2024屆河北省衡水市部分示范性高中高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省衡水市部分示范性高中2024屆高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，又，故，故選：B．2.已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)是奇函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗若函數(shù)是奇函數(shù)，則恒成立，即，而，得．故“”是“函數(shù)是奇函數(shù)”的必要不充分條件．故選：B．3.已知是單位向量，，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，故．，設(shè)與的夾角為，則，又，故，故選：A．4.艷陽高照的夏天，“小神童”是孩子們喜愛的冰淇淋之一．一個(gè)“小神童”近似為一個(gè)圓錐，若該圓錐的側(cè)面展開的扇形面積是底面圓面積的2倍，圓錐的母線長(zhǎng)為，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，則底面圓的面積為，側(cè)面面積為，由題意知，所以，解得，因此該圓錐的高，故該圓錐的體積．故選：C．5.已知數(shù)列均為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為，滿足，則（）A.2 B.3 C.5 D.6〖答案〗A〖解析〗因?yàn)閿?shù)列均為等差數(shù)列，可得，且，又由，可得．因此.故選：A．6.已知雙曲線：，圓與圓的公共弦所在的直線是的一條漸近線，則的離心率為（）A. B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，所以兩圓方程相減可得，由題意知的一條漸近線為，即，雙曲線的離心率．故選：C．7.已知，則m，n的關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，，，則，即，即.故選：D.8.已知甲、乙、丙三人參加射擊比賽，甲、乙、丙三人射擊一次命中的概率分別為，且每個(gè)人射擊相互獨(dú)立，若每人各射擊一次，則在三人中恰有兩人命中的前提下，甲命中的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)甲、乙、丙三人射擊一次命中分別為事件，每人各射擊一次，在三人中恰有兩人命中為事件，則，，則.故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.復(fù)數(shù)，其中，設(shè)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C.對(duì)任意，點(diǎn)均在第一象限 D.存在，使得點(diǎn)在第二象限〖答案〗AC〖解析〗當(dāng)時(shí)，，故，故選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，故對(duì)任意，點(diǎn)均在第一象限，故C選項(xiàng)正確；不存在，使得點(diǎn)在第二象限，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：AC．10.已知函數(shù)，是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A. B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.過點(diǎn)能作兩條不同直線與相切 D.函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn)〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A中，由函數(shù)，可得，因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，可得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意，所以A正確；對(duì)于B中，由，令，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，設(shè)過點(diǎn)且與函數(shù)相切的切點(diǎn)為，則該切線方程為，由于切點(diǎn)滿足直線方程，則，整理得，解得，所以只能作一條切線，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，令，則的根有三個(gè)，如圖所示，，所以方程有3個(gè)不同根，方程和均有1個(gè)根，故有5個(gè)零點(diǎn)，所以D正確．故選：AD．11.已知在正方體中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界），且平面，球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，下列說法正確的是（）A.球的體積為 B.點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C.異面直線與BP所成角的余弦值取值范圍為 D.三棱錐外接球與球內(nèi)切〖答案〗ACD〖解析〗由題意知球的半徑為1，故其體積為，故A選項(xiàng)正確；取的中點(diǎn)為，連結(jié)，易知，平面，平面，故平面，連接MN，，即四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，所以平面．又因?yàn)椋矫?，故平面平面，平面平面，結(jié)合平面，故點(diǎn)的軌跡為線段，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，故異面直線與BP所成角等于或其補(bǔ)角，當(dāng)P位于N點(diǎn)時(shí)，得取得最小，;當(dāng)P位于點(diǎn)時(shí)，取得最大，，故選項(xiàng)正確；由正方體幾何性質(zhì)易知，故BM為三棱錐外接球的直徑，取為BM的中點(diǎn)，即為三棱錐外接球的球心，由題意知為的中點(diǎn)，故，因?yàn)榍虻陌霃綖?