2025年初高中銜接素養(yǎng)提升專題講義-第二講-分式和根式類問題的延伸（含解析）

第二講-分式和根式類問題的延伸（原卷版）【知識(shí)點(diǎn)透析】【知識(shí)點(diǎn)一】分式的相關(guān)知識(shí)1．分式的意義形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式．當(dāng)M≠0時(shí)，分式具有下列性質(zhì)：；．2．繁分式像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．【知識(shí)點(diǎn)精講】【例1】若，求常數(shù)的值．【變式1】（2024·四川·九年級(jí)專題檢測(cè)）已知實(shí)數(shù)x、y滿足x?3+y2【例2】（2024·安徽合肥·七年級(jí)期末）觀察下列各式：①11×2=1?12；

②12×3=12?（1）請(qǐng)用以上規(guī)律計(jì)算：12（2）若1(m+1)(m+2)+1【變式1】（1）試證：（其中n是正整數(shù)）；（2）計(jì)算：；．【變式2】（2024·廣西百色·七年級(jí)期末）下列一組方程：①x+2x=3，②x+由①得：x+1×2x=1+2，解是x由②得：x+2×3x=2+3，解是x由③得：x+3×4x=3+4，解是x請(qǐng)根據(jù)以上小晶發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列問題：（1）第④個(gè)方程是，解是：；（2）若n為正整數(shù)，則第n個(gè)方程是，解是：；（3）若n為正整數(shù)，求關(guān)于x的方程x+n【例3】（（2024·安徽合肥·二模）觀察下列不等式：①122<11×2根據(jù)上述規(guī)律，解決下列問題：（1）完成第5個(gè)不等式：___________；（2）寫出你猜想的第n個(gè)不等式：_____________(用含n的不等式表示)；（3）利用上面的猜想，比較n+2n+12和【例4】（（2024·山東·濟(jì)寧市第十五中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）閱讀下面的解題過程：已知：xx2+1解：xx2+1=13知所以x4故x2x4該題的解法叫做“倒數(shù)法”，請(qǐng)你利用“倒數(shù)法”解決下面的題目：已知：aa2?5【知識(shí)點(diǎn)二】根式類問題一、基本知識(shí)一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式．其性質(zhì)如下：(1)(2)(3) (4)二次根式的意義二、拓展知識(shí)2.1無理式：根號(hào)下含有字母的式子并且開不盡方的根式叫做無理式.例如：，是無理式，而不是無理式2.2分母有理化：把分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化.其方法是分子、分母同時(shí)乘分母的有理化因式.例如：.2.3有理化因式：兩個(gè)含有根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式叫做互為有理化因式.常用的有理化因式有：①與②與【知識(shí)點(diǎn)精講】【例5】將下列式子化為最簡(jiǎn)二次根式：（1）；（2）；（3）．【變式1】（2024·重慶八中九年級(jí)階段練習(xí)）與最接近的整數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式2】化簡(jiǎn)下列各式：(1) (2)【例6】閱讀下列材料，然后回答問題：在進(jìn)行類似于二次根式的運(yùn)算時(shí)，通常有如下兩種方法將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：方法一：＝＝＝方法二：＝＝＝＝（1）請(qǐng)用兩種不同的方法化簡(jiǎn)：；（2）化簡(jiǎn)：．【變式1】化簡(jiǎn)：．【變式2】（2024·湖南衡陽·九年級(jí)）滿足不等式的整數(shù)m的個(gè)數(shù)是_____．【變式3】（2024·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）觀察下列二次根式化簡(jiǎn)：﹣1，，?從中找出規(guī)律并計(jì)算＝___．【例7】（2023·全國·九年級(jí)專題檢測(cè)）數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則”．材料一：平方運(yùn)算和開方運(yùn)算是互逆運(yùn)算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何將雙重二次根式化簡(jiǎn)．我們可以把轉(zhuǎn)化為完全平方的形式，因此雙重二次根式得以化簡(jiǎn)．材料二：在直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P(x，y)和Q(x，y′)給出如下定義：若則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”．