2024屆河南省濮陽市高三下學(xué)期模擬數(shù)學(xué)試題（三）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省濮陽市2024屆高三下學(xué)期數(shù)學(xué)模擬試題（三）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，復(fù)數(shù)的虛部為.2.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，拋物線，可得x2=14y，所以則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.故選：D.3.某圓錐的側(cè)面展開圖是面積為，圓心角為的扇形，則該圓錐的軸截面的面積為（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是面積為，圓心角為的扇形，所以，解得，因?yàn)?，所以，得，所以圓錐的高為，所以圓錐的軸截面的面積是.4.已知向量，在方向上的投影向量為，則（）A.12 B. C.6 D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)樵诜较蛏系耐队跋蛄繛?，所以，而，，所以，所?故選：B.5.某班派遣五位同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)街道打掃衛(wèi)生．每個(gè)街道至少有一位同學(xué)去，至多有兩位同學(xué)去，且兩位同學(xué)去同一個(gè)街道，則不同的派遣方法有（）A.18 B.24 C.36 D.48〖答案〗A〖解析〗由題意得，學(xué)生的分配人數(shù)分別為2，2，1，由于兩位同學(xué)去同一個(gè)街道，故先從3個(gè)街道中選擇1個(gè)安排，有種，再將剩余3人分別兩組，和兩個(gè)街道進(jìn)行全排列，有故不同的派遣方法有種.故選：A.6.如圖，將繪有函數(shù)部分圖像的紙片沿軸折成直二面角，此時(shí)之間的距離為，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，因?yàn)榈闹芷跒?，所以，，所以折成直二面角時(shí)，，解得，所以，所以，，因?yàn)椋曰?，又因?yàn)楹瘮?shù)在軸右側(cè)附近單調(diào)遞減，所以．故選：D.7.若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，得，即，記，則，對(duì)求導(dǎo)得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的大致圖象如圖，記，由于有三個(gè)不同的零點(diǎn)，所以必有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，記為，當(dāng)時(shí)，有，即，無解；當(dāng)時(shí)，有，即，無解；當(dāng)時(shí)，有，即，解得，所以的取值范圍為.故選：B.8.點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，以為圓心的圓與軸相切于橢圓的焦點(diǎn)，圓與軸相交于兩點(diǎn)，若是銳角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗圓與軸相切于焦點(diǎn)，軸，可設(shè)，在橢圓上，，解得：，圓的半徑為；作軸，垂足為，，，為銳角三角形，，，，即，解得：，即橢圓離心率的取值范圍為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于下列概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)，說法正確的是（）A.數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是6B.若事件的概率滿足，則C.由兩個(gè)分類變量成對(duì)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷獨(dú)立D.若一組樣本數(shù)據(jù)的對(duì)應(yīng)樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A，9個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，由于，所以第75百分位數(shù)應(yīng)該是第7個(gè)數(shù)8，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，由，不可判斷獨(dú)立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，樣本點(diǎn)都在直線，說明是負(fù)相關(guān)且為線性函數(shù)關(guān)系，所以相關(guān)系數(shù)為，故D正確，故選：BD.10.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)是其側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在點(diǎn)，使得二面角大小為B.存在點(diǎn)，使得平面與平面平行C.當(dāng)為棱的中點(diǎn)且時(shí)，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D.當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，四棱錐外接球的表面積為〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，在正方體中，可得平面，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，所以二面角的平面角為，其中，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖所示，當(dāng)M為中點(diǎn)，為中點(diǎn)時(shí)，在正方體中，可得，因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面，又因?yàn)?，且平面，且平面，所以平面，因?yàn)?