，球的半徑為，故三棱錐外接球與球內(nèi)切，D正確故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開式中的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗由題意，多項(xiàng)式展開式中含有的項(xiàng)為：，所以的系數(shù)為．13.已知是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，在區(qū)間內(nèi)恰好存在3個(gè)對(duì)稱中心，則的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗由題意知是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故，解得，，因?yàn)?，故，故，令，解得，原點(diǎn)附近的6個(gè)對(duì)稱中心分別為，若3個(gè)對(duì)稱中心恰好是，則，則t不存在，不合題意；若3個(gè)對(duì)稱中心恰好是，則，則；故當(dāng)時(shí)，符合題意．故t的取值范圍為.14.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，焦距為6，點(diǎn)，直線與交于A，B兩點(diǎn)，且為AB中點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為______．〖答案〗〖解析〗由題意知，設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，兩式相減得，由題意為AB中點(diǎn)，則，代入整理得．即由題意知，因此，所以，由焦距為6，解得．由橢圓定義知的周長(zhǎng)為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某企業(yè)為調(diào)研旗下公司職工對(duì)加班宵夜的滿意度情況，在該企業(yè)旗下一個(gè)某地子公司進(jìn)行小范圍調(diào)研試驗(yàn)，該試驗(yàn)從該小公司隨機(jī)抽取50名男職工、30名女職工進(jìn)行調(diào)研得到如下列聯(lián)表：性別滿意情況合計(jì)滿意不滿意男職工252550女職工25530合計(jì)503080（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該子公司職工對(duì)加班宵夜的滿意度是否與性別有關(guān)；（2）若該企業(yè)有員工10000人，本次調(diào)研情況近似作為企業(yè)整體職工情況，頻率近似概率．若該企業(yè)為加班宵夜?jié)M意的員工分發(fā)20元的打車補(bǔ)助，給不滿意的員工分發(fā)30元的打車補(bǔ)助，求企業(yè)本次發(fā)放總費(fèi)用數(shù)學(xué)期望．附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假設(shè)為：滿意度與性別無關(guān)．經(jīng)計(jì)算得，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為滿意度與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005；（2）根據(jù)題意，全企業(yè)職工每人滿意概率為，設(shè)滿意的人數(shù)為，則不滿意的為，由題意知，，則16.如圖，在三棱柱中，四邊形是矩形，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值．（1）證明：在平行四邊形中，因?yàn)?，所以四邊形為菱形，故，又因?yàn)椋蕿榈冗吶切?，故．在中，?所以，故又因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，因此．又因?yàn)椋矫?，所以平面；?）解：取的中點(diǎn)，連結(jié)BM，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，因?yàn)椤危?，因?yàn)槠矫?，平面，所以，故兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，得；設(shè)平面的法向量為，則,令，得．設(shè)平面與平面所成角為，則．17.已知數(shù)列滿足：．（1）請(qǐng)寫出的值，給出一個(gè)你的猜想，并證明；（2）設(shè)，求數(shù)列前項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)?，可得，，，因此猜想是?為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；下面證明：因?yàn)?，即，又因?yàn)?，故是?為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，累加得，所以，當(dāng)時(shí)，滿足題意，所以對(duì)成立；故，可得其中，設(shè)，則，兩式相減得，即，綜上可得，數(shù)列的前項(xiàng)和．18.已知．（1）求的單調(diào)區(qū)間和最值；（2）定理：若函數(shù)在上可導(dǎo)，在上連續(xù)，則存在，使得．該定理稱為“拉格朗日中值定理”，請(qǐng)利用該定理解決下面問題：若，求證：．（1）解：，令，解得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，取得最小值1，無最大值；（2）證明：要證，只需證，因?yàn)?，故只需證．令，顯然在上可導(dǎo)，在上連續(xù)，故由拉格朗日中值定理知存在，使得，而在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，故，即，故只需證即可，因?yàn)?