例如：點(diǎn)(3，2)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為(3，2)，點(diǎn)(﹣2，5)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為(﹣2，﹣5)．問題：（1）點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為，點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為；（2）化簡(jiǎn)：【變式1】先閱讀然后解答問題：化簡(jiǎn)解：原式＝根據(jù)上面所得到的啟迪，完成下面的問題：（1）化簡(jiǎn)：（2）化簡(jiǎn)：．【變式2】化簡(jiǎn)：（1）；（2）．【例8】已知，求的值．【變式1】：先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x＝1+，y＝1﹣．

第二講-分式和根式類問題的延伸（解析版）【知識(shí)點(diǎn)透析】【知識(shí)點(diǎn)一】分式的相關(guān)知識(shí)1．分式的意義形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式．當(dāng)M≠0時(shí)，分式具有下列性質(zhì)：；．2．繁分式像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．【知識(shí)點(diǎn)精講】【例1】若，求常數(shù)的值．【解析】：∵，∴解得．【變式1】（2024·四川·九年級(jí)專題檢測(cè)）已知實(shí)數(shù)x、y滿足x?3+y2【答案】5【分析】根據(jù)分式的乘除法法則把原式化簡(jiǎn)，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出x、y，代入計(jì)算即可．【詳解】解：x==x+y∵x?3+∴x?3+∴x=3，y=2，∴原式=3+2【例2】（2024·安徽合肥·七年級(jí)期末）觀察下列各式：①11×2=1?12；

②12×3=12?（1）請(qǐng)用以上規(guī)律計(jì)算：12（2）若1(m+1)(m+2)+1【答案】（1）910【分析】（1）將12（2）根據(jù)題意規(guī)律計(jì)算即可求m得值．【詳解】解：（1）12=1=1?=1?110，故答案為：910（2）由規(guī)律可得1即1解得：m=2019，檢驗(yàn)：當(dāng)m=2019時(shí)，m+1m+2021∴m=2019是原分式方程的解．∴m的值為2019．【變式1】（1）試證：（其中n是正整數(shù)）；（2）計(jì)算：；．【解析】（1）證明：∵，∴（其中n是正整數(shù)）成立．（2）解：由（1）可知＝．（3）證明：∵＝＝，又n≥2，且n是正整數(shù)，∴eq\f(1,n＋1)一定為正數(shù)，∴＜eq\f(1,2)．【變式2】（2024·廣西百色·七年級(jí)期末）下列一組方程：①x+2x=3，②x+由①得：x+1×2x=1+2，解是x由②得：x+2×3x=2+3，解是x由③得：x+3×4x=3+4，解是x請(qǐng)根據(jù)以上小晶發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列問題：（1）第④個(gè)方程是，解是：；（2）若n為正整數(shù)，則第n個(gè)方程是，解是：；（3）若n為正整數(shù)，求關(guān)于x的方程x+n【答案】（1）x+4×5x=4+5；x=4或x=5；（2）x+n×(n+1)x=n+n+1；x=n或x=n+1；（3）方程的解是x=【分析】（1）根據(jù)已知方程的規(guī)律即可寫出結(jié)論；（2）根據(jù)已知方程的規(guī)律即可寫出結(jié)論；（3）將方程兩邊同時(shí)減去3，類比已知方程規(guī)律可得x?3=n或x?3=n+1，從而得出結(jié)論．【詳解】解：（1）x+4×5x=4+5,解是：經(jīng)檢驗(yàn)：x=4或x=5是原方程的解故答案為：x+4×5x=4+5；x=4（2）x+n×(n+1)x=n+n+1,解是：經(jīng)檢驗(yàn)：x=n或x=n+1是原方程的解故答案為：x+n×(n+1)x=n+n+1；x=n（3）x+x?3+n(n+1)則x?3=n或x?3=n+1解得：x=n+3或x=n+4,經(jīng)檢驗(yàn)，x=n+3或x=n+4是原方程的解．所以，方程的解是x=n+3或x=n+4．【例3】（（2024·安徽合肥·二模）觀察下列不等式：①122<11×2根據(jù)上述規(guī)律，解決下列問題：（1）完成第5個(gè)不等式：___________；（2）寫出你猜想的第n個(gè)不等式：_____________(用含n的不等式表示)；（3）利用上面的猜想，比較n+2n+12和【答案】（1）162<15×6【分析】(1)根據(jù)給出的不等式寫出第5個(gè)不等式；(2)根據(jù)不等式的變化情況找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答；(3)根據(jù)(2)中的規(guī)律計(jì)算，即可比較大?。