，且平面，所以平面平面，所以B正確；對(duì)于C，如圖所示，取中點(diǎn)，連接，，，在正方體中，平面，且，所以平面，因?yàn)槠矫妫傻?，則，則點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心、半徑為2的劣弧，分別交，于，如圖所示，則，結(jié)合對(duì)稱性可知，，則，劣弧的長(zhǎng)為，所以C正確；對(duì)于D，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，可得為等腰直角三角形，且平面平面，連接與交于點(diǎn)，可得，所以四棱錐外接球的球心即為與的交點(diǎn)，所以四棱錐外接球的半徑為，其外接球的體積為，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知是定義在上的不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意都滿足，且為偶函數(shù)，則下列說法正確的是（）A. B.為奇函數(shù)C.是周期函數(shù) D.〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，由對(duì)于任意都滿足，令，則，所以A正確；對(duì)于B，令，可得，即，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，又由為偶函數(shù)知關(guān)于直線對(duì)稱，即，可得，則，所以，所以函數(shù)的周期為，故C正確；對(duì)于D，令，則，可得，所以，所以D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗若，則對(duì)于任意恒成立，即對(duì)于任意恒成立，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.13.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則______，的最小值為______．〖答案〗〖解析〗由題可知，所以，，令，則，當(dāng)時(shí)，，即，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，成立，假設(shè)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)也成立，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以時(shí)，，時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為.14.設(shè)，記為三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，則的最小值_________．〖答案〗2〖解析〗由，①當(dāng)時(shí)，，而，可得至少有一個(gè)不小于2,則的最小值為2；②當(dāng)時(shí)，，而，可得至少有一個(gè)不小于2，的最小值不小于2.綜上，的最小值為2.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，設(shè)滿足條件和．（1）求角和；（2）求．解：（1）由余弦定理得．因?yàn)?，所以．由已知條件，應(yīng)用正弦定理，即，所以．（2）因，所以．又，所以，所以．因，所以．16.如圖，側(cè)面水平放置的正三棱臺(tái)，且側(cè)棱長(zhǎng)為．（1）求證：平面；（2）求直線和平面所成角的正弦值．（1）證明：延長(zhǎng)三條側(cè)棱交于一點(diǎn)，如圖所示．由于，則為的中位線．又側(cè)棱長(zhǎng)為，所以．所以，所以，同理可得．因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)兩條相交直線，所以平面，即平面．（2）解：由（1）可知兩兩垂直，可以以所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由于，所以，即平面的一個(gè)法向量為，所以直線和平面所成角的正弦值為．17.黎曼猜想是〖解析〗數(shù)論里的一個(gè)重要猜想，它被很多數(shù)學(xué)家視為是最重要的數(shù)學(xué)猜想之一．它與函數(shù)（為常數(shù)）密切相關(guān)，請(qǐng)解決下列問題：（1）當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，證明有唯一極值點(diǎn)．（1）解：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，又，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2）證明：由題意得，令，，令，可得，依題意得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又，所以，又因?yàn)?，所以，存在唯一．?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以存唯一極大值點(diǎn)，且．18.已知雙曲線分別是的左、右焦點(diǎn)．若的離心率，且點(diǎn)在上．（1）求的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)，試問是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出常數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）設(shè)雙曲線的半焦距為cc>0，由題意可得，解得，所以的方程為x24（2）假設(shè)存在常數(shù)滿足條件，由（1）知，設(shè)直線，聯(lián)立方程得，消去，整理可得，所以，，．因?yàn)橹本€過點(diǎn)且與左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，所以兩點(diǎn)在軸同側(cè)，所以．此時(shí)，即，所以．設(shè)，將代入拋物線方程，得，則，所以．所以．故當(dāng)時(shí)，為定值，所以，當(dāng)時(shí)，為定值．19.