，故只需證．由（1）知恒成立，因此原命題得證．19.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過且傾斜角為的直線與交于，兩點(diǎn)．直線，與相切，切點(diǎn)分別為，，，與軸的交點(diǎn)分別為，兩點(diǎn)，且．（1）求的方程；（2）若點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)（與，及坐標(biāo)原點(diǎn)均不重合），直線與相切，切點(diǎn)為，與，的交點(diǎn)分別為，．記，的面積分別為，．①請(qǐng)問：以，為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由；②證明：為定值．（1）解：設(shè)，，，聯(lián)立，消去得，顯然，所以，．由，，故的方程為，令得，解得，即，同理，則．由，知，由，得，解得或（舍去），故的方程為；（2）①解：由（1）不妨設(shè)，由，解得，，所以，．設(shè)，則．聯(lián)立，解得，所以，同理，以、為直徑的圓的方程為，整理得，令，解得或，故該圓恒過兩個(gè)點(diǎn)．②證明：由于，，，，，所以，，，，直線的斜率為，顯然直線與垂直，故為直角三角形，同理也是直角三角形，故，，故（或）．河北省衡水市部分示范性高中2024屆高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，又，故，故選：B．2.已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)是奇函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗若函數(shù)是奇函數(shù)，則恒成立，即，而，得．故“”是“函數(shù)是奇函數(shù)”的必要不充分條件．故選：B．3.已知是單位向量，，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，故．，設(shè)與的夾角為，則，又，故，故選：A．4.艷陽高照的夏天，“小神童”是孩子們喜愛的冰淇淋之一．一個(gè)“小神童”近似為一個(gè)圓錐，若該圓錐的側(cè)面展開的扇形面積是底面圓面積的2倍，圓錐的母線長(zhǎng)為，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，則底面圓的面積為，側(cè)面面積為，由題意知，所以，解得，因此該圓錐的高，故該圓錐的體積．故選：C．5.已知數(shù)列均為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為，滿足，則（）A.2 B.3 C.5 D.6〖答案〗A〖解析〗因?yàn)閿?shù)列均為等差數(shù)列，可得，且，又由，可得．因此.故選：A．6.已知雙曲線：，圓與圓的公共弦所在的直線是的一條漸近線，則的離心率為（）A. B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，所以兩圓方程相減可得，由題意知的一條漸近線為，即，雙曲線的離心率．故選：C．7.已知，則m，n的關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，，，則，即，即.故選：D.8.已知甲、乙、丙三人參加射擊比賽，甲、乙、丙三人射擊一次命中的概率分別為，且每個(gè)人射擊相互獨(dú)立，若每人各射擊一次，則在三人中恰有兩人命中的前提下，甲命中的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)甲、乙、丙三人射擊一次命中分別為事件，每人各射擊一次，在三人中恰有兩人命中為事件，則，，則.故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.復(fù)數(shù)，其中，設(shè)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C.對(duì)任意，點(diǎn)均在第一象限 D.存在，使得點(diǎn)在第二象限〖答案〗AC〖解析〗當(dāng)時(shí)，，故，故選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，故對(duì)任意，點(diǎn)均在第一象限，故C選項(xiàng)正確；不存在，使得點(diǎn)在第二象限，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：AC．10.已知函數(shù)，是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A. B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.過點(diǎn)能作兩條不同直線與相切 D.函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn)〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A中，由函數(shù)，可得，因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，可得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意，所以A正確；對(duì)于B中，由，令，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，設(shè)過點(diǎn)且與函數(shù)相切的切點(diǎn)為，則該切線方程為，由于切點(diǎn)滿足直線方程，則，整理得，解得，所以只能作一條切線，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，令，則的根有三個(gè)，如圖所示，，所以方程有3個(gè)不同根，方程和均有1個(gè)根，故有5個(gè)零點(diǎn)，所以D正確．