驹斀狻?1)①122<11×2，②132<則第5個(gè)不等式為：16故答案為：16(2)第n個(gè)不等式為：1n+1故答案為：1n+1(3)n+2n+1其理由是：由(2)得：1n+12<∴1n+1∴1n+12+【例4】（（2024·山東·濟(jì)寧市第十五中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）閱讀下面的解題過程：已知：xx2+1解：xx2+1=13知所以x4故x2x4該題的解法叫做“倒數(shù)法”，請(qǐng)你利用“倒數(shù)法”解決下面的題目：已知：aa2?5【答案】1【分析】由aa2?5a+1=14同時(shí)取倒數(shù)，可得a2?5a+1a=4，方程左側(cè)分子、分母同時(shí)除以【詳解】解：由aa2?5∴a2?5a∴a4∴a2【知識(shí)點(diǎn)二】根式類問題一、基本知識(shí)一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式．其性質(zhì)如下：(1)(2)(3) (4)二次根式的意義二、拓展知識(shí)2.1無理式：根號(hào)下含有字母的式子并且開不盡方的根式叫做無理式.例如：，是無理式，而不是無理式2.2分母有理化：把分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化.其方法是分子、分母同時(shí)乘分母的有理化因式.例如：.2.3有理化因式：兩個(gè)含有根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式叫做互為有理化因式.常用的有理化因式有：①與②與【知識(shí)點(diǎn)精講】【例5】將下列式子化為最簡(jiǎn)二次根式：（1）；（2）；（3）．【解析】：（1）；（2）；（3）．【變式1】（2024·重慶八中九年級(jí)階段練習(xí)）與最接近的整數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C解：原式=，∵49<63<64，∴，∵，∴，∴最接近8，∴最接近8-3即5，故選：C．【變式2】化簡(jiǎn)下列各式：(1) (2)【解析】：(1)原式= *(2)原式=【例6】閱讀下列材料，然后回答問題：在進(jìn)行類似于二次根式的運(yùn)算時(shí)，通常有如下兩種方法將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：方法一：＝＝＝方法二：＝＝＝＝（1）請(qǐng)用兩種不同的方法化簡(jiǎn)：；（2）化簡(jiǎn)：．【解答】解：（1）方法一：原式＝＝﹣；方法二：原式＝＝﹣；（2）原式＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝﹣．【變式1】化簡(jiǎn)：．【解析】解：原式＝＝＝＝．【變式2】（2024·湖南衡陽·九年級(jí)）滿足不等式的整數(shù)m的個(gè)數(shù)是_____．【答案】7解：∵，，∴，，∵<m<，∴3.312<m<10.472，∵3.3121與10.472之間的整數(shù)有4、5、6、7、8、9、10，共7個(gè)，∴整數(shù)m的個(gè)數(shù)是7，故答案為：7．【變式3】（2024·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）觀察下列二次根式化簡(jiǎn)：﹣1，，?從中找出規(guī)律并計(jì)算＝___．【答案】解：原式，故答案是：2023．【例7】（2023·全國·九年級(jí)專題檢測(cè)）數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則”．材料一：平方運(yùn)算和開方運(yùn)算是互逆運(yùn)算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何將雙重二次根式化簡(jiǎn)．我們可以把轉(zhuǎn)化為完全平方的形式，因此雙重二次根式得以化簡(jiǎn)．材料二：在直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P(x，y)和Q(x，y′)給出如下定義：若則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”．例如：點(diǎn)(3，2)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為(3，2)，點(diǎn)(﹣2，5)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為(﹣2，﹣5)．問題：（1）點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為，點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為；（2）化簡(jiǎn)：【答案】（1），；（2）；解：（1）根據(jù)題目意思，∵和,點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為，點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為，故答案為：，；（2）∵2+5=7,2×5=10,∴；【變式