現(xiàn)有一種不斷分裂的細(xì)胞，每個(gè)時(shí)間周期內(nèi)分裂一次，一個(gè)細(xì)胞每次分裂能生成一個(gè)或兩個(gè)新的細(xì)胞，每次分裂后原細(xì)胞消失．設(shè)每次分裂成一個(gè)新細(xì)胞的概率為，分裂成兩個(gè)新細(xì)胞的概率為；新細(xì)胞在下一個(gè)周期內(nèi)可以繼續(xù)分裂，每個(gè)細(xì)胞間相互獨(dú)立．設(shè)有一個(gè)初始的細(xì)胞，在第一個(gè)周期中開始分裂，其中．（1）設(shè)結(jié)束后，細(xì)胞的數(shù)量為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)結(jié)束后，細(xì)胞數(shù)量為的概率為．（?。┣?；（ⅱ）證明：．（1）解：結(jié)束后，的取值可能為，其中，，所以分布列為1234．（2）（?。┙猓罕硎痉至呀Y(jié)束后共有2個(gè)細(xì)胞的概率，則必在某一個(gè)周期結(jié)束后分裂成2個(gè)細(xì)胞.不妨設(shè)在第時(shí)分裂為2個(gè)細(xì)胞，之后一直有2個(gè)細(xì)胞，此事件概率，所以．（ⅱ）證明：代表分裂后有3個(gè)細(xì)胞的概率，設(shè)細(xì)胞在后分裂為2個(gè)新的細(xì)胞，這2個(gè)細(xì)胞在剩下的中，其中一個(gè)分裂為2個(gè)細(xì)胞，一個(gè)保持一直分裂為1個(gè)細(xì)胞，此事件的概率，得，，其中．令，記，令，得．當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減．故，所以．河南省濮陽市2024屆高三下學(xué)期數(shù)學(xué)模擬試題（三）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，復(fù)數(shù)的虛部為.2.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，拋物線，可得x2=14y，所以則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.故選：D.3.某圓錐的側(cè)面展開圖是面積為，圓心角為的扇形，則該圓錐的軸截面的面積為（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是面積為，圓心角為的扇形，所以，解得，因?yàn)椋?，得，所以圓錐的高為，所以圓錐的軸截面的面積是.4.已知向量，在方向上的投影向量為，則（）A.12 B. C.6 D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)樵诜较蛏系耐队跋蛄繛?，所以，而，，所以，所?故選：B.5.某班派遣五位同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)街道打掃衛(wèi)生．每個(gè)街道至少有一位同學(xué)去，至多有兩位同學(xué)去，且兩位同學(xué)去同一個(gè)街道，則不同的派遣方法有（）A.18 B.24 C.36 D.48〖答案〗A〖解析〗由題意得，學(xué)生的分配人數(shù)分別為2，2，1，由于兩位同學(xué)去同一個(gè)街道，故先從3個(gè)街道中選擇1個(gè)安排，有種，再將剩余3人分別兩組，和兩個(gè)街道進(jìn)行全排列，有故不同的派遣方法有種.故選：A.6.如圖，將繪有函數(shù)部分圖像的紙片沿軸折成直二面角，此時(shí)之間的距離為，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，因?yàn)榈闹芷跒椋?，，所以折成直二面角時(shí)，，解得，所以，所以，，因?yàn)?，所以或，又因?yàn)楹瘮?shù)在軸右側(cè)附近單調(diào)遞減，所以．故選：D.7.若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，得，即，記，則，對(duì)求導(dǎo)得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的大致圖象如圖，記，由于有三個(gè)不同的零點(diǎn)，所以必有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，記為，當(dāng)時(shí)，有，即，無解；當(dāng)時(shí)，有，即，無解；當(dāng)時(shí)，有，即，解得，所以的取值范圍為.故選：B.8.點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，以為圓心的圓與軸相切于橢圓的焦點(diǎn)，圓與軸相交于兩點(diǎn)，若是銳角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗圓與軸相切于焦點(diǎn)，軸，可設(shè)，在橢圓上，，解得：，圓的半徑為；作軸，垂足為，，，為銳角三角形，，，，即，解得：，即橢圓離心率的取值范圍為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于下列概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)，說法正確的是（）A.數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是6B.若事件的概率滿足，則C.由兩個(gè)分類變量成對(duì)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷獨(dú)立D.若一組樣本數(shù)據(jù)的對(duì)應(yīng)樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A，9個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，由于，所以第75百分位數(shù)應(yīng)該是第7個(gè)數(shù)8，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，由，不可判斷獨(dú)立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，樣本點(diǎn)都在直線，說明是負(fù)相關(guān)且為線性函數(shù)關(guān)系，所以相關(guān)系數(shù)為，故D正確，故選：BD.10.