故選：AD．11.已知在正方體中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界），且平面，球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，下列說法正確的是（）A.球的體積為 B.點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C.異面直線與BP所成角的余弦值取值范圍為 D.三棱錐外接球與球內(nèi)切〖答案〗ACD〖解析〗由題意知球的半徑為1，故其體積為，故A選項(xiàng)正確；取的中點(diǎn)為，連結(jié)，易知，平面，平面，故平面，連接MN，，即四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，所以平面．又因?yàn)?，平面，故平面平面，平面平面，結(jié)合平面，故點(diǎn)的軌跡為線段，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，故異面直線與BP所成角等于或其補(bǔ)角，當(dāng)P位于N點(diǎn)時(shí)，得取得最小，;當(dāng)P位于點(diǎn)時(shí)，取得最大，，故選項(xiàng)正確；由正方體幾何性質(zhì)易知，故BM為三棱錐外接球的直徑，取為BM的中點(diǎn)，即為三棱錐外接球的球心，由題意知為的中點(diǎn)，故，因?yàn)榍虻陌霃綖?，球的半徑為，故三棱錐外接球與球內(nèi)切，D正確故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開式中的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗由題意，多項(xiàng)式展開式中含有的項(xiàng)為：，所以的系數(shù)為．13.已知是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，在區(qū)間內(nèi)恰好存在3個(gè)對(duì)稱中心，則的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗由題意知是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故，解得，，因?yàn)椋?，故，令，解得，原點(diǎn)附近的6個(gè)對(duì)稱中心分別為，若3個(gè)對(duì)稱中心恰好是，則，則t不存在，不合題意；若3個(gè)對(duì)稱中心恰好是，則，則；故當(dāng)時(shí)，符合題意．故t的取值范圍為.14.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，焦距為6，點(diǎn)，直線與交于A，B兩點(diǎn)，且為AB中點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為______．〖答案〗〖解析〗由題意知，設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，兩式相減得，由題意為AB中點(diǎn)，則，代入整理得．即由題意知，因此，所以，由焦距為6，解得．由橢圓定義知的周長(zhǎng)為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某企業(yè)為調(diào)研旗下公司職工對(duì)加班宵夜的滿意度情況，在該企業(yè)旗下一個(gè)某地子公司進(jìn)行小范圍調(diào)研試驗(yàn)，該試驗(yàn)從該小公司隨機(jī)抽取50名男職工、30名女職工進(jìn)行調(diào)研得到如下列聯(lián)表：性別滿意情況合計(jì)滿意不滿意男職工252550女職工25530合計(jì)503080（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該子公司職工對(duì)加班宵夜的滿意度是否與性別有關(guān)；（2）若該企業(yè)有員工10000人，本次調(diào)研情況近似作為企業(yè)整體職工情況，頻率近似概率．若該企業(yè)為加班宵夜?jié)M意的員工分發(fā)20元的打車補(bǔ)助，給不滿意的員工分發(fā)30元的打車補(bǔ)助，求企業(yè)本次發(fā)放總費(fèi)用數(shù)學(xué)期望．附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假設(shè)為：滿意度與性別無關(guān)．經(jīng)計(jì)算得，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為滿意度與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005；（2）根據(jù)題意，全企業(yè)職工每人滿意概率為，設(shè)滿意的人數(shù)為，則不滿意的為，由題意知，，則16.如圖，在三棱柱中，四邊形是矩形，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值．（1）證明：在平行四邊形中，因?yàn)椋运倪呅螢榱庑?，故，又因?yàn)?，故為等邊三角形，故．在中，?所以，故又因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫虼耍忠驗(yàn)?，平面，所以平面；?）解：取的中點(diǎn)，連結(jié)BM，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，因?yàn)椤危?，因?yàn)槠矫?，平面，所以，故兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，得；設(shè)平面的法向量為，則,令，得．設(shè)平面與平面所成角為，則．17.已知數(shù)列滿足：．（1）請(qǐng)寫出的值，給出一個(gè)你的猜想，并證明；（2）