x42+5x43+…+(3n-1)x4n+1,

兩式相減，得一3Sn=8+3(42+43+…+4n)-(3n-l)4n+1,

即-3S"=8+3x4：：：'+(1-3n)4n+1=(2-3n)4n+1-8,

所以％=所2):+8

選③：a2021=16a2a2017；

由題意，設(shè)數(shù)列｛an｝的公比為q.

由。2021=16a2a2017，得“2021=16。1。2018=64。2018，

則q3=64,

解得q=4,

所以an=4x4九-1=空，

n

所以(3幾-l)an=(3n-l)4.

所以Sn=2x4+5x42+…+(3九一1)x4〃，

n+1

4szi=2x42+5x43+…+(3n-1)x4,

2nn+1

兩式相減，得—3Sn=8+3(4+4，+…+4)—(3n—l)4,

即一3Sn=8+3X+(1-3n)4n+1=(2-3n)4n+1-8,

所以Sra=(37：+8.

【解析】

試卷第10頁，總13頁

—叫

(1)直接利用已知條件求出數(shù)列InJJ的通項公式，再得到｛a"的通項公式;

(2)根據(jù)條件分別求出數(shù)列的通項公式，然后利用錯位相減法，求出數(shù)列｛(3n-

1)L｝的前n項和.

20.

【答案】

(1)證明：???四邊形4C0E為正方形，

AD1CE.

■：平面4BCDE_L平面CEFG,平面4BC0En平面CEFG=CE,

AD1平面FECG.

又CFu平面尸ECG,

AD1CF.

(2)解：以C為坐標(biāo)原點，而的方向為x軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz.

1,"AB=BC=V5,AC=4,

點B到AC的距離為1,

G(0,0,4?,F(4,4,4?,B(-1,2,0),

GF=(4,4,0),BG=(1,-2,4V2).

設(shè)平面BFG的一個法向量為1=(x,y,z),

則/后=二薪=0,

即4%+4y=x—2y+4az=0,

令y=4^2,得1=(-4V2,4V2,3).

取益=(0,0,1)為平面4BCDE的一個法向量,

mn33\/73

cos(m,n)=

平面BFG與平面ABCDE所成銳二面角的余弦值為鴛.

【解析】

(1)由四邊形4CDE為正方形，可得4。1CE,再由面面垂直的性質(zhì)可得4。1平面

FECG,從而得到4DJ.CF；

(2)以E為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系4-xyz,利用向量法能求出平面BFG與平

面4BCDE所成銳二面角的余弦值.

21.

【答案】

(1)解：；雙曲線?一y2=1的右焦點為“2,0),

衛(wèi)=2,

2

解得p=4,

C的方程為y2=8x,其準(zhǔn)線，的方程為x=-2.

(2)證明：由題意可知，直線4B過點尸且斜率存在,

設(shè)直線48的方程為y=fc(x-2)(k*0),

聯(lián)立”牛.2)，

U=8x,

整理，-8y-16fc=0,

則』=64+64k2>0恒成立，

—16ky/

=一16，

故為〉2為定值.

由題意，得點N在準(zhǔn)線［上，設(shè)點N(—2,m),

^k=k得瓷=g

0A0N9xi一/

T716

又二yi=

—yi，

.E2月2為16

..m=----=----T~=------

與Z1%

8

BN"x嫻"AM.

又；xx^x2,\AM\^\BN\,

,1,四邊形力MNB為梯形.

【解析】