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)是其側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在點(diǎn)，使得二面角大小為B.存在點(diǎn)，使得平面與平面平行C.當(dāng)為棱的中點(diǎn)且時(shí)，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D.當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，四棱錐外接球的表面積為〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，在正方體中，可得平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以二面角的平面角為，其中，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖所示，當(dāng)M為中點(diǎn)，為中點(diǎn)時(shí)，在正方體中，可得，因?yàn)槠矫妫移矫?，所以平面，又因?yàn)?，且平面，且平面，所以平面，因?yàn)椋移矫?，所以平面平面，所以B正確；對(duì)于C，如圖所示，取中點(diǎn)，連接，，，在正方體中，平面，且，所以平面，因?yàn)槠矫?，可得，則，則點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心、半徑為2的劣弧，分別交，于，如圖所示，則，結(jié)合對(duì)稱性可知，，則，劣弧的長(zhǎng)為，所以C正確；對(duì)于D，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，可得為等腰直角三角形，且平面平面，連接與交于點(diǎn)，可得，所以四棱錐外接球的球心即為與的交點(diǎn)，所以四棱錐外接球的半徑為，其外接球的體積為，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知是定義在上的不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意都滿足，且為偶函數(shù)，則下列說法正確的是（）A. B.為奇函數(shù)C.是周期函數(shù) D.〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，由對(duì)于任意都滿足，令，則，所以A正確；對(duì)于B，令，可得，即，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，又由為偶函數(shù)知關(guān)于直線對(duì)稱，即，可得，則，所以，所以函數(shù)的周期為，故C正確；對(duì)于D，令，則，可得，所以，所以D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗若，則對(duì)于任意恒成立，即對(duì)于任意恒成立，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.13.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則______，的最小值為______．〖答案〗〖解析〗由題可知，所以，，令，則，當(dāng)時(shí)，，即，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，成立，假設(shè)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)也成立，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以時(shí)，，時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為.14.設(shè)，記為三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，則的最小值_________．〖答案〗2〖解析〗由，①當(dāng)時(shí)，，而，可得至少有一個(gè)不小于2,則的最小值為2；②當(dāng)時(shí)，，而，可得至少有一個(gè)不小于2，的最小值不小于2.綜上，的最小值為2.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，設(shè)滿足條件和．（1）求角和；（2）求．解：（1）由余弦定理得．因?yàn)椋裕梢阎獥l件，應(yīng)用正弦定理，即，所以．（2）因，所以．又，所以，所以．因，所以．16.如圖，側(cè)面水平放置的正三棱臺(tái)，且側(cè)棱長(zhǎng)為．（1）求證：平面；（2）求直線和平面所成角的正弦值．（1）證明：延長(zhǎng)三條側(cè)棱交于一點(diǎn)，如圖所示．由于，則為的中位線．又側(cè)棱長(zhǎng)為，所以．所以，所以，同理可得．因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)兩條相交直線，所以平面，即平面．（2）解：由（1）可知兩兩垂直，可以以所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由于，所以，即平面的一個(gè)法向量為，所以直線和平面所成角的正弦值為．17.黎曼猜想是〖解析〗數(shù)論里的一個(gè)重要猜想，它被很多數(shù)學(xué)家視為是最重要的數(shù)學(xué)猜想之一．它與函數(shù)（為常數(shù)）密切相關(guān)，請(qǐng)解決下列問題：（1）當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，證明有唯一極值點(diǎn)．（1）解：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，又，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2）證明：由題意得，令，，令，可得，依題意得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)